3.1 Grenstoestanden en scheurwijdteberekening

Beoordeling van de constructie met behulp van de CSFM wordt uitgevoerd door twee verschillende analyses: één voor bruikbaarheid en één voor belastingcombinaties in de uiterste grenstoestand. De bruikbaarheidsanalyse gaat ervan uit dat het uiterste gedrag van het element bevredigend is en dat de vloeivoorwaarden van het materiaal niet worden bereikt bij belastingsniveaus voor de bruikbaarheidsgrenstoestand. Deze aanpak maakt het gebruik van vereenvoudigde constitutieve modellen (met een lineaire tak van het spanning-rek diagram van beton) voor bruikbaarheidsanalyse mogelijk om de numerieke stabiliteit en berekeningssnelheid te verbeteren. Daarom wordt aanbevolen de hieronder gepresenteerde werkwijze te gebruiken, waarbij de analyse van de uiterste grenstoestand als eerste stap wordt uitgevoerd.

Analyse van de uiterste grenstoestand

De verschillende verificaties die door specifieke ontwerpcodes worden vereist, worden beoordeeld op basis van de directe resultaten van het model. UGT-verificaties worden uitgevoerd voor betonsterkte, wapeningssterkte en verankering (aanhechting schuifspanningen).

Om ervoor te zorgen dat een constructief element een efficiënt ontwerp heeft, wordt sterk aanbevolen een voorlopige analyse uit te voeren waarbij rekening wordt gehouden met de volgende stappen:

• Kies een selectie van de meest kritische belastingcombinaties.
• Bereken alleen belastingcombinaties voor de Uiterste Grenstoestand (UGT).
• Gebruik een grof mesh (door de vermenigvuldiger van de standaard mesh-grootte in Setup te vergroten (Fig. 19)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}\]

Een dergelijk model berekent zeer snel, waardoor ontwerpers de detaillering van het constructieve element efficiënt kunnen beoordelen en de analyse opnieuw kunnen uitvoeren totdat aan alle verificatievereisten is voldaan voor de meest kritische belastingcombinaties. Zodra aan alle verificatievereisten van deze voorlopige analyse is voldaan, wordt gesuggereerd de volledige uiterste belastingcombinaties op te nemen en een fijn mesh te gebruiken (de mesh-grootte die door het programma wordt aanbevolen). De gebruiker kan de mesh-grootte wijzigen via de vermenigvuldiger, die waarden kan bereiken van 0,5 tot 5 (Fig. 19).

De basisresultaten en verificaties (spanning, rek en benuttingsgraad (d.w.z. de berekende waarde/grenswaarde uit de norm), evenals de richting van de hoofdspanningen in het geval van betonelementen) worden weergegeven door middel van verschillende plots waarbij druk over het algemeen in rood en trek in blauw wordt weergegeven. Globale minimum- en maximumwaarden voor de gehele constructie kunnen worden gemarkeerd, evenals minimum- en maximumwaarden voor elk door de gebruiker gedefinieerd onderdeel. In een apart tabblad van het programma kunnen geavanceerde resultaten zoals tensorwaarden, vervormingen van de constructie en wapeningspercentages (effectief en geometrisch) die worden gebruikt voor het berekenen van de tension stiffening van wapeningsstaven worden weergegeven. Bovendien kunnen belastingen en reacties voor geselecteerde combinaties of belastinggevallen worden gepresenteerd.

Analyse van de bruikbaarheidsgrenstoestand

BGT-beoordelingen worden uitgevoerd voor spanningsbegrenzing, scheurwijdte en doorbuigingsgrenzen. Spanningen worden gecontroleerd in beton- en wapeningselementen overeenkomstig de toepasselijke norm op een vergelijkbare wijze als gespecificeerd voor de UGT.

De bruikbaarheidsanalyse bevat bepaalde vereenvoudigingen van de constitutieve modellen die worden gebruikt voor de analyse van de uiterste grenstoestand. Er wordt een perfecte aanhechting aangenomen, d.w.z. de verankeringslengte wordt niet geverifieerd bij bruikbaarheid. Bovendien wordt de plastische tak van de spanning-rek curve van beton in druk buiten beschouwing gelaten, terwijl de elastische tak lineair en oneindig is. Deze vereenvoudigingen verbeteren de numerieke stabiliteit en berekeningssnelheid, en verminderen de algemeenheid van de oplossing niet zolang de resulterende materiaalspanningsgrenzen bij bruikbaarheid duidelijk onder hun vloeipunten liggen (zoals vereist door normen). Daarom zijn de vereenvoudigde modellen die worden gebruikt voor bruikbaarheid alleen geldig als aan alle verificatievereisten is voldaan.

