Flessione

Metodi per la verifica della capacità sezionale

Due metodi ben noti possono essere utilizzati per verificare lo stato limite ultimo per elementi monodimensionali in calcestruzzo. Il primo fornisce la resistenza ultima della sezione trasversale sotto forma di un dominio di interazione o di un diagramma di interazione (nel caso di momento flettente in una direzione). La capacità della sezione trasversale può essere determinata come rapporto tra le forze interne agenti e le forze allo stato limite. Il secondo consiste nel trovare l'equilibrio in una sezione trasversale, dove si ricerca il comportamento effettivo della sezione caricata, l'utilizzo dei materiali in termini di tensioni e la comprensione delle vulnerabilità della sezione.

Ipotesi generali di progetto e ipotesi di calcolo per lo Stato Limite Ultimo 

1. La deformazione ε nell'armatura e nel calcestruzzo si assume direttamente proporzionale alla distanza dall'asse neutro (le sezioni piane rimangono piane).
2. L'interazione tra armatura e calcestruzzo è garantita dall'aderenza tra calcestruzzo e armatura senza scorrimento (la deformazione ε dell'armatura coincide con quella delle fibre adiacenti di calcestruzzo).
3. La resistenza a trazione del calcestruzzo è trascurata (tutte le tensioni di trazione sono trasmesse dall'armatura).
4. Le tensioni di compressione nel calcestruzzo nella zona compressa sono calcolate in relazione alla deformazione ricavata dai diagrammi tensione-deformazione.
5. Le tensioni nell'armatura sono calcolate in relazione alla deformazione ricavata dai diagrammi tensione-deformazione.
6. La deformazione a compressione del calcestruzzo con limite di deformazione ultima ε_cu2 (diagramma parabola-rettangolo per il calcestruzzo compresso) e ε_cu3 (relazione tensione-deformazione bilineare), [2].
7. La deformazione a compressione dell'armatura è senza limitazione nel caso di ramo plastico superiore orizzontale; nel caso di ramo plastico superiore inclinato la deformazione è limitata a ε_ud,[2].
8. Lo stato limite è raggiunto quando lo stato di almeno uno dei materiali supera la deformazione ultima allo stato limite (se εu non è limitata, il calcestruzzo compresso è determinante).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}\]

Diagramma di interazione

La prima opzione consiste nel verificare la sezione trasversale tramite una superficie di interazione (o diagramma di interazione). Una spiegazione è fornita su un esempio delle superfici di interazione per la sezione quadrata armata dell'esempio nella figura seguente. Sulla superficie di interazione sono collocati i punti che definiscono lo stato limite ultimo della sezione trasversale esaminata. La superficie di interazione è tracciata dai punti (N, My, Mz), determinati mediante integrazione delle tensioni nella sezione trasversale, che ha raggiunto la deformazione ultima allo stato limite in uno dei materiali. Per un'interazione 3D, la superficie può essere derivata da un diagramma di interazione 2D, che è una curva chiusa, corrispondente alla tensione di un asse neutro ruotato continuamente.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}\]

Nel caso di una sezione trasversale simmetrica rispetto all'asse y, il diagramma di interazione è simmetrico rispetto al piano N-M_y. Analogamente, nel caso di una sezione trasversale simmetrica rispetto all'asse z, il diagramma di interazione è simmetrico rispetto al piano N-M_z. La sezione con armatura unilaterale introduce una forma appiattita del diagramma di interazione.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}\]

I punti che definiscono lo stato limite ultimo sono ricavati dall'integrazione delle tensioni.  La figura seguente mostra le deformazioni allo stato limite ultimo.

Distribuzioni delle deformazioni allo stato limite ultimo (tratto da [2]).

