Fessure

La formazione delle fessure

Una caratteristica delle strutture in calcestruzzo armato soggette a flessione o trazione è la comparsa di fessure nei punti in cui la tensione di trazione nel calcestruzzo supera la resistenza a trazione del calcestruzzo. Per la durabilità della struttura e per l'estetica, è importante garantire che le fessure risultanti siano il più piccole possibile. Il calcolo delle ampiezze delle fessure e le ampiezze massime ammesse per le diverse classi di esposizione sono riportati in EN 1992-1-1, Capitolo 7.3.

Nel primo passo del calcolo, si determina se la sezione trasversale è fessurata o meno. L'ampiezza della fessura viene sempre calcolata dalla combinazione di carico quasi-permanente o frequente (a seconda dell'allegato nazionale), ma la formazione delle fessure deve essere verificata per tutte le combinazioni SLE specificate. Si possono quindi verificare due casi:

• La tensione di trazione massima nelle fibre di calcestruzzo non supera la resistenza a trazione del calcestruzzo per nessuna combinazione di carico (quasi-permanente M_E,qp, frequente M_E,fr, o caratteristica M_E,k), e quindi si considera la sezione trasversale senza fessure.

\[{{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

• Se si sviluppano fessure per una qualsiasi delle combinazioni (quasi-permanente, frequente o caratteristica), ovvero il momento flettente sviluppato dalla combinazione di carico considerata è maggiore del momento critico M_cr, la sezione trasversale è fessurata per quella combinazione di carico, e devono essere calcolate le caratteristiche della sezione fessurata e l'ampiezza della fessura.

\[{{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

M_E,i   .   .   il momento flettente ottenuto da una combinazione di carico SLE. Può quindi essere M_E,qp, M_E,fr, o M_E,k. 

f_ct,ef   .   .  la resistenza a trazione del calcestruzzo al momento considerato. Se il calcestruzzo ha più di 28 giorni, si considera una resistenza pari a f_ctm.

Calcolo dell'ampiezza delle fessure

In un elemento soggetto a flessione, la formazione delle fessure è suddivisa in 2 fenomeni:

• Fase di formazione delle fessure (stadio numero 2 in Fig. 1)
• Sviluppo stabilizzato delle fessure (stadio numero 3 in Fig. 1)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}\]

Stadio di sviluppo delle fessure

Questa è la parte iniziale del processo in cui le singole fessure compaiono ancora gradualmente finché l'intera zona tesa dell'elemento non è interessata da fessure distribuite in modo approssimativamente uniforme lungo la lunghezza dell'elemento. La prima fessura si forma quando la forza nella striscia tesa supera il valore della forza critica N_r (forza di trazione critica, vedere di seguito), e ulteriori fessure si sviluppano fino a un livello di carico che esercita una forza nella striscia tesa pari a circa 1,3N_cr (fase numero 2 in Fig. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}\]

Le fessure che si sviluppano sono suddivise in 2 tipi: primarie e secondarie. Le fessure primarie si verificano nelle fibre tese quando viene raggiunta la resistenza a trazione efficace del calcestruzzo (f_ct,eff). Le fessure primarie rappresentano il primo schema di fessurazione (Fig. 2). Tra le fessure primarie si formano poi fessure secondarie più corte (Fig. 3). A tensioni corrispondenti a circa 1,2÷1,5 σ_sr (di solito si considera un valore medio di 1,3 σ_sr, dove σ_sr è la tensione nell'armatura alla formazione delle fessure primarie nella zona tesa del calcestruzzo), si completa anche lo sviluppo delle fessure secondarie.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}\]

L'ampiezza della fessura nella fase di formazione delle fessure può essere calcolata come segue:

\[{{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}\]

Stadio di fessurazione stabilizzata

Dopo aver superato circa 1,3 volte la forza critica nella zona tesa, non si formano nuove fessure, il numero di fessure nell'elemento si stabilizza e solo l'ampiezza delle fessure esistenti aumenta con l'ulteriore carico (stadio numero 3 in Fig. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}\]

L'ampiezza della fessura durante lo sviluppo stabile può essere calcolata come:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}\]

Forza di trazione critica

Il calcolo si basa sul Modello della Striscia a Trazione (TCM). La considerazione di base è calcolare la capacità ultima di una striscia in calcestruzzo armato formata da una barra di armatura di area A_s,eff circondata da un'area efficace di calcestruzzo teso A_c,eff, in grado di resistere alla tensione di trazione fino al superamento della resistenza a trazione f_ct,eff (normalmente si considera f_ctm). Assumendo una perfetta aderenza tra l'armatura e il calcestruzzo, si può considerare che fino alla formazione della prima fessura la deformazione dell'armatura e del calcestruzzo circostante è identica. La forza massima nella striscia tesa appena prima della prima fessura N_r può quindi essere determinata:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}\]

Introducendo la sostituzione

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

si ottiene:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Subito dopo la formazione della prima fessura, l'intera forza N_r è trasferita dall'armatura e quindi la tensione nell'armatura che attraversa la fessura appena formata può essere calcolata come:

\[{{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Calcolo dell'ampiezza delle fessure secondo EC 1992-1-1

La seguente equazione viene utilizzata per calcolare l'ampiezza delle fessure negli elementi in calcestruzzo armato:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

s_r,max   .   .   .   interasse massimo delle fessure

ε_sm  .   .   .   .   la deformazione media dell'armatura dalla combinazione di carico, inclusi gli effetti dell'irrigidimento a trazione.

