Stabilitatea laterală a grinzilor lungi din beton precomprimat în timpul ridicării

Ridicarea grinzilor lungi din beton precomprimat reprezintă prima dintre fazele de construcție în care stabilitatea poate fi pierdută printr-un mecanism numit flambaj lateral-torsional. Din perspectiva proiectantului, elementele sunt de obicei verificate pentru stabilitate laterală pe structura finalizată, ceea ce nu reprezintă întotdeauna o condiție critică, mai ales că grinzile tind să fie stabilizate de elementele transversale, planșeu sau acoperiș. Problemele de stabilitate în timpul execuției sunt lăsate în seama fabricanților și antreprenorilor. Formulele de flambaj lateral din multe manuale nu sunt suficient de generale pentru nevoile actuale și, prin urmare, nu acoperă cerințele fabricantului modern, care este presat în special de timp și de prețurile materialelor.

În acest articol de verificare, comparăm rezultatele din IDEA StatiCa Beam și modulul său de calcul al stabilității transversale cu calculul analitic elaborat de Robert F. Mast 1989 [1] și Robert F. Mast 1993 [2]. În prima parte a textului, prezentăm pe scurt metoda analitică și un calcul complet de exemplu pentru un caz de încărcare, incluzând toate formulele și calculele intermediare. Comparăm apoi acest lucru cu rezultatul din aplicație și, în final, prezentăm un rezumat al mai multor situații de calcul. 

Teoria de bază a echilibrului la răsturnare

Când o grindă este suspendată de reazeme flexibile, cum ar fi o buclă de ridicare, aceasta este liberă să se răstoarne. Centrul de rotație este punctul în care rezemarea flexibilă se unește cu corpul rigid. O linie care trece prin centrul de rotație la fiecare reazem formează o axă de răsturnare. Excentricitatea inițială e_i și decalajul articulațiilor vor plasa întotdeauna centrul de greutate ușor în afara axei de răsturnare. Aceasta determină înclinarea grinzii față de axa de răsturnare cu un unghi mic θ_i. 

\[\theta_{i}=tan\left(\frac{e_{i}}{y_{r}}\right)≈\frac{e_{i}}{y_{r}}\]

Această ușoară înclinare determină aplicarea componentei greutății grinzii W sinθ_i în direcția axei slabe. Grinda se încovoaie, deplasând în continuare centrul de greutate al masei grinzii. Aceasta provoacă o creștere a unghiului de răsturnare θ, care mărește atât încărcarea laterală, cât și săgeata. Procesul continuă până când se atinge echilibrul la un unghi θ ușor mai mare decât θ_i, sau până când săgeata transversală este suficientă pentru a distruge grinda.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Beam free to roll and deflect laterally – perspective}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Beam free to roll and deflect laterally – end view and equilibrium diagram}}}\]

Componenta greutății proprii care acționează față de axa slabă W sinθ_i a provocat o săgeată laterală suplimentară z a centrului de greutate. Pentru a găsi unghiul de echilibru θ, trebuie determinat z, dar z este determinat de componenta greutății W sinθ, care depinde ea însăși de θ.

Problema poate fi rezolvată calculând mai întâi o săgeată teoretică (fictivă) z₀ a centrului de greutate cu greutatea totală aplicată față de axa slabă. Apoi, deoarece componenta axei slabe este W sinθ, z poate fi determinat ca z=z₀ sinθ. Săgeata la mijlocul deschiderii a unei grinzi simplu rezemate cu încărcare uniform distribuită poate fi calculată folosind formula binecunoscută:

\[\beta_{y}=\frac{5}{384}\frac{wl^{4}}{EI_{y}}\]

Dar β_y este săgeata maximă a arcului grinzii, iar noi avem nevoie de z₀, care reprezintă distanța centrului de greutate al arcului deformat al grinzii. z₀ este aproximativ 2/3 din β_y. Mai precis:

\[z_{0}=\frac{1}{120}\frac{wl^{4}}{EI_{y}}=0.64\beta_{y}\]

Derivarea acestei formule poate fi găsită în [1] Anexa F. Ecuația de echilibru poate fi rescrisă astfel:

\[tan\theta=\frac{z_{0}sin\theta+e_{i}}{y_{r}}\]

Singura necunoscută este acum θ, care poate fi determinat prin aproximări succesive. Să spunem că pentru unghiuri θ < 0.2 rad, aproximarea θ ≈ sinθ ≈ tanθ poate fi utilizată. Ecuația de echilibru se simplifică atunci la:

\[\theta=\frac{e_{i}}{y_{r}-z_{0}}\]

Efectul poziției punctului de ridicare

Amplasarea punctului de ridicare chiar și la o mică distanță față de capăt poate îmbunătăți dramatic stabilitatea la încovoiere laterală. Nu numai că săgeata este redusă, aproximativ la puterea a patra a deschiderii nete, dar z₀ se îmbunătățește și mai mult, deoarece greutatea capetelor în consolă se află pe partea opusă a axei de răsturnare.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Computation of z₀ including overhanging ends}}}\]

Ecuația pentru z₀ a fost obținută prin integrarea formei curbei de deformație pentru a găsi centrul său de greutate.

\[z_{0}=\frac{w}{12EI_{y}l}\left( \frac{1}{10}l_{1}^{5}-a^{2}l_{1}^{3}+3a^{4}l_{1}+\frac{6}{5}a^{5} \right)\]

Exemplu pentru comparație

Scopul acestui articol este de a demonstra corectitudinea calculelor de stabilitate transversală în IDEA StatiCa Beam pentru cazul ridicării grinzilor. Merită menționat că același solver geometric și material neliniar este utilizat pentru toate situațiile de calcul, modificându-se doar condițiile la limită sau condiția inițială. Ca exemplu pentru compararea rezultatelor cu metoda analitică prezentată mai sus, a fost aleasă o grindă prismatică cu secțiune I, pretensionată centric astfel încât forța normală să fie aproximativ N_p = 1600 kN. Grinda este armată suplimentar cu armătură din beton B500B, conform figurii, și este realizată din beton C40/50. Pretensionarea este aleasă astfel încât să nu apară fisuri pentru nicio condiție de verificare. 

