CSFM explicado

En la práctica, los métodos de Biela-y-Tirante (B&T) y Campos de Tensiones se utilizan habitualmente para diseñar regiones de discontinuidad en estructuras de hormigón armado y pretensado. El Método del Campo de Tensiones Compatible (CSFM) fue desarrollado extendiendo estas teorías clásicas, permitiendo un alto grado de automatización y siendo coherente con la normativa de diseño. A pesar de su simplicidad, el método proporciona una descripción muy realista del comportamiento de una estructura de hormigón tanto en el estado límite último (ELU) como en el estado límite de servicio (ELS). El CSFM está implementado en IDEA StatiCa Detail. 

Fig. 1  a) Muro con aberturas b) Muro cortante c) Viga con extremos rebajados y aberturas d) Pila de puente e) Diafragma de puente 

Los procedimientos estándar para el diseño de secciones transversales de estructuras de hormigón son aplicables en las partes donde se aplica la hipótesis de Bernoulli-Navier de distribución plana de deformaciones (región B). Los lugares donde esta hipótesis no se aplica se denominan regiones de discontinuidad (regiones D). Estas incluyen partes de estructuras donde aparecen cargas concentradas o donde hay un cambio brusco en la sección transversal, como extremos rebajados (Fig. 1c), vigas de gran canto, muros con aberturas (Figs. 1a, 1b), o ménsulas y encepados. En el campo de la ingeniería de puentes, estos son, por ejemplo, cabezales de pilas (Fig. 1d), diafragmas (Fig. 1e), desviadores, etc.

1. Método de Biela y Tirante

La hipótesis básica al definir un modelo B&T es que se desprecia la resistencia a tracción del hormigón. Un modelo de celosía simple consiste en elementos que actúan a compresión y tracción, representando el comportamiento en ELU. En general, esto no es un problema complejo, y definir un modelo B&T básico (Fig. 2a) no debería ser un problema para un ingeniero con experiencia. Sin embargo, incluso para esta tarea básica, la evaluación correcta del modelo de acuerdo con la normativa de diseño puede ser un proceso tedioso, manual e iterativo.

Fig. 2 a) Opción 1 del modelo B&T b) Opción 2 del modelo B&T c) Opción del modelo B&T 

Deben evaluarse los tirantes, las zonas nodales y la deformación de tracción transversal en las bielas. Si el modelo no supera la verificación, la geometría del B&T debe ajustarse, o debe seleccionarse un modelo B&T diferente (Fig. 2b, 2c). Esto a menudo lleva al ingeniero estructural a elegir la geometría del modelo B&T solo una vez y evaluar únicamente la armadura. Esto puede conducir a un error sustancial. La elección del modelo es siempre una cuestión de experiencia. Para detalles estructurales más complejos, elegir un B&T que se ajuste suficientemente al comportamiento real de la estructura puede no ser tan sencillo como en el caso anterior. Además, el B&T es un método únicamente para el diseño de estados límite últimos. No permite el diseño de estados límite de servicio (deformación, fisuración), que son criterios críticos, especialmente en estructuras de gran importancia, ya que afectan directamente a la vida útil de la estructura.

2. Método del Campo de Tensiones Compatible - CSFM

El CSFM es un método no lineal moderno para el análisis de regiones D y elementos cuyo comportamiento puede simplificarse a tensión plana, es decir, un modelo 2D.  Sin embargo, sigue basándose en una hipótesis básica y segura de las normativas: el hormigón no trabaja a tracción, y toda la tracción debe ser transferida por la armadura. El Método del Campo de Tensiones Compatible (CSFM) es una evolución de los métodos B&T y de campos de tensiones, eliminando sus principales desventajas mencionadas anteriormente: incertidumbres en la selección del modelo, dificultad de automatización e incapacidad para evaluar estados límite de servicio.

Fig. 3 a) Deformación plana b) Tensión principal c) CSFM

El principio del CSFM puede explicarse a partir de la tensión plana del elemento plano básico de una estructura de hormigón armado. La Fig. 3a muestra el elemento 2D básico en tensión plana tal como lo conocemos de todos los libros de texto sobre elasticidad y resistencia. Esta es la tensión en un punto de la estructura, obtenida, por ejemplo, mediante análisis elástico lineal usando el Método de los Elementos Finitos (MEF). El elemento está sometido a una tensión normal horizontal σ_x, una tensión normal vertical σ_z y una tensión tangencial τ_xz. A partir de estas tensiones, se pueden determinar las denominadas tensiones principales y su dirección definida por el ángulo θ (Fig. 3b). El elemento está entonces sometido a la tensión principal de tracción σ₁ y a la tensión principal de compresión σ₂.