ε_cm  .   .   .   .   deformazione media del calcestruzzo tra le fessure

Calcolo della differenza di deformazione

La differenza nella deformazione dell'armatura e del calcestruzzo tra le fessure può essere ottenuta dall'equazione:

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

σ_s      .   .   .   .   la tensione nell'armatura nella fessura dalla combinazione di carico in esame

k_t      .   .   .   .   un coefficiente empirico che tiene conto della deformazione media, dipendente dalla durata del carico. Può assumere il valore di 0,6 per l'analisi a breve termine. Per l'analisi a lungo termine, si tiene conto della riduzione della rigidezza del composito a circa il 70%, quindi il suo valore è 0,4, che include il tasso di degradazione della coesione tra l'armatura e il calcestruzzo nel tempo.

α_e     .   .   .   . il rapporto efficace dei moduli elastici

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}\]

ς_p,_eff  .   .   .   .   tasso di armatura efficace

\[{{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

A_c,_eff .   .   .   .   l'area efficace del calcestruzzo teso che circonda l'armatura (determinazione di A_c,eff di seguito)

A_s,_eff .   .   .   .   l'area dell'armatura aderente situata nell'area A_c,_eff

A_p´    .   .   .   .   è l'area dei tendini pre- o post-tesi all'interno di A_c,_eff

ξ₁  .   .   .   .   .   è il rapporto corretto della resistenza di aderenza, che tiene conto dei diversi diametri dell'acciaio da precompressione e dell'acciaio d'armatura:

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}\]

ξ  .   .   . il rapporto della resistenza di aderenza dell'acciaio da precompressione e dell'acciaio d'armatura (Tabella 6.2)

ϕ_s   .   .  diametro massimo della barra dell'armatura

ϕ_p   .   .  il diametro o il diametro equivalente dell'acciaio da precompressione

Per fasci, A_p è l'area dell'armatura nel tendine

\[{{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}\]

Per trefoli a sette fili singoli dove φ_wire è il diametro del filo

\[{{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Per trefoli a tre fili singoli dove φ_wire è il diametro del filo

\[{{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Se si utilizza solo armatura da precompressione per prevenire la fessurazione, si deve considerare quanto segue.

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}\]

Negli elementi precompressi, non è richiesta un'area minima di armatura aderente a condizione che, sotto la combinazione caratteristica dei carichi e il valore caratteristico della forza di precompressione, la tensione di trazione in qualsiasi fibra non sia maggiore della resistenza a trazione del calcestruzzo, f_ct,eff. (vedere EN 1992-1-1 cap. 7.3.2 per ulteriori dettagli)

L'area efficace del calcestruzzo teso

Un passo importante ma allo stesso tempo il più complesso del calcolo è la determinazione dell'area efficace del calcestruzzo teso che circonda l'armatura. Sia l'Eurocodice che il Model Code considerano semplici modalità di carico, in cui l'elemento in calcestruzzo armato è soggetto a flessione uniassiale o trazione. Il valore dell'altezza efficace è determinato come:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}\]

Di solito il valore h_c,eff = 2,5(h-d) è quello critico. Per gli elementi tesi, il limite superiore è h/2, mentre per gli elementi inflessi è (h-x)/3. Tuttavia, l'area A_c,eff è anche limitata dalla larghezza determinata dall'equazione 5(c+ϕ/2). Se l'interasse delle armature è maggiore di 5(c+ϕ/2), si considera per le singole barre l'area efficace del calcestruzzo teso di larghezza 5(c+ϕ/2).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}\]

Distanza massima tra le fessure

Nel calcolo della distanza massima tra le fessure s_r,max, possono verificarsi due casi:

• L'interasse dell'armatura aderente non supera una distanza di 5(c+ϕ/2) - Fig. 9a
• L'interasse delle armature aderenti è maggiore di 5(c+ϕ/2) - Fig. 9b

Il calcolo della distanza massima tra le fessure s_r,max per il caso in cui gli interassi delle armature non superano il valore 5(c+ϕ/2) è definito come segue:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

c  .    .   .   .   .   valore del copriferro in mm. Poiché il valore del copriferro può essere diverso per l'armatura di bordo rispetto ai bordi orizzontali e verticali, si raccomanda di considerare il valore massimo del copriferro trovato per l'armatura in esame.

