Interação

Interação da força de corte e torção para a armadura de corte

Determinação da força na armadura de corte devida à força de corte. 

O cálculo baseia-se na fórmula para o cálculo da resistência da armadura de corte definida na EN 1992-1-1. Com base na equação 6.13 (cap. 6.2.3 (4)), a resistência de um ramo de estribo pode ser derivada como:

\[{{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta \]

\[\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}\]

A_sw,V .  .  . área da secção transversal de um ramo de estribo que resiste ao corte na secção considerada

s .  .  .  .  . espaçamento da armadura de corte na direção do eixo longitudinal do elemento

a_sw,V .  .  . área da secção transversal da armadura de corte por unidade de comprimento

z .  .  .  .  . o braço interno do binário. Para um elemento de altura constante, correspondente ao momento fletor no elemento em consideração. Na análise ao corte de betão armado sem força axial, pode normalmente utilizar-se o valor aproximado z = 0,9d.

f_ywd .  .  .  a tensão de cedência de cálculo da armadura de corte

θ .  .  .  .  . o ângulo entre a escora comprimida de betão e o eixo do elemento perpendicular à força de corte

α .  .  .  .  . o ângulo entre a armadura de corte e o eixo do elemento perpendicular à força de corte

β .  .  .  .  . inclinação do ramo do estribo relativamente à resultante da força de corte aplicada

A força de corte é redistribuída uniformemente entre as armaduras individuais que resistem à força de corte, com base no ângulo da armadura e na rigidez axial dos ramos individuais dos estribos.

\[{{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}\]

\[{{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}\]

Adicionalmente, pode derivar-se a extensão média da armadura considerada na direção da força de corte resultante:

\[{{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}\]

A extensão real da i-ésima armadura pode ser calculada como:

\[{{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}\]

A tensão num dado ramo da armadura:

\[{{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}\]

Determinação da força em cada estribo devida à torção

A resistência à torção de uma secção pode ser calculada com base numa secção fechada de parede fina, em que o equilíbrio é satisfeito por um fluxo de corte fechado. As secções maciças podem ser modeladas por secções equivalentes de parede fina. Para secções não maciças, a espessura equivalente da parede não deve exceder a espessura real da parede.

O fluxo de corte nas paredes de uma secção fechada de parede fina devido à torção pode ser calculado como:

\[{{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

A força de corte numa parede particular é então:

\[{{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}\]

l_i .  .  .  . comprimento da linha de eixo da parede em consideração

Força de corte na alma - o comprimento da linha de eixo da alma pode ser substituído pelo valor do braço do binário "z".

\[{{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z\]

Força nos estribos que resistem à torção por metro de comprimento do elemento (por unidade de comprimento):

\[{{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta\]

Decomposição de forças para cada estribo

Se o mesmo material for definido para todos os estribos, a tensão resultante devida à torção em cada ramo de estribo é constante. Então:

\[{{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}\]

onde a_sw,T é a área total dos estribos que resistem à torção por unidade de comprimento.

No caso de os estribos individuais terem materiais diferentes, a rigidez axial das barras individuais deve ser tida em conta.

\[{{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}\]

n_T .  .  .  . número de ramos de armadura (grupos de armadura) que resistem à torção

F_si,T .  .  . força no i-ésimo grupo de armadura resultante da torção por unidade de comprimento

a_si,T .  .  . área da secção transversal da armadura de corte que resiste à torção por unidade de comprimento 

E_si,T .  .  . módulo de elasticidade de Young do i-ésimo grupo de armadura que resiste à torção

ε_sw,T .  .  deformação na armadura devida à torção

A tensão resultante em cada estribo devida à torção aplicada é calculada como:

\[{{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}\]

Interação V+T

O cálculo das tensões nos estribos devidas ao corte e à torção é então uma soma das tensões devidas às componentes de carga individuais. 

\[{{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}\]

Força resultante na i-ésima armadura:

\[{{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}\]

Interação de corte, torção e flexão para a armadura longitudinal

Determinação da força em cada armadura longitudinal devida à força normal e ao momento fletor

A aplicação RCS é utilizada para calcular a resposta da secção transversal devida à combinação da força normal e do momento fletor, de modo a determinar a tensão e a deformação nas barras longitudinais individuais e na armadura de pré-esforço.

