Test unitaire : Test de flexion simple sur consoles

Introduction 

Cet article présente un test unitaire pour la Méthode du Champ de Contraintes Compatible 3D (3D-CSFM) appliquée à des poutres en console avec des variations de longueur, de ferraillage et de classes de béton. La 3D-CSFM améliore la 2D-CSFM établie, toutes deux intégrées à IDEA StatiCa Detail. Publiée en version bêta, la 3D-CSFM respecte les principes fondamentaux de son prédécesseur 2D. L'évaluation du modèle EF est actuellement en cours d'affinement afin de garantir que les résultats reflètent fidèlement le comportement approprié. La comparaison provient d'une série de tests unitaires réalisés au cours du processus de développement et inclut des résultats issus de la 2D-CSFM ainsi que des normes analytiques de l'Eurocode 2 : Calcul des structures en béton - Partie 1-1, chapitre 6.1. L'approche 3D dans IDEA StatiCa Detail comporte deux classes principales de modèles : l'« élément voile » et le « bloc solide ». Ces deux classes sont développées plus en détail dans l'article, en utilisant les paramètres standard d'IDEA StatiCa Detail.
 

Définition des modes de rupture

Pour évaluer les performances de la 3D-CSFM par rapport à la 2D-CSFM et aux méthodes analytiques établies, nous classons les modes de rupture observés en trois catégories : écrasement du béton (C) et plastification du ferraillage de flexion (R), ou une combinaison de ces deux (CR). Cette classification permet une comparaison structurée des mécanismes de rupture tels que prédits par différentes approches de modélisation. Le tableau 2.1 définit les types de rupture mentionnés en précisant les valeurs limites des matériaux. Les modèles ont été spécifiquement conçus avec un ferraillage d'effort tranchant robuste afin d'exclure toute rupture due au cisaillement et de se concentrer uniquement sur le comportement en flexion simple.

Mise en place du test unitaire

Dans les tests, les charges ont été définies différemment selon le type de modèle : comme une charge linéaire de 0,3 m à l'extrémité de la poutre pour la 2D-CSFM et l'élément voile 3D-CSFM, comme une charge surfacique (0,3 x 0,3 m) à l'extrémité de la poutre pour le bloc solide 3D-CSFM, et comme une charge ponctuelle dans l'approche analytique, positionnée de manière à correspondre à la résultante des types précédents.

Il existe deux types de configuration dans ces ensembles : WC (béton faible) WR (ferraillage faible).

Le ferraillage de flexion dans les modèles était constitué de barres d'armature continues d'un diamètre Ø = 20 mm. Le modèle WR (ferraillage faible) utilisait deux barres d'armature, tandis que le modèle WC (béton faible) en comprenait six. Le ferraillage d'effort tranchant, composé d'étriers Ø = 10 mm espacés de 100 mm, a été délibérément conçu pour être robuste, excluant ainsi tout mode de rupture par cisaillement. Le ferraillage d'effort tranchant est identique pour tous les modèles.

Les configurations WC sont en béton de classe C16/20 avec six barres d'armature, et les configurations WR utilisent un béton de classe C40/50 avec deux barres d'armature. Les longueurs des exemples de test variaient, mesurant 1,0 m, 2,5 m et 4,0 m.

En tenant compte de toutes les variations mentionnées, ce test unitaire a abouti à six modèles différents. Ces modèles sont décrits en détail dans le tableau 2.2.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.1\qquad Cross-section set ups: (a) - WC, (b) - (WR)}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2\qquad Length set ups: (a) - 1.0 m, (b) - 2.5 m, (c) - 4.0 m}}}\]

Propriétés des matériaux

Les propriétés des matériaux du béton et du ferraillage de flexion utilisés dans l'analyse CSFM sont résumées dans le tableau 2.2. La contrainte de limite d'élasticité (f_yk) et la contrainte ultime (k*f_yk) du ferraillage, ainsi que la résistance à la compression (fck), la déformation plastique (ɛ_c2) et la déformation plastique limite (ɛ_cu2) du béton ont été sélectionnées pour illustrer clairement le comportement des matériaux sous contrainte. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3\qquad Stress strain diagrams of materials: (a) Stress-strain diagram of reinforcement B500N, (b) Stress-strain diagram of concrete C16/20 and C40/50 }}}\]

