Una columna con sección transversal W12\(\times\)79 está anclada en un bloque de hormigón (resistencia a compresión del hormigón 4 ksi) mediante cuatro pernos de anclaje 3/4'' A307 (fy = 50 ksi, fu= 65 ksi). La base de la columna está inyectada con mortero. Un arriostramiento es HSS 3.5\(\times\)0.203 conectado mediante placa de unión y 2 tornillos de unión por rozamiento 3/4'' A490 (fy = 130 ksi, fu = 150 ksi). Todo el acero es de grado A36 (fy = 36 ksi, fu = 58 ksi). El cortante se transfiere mediante llave de corte con sección transversal W6\(\times\)25. Se seleccionan electrodos de soldadura E70XX. La columna está cargada por una fuerza de compresión de –160 kip, momento flector de 1000 kip-in y fuerza cortante de 20 kip. El arriostramiento está cargado por una fuerza de tracción de 30 kip.
Geometría
Junta analizada
Secciones transversales de la columna (izquierda), arriostramiento (centro) y llave de corte (derecha)
Dimensiones del bloque de hormigón
Dimensiones de la placa de unión y cargas en modo transparente
Comprobación manual
La verificación manual de tornillos, soldaduras, placas y hormigón en compresión se realiza según AISC 360-16. La capacidad de la llave de corte se determina según ACI 349-01. Los pernos de anclaje se diseñan según AISC 360-16 – J9 y ACI 318-14 – Capítulo 17.
Se requieren las siguientes comprobaciones:
- Resistencia al deslizamiento de tornillos a cortante – AISC 360-16 – J3.8
- Resistencia al desgarro en bloque – AISC 360-16 – J4.3
- Resistencia a tracción de los elementos conectados – AISC 360-16 – J4.1
- Resistencia de la soldadura – AISC 360-16 – AISC 360-16 – J2.4
- Resistencia a cortante de la llave de corte – AISC 360-16 – G2
- Resistencia a flexión de la llave de corte – AISC 360-16 – F2.1
- Capacidad portante de la llave de corte frente al hormigón – ACI 349-01 – B.4.5 y RB11
- Resistencia al arrancamiento del hormigón de la llave de corte – ACI 349 – B11
- Resistencia a compresión del hormigón – AISC 360-16 – J8
- Resistencia del acero de los anclajes a tracción – ACI 318-14 – 17.4.1
- Resistencia al arrancamiento del hormigón – ACI 318-14 – 17.4.2
- Resistencia al arranque del hormigón – ACI 318-14 – 17.4.3
- Resistencia al desprendimiento lateral del hormigón – ACI 318-14 – 17.4.4
Se asume que el diseño de la viga y la columna se comprueba en otro lugar.
Distribución de fuerzas
Se espera que toda la fuerza cortante se transfiera mediante la llave de corte al bloque de hormigón. El cortante se transfiere únicamente en el bloque de hormigón y el mortero de nivelación es ineficaz. La fuerza cortante es la suma de la fuerza cortante en la columna y la componente horizontal de la fuerza de tracción en el arriostramiento, es decir, \(V=20+30\cdot \cos(40^\circ) = 43\) kip.
La fuerza de tracción en el arriostramiento, 30 kip, debe transferirse mediante dos tornillos pretensados. Las placas de unión y las soldaduras deben ser suficientes.
La fuerza de compresión, 160 kip, se reduce por la componente vertical de la fuerza de tracción en el arriostramiento. La base de la columna debe resistir una fuerza de compresión de \(160-30\cdot \sin(40^\circ) = 141\) kip y un momento flector de 1000 kip-in.
Verificación normativa de la unión del arriostramiento
Unión por rozamiento
La resistencia de la unión por rozamiento se determina según AISC 360-16 – J3.8. El pretensado mínimo del tornillo se toma de la Tabla J3.1 como \(T_b = 35\) kip. La resistencia al deslizamiento de un solo tornillo es:
\[\phi R_n = \phi \mu D_u h_f T_b n_s = 1 \cdot 0.3 \cdot 1.13 \cdot 1.0 \cdot 35 \cdot 2 = 24 \textrm{kip}\]
La resistencia al deslizamiento de 2 tornillos, 47 kip, es suficiente para transferir la fuerza de tracción de 30 kip.
Resistencia a tracción de la lengüeta
La lengüeta está formada por dos placas con un espesor de 1/4'' para evitar excentricidad en la carga de compresión. Las áreas bruta y neta a tracción son \(3.4 \cdot (2\cdot 1/4)=1.7\) in2 y \((3.4-13/16)\cdot (2\cdot 1/4)=1.3\) in2, respectivamente.
\[\phi R_n =\phi F_y A_g = 0.9 \cdot 36 \cdot 1.7 = 55 \textrm{kip} \]
\[\phi R_n =\phi F_u A_n = 0.75 \cdot 58 \cdot 1.3 = 57 \textrm{kip} \]
La resistencia de la lengüeta, 55 kip, es suficiente para transferir la fuerza de tracción de 30 kip. Las soldaduras se diseñan como soldaduras a tope CJP y su resistencia debe ser igual a la del material base.