Determinação da força na armadura longitudinal individual devida à força de corte

O incremento da força de tração na armadura longitudinal ΔF_td devida à força de corte depende da geometria do modelo de escora-e-tirante. 

\[\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\]

ΔF_td .  .  .  incremento da força de tração na armadura longitudinal devida à força de corte

V_ed .  .  .  . valor de cálculo da força de corte que atua na secção em consideração

θ .  .  .  .  . o ângulo entre a escora comprimida de betão e o eixo do elemento

α .  .  .  .  . o ângulo entre a armadura de corte e o eixo do elemento

Para a armadura longitudinal localizada no banzo tracionado, a força resultante F_t na armadura longitudinal devida à combinação N+M+V não deve ser superior a M_Ed,max/z (onde M_Ed,max é o momento máximo ao longo da viga)

\[{{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}\]

A força ΔF_td é transmitida por todos os tendões de pré-esforço aderentes e pela armadura localizada na parte da secção transversal que resiste ao corte (a alma no caso de um perfil em I). Do lado da segurança, a contribuição da armadura de pré-esforço pode ser considerada nula. O pressuposto do cálculo é que o incremento da extensão axial das armaduras longitudinais individuais que resistem ao corte é constante (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = const.). A derivação é válida para um diagrama de trabalho bilinear da armadura com um ramo plástico horizontal. No caso de um diagrama com ramo inclinado, o cálculo deve ser modificado.

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}\]

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}\]

Δε_V .  .  .  . incremento de deformação na armadura longitudinal devida à força de corte

n_s,V .  .  .  . número de armaduras longitudinais que resistem à força de corte

A_sl,i,V .  .  . área da i-ésima armadura longitudinal que resiste à força de corte

E_sl,i,V .  .  . módulo de elasticidade de Young da i-ésima armadura longitudinal que resiste à força de corte

n_p,V .  .  .  . número de tendões que resistem à força de corte

A_pl,i,V .  .  . área do i-ésimo tendão que resiste à força de corte

E_pl,i,V .  .  . módulo de elasticidade de Young do i-ésimo tendão que resiste à força de corte

Após a determinação do valor da força ΔF_td, pode então calcular-se a extensão média da armadura Δε_V.

\[\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}\]

Incremento de tensão nas barras longitudinais individuais devida à força de corte aplicada:

para armadura ordinária \[\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}\]

para tendão \[\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}\]

Determinação da força em cada armadura longitudinal devida à torção

É muito importante determinar a armadura longitudinal que resiste à torção. Trata-se da armadura localizada numa secção transversal alternativa de parede fina efetiva que resiste à torção.

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta \]

De acordo com a EN 1992-1-1, devem ser satisfeitas várias condições para a armadura longitudinal resistente à torção:

- a armadura deve ser distribuída uniformemente ao longo do comprimento z_i, mas em secções transversais pequenas a armadura pode ser concentrada nos cantos do estribo

- a distância axial máxima da armadura longitudinal é de 350 mm

A contribuição da armadura de pré-esforço não é considerada de acordo com a EN 1992-1-1.

A norma EN 1992-2 estabelece que a contribuição da armadura de pré-esforço pode ser considerada, mas o incremento máximo de tensão na armadura de pré-esforço não deve exceder Δσ_p ≤ 500MPa. A fórmula pode então ser modificada:

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

No entanto, uma vez que o incremento da armadura de pré-esforço pode ser considerado, fica ao critério do utilizador. Atualmente, a armadura de pré-esforço não é considerada no cálculo. 

O pressuposto do cálculo é que o incremento da extensão axial de cada armadura longitudinal que resiste ao corte é constante (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = const.). A derivação é válida para um diagrama de trabalho bilinear da armadura com um ramo plástico horizontal. No caso de um diagrama com ramo crescente, o cálculo deve ser modificado.

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

T_ed .  .  .  . o valor de cálculo do momento torsor aplicado na secção em consideração

θ .  .  .  .  . inclinação das diagonais comprimidas em relação ao eixo longitudinal da viga (idêntica à da força de corte)

u_k .  .  .  .  perímetro da área A_k

A_f .  .  .  .  a área definida pela linha de eixo da secção oca equivalente de parede fina

n_s,T .  .  .  .número de armaduras longitudinais de betão que resistem ao momento torsor

A_sl,i,T .  .  . área da i-ésima armadura longitudinal de betão que resiste ao momento torsor

Δε_T .  .  .  .a variação da deformação da armadura longitudinal devida ao momento torsor

Δσ_s,i,T .  .  variação de tensão na i-ésima armadura longitudinal devida ao momento torsor

E_sl,i,T .  .  . módulo de elasticidade da i-ésima armadura longitudinal de betão que resiste ao momento torsor

Incremento de tensão em cada armadura longitudinal devida ao momento torsor aplicado:

\[\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}\]