Stabilité latérale des longues poutres en béton précontraint lors du levage

Le levage de longues poutres en béton précontraint constitue la première des phases de construction au cours de laquelle la stabilité peut être perdue par un mécanisme appelé déversement. Du côté du concepteur, les éléments sont généralement vérifiés pour la stabilité latérale sur la structure achevée, ce qui n'est pas toujours une condition critique, notamment parce que les poutres ont tendance à être stabilisées par les éléments transversaux, le plancher ou la toiture elle-même. Les problèmes de stabilité pendant la construction sont laissés aux fabricants et aux entrepreneurs. Les formules de flambement latéral que l'on trouve dans de nombreux manuels ne sont pas suffisamment générales pour les besoins actuels et ne couvrent donc pas les exigences du fabricant moderne, qui est soumis à des pressions, notamment en raison des délais et des prix des matériaux.

Dans cet article de vérification, nous comparons les résultats d'IDEA StatiCa Beam et de son module de calcul de stabilité transversale avec le calcul analytique élaboré par Robert F. Mast 1989 [1] et Robert F. Mast 1993 [2]. Dans la première partie du texte, nous présentons brièvement la méthode analytique et proposons un exemple de calcul complet pour un cas de charge, incluant toutes les formules et les calculs intermédiaires. Nous comparons ensuite ce résultat avec celui de l'application et donnons enfin un récapitulatif de plusieurs situations de dimensionnement. 

Théorie de base de l'équilibre en roulement

Lorsqu'une poutre est suspendue à des appuis flexibles tels qu'une boucle de levage, elle est libre de pivoter. Le centre de rotation est le point auquel l'appui flexible rejoint le corps rigide. Une ligne passant par le centre de rotation à chaque appui forme un axe de roulement. L'excentricité initiale e_i et le décalage des articulations placeront toujours le centre de gravité légèrement en dehors de l'axe de roulement. Cela provoque le basculement de la poutre autour de l'axe de roulement d'un petit angle θ_i. 

\[\theta_{i}=tan\left(\frac{e_{i}}{y_{r}}\right)≈\frac{e_{i}}{y_{r}}\]

Ce léger basculement provoque l'application de la composante du poids propre de la poutre W sinθ_i dans la direction de l'axe faible. La poutre se fléchit alors, ce qui déplace davantage le centre de gravité de la masse de la poutre. Cela entraîne une augmentation de l'angle de roulement θ, qui accroît à la fois la charge latérale et la flèche. Ce phénomène se poursuit jusqu'à ce que l'équilibre soit atteint à un angle θ légèrement supérieur à θ_i, ou jusqu'à ce que la flèche transversale soit suffisante pour provoquer la ruine de la poutre.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Beam free to roll and deflect laterally – perspective}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Beam free to roll and deflect laterally – end view and equilibrium diagram}}}\]

La composante du poids propre agissant autour de l'axe faible W sinθ_i a provoqué une flèche latérale supplémentaire z du centre de gravité. Pour trouver l'angle d'équilibre θ, il faut déterminer z, mais z est déterminé par la composante de poids W sinθ, qui dépend elle-même de θ.

Le problème peut être résolu en calculant d'abord une flèche théorique (fictive) z₀ du centre de gravité avec le poids total appliqué autour de l'axe faible. Ensuite, comme la composante selon l'axe faible est W sinθ, z peut être obtenu par z=z₀ sinθ. La flèche en travée d'une poutre simple à charge uniformément répartie peut être calculée à l'aide de la formule bien connue :

\[\beta_{y}=\frac{5}{384}\frac{wl^{4}}{EI_{y}}\]

Mais β_y est la flèche maximale de l'arc de la poutre, et nous avons besoin de z₀, qui est la distance du centre de gravité de l'arc fléchi de la poutre. z₀ est approximativement égal à 2/3 de β_y. Plus précisément :

\[z_{0}=\frac{1}{120}\frac{wl^{4}}{EI_{y}}=0.64\beta_{y}\]

La dérivation de cette formule peut être trouvée dans [1] Annexe F. L'équation d'équilibre peut alors être réécrite comme suit :

\[tan\theta=\frac{z_{0}sin\theta+e_{i}}{y_{r}}\]

La seule inconnue est désormais θ, qui peut être déterminé par approximations successives. Pour des angles θ < 0.2 rad, l'approximation θ ≈ sinθ ≈ tanθ peut être utilisée. L'équation d'équilibre se simplifie alors en :

\[\theta=\frac{e_{i}}{y_{r}-z_{0}}\]

Effet de la position du point de levage

Placer le point de levage même à une faible distance de l'extrémité peut améliorer considérablement la stabilité au flambement latéral. Non seulement la flèche est réduite, approximativement à la puissance quatre de la portée nette, mais z₀ est encore amélioré, car le poids dans les extrémités en porte-à-faux se trouve du côté opposé de l'axe de roulement.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Computation of z₀ including overhanging ends}}}\]

L'équation pour z₀ a été obtenue en intégrant la forme de la courbe de déflexion pour trouver son centroïde.

\[z_{0}=\frac{w}{12EI_{y}l}\left( \frac{1}{10}l_{1}^{5}-a^{2}l_{1}^{3}+3a^{4}l_{1}+\frac{6}{5}a^{5} \right)\]

Exemple de comparaison

L'objectif de cet article est de démontrer l'exactitude des calculs de stabilité transversale dans IDEA StatiCa Beam pour le cas du levage de poutre. Il convient de noter que le même solveur géométriquement et matériellement non linéaire est utilisé pour toutes les situations de dimensionnement ; seules les conditions aux limites ou la condition initiale sont modifiées. À titre d'exemple pour comparer les résultats avec la méthode analytique présentée ci-dessus, une poutre prismatique de section en I, précontrainte centriquement de sorte que l'effort normal soit approximativement N_p = 1600 kN, a été choisie. La poutre est en outre ferraillée avec un ferraillage en béton B500B comme indiqué et est réalisée en béton C40/50. La précontrainte est choisie de manière à ce qu'aucune fissuration ne se produise pour aucune des conditions testées. 