Dimensiones de la lengüeta
Resistencia al desgarro en bloque de la placa de unión
La línea de plastificación esperada en la placa de unión para el fallo por desgarro en bloque tiene 6,6 in de longitud; la rotura puede producirse en una línea más corta en el diámetro del agujero del tornillo, es decir, 5,8 in. El espesor de la placa de unión es 3/8''.
\[\phi R_n =\phi F_y A_g = 0.9 \cdot 36 \cdot 2.5 = 80 \textrm{kip} \]
\[\phi R_n =\phi F_u A_n = 0.75 \cdot 58 \cdot 2.2 = 94 \textrm{kip}\]
La resistencia de la placa de unión, 80 kip, es suficiente para transferir la fuerza de tracción de 30 kip.
Resistencia de la soldadura de la placa de unión
Las soldaduras en ángulo se diseñan en ambos lados de la placa de unión con un tamaño de 1/4''. Las longitudes de las soldaduras son 5,2 in y 4,0 in. Para evitar el cálculo de la excentricidad, se asume de forma conservadora que ambas soldaduras tienen 4 in de longitud y que ambas transfieren la mitad de la carga. La soldadura crítica es la cargada en un ángulo de 40\(^\circ\).
\[F_{nw} = 0.6 F_{EXX} (1+0.5 \sin^{1.5} \theta) = 0.6 \cdot 70 \cdot (1+0.5 \sin^{1.5} 40^\circ) = 53 \textrm{ksi} \]
\[\phi R_n = \phi F_{nw} A_{we} = 0.75 \cdot 53 \cdot 2.83 = 112 \textrm{kip}\]
La resistencia de las soldaduras en la placa de unión, 224 kip, es suficiente para transferir la fuerza de tracción de 30 kip.
Verificación normativa de la base de la columna
La base de la columna debe resistir una fuerza de compresión de \(P_u=160-30\cdot \sin(40^\circ) = 141\) kip y un momento flector \(M_u=1000\) kip-in. Dado que el área de apoyo, A2, es suficientemente grande, la resistencia a compresión del hormigón es
\[\phi f_{p,(\max)}= \phi 1.7 f'_c = 0.65 \cdot 1.7 \cdot 4 = 4.4 \textrm{ksi} \]
\[\phi q_{\max} = f_{p,(\max)} B = 4.4 \cdot 19 = 83.6 \textrm{kip/in}\]
La placa base está alargada debido a la unión de la placa de unión del arriostramiento. Se asume de forma conservadora que la fuerza de compresión actúa en el ala de la columna, es decir, e = 6,18 in desde el centro de la unión. La distancia entre el perno de anclaje y el centro de la unión es f = 7,68 in.
\[M_u= eP_r+2fN_{ua} \]
\[N_{ua}=\frac{M_u-eP_r}{2f}=\frac{1000-6.18 \cdot 141}{2\cdot 7.68}=8.4 \textrm{kip} \]
\[Y = \frac{P_r+2N_{ua}}{q_{\max}} = \frac{141+2\cdot 8.4}{83.6} = 1.9 \textrm{in}\]
La resistencia a compresión del hormigón es suficiente, ya que la placa base es lo suficientemente grande para acomodar la longitud del área de apoyo, Y, y la fuerza de tracción en el anclaje es de 8,4 kip. Se debe proporcionar una verificación normativa más detallada de la placa base con la comprobación de la plastificación de la placa base para el caso de carga con la fuerza de compresión máxima.
Diseño de anclajes
Los anclajes son de 3/4'', grado A307, con una longitud de empotramiento de 12 in en el bloque de hormigón con placas de arandela circulares de 1,8 in de diámetro. Los anclajes están cargados únicamente a tracción porque el cortante se transfiere mediante la llave de corte. La verificación normativa de los anclajes se realiza según ACI 318-14 – Capítulo 17. La resistencia del acero y la resistencia al arranque se proporcionan para anclajes individuales, y la resistencia al arrancamiento del hormigón y la resistencia al desprendimiento lateral del hormigón se proporcionan para el grupo de anclajes porque \(3h_{ef} \ge s\), donde \(h_{ef}\) es la profundidad de empotramiento y s es la separación entre anclajes.