Modélisation avec la 3D-CSFM

Dans l'application Detail d'IDEA StatiCa, il existe plusieurs types de modèles : le type de modèle 2D utilise la méthode CSFM établie, tandis que le type de modèle 3D intègre la version bêta nouvellement développée de la méthode 3D-CSFM. Au sein du type de modèle 3D, les utilisateurs peuvent choisir entre deux classes de modèles : Voile 3D et Bloc Solide. 

• Chaque classe de modèles 3D dans IDEA StatiCa Detail utilise un mailleur différent, spécifiquement choisi et optimisé pour des calculs rapides et stables. La forme et la taille des éléments de maillage sont finement ajustées pour améliorer les performances et la précision des calculs des modèles. 
• Les deux classes de modèles 3D dans IDEA StatiCa Detail utilisent des éléments tétraédriques pour le maillage. Plus précisément, la classe de voile 3D présente des éléments de maillage dont les proportions sont telles qu'une dimension est nettement plus petite que les deux autres, reproduisant ainsi efficacement la forme d'un voile. Ce choix de conception optimise le maillage pour une représentation et une analyse précises des structures de type voile. La classe de modèle « Bloc Solide » utilise des éléments de maillage de taille générale, conçus pour offrir une approche équilibrée du maillage adaptée à une grande variété de géométries solides. Cette méthode garantit une analyse efficace et performante dans différents scénarios.
• Le matériau du modèle de voile 3D est défini comme un matériau orthotrope. Cela signifie que la contrainte de cisaillement latéral est reprise par le béton, ce qui permet de prendre en compte les comportements structurels spécifiques aux éléments voiles. 
• Pour garantir un maillage optimal pour la classe de modèle de voile 3D, adaptée aux structures de type voile, le facteur multiplicateur de maillage a été ajusté à 0,7. Cela était indispensable pour faire correspondre le nombre d'éléments avec ceux de la classe de modèle Bloc Solide, qui a été configurée pour le test unitaire avec les paramètres par défaut.

Géométrie

Lors de la définition de la géométrie de l'éprouvette testée dans l'application IDEA StatiCa Detail (environnement 2D et 3D), la longueur a été définie comme la longueur variable (1,0 m, 2,5 m, 4,0 m) augmentée de 1,15 mètre supplémentaire. Sur cette longueur additionnelle de 1,15 mètre, des appuis ont été définis sur les faces supérieure et inférieure avec une rigidité rigide dans toutes les directions.

Charges

Dans les tests, les charges ont été définies différemment selon le type de modèle. Dans le type de modèle 2D, la charge a été appliquée comme une charge linéaire de 0,3 m à l'extrémité de la poutre. Dans l'environnement 3D sur la classe de modèle Voile 3D, la charge a été appliquée comme une charge linéaire de 0,3 m à l'extrémité de la poutre. Dans l'environnement 3D pour la classe de modèle Bloc Solide, la charge a été appliquée comme une charge surfacique de 0,3 x 0,3 m à l'extrémité de la poutre. Dans l'approche analytique, une charge ponctuelle a été utilisée, positionnée de manière à correspondre à la résultante des autres types de modèles.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.4\qquad Surface load on Specimen: 3D Solid Block WC 4.0}}}\]

Charge critique calculée 

Dans la figure de comparaison 1.5 présentant six variantes de modèles distinguées par la longueur et les options WC (béton faible) et WR (ferraillage faible), les méthodes 3D présentent généralement une bonne concordance. Il est à noter que le facteur de maillage de la classe de modèle Voile 3D a été ajusté à 0,7 afin d'égaliser le nombre d'éléments sur la hauteur du modèle, le rendant ainsi comparable au modèle général Bloc Solide. Les résultats 3D sont légèrement supérieurs aux solutions CSFM 2D, ce qui est attendu en raison de la prise en compte des contraintes triaxiales et des simplifications de la CSFM 2D. Les résultats analytiques concordent avec les résultats CSFM 3D et 2D dans la plupart des cas, à l'exception de valeurs plus élevées dans les scénarios courts de 1,0 m WC et WR, où les interactions de cisaillement (bielle comprimée en compression) ont un impact significatif mais sont négligées analytiquement, ce qui explique les valeurs plus faibles issues des modèles 3D. Cela est corroboré par les résultats de la CSFM 2D.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.5\qquad Calculated Critical Load}}}\]

