2.5 Eindige Elementen typen

Het niet-lineaire (inelastische) eindige elementen analysemodel wordt opgebouwd uit verschillende typen eindige elementen die worden gebruikt om beton, wapening en de aanhechting daartussen te modelleren. Beton- en wapeningselementen worden eerst onafhankelijk van elkaar gemaild en vervolgens met elkaar verbonden via meerpuntsrandvoorwaarden (MPC-elementen). Hierdoor kan de wapening een willekeurige, relatieve positie innemen ten opzichte van het beton. Als de verificatie van de verankeringslengte moet worden berekend, worden bond- en veerelementen voor het verankeringseinduiteinde ingevoegd tussen de wapening en de MPC-elementen.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}\]

Beton

Beton wordt gemodelleerd met vierhoekige en driehoekige schaalselementen, CQUAD4 en CTRIA3. Deze kunnen worden gedefinieerd door respectievelijk vier of drie knopen. In deze elementen wordt uitsluitend vlakke spanning verondersteld, d.w.z. spanningen of rekken in de z-richting worden niet beschouwd.

Elk element heeft vier of drie integratiepunten die op ongeveer 1/4 van de elementgrootte zijn geplaatst. In elk integratiepunt van elk element worden de richtingen van de hoofdrekken α₁, α₂ berekend. In beide richtingen worden de hoofdspanningen σ_c1, σ_c2 en de stijfheden E₁, E₂ bepaald aan de hand van het opgegeven spanning-rek diagram voor beton, zoals weergegeven in Fig. 2. Opgemerkt dient te worden dat het effect van compression softening het gedrag in de hoofddrukrichting koppelt aan de actuele toestand in de andere hoofdrichting.

Wapening

Wapeningsstaven worden gemodelleerd door twee-knoop 1D "staaf"-elementen (CROD), die uitsluitend axiale stijfheid bezitten. Deze elementen zijn verbonden met speciale "bond"-elementen die zijn ontwikkeld om het glijgedrag tussen een wapeningsstaaf en het omringende beton te modelleren. Deze bond-elementen worden vervolgens via MPC-elementen (meerpuntsrandvoorwaarden) verbonden met de mesh die het beton vertegenwoordigt. Deze aanpak maakt onafhankelijke meshing van wapening en beton mogelijk, terwijl de onderlinge verbinding achteraf wordt gewaarborgd.

Bond-elementen

De verankeringslengte wordt geverifieerd door de bond-schuifspanningen tussen betonelementen (2D) en wapeningsstaafelementen (1D) in het eindige elementenmodel op te nemen. Hiertoe is een "bond" eindige elementtype ontwikkeld.

De definitie van het bond-element is vergelijkbaar met die van een schaalelement (CQUAD4). Het wordt eveneens gedefinieerd door 4 knopen, maar in tegenstelling tot een schaal heeft het uitsluitend een niet-nul stijfheid in afschuiving tussen de twee bovenste en twee onderste knopen. In het model zijn de bovenste knopen verbonden met de elementen die de wapening vertegenwoordigen en de onderste knopen met die welke het beton vertegenwoordigen. Het gedrag van dit element wordt beschreven door de bondspanning, τ_b, als een bilineaire functie van de glijding tussen de bovenste en onderste knopen, δ_u, zie Fig. 14.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}\]

De elastische stijfheidsmodulus van de bond-glijrelatie, G_b, wordt als volgt gedefinieerd:

\[G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}\]

waarbij:

k_g            coëfficiënt afhankelijk van het oppervlak van de wapeningsstaaf (standaard k_g = 0,2)

E_c            elasticiteitsmodulus van beton (aangenomen als E_cm in geval van EN)

Ø             de diameter van de wapeningsstaaf

De rekenwaarden (gecorrigeerde waarden) van de maximale bond-schuifspanning, f_bd, zoals vermeld in de respectievelijk geselecteerde normen EN 1992-1-1 of ACI 318-19, worden gebruikt voor de verificatie van de verankeringslengte. De verharding van de plastische tak wordt standaard berekend als G_b/10⁵.

Veerelement voor verankering

Het aanbrengen van verankeringsuiteindes aan de wapeningsstaven (d.w.z. bochten, haken, lussen…), die voldoen aan de voorschriften van de normen, maakt het mogelijk de basisverankeringslengte van de staven (l_b,net) te reduceren met een bepaalde factor β (hierna aangeduid als de 'verankeringscoëfficiënt'). De rekenwaarde van de verankeringslengte (l_b) wordt dan als volgt berekend:

\[l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}\]

De beoogde reductie van l_b,net is equivalent aan de activering van de wapeningsstaaf aan het uiteinde op een percentage van zijn maximale capaciteit, gegeven door de verankeringsreductiecoëfficiënt, zoals weergegeven in Fig. 15a.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}\]

De reductie van de verankeringslengte is in het eindige elementenmodel opgenomen door middel van een veerelement aan het uiteinde van de staaf (Fig. 15), dat wordt gedefinieerd door het constitutieve model weergegeven in Fig. 15b. De maximale kracht die door dit veerelement wordt overgedragen (F_au) is:

\[F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}\]

waarbij:

β             de verankeringscoëfficiënt op basis van het verankeringstype,

A_s            de doorsnede van de wapeningsstaaf,

f_yd           de rekenwaarde (gecorrigeerde waarde) van de vloeigrens van de wapening.