Il diagramma di interazione mostra la rottura della sezione trasversale sotto forza normale e momenti flettenti. [1]

Considerando il problema del diagramma 2D (curva chiusa giacente sulla superficie di interazione) si può determinare che il piano di deformazione passa attraverso l'asse neutro e il punto critico [y, z, ε], considerato come punto critico R.  Il punto [y, z] definisce un punto nella sezione trasversale con il valore di deformazione ε allo stato limite ultimo. L'inclinazione dell'asse neutro è costante per tutti i punti del diagramma 2D.

Nel caso in cui la tensione di compressione nel calcestruzzo sia determinante per il progetto, il punto R coincide con la fibra di calcestruzzo compressa più lontana o con il punto limite C. Tuttavia, ciò può essere applicato solo se la sezione è composta da un unico tipo di calcestruzzo - non come una sezione mista.   

Nel caso in cui la tensione di trazione nell'armatura sia determinante per il progetto (la deformazione ε_ud è superata allo stato limite ultimo per una o più barre), deve essere soddisfatta la condizione che per il dato piano di deformazione il valore ε_ud non sia superato in nessun'altra barra.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}\]

La figura sopra mostra che il diagramma può essere suddiviso in due parti: la parte in cui la rottura è causata dalla forza di trazione e la parte che collassa per una forza di compressione. I punti limite corrispondono al caso sopra, dove si può osservare anche l'inclinazione estrema del piano di deformazione. Quando si traccia un diagramma di interazione l'inclinazione del piano di deformazione della sezione trasversale varia in questo intervallo, mentre si ricerca il punto R (vedi sopra). Sulla base del piano così definito si esegue l'integrazione per ottenere la tensione allo stato limite ultimo.

Verifica della sezione trasversale soggetta a forza assiale e momento flettente

La verifica di una sezione trasversale soggetta a forza assiale e momento flettente consiste nel dimostrare che le tensioni verificate (combinazione N_d, M_yd, M_zd) si trovano all'interno o sulla superficie del dominio di interazione. Diversi metodi possono eseguire questa operazione. L'esempio seguente illustra la verifica di una sezione trasversale rettangolare soggetta a forze N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm.

Metodo NuMuMu

Per definire la resistenza di una sezione trasversale si assume una variazione proporzionale di tutte le componenti delle forze interne (l'eccentricità della forza normale rimane costante) fino a quando la superficie di interazione è stata sviluppata. La variazione delle forze interne coinvolte può essere interpretata come uno spostamento lungo una retta che collega l'origine del sistema di riferimento (0,0,0) e il punto definito dalle forze interne (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Le due intersezioni di questa retta con la superficie di interazione, che possono essere trovate, rappresentano due insiemi di forze allo stato limite ultimo. In ciascuna intersezione, il programma determina tre forze allo stato limite: la resistenza di progetto alla forza assiale N_Rd e i corrispondenti momenti resistenti di progetto M_Rdy, M_Rdz.

Metodo  NuMM

Per definire la resistenza della sezione trasversale si assume una forza normale costante (uguale alla forza normale di progetto agente) e variazioni proporzionali dei momenti flettenti fino a quando la superficie di interazione è stata sviluppata. La variazione delle forze interne coinvolte può essere interpretata come uno spostamento in un piano orizzontale lungo la retta che collega il punto (N_Ed,0,0) e il  punto definito dalle forze interne agenti (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Le due intersezioni di questa retta con la superficie di interazione, che possono essere trovate, rappresentano due insiemi di forze allo stato limite ultimo. In ciascuna intersezione il programma determina tre forze allo stato limite: i momenti resistenti di progetto M_Rdy, M_Rdz e la forza normale di progetto agente (corrispondente) N_Ed.

Metodo  NMuMu

Per definire la resistenza della sezione trasversale si assume una forza normale costante (uguale alla forza normale di progetto agente) e variazioni proporzionali dei momenti flettenti fino a quando la superficie di interazione è stata sviluppata. La variazione delle forze interne coinvolte può essere interpretata come uno spostamento in un piano orizzontale lungo la retta che collega il punto (N_Ed,0,0) e il punto definito dalle forze interne agenti (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Le due intersezioni di questa retta con la superficie di interazione, che possono essere trovate, rappresentano due insiemi di forze allo stato limite ultimo. In ciascuna intersezione, il programma determina tre forze allo stato limite: i momenti resistenti di progetto M_Rdy, M_Rdz, e la forza normale di progetto agente (corrispondente) N_Ed.