¿Cómo será la deformación del mismo elemento analizado por CSFM? La deformación se muestra en la Figura 3c. El hormigón comprimido aparece en la dirección de la tensión principal de compresión σ₂. Y se genera un campo de tensiones con tensión σ_c2. Como se mencionó anteriormente, la hipótesis básica es que el hormigón no trabaja a tracción. Por lo tanto, la tensión principal de tracción transversal σ₁ no será transferida por el hormigón, y se formará una fisura perpendicular a la dirección. La tensión σ_c1r debe ser por tanto cero. Para evitar el fallo de nuestro elemento 2D, toda la tensión de tracción debe ser transferida por la armadura (indicada en azul en la Fig. 3c), que debe ser parte del modelo de cálculo. 

Si este análisis de tensiones se realiza usando CSFM de forma continua sobre toda la región 2D a resolver, el resultado es un campo de compresión continuo en el hormigón más tensiones de tracción y compresión en la armadura. Una representación gráfica simplificada del campo de tensiones del CSFM se muestra en la Figura 4. Además de las tasas de utilización del hormigón y la armadura, la figura también indica las direcciones variables de las tensiones calculadas σ_c2 a lo largo de las regiones.

Fig. 4 Resultados globales de IDEA StatiCa Detail 

El análisis de un detalle o estructura usando CSFM se basa en el Método de los Elementos Finitos. El hormigón se modela mediante elementos de lámina 2D, y la armadura mediante elementos de barra 1D (Fig. 7). El análisis no se realiza en un solo paso ya que es un problema no lineal. Las cargas se aplican de forma incremental durante el cálculo, y la solución al sistema no lineal de ecuaciones se encuentra mediante el método de Newton-Raphson. 

Las fisuras difusas ficticias (ε₁ es el valor medio) se "forman" perpendicularmente a la dirección de las tensiones principales, que pueden cambiar durante el cálculo no lineal a medida que el elemento "fisura progresivamente" con cada incremento de carga. En resumen, se considera una fisura giratoria ficticia sin tensiones. 

El resultado de la solución MEF usando CSFM es un campo de tensiones compatible (es decir, el hormigón no se divide en bielas individuales que actúan de forma independiente en el modelo) y el estado de deformación, que son continuos en todo el dominio 2D que se resuelve. Esta es una gran ventaja sobre los enfoques clásicos de B&T y permite automatizar y refinar el modelo de cálculo, como se describe en los párrafos siguientes.

Fig. 5 Principio del ablandamiento a compresión del hormigón

La formulación simple del CSFM permite utilizar el diagrama tensión-deformación parabólico-rectangular uniaxial estándar para el hormigón a compresión según la normativa de diseño. Como es bien sabido, la resistencia a compresión del hormigón disminuye cuando el hormigón está dañado por fisuras transversales (Fig. 5). Este denominado efecto de ablandamiento a compresión se incluye en el método teniendo en cuenta automáticamente la resistencia a compresión efectiva del hormigón. 

En función del nivel de deformaciones de tracción transversales ε₁, se determina el factor de reducción k_c y se ajusta el diagrama tensión-deformación del hormigón (Fig. 5). Como se conoce el campo de deformaciones en toda la estructura, la resistencia a compresión efectiva del hormigón puede calcularse automáticamente en secciones individuales en función del nivel local de deformaciones de tracción transversales ε₁.

Fig. 6 Principio de la rigidización a tracción

Además, el CSFM considera el efecto de rigidización del hormigón a tracción entre las fisuras sobre la armadura, denominado rigidización a tracción. En el modelo de cálculo, se utiliza la deformación media de la armadura ε_m. A continuación, se modifica el diagrama tensión-deformación de la armadura (Fig. 6). Esto permite una representación realista de la rigidez de una estructura de hormigón armado dañada por fisuras. Sin embargo, sigue siendo cierto que la resistencia a tracción del hormigón no contribuye a la capacidad última. La tensión máxima en la armadura σ_sr en las fisuras es crítica para el diseño (Fig. 6).

El CSFM utiliza modelos de material uniaxiales comunes (diagramas tensión-deformación) definidos en las normativas de diseño. El enfoque estándar, el método de los coeficientes parciales de seguridad, se utiliza entonces para evaluar el ELU. La simplicidad del método lo hace adecuado para la práctica de la ingeniería y es coherente con las normativas de diseño. 