ϕ     .   .   .   .   diametro dell'armatura aderente. Nel caso di diametri di armatura diversi, il diametro equivalente deve essere calcolato in conformità con EN 1992-1-1 Equazione 7.12.

\[{{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}\]

k₁ .   .   .   . è un coefficiente che tiene conto delle proprietà di aderenza dell'armatura aderente

• k₁ = 0,8 per barre ad alta aderenza
• k₁ = 1,6 per barre con superficie efficacemente liscia (ad es. tendini da precompressione)

k₂ .   .   .   . è un coefficiente che tiene conto della distribuzione delle deformazioni

• k₂ = 1,0 per flessione
• k₂ = 0,5 per trazione pura

Per i casi di trazione eccentrica o per aree locali, si devono utilizzare valori intermedi di k₂, che possono essere calcolati dalla relazione:

\[{{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}\]

k₃      .   .   .   .  coefficiente che esprime la lunghezza dell'area vicino a una fessura dove l'aderenza tra il calcestruzzo e l'armatura è interrotta. Il valore raccomandato di base EC k₃ = 3,4 può essere modificato dall'Allegato Nazionale. 

k₄      .   .   .   .   il coefficiente esprime il rapporto tra la resistenza di aderenza e la resistenza a trazione del calcestruzzo. Il valore raccomandato di base EC k4 = 0,425 può essere modificato dall'Allegato Nazionale.

Il calcolo della distanza massima tra le fessure s_r,max per il caso in cui gli interassi delle armature superano il valore 5(c+ϕ/2) è definito come segue:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

I valori della distanza massima tra le fessure secondo l'equazione

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

dovrebbero essere sempre maggiori dei valori determinati dall'equazione

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;\]

altrimenti si raccomanda di considerare la distanza maggiore ottenuta dalle equazioni precedenti. L'equazione per la deformazione nel calcestruzzo/armatura non viene modificata per il caso di grande interasse dell'armatura. Nelle zone con ampiezze di fessura controllate, l'interasse delle singole armature non dovrebbe essere maggiore di 5(c+ϕ/2).

Calcolo dell'ampiezza delle fessure implementato in RCS

Determinazione dell'area efficace A_c,eff

Poiché non è immediato determinare quale armatura possa essere considerata come armatura longitudinale resistente alla fessurazione, A_c,eff viene determinata mediante il seguente processo iterativo.

• Di tutta l'armatura che lavora a trazione, viene determinato il centro della forza di trazione C_g,s,1. La profondità efficace dell'armatura d è la distanza tra C_g,s e la fibra di calcestruzzo maggiormente compressa, calcolata nella direzione del momento flettente risultante. Allo stesso tempo, vengono determinati la posizione dell'asse neutro e l'altezza della zona compressa x per la sezione trasversale fessurata. Ciò consente di determinare l'altezza efficace h_c,eff:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

• Escludendo tutta l'armatura che si trova al di fuori di A_c,eff,1, viene determinato il nuovo centro dell'armatura C_g,s,2, insieme alla nuova profondità efficace dell'armatura d; l'altezza efficace h_c,eff viene determinata nello stesso modo del passo precedente, ma con valori di input modificati.

Si verifica nuovamente che tutta l'armatura tesa in esame si trovi in A_c,eff,2. Se questa condizione è soddisfatta, l'iterazione può essere terminata e i valori di h_c,eff,2, A_c,eff,2 e A_s,eff,2 vengono visualizzati come valori risultanti in IDEA StatiCa RCS.

Possibili casi di calcolo dell'ampiezza delle fessure

In generale, nel calcolo delle ampiezze delle fessure possono verificarsi tre casi:

• L'armatura tesa si trova nella regione A_c,eff, con l'interasse delle singole armature inferiore a 5(c+ϕ/2). Per il calcolo vengono quindi utilizzate le seguenti definizioni:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• L'armatura tesa si trova in A_c,eff, con l'interasse delle singole armature che supera la distanza 5(c+ϕ/2). Per il calcolo vengono quindi utilizzate le seguenti definizioni:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• L'armatura tesa non si trova in A_c,eff (ciò può essere causato, ad esempio, da un copriferro elevato). 

In questo caso non sarebbe possibile calcolare l'ampiezza delle fessure. Pertanto, il calcolo dell'altezza efficace h_c,eff viene modificato come segue:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}\]

Allo stesso tempo, viene visualizzata la seguente non conformità:

L'area efficace del calcestruzzo teso che circonda l'armatura o i tendini da precompressione di profondità h_c,eff, dove h_c,eff è il minore tra 2,5(h – d) e h/2. Considerando il valore come (h – x)/3, l'armatura si trova al di fuori dell'area efficace del calcestruzzo teso, e pertanto non sarebbe possibile calcolare l'ampiezza delle fessure secondo il paragrafo 7.3.4.