Fisuri

Formarea fisurilor

O caracteristică specifică a structurilor din beton armat supuse la încovoiere sau la eforturi de întindere este apariția fisurării în punctele în care tensiunea de întindere din beton depășește rezistența la întindere a betonului. Pentru durabilitatea structurii și, de asemenea, pentru estetica acesteia, este important să se asigure că fisurile rezultate sunt cât mai mici posibil. Calculul lățimilor fisurilor, precum și lățimile maxime admise pentru diferitele clase de expunere sunt prevăzute în EN 1992-1-1, Capitolul 7.3.

În primul pas al calculului, se determină dacă secțiunea transversală este fisurată sau nu. Lățimea fisurii în sine se calculează întotdeauna din combinația de încărcări cvasipermanentă sau frecventă (în funcție de anexa națională), dar formarea fisurilor trebuie verificată din toate combinațiile SLS specificate. Astfel, pot apărea două cazuri:

• Tensiunea maximă de întindere din fibrele de beton nu va depăși rezistența la întindere a betonului pentru nicio combinație de încărcări (cvasipermanentă M_E,qp, frecventă M_E,fr, sau caracteristică M_E,k), și prin urmare considerăm secțiunea transversală fără fisuri.

\[{{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

• Dacă se formează fisuri pentru oricare dintre combinații (cvasipermanentă, frecventă sau caracteristică), adică momentul încovoietor dezvoltat din combinația de încărcări considerată este mai mare decât momentul critic M_cr, secțiunea transversală este fisurată pentru acea combinație de încărcări, iar caracteristicile secțiunii transversale fisurate și lățimea fisurii trebuie calculate.

\[{{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

M_E,i   .   .   momentul încovoietor obținut dintr-o combinație de încărcări SLS. Astfel, poate fi M_E,qp, M_E,fr, sau M_E,k. 

f_ct,ef   .   .  rezistența la întindere a betonului la momentul considerat. Dacă betonul are mai mult de 28 de zile, se consideră o rezistență egală cu f_ctm.

Calculul lățimii fisurilor

Într-un element solicitat la încovoiere, formarea fisurilor este împărțită în 2 fenomene:

• Faza de formare a fisurilor (etapa numărul 2 din Fig. 1)
• Dezvoltarea stabilizată a fisurilor (etapa numărul 3 din Fig. 1)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}\]

Etapa de dezvoltare a fisurilor

Aceasta este partea inițială a procesului în care fisurile individuale apar încă treptat, până când întreaga zonă întinsă a elementului este afectată de fisuri distribuite aproximativ uniform pe lungimea elementului. Prima fisură se formează atunci când forța din fâșia întinsă depășește valoarea forței critice N_r (forța critică de întindere, a se vedea mai jos), iar fisurile ulterioare se dezvoltă până la un nivel de încărcare care exercită o forță în fâșia întinsă egală cu aproximativ 1,3N_cr (faza numărul 2 din Fig. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}\]

Fisurile care se dezvoltă sunt împărțite în 2 tipuri - fisuri primare și secundare. Fisurile primare apar în fibrele întinse atunci când se atinge rezistența efectivă la întindere a betonului (f_ct,eff). Fisurile primare reprezintă primul model de fisurare (Fig. 2). Fisurile secundare, mai scurte, se formează ulterior între fisurile primare (Fig. 3). La tensiuni corespunzătoare unui nivel de aproximativ 1,2 până la 1,5 σ_sr (de obicei se consideră o valoare medie de 1,3 σ_sr, unde σ_sr este tensiunea din armătură la formarea fisurilor primare în zona întinsă a betonului), dezvoltarea fisurilor secundare este, de asemenea, finalizată.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}\]

Lățimea fisurii în etapa de formare a fisurilor poate fi calculată astfel:

\[{{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}\]

Etapa de fisurare stabilizată

După depășirea a aproximativ 1,3 ori forța critică în zona întinsă, nu se mai formează fisuri noi, numărul fisurilor din element se stabilizează, iar odată cu creșterea încărcării crește doar lățimea fisurilor existente (etapa numărul 3 din Fig. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}\]

Lățimea fisurii în etapa de dezvoltare stabilizată poate fi calculată astfel:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}\]

Forța critică de întindere

Calculul se bazează pe Modelul Corzii Întinse (TCM). Considerația de bază constă în calculul capacității ultime a unei fâșii de beton armat formată dintr-o bară de armătură cu aria A_s,eff înconjurată de o arie efectivă de beton întins A_c,eff, care este capabilă să reziste la tensiunea de întindere până când rezistența la întindere f_ct,eff este depășită (în mod normal se consideră f_ctm). Presupunând o aderență perfectă între armătură și beton, putem considera că până la apariția primei fisuri, deformarea armăturii și a betonului înconjurător este identică. Atunci forța maximă din fâșia întinsă imediat înainte de prima fisură N_r poate fi determinată:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}\]

Prin introducerea substituției

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

obținem:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Imediat după formarea primei fisuri, întreaga forță N_r este preluată de armătură, iar tensiunea din armătura care traversează fisura nou formată poate fi calculată astfel:

\[{{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{{\rho }_{p,eff}}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Calculul lățimii fisurilor conform EC 1992-1-1

Următoarea ecuație este utilizată pentru calculul lățimii fisurilor în elementele din beton armat:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

s_r,max   .   .   .   distanța maximă dintre fisuri

ε_sm  .   .   .   .   deformația medie a armăturii din combinația de încărcări, inclusiv efectele participarea betonului întins.