Aunque se trata de un análisis no lineal por MEF, el ingeniero estructural no tiene que introducir en el cálculo propiedades adicionales del material y características del hormigón que pueden no estar disponibles en la fase de diseño y que son necesarias, por ejemplo, en los análisis no lineales por MEF basados en la mecánica de fractura. Como ya se ha indicado, una gran ventaja del análisis CSFM, además de los estados límite últimos, es la capacidad de evaluar estados límite de servicio: flechas, limitaciones de tensiones y, en particular, anchura de fisura.

Fig. 7 Ejemplo de representación del modelo de elementos finitos en IDEA StatiCa Detail

(Fig. 7) El modelo MEF en CSFM está compuesto por varios tipos de elementos finitos:

• Elemento 1D con rigidez axial para la armadura
• Elemento isoparamétrico 2D para el hormigón
• Muelles en los extremos para el modelo de anclaje de la armadura con tratamiento de extremos
• Elemento 2D especial para modelar la cohesión entre la armadura y el hormigón
• Restricciones rígidas e interpolantes (restricciones multipunto, MPC) entre los elementos de cohesión y el hormigón

Si la armadura diseñada previene el fallo frágil del elemento, se ha demostrado que el CSFM proporciona muy buenas predicciones de la respuesta y la capacidad última de la estructura a pesar de la simplicidad de la formulación. En otras palabras, el método no es adecuado, por ejemplo, para el diseño de vigas sin armadura transversal a cortante que exhiben un comportamiento potencialmente frágil. Las verificaciones del método, incluyendo experimentos, se recogen en [1]. Una descripción más detallada del método va más allá del alcance de este artículo y también puede encontrarse en los Fundamentos Teóricos.

Es evidente que los principios del CSFM son generales y, por tanto, su aplicación no se limita a las regiones D, sino que puede utilizarse para modelar elementos completos, por ejemplo, vigas prefabricadas, y donde el elemento puede simplificarse a un modelo plano 2D. El método y su implementación en software (IDEA StatiCa Detail) también se han ampliado, con la posibilidad de especificar armadura pretensada y postensada.

3. Ejemplo de diseño de cabezal de pila

La aplicación práctica del CSFM se muestra en el diseño del cabezal de pila de puente de la Figura 8. Esta es la segunda pila de un puente continuo con tres vanos de 30,0 m, 42,0 m y 30,0 m. El cabezal de la pila de hormigón armado está diseñado en hormigón C40/50 y su espesor (en la dirección longitudinal del puente) es de 2,0 m.

Fig. 8 Cabezal de pila: a) Diseño resumen; b) Tensión de compresión en el hormigón en ELU; c) Tensión de tracción en la armadura en ELU; d) Anchura de fisura en ELS

En la parte superior del cabezal de pila, se diseñó primero una viga transversal de armadura B500 20xϕ28+20xϕ25 - las cuatro capas superiores. La Figura 8a muestra un diseño resumen en el estado límite último, mostrando las tensiones de compresión en el hormigón, las direcciones de las tensiones de compresión y las tensiones en la armadura. La distribución más detallada de tensiones en el hormigón y la armadura se documenta en las Figuras 8b y 8c. La armadura transversal está justo por debajo del límite elástico y las tensiones en el hormigón (y las deformaciones relativas) son satisfactorias en ELU. Sin embargo, el resultado del cálculo de la anchura de fisura (Fig. 8d) muestra que el diseño no satisface el ELS: w_max = 0,36 mm > w_lim = 0,3 mm. Para cumplir con la anchura de fisura límite, es necesario aumentar la armadura de la viga transversal a 20xϕ32+20xϕ28. En el caso de w_lim = 0,2 mm (por ejemplo, pila cerca de una carretera que genera salpicaduras de sal, nivel de influencia ambiental XF2), la armadura de la viga transversal tendría que aumentarse incluso a 24xϕ32+24xϕ28.

Conclusión

El CSFM se adapta a la práctica de la ingeniería porque utiliza modelos de material simples definidos en una normativa de diseño. Además de los estados límite últimos, también permite el diseño de estados límite de servicio, para los cuales la evaluación era anteriormente difícil de imaginar al utilizar modelos B&T. Mediante la implementación del método en IDEA StatiCa Detail, es posible capturar de forma realista la respuesta de la estructura y diseñar y evaluar regiones de discontinuidad y conjuntos más grandes de manera eficiente y segura.

El CSFM fue desarrollado principalmente a través del trabajo del Profesor Walter Kaufmann, Director de la Cátedra de Ingeniería Estructural del Instituto Federal Suizo de Tecnología (ETH) de Zúrich. Él y su equipo también verificaron el método y su implementación en software.

Bibliografía

[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,

[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)

[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.:  Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404

Autor

Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.

IDEA StatiCa s.r.o.