Scheurwijdteberekening en tension stiffening

Scheurwijdteberekening

Er zijn twee manieren om scheurwijdten te berekenen: gestabiliseerde en niet-gestabiliseerde scheurvorming. Op basis van de geometrische wapeningsverhouding in elk deel van de constructie wordt bepaald welk type scheurberekeningsmodel wordt gebruikt (TCM voor gestabiliseerde scheurvorming en POM voor niet-gestabiliseerd scheurvorming model).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)

Terwijl de CSFM voor de meeste verificaties een direct resultaat geeft (bijv. staafcapaciteit, doorbuigingen…), worden scheurwijdteresultaten berekend uit de wapeningsrekresultaten die rechtstreeks door de EE-analyse worden geleverd, volgens de methodologie beschreven in Fig. 20. Er wordt uitgegaan van een scheurkinematica zonder glijding (zuivere scheuropening) (Fig. 20a), wat consistent is met de belangrijkste aannames van het model. De hoofdrichtingen van spanningen en rekken bepalen de helling van de scheuren (θ_r = θ_s= θ_e). Volgens (Fig. 20b) kan de scheurwijdte (w) worden geprojecteerd in de richting van de wapeningsstaf (w_b), wat leidt tot:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]

waarbij θ_b de stafinclinate is.

Let op: het programma geeft waarden weer van θ_r en θ_b < π/2. Dit betekent dat de voorgaande vergelijking geldt voor gevallen waarbij de wapening en de scheur door verschillende kwadranten van het Cartesisch coördinatenstelsel lopen, zoals weergegeven in Fig. 20, waarbij de wapening door het I. en III. kwadrant loopt en de scheur door het II. en IV. kwadrant. Voor gevallen waarbij de wapening en de scheur door dezelfde kwadranten lopen, moet de vergelijking als volgt worden aangepast:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}\]

De component w_b wordt consistent berekend op basis van de tension stiffening modellen door de wapeningsrekken te integreren. Voor die gebieden met volledig ontwikkelde scheurpatronen worden de berekende gemiddelde rekken (e_m) langs de wapeningsstaven direct geïntegreerd over de scheurafstand (s_r), zoals aangegeven in (Fig. 20c). Hoewel deze benadering voor het berekenen van de scheurrichtingen niet overeenkomt met de werkelijke positie van de scheuren, levert zij toch representatieve waarden op die leiden tot scheurwijdteresultaten die kunnen worden vergeleken met de door de norm vereiste scheurwijdtewaarden ter plaatse van de wapeningsstaf.

Bijzondere situaties doen zich voor bij concave hoeken van de berekende constructie. In dit geval bepaalt de hoek de positie van een enkele scheur die zich op niet-gestabiliseerde wijze gedraagt voordat aangrenzende scheuren zich ontwikkelen. Deze aanvullende scheuren ontwikkelen zich over het algemeen na het bruikbaarheidsgebied (Mata-Falcón 2015), wat het rechtvaardigt om de scheurwijdten in een dergelijk gebied te berekenen alsof ze niet-gestabiliseerd zijn (Fig. 21).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]

Tension stiffening

De implementatie van tension stiffening maakt onderscheid tussen gevallen van gestabiliseerde en niet-gestabiliseerde scheurpatronen. In beide gevallen wordt het beton standaard als volledig gescheurd beschouwd vóór belasting.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)

Gestabiliseerde scheurvorming

Bij volledig ontwikkelde scheurpatronen wordt tension stiffening geïntroduceerd met behulp van het Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a – waarvan is aangetoond dat het uitstekende responsvoorspellingen oplevert ondanks zijn eenvoud (Burns 2012). Het TCM gaat uit van een getrapt, star-perfect plastisch aanhechting-schuifspanning-glijdingsverband met τ_b = τ_b0 =2 f_ctm voor σ_s ≤ f_y en τ_b =τ_b1 = f_ctm voor σ_s > f_y. Door elke wapeningsstaf als een trekkoord te beschouwen ­– Fig. 22b en Fig. 22a – kan de verdeling van de aanhechtingsschuifspanning, staal- en betonspanningen en daarmee de rekverdeling tussen twee scheuren worden bepaald voor elke gegeven waarde van de maximale staalspanningen (of rekken) ter plaatse van de scheuren.