ε_cm  .   .   .   .   deformația medie a betonului între fisuri

Calculul diferenței de deformații

Diferența dintre deformația armăturii și a betonului între fisuri poate fi obținută din ecuația:

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

σ_s      .   .   .   .   tensiunea din armătură în fisură din combinația de încărcări considerată

k_t      .   .   .   .   un coeficient empiric care ține cont de deformația medie, dependent de durata încărcării. Poate lua valori de 0,6 pentru analiza pe termen scurt. Pentru analiza pe termen lung, se ia în considerare reducerea rigidității elementului compus la aproximativ 70%, astfel valoarea sa este 0,4, care include rata de degradare a aderenței dintre armătură și beton în timp.

α_e     .   .   .   . raportul efectiv al modulilor de elasticitate

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}\]

ς_p,_eff  .   .   .   .   gradul efectiv de armare

\[{{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

A_c,_eff .   .   .   .   aria efectivă a betonului întins care înconjoară armătura (determinarea A_c,eff mai jos)

A_s,_eff .   .   .   .   aria armăturii cu aderență situată în zona A_c,_eff

A_p´    .   .   .   .   este aria armăturilor pretensionate sau post-tensionate în interiorul A_c,_eff

ξ₁  .   .   .   .   .   este raportul ajustat al rezistenței de aderență, ținând cont de diametrele diferite ale oțelului de precomprimare și ale armăturii:

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}\]

ξ  .   .   . raportul rezistenței de aderență a oțelului de precomprimare și a armăturii (Tabelul 6.2)

ϕ_s   .   .  diametrul maxim al barei de armătură

ϕ_p   .   .  diametrul sau diametrul echivalent al oțelului de precomprimare

Pentru fascicule, A_p este aria armăturii din armătura pretensionată

\[{{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}\]

Pentru toronuri individuale cu șapte fire, unde φ_wire este diametrul firului

\[{{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Pentru toronuri individuale cu trei fire, unde φ_wire este diametrul firului

\[{{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Dacă se utilizează doar armătură de precomprimare pentru a preveni fisurarea, atunci trebuie considerat următorul aspect.

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}\]

În elementele precomprimate, nu este necesară o arie minimă de armătură cu aderență atât timp cât, sub combinația caracteristică de încărcări și valoarea caracteristică a forței de precomprimare, tensiunea de întindere din orice fibră nu este mai mare decât rezistența la întindere a betonului, f_ct,eff. (a se vedea EN 1992-1-1 cap. 7.3.2 pentru mai multe detalii)

Aria efectivă a betonului întins

Un pas important, dar totodată cel mai complicat al calculului, este determinarea ariei efective a betonului întins care înconjoară armătura. Atât Eurocodul, cât și Codul Model iau în considerare moduri simple de încărcare, în care elementul din beton armat este solicitat la încovoiere uniaxială sau la întindere. Valoarea înălțimii efective se determină astfel:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}\]

De obicei, valoarea h_c,eff = 2,5(h-d) este critică. Pentru elementele solicitate la întindere, limita superioară este h/2, în timp ce pentru elementele încovoiate este (h-x)/3. Cu toate acestea, aria A_c,eff este limitată și de lățimea determinată din ecuația 5(c+ϕ/2). Dacă distanța dintre armături este mai mare de 5(c+ϕ/2), atunci se consideră aria efectivă a betonului întins cu lățimea 5(c+ϕ/2) pentru barele individuale.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}\]

Distanța maximă dintre fisuri

La calculul distanței maxime dintre fisuri s_r,max, pot apărea două cazuri:

• Distanța axială a armăturii cu aderență nu depășește o distanță de 5(c+ϕ/2) - Fig. 9a
• Distanța axială a armăturilor cu aderență este mai mare de 5(c+ϕ/2) - Fig. 9b

Calculul distanței maxime dintre fisuri s_r,max pentru cazul în care distanțele axiale ale armăturilor nu depășesc valoarea 5(c+ϕ/2) este definit astfel:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

c  .    .   .   .   .   valoarea acoperirii cu beton în mm. Deoarece valoarea acoperirii poate fi diferită pentru armătura de margine față de ambele margini orizontale și verticale, se recomandă să se considere valoarea maximă a acoperirii găsită pentru armătura în cauză.