Pentru analiza în aplicație se utilizează o diagramă de calcul biliniar efort-deformație, unde este posibil să se determine simplu modulul de elasticitate pentru ramura elastică E_cd=f_cd/ε_c3.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Perspective view of the beam under examination}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Geometry and reinforcement}}}\]

Vă rugăm să rețineți că axele sunt etichetate diferit în Figura 5 față de introducerea teoretică anterioară, unde etichetarea s-a bazat pe [1] și [2]

Grinda va fi suspendată prin cârlige cu înălțimea h_h = 150 mm. Aceasta înseamnă că y_r = 0.5h + h_h = 600 + 150 = 750 mm.

Calcul analitic

Principiul de calcul a fost deja menționat la începutul acestui articol. Acum vom analiza în detaliu una dintre situațiile de calcul și o vom compara cu rezultatul din aplicație. Articulațiile vor fi plasate la a = 1.0 m, iar excentricitatea inițială va fi e_ig = 350 mm. Aceasta este excentricitatea geometrică inițială a grinzii deformate, înțeleasă ca săgeata maximă a arcului. Prin urmare, nu este excentricitatea inițială a centrului de greutate față de axa de răsturnare e_i utilizată în calculele manuale de mai sus. Din motive practice, valoarea e_ig este utilizată ca date de intrare în aplicația IDEA StatiCa Beam. Pentru toate cazurile considerate, valoarea e_ig a fost convertită în valoarea e_i folosind metoda grafică în aplicația CAD.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Non-iterative approach}}}\]

Acum, deoarece am obținut un unghi θ > 0.2 rad, vom verifica corectitudinea rezultatelor fără a utiliza aproximarea menționată mai sus θ ≈ sinθ ≈ tanθ. Trebuie să procedăm cu calculul iterativ, unde calculăm mai întâi unghiul inițial de răsturnare θ_i și continuăm iterativ până când calculul este stabil.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Iterative approach}}}\]

Acum, să vedem cum a fost calculată aceeași sarcină în IDEA StatiCa Beam și modulul său de stabilitate laterală. Valorile de intrare pentru calcul sunt prezentate în Figura 8. Coeficientul dinamic, precum și ceilalți coeficienți de combinare, sunt setați la 1.0.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Lateral stability data input}}}\]

Rezultatele IDEA StatiCa Beam

În scopuri de verificare, comparăm valoarea rotației grinzii, deoarece aceasta reprezintă rezultatul de bază al solverului. Alte rezultate, cum ar fi deformațiile și eforturile interne, sunt direct dependente și legate de rotația grinzii. Mai întâi, analizăm rotația inițială θ_init = 220.4 mrad, care ar trebui să corespundă valorii θ_i = 227 mrad din calculul analitic.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Initial rotation}}}\]

În final, putem compara rezultatele rotației totale a grinzii, care pot fi observate în Figura 10. Sunt evidențiate valorile atât la începutul grinzii, cât și la mijlocul acesteia. Prin urmare, este posibil să se observe efectul rigidității la torsiune a grinzii, care nu este surprins de calculul analitic.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Final rotation}}}\]

Toate exemplele

Acest capitol prezintă toate sarcinile testate pentru grinda studiată, cu diferite combinații de imperfecțiune inițială și poziții ale buclelor de ridicare.

θ_init este valoarea rotației inițiale obținută din aplicație și trebuie comparată cu θ_i din calculul analitic. θ_inc este incrementul de rotație calculat în aplicație, cauzat de rotația suplimentară datorată deformației laterale din greutatea proprie, iar θ_tot reprezintă rotația rezultantă comparată cu valoarea θ din calculul analitic.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Design situation 1}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Design situation 2}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Design situation 3}}}\]

Concluzie

În acest articol, am comparat calculele analitice ale stabilității transversale a grinzilor în scenariul de calcul de ridicare conform [1] și [2] cu analiza EF complet neliniară din punct de vedere material și geometric, efectuată în IDEA StatiCa Beam. Rezultatele arată că analiza mai sofisticată s-a dovedit a fi foarte precisă, fiabilă și suficient de exactă. Datorită generalității sale, aceasta poate acoperi, de asemenea, un portofoliu semnificativ mai mare de situații de calcul fără simplificări și calcule manuale laborioase. Putem observa, de asemenea, la ce poziție a articulațiilor a fost atinsă poziția de echilibru, astfel încât grinda să nu se rotească. În această stare, capetele în consolă au un moment stabilizator egal cu momentul destabilizator din deformarea grinzii.

Referințe

[1] Mast, R. F. (1989). "Lateral Stability of Long Prestressed Concrete Beams, Part 1." PCI J. 34(1), 34–53. 

[2] Mast, R. F. (1993). "Lateral Stability of Long Prestressed Concrete Beams, Part 2." PCI J., 38(1), 70–88.