Voor s_r = s_r0 kan al dan niet een nieuwe scheur ontstaan, omdat in het midden tussen twee scheuren σ_c1 = f_ct. Bijgevolg kan de scheurafstand variëren met een factor twee, d.w.z. s_r = λs_r0, met l = 0,5…1,0. Bij een bepaalde waarde voor λ kan de gemiddelde rek van het koord (ε_m) worden uitgedrukt als functie van de maximale wapeningsspanningen (d.w.z. spanningen ter plaatse van de scheuren, σ_sr). Voor het geïdealiseerde bilineaire spanning-rek diagram voor de wapeningsstaven dat standaard in de CSFM wordt gehanteerd, worden de volgende gesloten analytische uitdrukkingen verkregen (Marti et al. 1998):

\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]

\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]

\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]

waarbij:
E_sh           de staalverhardingsmodulus E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            elasticiteitsmodulus van de wapening,

Ø            diameter van de wapeningsstaf,

s_r                scheurafstand,

σ_sr           wapeningsspanningen ter plaatse van de scheuren,

σ_s            actuele wapeningsspanningen,

f_y                vloeigrens van de wapening.

De Idea StatiCa Detail implementatie van de CSFM houdt standaard rekening met de gemiddelde scheurafstand bij het uitvoeren van computerondersteunde spanningsveldanalyse. De gemiddelde scheurafstand wordt beschouwd als 2/3 van de maximale scheurafstand (λ = 0,67), wat aansluit bij aanbevelingen op basis van buigings- en trekproeven (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Opgemerkt dient te worden dat bij de berekening van scheurwijdten een maximale scheurafstand (λ = 1,0) wordt gehanteerd om conservatieve waarden te verkrijgen.

De toepassing van het TCM is afhankelijk van de wapeningsverhouding, en daarom is de toewijzing van een geschikte betonoppervlakte die tussen de scheuren op trek werkt aan elke wapeningsstaf cruciaal. Er is een automatische numerieke procedure ontwikkeld om de bijbehorende effectieve wapeningsverhouding (ρ_eff = A_s/A_c,eff) voor elke configuratie, inclusief schuine wapening (Fig. 23).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)

Niet-gestabiliseerde scheurvorming

Scheuren in gebieden met geometrische wapeningsverhoudingen lager dan ρ_cr, d.w.z. de minimale hoeveelheid wapening waarbij de wapening in staat is de scheurlast op te nemen zonder te vloeien, worden veroorzaakt door niet-mechanische invloeden (bijv. krimp) of door de voortgang van scheuren die worden beheerst door andere wapening. De waarde van deze minimale wapening wordt als volgt bepaald:

\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]

waarbij:

f_y              vloeigrens van de wapening,

f_ct             treksterkte van het beton,

n              modulaire verhouding, n = E_s / E_c .

Voor gangbaar beton en wapeningsstaal bedraagt ρ_cr ongeveer 0,6%.

Voor beugels met wapeningsverhoudingen onder ρ_cr wordt scheurvorming als niet-gestabiliseerd beschouwd en wordt tension stiffening geïmplementeerd door middel van het Pull-Out Model (POM) beschreven in Fig. 22b. Dit model analyseert het gedrag van een enkele scheur zonder mechanische interactie tussen afzonderlijke scheuren, waarbij de vervormingscapaciteit van het beton op trek wordt verwaarloosd en dezelfde getrapte, star-perfect plastische aanhechtingsschuifspanning-glijdingsrelatie wordt aangenomen als gebruikt door het TCM. Dit maakt het mogelijk om de wapeningsrekverdeling (ε_s) in de nabijheid van de scheur te bepalen voor elke maximale staalspanning ter plaatse van de scheur (σ_sr) rechtstreeks uit evenwicht. Gezien het feit dat de scheurafstand onbekend is bij een niet-volledig ontwikkeld scheurpatroon, wordt de gemiddelde rek (ε_m) berekend voor elk belastingsniveau over de afstand tussen punten met nulglijding wanneer de wapeningsstaf zijn treksterkte (f_t) bereikt ter plaatse van de scheur (l_ε,avg in Fig. 22b), wat leidt tot de volgende betrekkingen:

De voorgestelde modellen maken de berekening mogelijk van het gedrag van verankerde wapening, dat uiteindelijk in de analyse wordt meegenomen. Dit gedrag (inclusief tension stiffening) voor het meest gangbare Europese wapeningsstaal (B500B, met f_t / f_y = 1,08 en ε_u = 5%) is weergegeven in Fig. 22c-d.