Resistencia del acero de un anclaje a tracción – 17.4.1
\[\phi N_{sa}=\phi A_{se,N} f_{uta} \]
\[\phi N_{sa}= 0.7 \cdot 0.334 \cdot 60 = 14 \textrm{kip}\]
Resistencia al arrancamiento del hormigón – 17.4.2
\[h_{ef}=\min \left( \frac{c_{a,\max}}{1.5}, \frac{s}{3} \right ) \le h_{ef} = \max \left(\frac{14}{1.5}, \frac{15.1}{3} \right ) = 9.33 \le 12 \textrm{in} \]
\[A_{Nc} = (14+1.8/2+14) \cdot (14+15.1+14)=1245 \textrm{in}^2 \]
\[A_{Nco} = 9 h_{ef}^2 = 9 \cdot 9.33^2 = 783 \textrm{in}^2 \]
\[N_b = k_c \lambda_a \sqrt{f'_c} h_{ef}^{1.5} = 24 \cdot 1 \cdot \sqrt{4000} \cdot 9.33^{1.5} = 43.3 \textrm{kip} \]
\[\psi_{ec,N} = \frac{1}{1+\frac{2 e'_N}{3 h_{ef}}} = \frac{1}{1+\frac{2 \cdot 0}{3 \cdot 9.33}} = 1 \]
\[\psi_{ed,N} = \min \left ( 0.7 + \frac{0.3 c_{a,min}}{1.5 h_{ef}}, 1 \right ) = \min \left ( 0.7 + \frac{0.3 \cdot 14}{1.5 \cdot 9.33}, 1 \right ) = 1 \]
\[\phi N_{cbg} = \phi \frac{A_{Nc}}{A_{Nco}} \psi_{ec,N} \psi_{ed,N} \psi_{c,N} \psi_{cp,N} N_b \]
\[\phi N_{cbg} = 0.7 \cdot \frac{1245}{783} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 43.3 = 48 \textrm{kip}\]
Resistencia al arranque del hormigón – 17.4.3
\[A_{brg} = \pi \left ( \frac{d_{wp}^2-d_a^2}{4} \right ) = \pi \left ( \frac{1.8^2-0.75^2}{4} \right ) = 2.1 \textrm{in}^2 \]
\[N_p = 8 A_{brg} f'_c = 8 \cdot 2.1 \cdot 4 = 67 \textrm{kip} \]
\[\phi N_{pn} = \phi \psi_{c,P} N_p = 0.7 \cdot 1 \cdot 67 = 47 \textrm{kip}\]
Resistencia al desprendimiento lateral del hormigón – 17.4.4
\[red = \frac{1+\frac{c_{a2}}{c_{a1}}}{4} = \frac{1+\frac{14}{14}}{4} = 0.5 \]
\[\phi N_{sb} = \phi 160 c_{a1} \sqrt{A_{brg}} \sqrt{f'_c} = 0.7 \cdot 160 \cdot 14 \cdot \sqrt{2.1} \cdot \sqrt{4000}= 144 \textrm{kip} \]
\[\phi N_{sbg} = n \cdot red \cdot \phi N_{sb} = 2 \cdot 0.5 \cdot 144 = 144 \textrm{kip}\]
La resistencia mínima es la del acero del anclaje, 14 kip. Es suficiente para transferir la carga de 8,4 kip.
Diseño de la llave de corte
Se espera que toda la fuerza cortante se transfiera mediante la llave de corte al bloque de hormigón. El cortante se transfiere únicamente en el bloque de hormigón y el mortero de nivelación es ineficaz. La fuerza cortante es la suma de la fuerza cortante en la columna y la componente horizontal de la fuerza de tracción en el arriostramiento, es decir, \(V=20+30\cdot \cos(40^\circ) = 43\) kip. La sección transversal de la llave de corte es W6x25 y tiene 6 in de longitud. La capa de mortero tiene 1,5 in de espesor, por lo que la llave de corte está embebida 4,5 in en el bloque de hormigón. Se asume que la presión del hormigón es uniforme en el bloque de hormigón. El momento flector que actúa sobre la llave de corte es igual a la fuerza cortante que actúa sobre el brazo de palanca 1,5 + 4,5 / 2 = 3,75 in, es decir, Mu = 161 kip-in. Se espera que las soldaduras en ángulo en las alas y el alma de la llave de corte transfieran el momento flector y el cortante, respectivamente. Las soldaduras en ángulo en las alas deben transferir 161 / 5,9 = 27,3 kip.