Un diagramme de calcul contrainte-déformation bilinéaire est utilisé pour l'analyse dans l'application, où il est possible de déterminer simplement le module d'élasticité pour la branche élastique E_cd=f_cd/ε_c3.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Perspective view of the beam under examination}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Geometry and reinforcement}}}\]

Veuillez noter que les axes sont étiquetés différemment à la Figure 5 par rapport à l'introduction théorique précédente, où l'étiquetage était basé sur [1] et [2].

La poutre sera suspendue par des crochets de hauteur h_h = 150 mm. Cela signifie que y_r = 0.5h + h_h = 600 + 150 = 750 mm.

Calcul analytique

Le principe de calcul a déjà été mentionné au début de cet article. Nous allons maintenant examiner en détail l'une des situations de dimensionnement et la comparer avec le résultat de l'application. Les articulations seront placées à a = 1.0 m et l'excentricité initiale sera e_ig = 350 mm. Il s'agit de l'excentricité initiale géométrique de la poutre déformée, définie comme la flèche maximale de l'arc. Ce n'est donc pas l'excentricité initiale du centre de gravité par rapport à l'axe de roulement e_i utilisée dans les calculs manuels ci-dessus. Pour des raisons pratiques, la valeur e_ig est utilisée comme donnée d'entrée dans l'application IDEA StatiCa Beam. Pour tous les cas considérés, la valeur e_ig a été convertie en valeur e_i à l'aide de la méthode graphique dans l'application CAO.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Non-iterative approach}}}\]

Maintenant, étant donné que nous avons obtenu un angle θ > 0.2 rad, nous allons vérifier l'exactitude des résultats sans utiliser l'approximation mentionnée ci-dessus θ ≈ sinθ ≈ tanθ. Nous devons alors procéder au calcul itératif, où nous calculons d'abord l'angle de roulement initial θ_i et continuons de manière itérative jusqu'à ce que le calcul soit stable.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Iterative approach}}}\]

Voyons maintenant comment la même tâche a été calculée dans IDEA StatiCa Beam et son module de stabilité latérale. Les valeurs d'entrée pour le calcul sont présentées à la Figure 8. Le coefficient dynamique ainsi que les autres coefficients de combinaison sont fixés à 1.0.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Lateral stability data input}}}\]

Résultats d'IDEA StatiCa Beam

À des fins de vérification, nous comparons la valeur de rotation de la poutre, car cette valeur constitue la sortie de base du solveur. Les autres sorties, telles que la déformation et les efforts internes, en dépendent directement. Nous examinons d'abord la rotation initiale θ_init = 220.4 mrad, qui devrait correspondre à la valeur de θ_i = 227 mrad issue du calcul analytique.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Initial rotation}}}\]

Enfin, nous pouvons comparer les résultats de la rotation globale de la poutre, visibles à la Figure 10. Les valeurs à la fois au début de la poutre et en son centre sont mises en évidence. Il est ainsi possible d'observer l'effet de la rigidité en rotation de la poutre, qui n'est pas pris en compte par le calcul analytique.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Final rotation}}}\]

Tous les exemples

Ce chapitre présente toutes les configurations testées pour la poutre étudiée avec différentes combinaisons d'imperfection initiale et de positions des boucles de levage.

θ_init est la valeur de la rotation initiale obtenue à partir de l'application et doit être comparée à θ_i issue du calcul analytique. θ_inc est l'incrément de rotation calculé dans l'application, provoqué par la rotation supplémentaire due à la déformation latérale sous poids propre, et θ_tot est la rotation résultante à comparer avec la valeur θ issue du calcul analytique.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Design situation 1}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Design situation 2}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Design situation 3}}}\]

Conclusion

Dans cet article, nous avons comparé les calculs analytiques de la stabilité transversale des poutres dans le scénario de dimensionnement du levage selon [1] et [2] avec l'analyse par éléments finis entièrement matériellement et géométriquement non linéaire réalisée dans IDEA StatiCa Beam. Les résultats montrent que l'analyse plus sophistiquée s'est avérée très précise, fiable et suffisamment exacte. En raison de sa généralité, elle peut également couvrir un portefeuille de situations de dimensionnement nettement plus large, sans simplification ni calculs manuels fastidieux. Nous pouvons également observer à quelle position des articulations la position d'équilibre est atteinte de sorte que la poutre ne tourne pas. Dans cet état, les extrémités en porte-à-faux exercent un moment stabilisateur égal au moment déstabilisateur provenant de la déformation de la poutre.

Références

[1] Mast, R. F. (1989). "Lateral Stability of Long Prestressed Concrete Beams, Part 1." PCI J. 34(1), 34–53. 

[2] Mast, R. F. (1993). "Lateral Stability of Long Prestressed Concrete Beams, Part 2." PCI J., 38(1), 70–88.