Réponse charge-déformation

La comparaison des diagrammes entre les différentes méthodologies révèle des comportements distincts pour chacune d'elles. La 2D-CSFM est représentée par une ligne pointillée noire, la classe de modèle Voile 3D-CSFM par une ligne continue rouge, la classe de modèle Bloc Solide 3D-CSFM par une ligne pointillée bleue, et l'approche normative basée sur la vérification normative de section selon l'EN par une ligne continue orange. Le déplacement et les efforts ont été mesurés à partir de l'extrémité de la console. 

Dans les diagrammes, les résultats analytiques sont représentés par une ligne constante, indiquant qu'une seule valeur de résistance à la flexion de l'éprouvette considérée est obtenue. Cette représentation souligne la nature statique des résultats analytiques, par opposition à l'approche incrémentale de la résolution non linéaire.

Dans la figure 1.6, une forte corrélation a été observée entre les résultats de la 3D-CSFM et de la 2D-CSFM pour tous les tests, s'inscrivant bien dans la plage des données de mesure disponibles. L'approche analytique, en revanche, a donné des valeurs d'effort plus élevées, ce qui était prévisible en raison de sa non-prise en compte de l'interaction avec la résistance au cisaillement, particulièrement significative compte tenu de la longueur de 1,0 m de la poutre. Cela met en évidence les limites de la méthode analytique pour capturer pleinement l'ensemble des efforts agissant sur l'éprouvette. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.6\qquad Calculated Load-Deformation respond: (a) WR 1.0, (b) WC 1.0 }}}\]

Dans la figure 1.7, qui présente les réponses charge-déformation pour des modèles d'une longueur de 2,5 mètres, toutes les méthodes montrent une excellente concordance des résultats. Les deux modèles 3D s'alignent étroitement avec les résultats analytiques calculés selon l'EN. En comparaison, la méthode 3D présente des valeurs légèrement supérieures à la solution CSFM 2D, mais ces différences restent dans une marge acceptable.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.7\qquad Calculated Load-Deformation respond: (a) WR 2.5, (b) WC 2.5}}}\]

Dans la figure finale 1.8, une bonne corrélation est observée entre les méthodes, les modèles 3D affichant des valeurs plus élevées que les deux résultats de référence. Ces écarts restent toutefois dans des limites acceptables.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.8\qquad Calculated Load-Deformation respond: (a) WR 4.0, (b) WC 4.0}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.9\qquad Calculated value of reinforcement stress on WR 4.0 different model types: (a) 2D, (b) 3D - Solid Block, (c) 3D - Wall}}}\]

Conclusion 

Compte tenu de la concordance étroite entre les résultats de la 3D-CSFM et ceux de la 2D-CSFM et des méthodes analytiques, plusieurs conclusions peuvent être tirées :

• La 3D-CSFM nouvellement développée, bien qu'encore en version bêta, donne déjà des résultats prometteurs.
• Dans les évaluations de la réponse charge-déformation et de la charge critique, la 3D-CSFM montre une forte concordance avec l'approche analytique lorsque les effets de cisaillement sont minimes. Cependant, dans les scénarios où les interactions de cisaillement influencent significativement la résistance structurelle, une diminution de la résistance est observée. Il s'agit d'un résultat attendu qui valide le bon fonctionnement du solveur.
• Dans l'analyse d'une poutre en console soumise à une flexion simple, les deux classes de modèles 3D — l'élément voile et le bloc solide — présentent un comportement similaire. Cette cohérence souligne la robustesse de l'approche 3D-CSFM pour la modélisation de tels scénarios structurels.