ϕ     .   .   .   .   diametrul armăturii cu aderență. În cazul unor diametre diferite de armătură, diametrul echivalent se calculează în conformitate cu EN 1992-1-1 Ecuația 7.12.

\[{{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}\]

k₁ .   .   .   . este un coeficient care ține cont de proprietățile de aderență ale armăturii cu aderență

• k₁ = 0,8 pentru bare cu aderență ridicată
• k₁ = 1,6 pentru bare cu suprafață efectiv netedă (de ex. armături pretensionate)

k₂ .   .   .   . este un coeficient care ține cont de distribuția deformațiilor

• k₂ = 1,0 pentru încovoiere
• k₂ = 0,5 pentru întindere pură

Pentru cazurile de întindere excentrică sau pentru zone locale, trebuie utilizate valori intermediare ale k₂, care pot fi calculate din relația:

\[{{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}\]

k₃      .   .   .   .  coeficient care exprimă lungimea zonei din apropierea unei fisuri unde aderența dintre beton și armătură este întreruptă. Valoarea recomandată de baza EC k₃ = 3,4 poate fi modificată de Anexa Națională. 

k₄      .   .   .   .   coeficient care exprimă relația dintre rezistența de aderență și rezistența la întindere a betonului. Valoarea recomandată de baza EC k4 = 0,425 poate fi ajustată de Anexa Națională.

Calculul distanței maxime dintre fisuri s_r,max pentru cazul în care distanțele axiale ale armăturilor depășesc valoarea 5(c+ϕ/2) este definit astfel:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

Valorile distanței maxime dintre fisuri conform ecuației

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

trebuie să fie întotdeauna mai mari decât valorile determinate prin ecuația

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;\]

în caz contrar, se recomandă să se considere distanța mai mare obținută din ecuațiile de mai sus. Ecuația pentru deformația din beton/armătură nu este modificată pentru cazul distanței axiale mari a armăturii. În zonele cu lățimi controlate ale fisurilor, distanța axială a armăturilor individuale nu trebuie să fie mai mare de 5(c+ϕ/2).

Calculul lățimii fisurilor implementat în RCS

Determinarea ariei efective A_c,eff

Deoarece nu este atât de simplu să se determine care armătură poate fi considerată ca armătură longitudinală de rezistență la fisurare, A_c,eff se determină utilizând următorul proces iterativ.

• Din toate armăturile care lucrează la întindere, se determină centrul forței de întindere C_g,s,1. Înălțimea utilă a armăturii d este distanța dintre C_g,s și fibra de beton cea mai comprimată, calculată în direcția momentului încovoietor rezultant. Totodată, se determină poziția axei neutre și înălțimea zonei comprimate x pentru secțiunea transversală fisurată. Aceasta permite determinarea înălțimii efective h_c,eff:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

• Prin excluderea tuturor armăturilor situate în afara A_c,eff,1, se determină noul centru al armăturii C_g,s,2, împreună cu noua înălțime utilă a armăturii d; înălțimea efectivă h_c,eff se determină în același mod ca în pasul anterior, doar cu valori de intrare modificate.

Se verifică din nou că toate armăturile întinse luate în considerare se află în A_c,eff,2. Dacă această condiție este îndeplinită, iterația poate fi încheiată, iar valorile h_c,eff,2, A_c,eff,2 și A_s,eff,2 sunt afișate ca valori rezultante în IDEA StatiCa RCS.

Cazuri posibile de calcul al lățimii fisurilor

În general, pot apărea trei cazuri la calculul lățimilor fisurilor:

• Armătura întinsă se află în zona A_c,eff, cu distanța axială a armăturilor individuale mai mică de 5(c+ϕ/2). Atunci se utilizează următoarele definiții pentru calcul:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• Armătura întinsă se află în A_c,eff, cu distanța axială a armăturilor individuale depășind distanța 5(c+ϕ/2). Atunci se utilizează următoarele definiții pentru calcul:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• Armătura întinsă nu se află în A_c,eff (aceasta poate fi cauzată, de exemplu, de o acoperire cu beton mare). 

În acest caz, nu ar fi posibil să se calculeze lățimea fisurilor. Prin urmare, calculul înălțimii efective h_c,eff este modificat după cum urmează:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}\]

Totodată, este afișată următoarea neconformitate:

Aria efectivă a betonului întins care înconjoară armătura sau armăturile pretensionate de înălțime h_c,eff, unde h_c,eff este minimul dintre 2,5(h – d) sau h/2. Considerând valoarea ca (h – x)/3, armătura se află în afara ariei efective a betonului întins și, prin urmare, nu ar fi posibil să se calculeze lățimea fisurilor conform clauzei 7.3.4.