Ricerca della risposta della sezione

Un'altra possibilità per verificare la sezione trasversale consiste nel trovare la risposta della sezione trasversale (ovvero la distribuzione delle deformazioni e delle tensioni dovuta alle forze interne agenti). Questo metodo è noto anche come metodo della deformazione limite. Il livello delle tensioni agenti in ciascuna fibra (nel caso di flessione piana in ciascuno strato) in ciascuna barra di armatura è calcolato in funzione della deformazione del diagramma tensione-deformazione del materiale.
La ricerca della risposta della sezione trasversale è calcolata utilizzando il metodo numerico specificato in [6]. Il principio consiste nell'incremento graduale del carico sulla sezione tramite le componenti sbilanciate delle forze non trasferite. Queste sono ottenute integrando la tensione sulla sezione utilizzando i diagrammi tensione-deformazione. Se il valore della tensione può essere trovato per la deformazione nel diagramma tensione-deformazione, vedi figura seguente (a), la tensione calcolata è corretta assumendo un materiale elastico lineare. Nei casi (b) e (c), la tensione per un calcolo lineare raggiunge valori irrealistici, e una parte (b) o l'intero valore (c) non può essere trasmesso dal materiale. Integrando le tensioni non trasferite si ottengono le forze interne non trasferite, e le loro risultanti devono essere aggiunte alle forze interne dei carichi variabili. 

Tensioni non trasferite nei diagrammi tensione-deformazione. [4]

Forze interne non trasferite. [4]

Questo metodo di calcolo richiede l'uso di metodi numerici per l'integrazione della tensione sull'area della sezione trasversale e per l'analisi non lineare delle equazioni di equilibrio nella sezione. L'iterazione è terminata nel momento in cui i criteri di convergenza sono soddisfatti.

\[\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}\]

dove 

F_e è il carico sulla sezione,

F_i è la risposta della sezione (forze interne calcolate sulla base del piano di deformazione).

Se a è il valore approssimato e b è il valore esatto (vero), la deviazione assoluta è data dalla seguente equazione.

\[e = \left| {b - a} \right|\]

La deviazione relativa è data dalla seguente formula:

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|\]

Nella maggior parte dei programmi è possibile impostare questi criteri di convergenza (i valori predefiniti sono 1% come errore relativo, 100 N, 100 Nm come errore assoluto della forza normale e dei momenti). 

Quindi, se si ha come input N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm e le forze integrate dopo l'iterazione N = - 0.07 kN, My = 100.5 kNm, Mz = 0.02 kNm, la valutazione sarà la seguente. Considerando N e Mz uguali a 0, è possibile effettuare un confronto con la deviazione assoluta:

Il valore della forza normale 100N> | 70 | N
Il valore del momento flettente Mz 100Nm> | 20 | Nm
Il valore del momento flettente My

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01\]

Verifica della sezione trasversale tramite la risposta

Nel caso in cui si trovi un equilibrio nella sezione trasversale, la deformazione piana è nota. Dal piano di deformazione è possibile calcolare la deformazione in qualsiasi punto della sezione, quindi le tensioni o le forze interne nelle barre di armatura, nella sezione trasversale o nelle sue parti utilizzando i diagrammi tensione-deformazione dei materiali. I valori di tensione e deformazione calcolati vengono confrontati con il valore limite di deformazione ricavato dai diagrammi tensione-deformazione dei materiali utilizzati.
Il vantaggio di questo metodo è che si ottiene un quadro completo dei valori di tensione e deformazione nella sezione in relazione alle forze interne agenti sulla sezione trasversale.