Capacidad portante de la llave de corte frente al hormigón – ACI 349-01 – B4.5 y RB11
\[N_y = n A_{se} F_y = 4 \cdot 0.334 \cdot 36 = 48 \textrm{kip} \]
\[\phi P_{br}=\phi 1.3 f'_c A_1 + \phi K_c (N_y - P_a) \]
\[\phi P_{br}=0.7 \cdot 1.3 \cdot 4 \cdot 27.3 + 0.7 \cdot 1.6 \cdot (48 + 141) = 311 \textrm{kip} \ge 43 \textrm{kip}\]
Resistencia al arrancamiento del hormigón de la llave de corte – ACI 349-01 – B11
\[A_{Vc} = (18.5+6.1+18.5) \cdot (4.5+20) - 6.1 \cdot 4.5 = 1028 \textrm{in}^2 \]
\[\phi V_{cb} = A_{Vc} 4 \phi \sqrt{f'_c} = 1028 \cdot 4 \cdot 0.85 \cdot \sqrt{4000} = 221 \textrm{kip} \ge 43 \textrm{kip}\]
Resistencia a cortante de la llave de corte – AISC 360-16 – G2
\[\phi V_n = 0.6 F_y A_w C_{v1}= 1 \cdot 0.6 \cdot 36 \cdot 2 \cdot 1 = 44 \textrm{kip} \ge 43 \textrm{kip}\]
Soldaduras en ángulo del alma de la llave de corte – AISC 360-16 – J2.4
\[F_{nw} = 0.6 F_{EXX} (1+0.5 \sin^{1.5} \theta) = 0.6 \cdot 70 \cdot (1+0.5 \sin^{1.5} 0^\circ) = 42 \textrm{ksi} \]
\[\phi R_n = \phi F_{nw} A_{we} = 0.75 \cdot 42 \cdot 1.93 = 61 \textrm{kip} \ge 43 \textrm{kip}\]
Resistencia a flexión de la llave de corte – AISC 360-16 – F2.1
\[\phi M_n = \phi M_p = F_y Z_x = 0.9 \cdot 36 \cdot 18.9 = 680.4 \textrm{kip-in} \ge 161 \textrm{kip-in}\]
Soldaduras en ángulo del ala de la llave de corte – AISC 360-16 – J2.4
\[F_{nw} = 0.6 F_{EXX} (1+0.5 \sin^{1.5} \theta) = 0.6 \cdot 70 \cdot (1+0.5 \sin^{1.5} 90^\circ) = 63 \textrm{ksi} \]
\[\phi R_n = \phi F_{nw} A_{we} = 0.75 \cdot 63 \cdot 2.1 = 100 \textrm{kip} \ge 27.3 \textrm{kip}\]
La resistencia a cortante y a flexión de la llave de corte, la resistencia de las soldaduras, la capacidad portante del hormigón y la resistencia al arrancamiento del hormigón son suficientes para transferir la fuerza cortante de 43 kip.
Verificación en IDEA StatiCa
Las placas se verifican mediante análisis por elementos finitos. Se utiliza el modelo de material bilineal con la resistencia de fluencia multiplicada por el factor de resistencia del acero \(\phi = 0.9\). Las fuerzas que actúan sobre otros componentes de la unión, es decir, tornillos y soldaduras, también se determinan mediante análisis por elementos finitos, pero su resistencia se verifica utilizando las fórmulas estándar de AISC 360-16, ACI 318-14 y ACI 349-01. El elemento de soldadura más solicitado se verifica y, con una carga adicional, la tensión en la soldadura se distribuye hacia otros elementos de soldadura. Por lo tanto, la resistencia última de la soldadura es mayor que simplemente dividir la fuerza por la utilización de la soldadura.
Tensión de Von Mises
Deformación plástica incluyendo las fuerzas de tracción en los anclajes
Verificación normativa de tensión y deformación de las placas
Verificación normativa de la unión por rozamiento
Verificación normativa de soldaduras
Verificación normativa de anclajes
Verificación normativa del hormigón a compresión
Tensión en el hormigón bajo la placa base y área del cono de arrancamiento del hormigón
Verificación normativa de la llave de corte – capacidad portante y resistencia al arrancamiento del hormigón
Comparación
Es evidente que el análisis por elementos finitos muestra una distribución de fuerzas internas diferente a las hipótesis simplificadas. La placa de unión también contribuye a transferir el momento flector y, por tanto, la placa de unión y sus soldaduras están mucho más solicitadas que en las hipótesis de diseño estándar. Las fuerzas en los anclajes son ligeramente menores en IDEA porque la tensión bajo la placa base no está exactamente bajo el ala de la columna. El elemento más solicitado en la comprobación manual es el alma de la llave de corte. En IDEA StatiCa, la tensión equivalente en el alma de la llave de corte es de 30,1 kip, lo que está próximo a la plastificación.
La verificación normativa en el software de diseño IDEA StatiCa Connection está en concordancia con la comprobación manual según AISC 360, ACI 318 y ACI 341. Las pequeñas diferencias se deben principalmente a las simplificaciones en los cálculos manuales.
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