Wykres N-M-κ przedstawia krzywiznę elementu (sztywność na zginanie) jako funkcję przyłożonego momentu gnącego i siły normalnej. Wyróżnia się trzy rodzaje wykresów N-M-κ:
- krótkotrwały,
- długotrwały
- SGN.
Wykresy te różnią się rodzajami diagramów naprężenie-odkształcenie stosowanych do obliczeń (wyjaśniono poniżej).
Do wyznaczenia wykresu N-M-κ wykorzystuje się obliczenie sztywności dla wybranych charakterystycznych stanów przekroju. Ogólnie może to być dowolny stan przekroju, na podstawie którego obliczana jest odpowiedź oraz wyznaczana sztywność na zginanie i krzywizna. W IDEA RCS rozpatruje się cztery charakterystyczne punkty (Mr, Mc, Ms i Mu)
Mr - moment zarysowania
Przekrój jest poddany zdefiniowanej przez użytkownika sile normalnej, a płaszczyzna odkształceń zaczyna się obracać (w kierunku określonego momentu gnącego) aż do osiągnięcia wytrzymałości na rozciąganie betonu we włóknie betonowym (dla klasy betonu C30/37 wynosi fctm = 2,896 MPa). Do obliczeń stosuje się bilinearny diagram naprężenie-odkształcenie z poziomą gałęzią plastyczną zarówno dla zbrojenia, jak i betonu.
Mc - moment gnący przy osiągnięciu wytrzymałości na ściskanie betonu
Na podstawie poprzedniego kroku identyfikowane jest najbardziej wytężone włókno betonowe ściskane. Dla tego włókna ustawiane jest odkształcenie odpowiadające wytrzymałości granicznej betonu (fck/Ecm dla wykresu krótkotrwałego, fck/Eceff dla długotrwałego i fcd/Ecm dla wykresu SGN). Na podstawie zdefiniowanej siły normalnej i kierunku momentu gnącego uruchamiany jest proces iteracyjny w celu znalezienia płaszczyzny odkształceń zapewniającej równowagę między odpowiedzią przekroju a zdefiniowaną siłą normalną. Do obliczeń stosuje się bilinearny diagram naprężenie-odkształcenie z poziomą gałęzią plastyczną zarówno dla zbrojenia, jak i betonu.
Ms - moment gnący przy osiągnięciu granicy plastyczności w najbardziej wytężonym pręcie zbrojeniowym
Kolejnym charakterystycznym punktem wykresu N-M-κ jest stan naprężeń w przekroju, gdy w najbardziej wytężonym pręcie zbrojeniowym osiągana jest granica plastyczności (odkształcenie pręta równe fyk/Es dla wykresów krótko- i długotrwałego, fyd/Es dla wykresu SGN). Proces iteracyjny wyznacza równowagę sił normalnych w przekroju poprzez obrót płaszczyzny odkształceń wokół punktu określonego przez położenie najbardziej wytężonego pręta zbrojeniowego. Do obliczeń stosuje się bilinearny diagram naprężenie-odkształcenie z poziomą gałęzią plastyczną zarówno dla zbrojenia, jak i betonu.
Mu - moment gnący w stanie granicznym nośności
Jest to graniczna nośność przekroju na zginanie, gdy przekrój jest poddany zdefiniowanej obliczeniowej sile normalnej Ned. Do obliczenia nośności przekroju przyjmuje się, że osiągana jest wytrzymałość na ściskanie w najbardziej wytężonym włóknie betonowym oraz wytrzymałość na rozciąganie w najbardziej wytężonym pręcie zbrojeniowym (maksymalne odkształcenie betonu εcu = 0,1 oraz zbrojenia εs,max = 0,5). Do obliczeń stosuje się bilinearny diagram naprężenie-odkształcenie z poziomą gałęzią plastyczną dla zbrojenia oraz diagram paraboliczno-prostokątny dla betonu.
Wynikowa sztywność i krzywizna dla zdefiniowanej przez użytkownika kombinacji siły normalnej i momentu gnącego (Md) są następnie obliczane metodą liniowej interpolacji poszczególnych charakterystycznych punktów wykresu N-M-κ.
Obliczanie sztywności i krzywizn
Sztywności i krzywizny dla każdego stanu naprężeń przekroju (Mr, Mc, Ms lub Mu) są obliczane bezpośrednio z obrotu płaszczyzny odkształceń.
\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}\]
EAx . . sztywność osiowa elementu
N . . . . zdefiniowana siła normalna
εx . . . odkształcenie osiowe w środku ciężkości przekroju betonowego
\[E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }\]
EIy . . . sztywność na zginanie elementu
M . . . obliczony moment gnący Mr, Mc, Ms lub Mu
κ . . . . krzywizna elementu, obliczona jako tangens kąta między płaszczyzną odkształceń a osią podłużną elementu
Przykład praktyczny
Przekrój betonowy (klasa betonu C30/37) jest zbrojony prętami ϕ32 (klasa B500B). Zdefiniowana kombinacja quasi-stała wynosi N = -730 kN i My = 557 kNm.
Płaszczyzna odkształceń dla charakterystycznego punktu Ms jest wyznaczana przez IDEA RCS w następujący sposób:
\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN\]
\[\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}\]
\[E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}\]
Diagramy naprężenie-odkształcenie stosowane do obliczeń
Zbrojenie - Mr, Mc, Ms i Mu
Beton - Mr, Mc, Ms
Beton - Mu
