Zginanie

Metody sprawdzenia nośności przekroju

Do sprawdzenia stanu granicznego nośności dla jednowymiarowych elementów betonowych można zastosować dwie dobrze znane metody. Pierwsza z nich pozwala uzyskać nośność graniczną przekroju w postaci powierzchni interakcji lub wykresu interakcji (w przypadku momentu gnącego w jednym kierunku). Nośność przekroju można określić jako stosunek działających sił wewnętrznych do sił odpowiadających stanowi granicznemu. Druga metoda polega na znalezieniu równowagi w przekroju poprzecznym, gdzie poszukuje się rzeczywistego zachowania obciążonego przekroju, stopnia wykorzystania materiałów pod względem naprężeń oraz identyfikacji słabych punktów przekroju.

Ogólne założenia projektowe i obliczeniowe dla Stanu Granicznego Nośności 

1. Odkształcenie ε w zbrojeniu i betonie przyjmuje się jako wprost proporcjonalne do odległości od osi obojętnej (płaskie przekroje pozostają płaskie).
2. Współpraca zbrojenia i betonu jest zapewniona przez ich wzajemne oddziaływanie bez poślizgu (odkształcenie ε zbrojenia i sąsiednich włókien betonu są jednakowe).
3. Wytrzymałość betonu na rozciąganie jest pomijana (wszystkie naprężenia rozciągające są przenoszone przez zbrojenie).
4. Naprężenia ściskające w betonie w strefie ściskanej obliczane są na podstawie odkształceń wyznaczonych z wykresów naprężenie-odkształcenie.
5. Naprężenia w zbrojeniu obliczane są na podstawie odkształceń z wykresów naprężenie-odkształcenie.
6. Odkształcenie ściskające betonu z granicznym odkształceniem ε_cu2 (wykres paraboliczno-prostokątny dla betonu ściskanego) oraz ε_cu3 (dwuliniowy wykres naprężenie-odkształcenie), [2].
7. Odkształcenie ściskające zbrojenia jest nieograniczone w przypadku poziomej plastycznej gałęzi górnej; w przypadku pochylonej plastycznej gałęzi górnej odkształcenie jest ograniczone do ε_ud,[2].
8. Stan graniczny jest osiągnięty, gdy stan co najmniej jednego z materiałów przekracza graniczne odkształcenie stanu granicznego nośności (jeśli εu nie jest ograniczone, miarodajny jest ściskany beton).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}\]

Wykres interakcji

Pierwszą opcją jest sprawdzenie przekroju poprzecznego za pomocą powierzchni interakcji (lub wykresu interakcji). Wyjaśnienie przedstawiono na przykładzie powierzchni interakcji dla zbrojonego przekroju kwadratowego z przykładu na poniższym rysunku. Na powierzchni interakcji znajdują się punkty definiujące stan graniczny nośności badanego przekroju poprzecznego. Powierzchnia interakcji jest wyznaczana na podstawie punktów (N, My, Mz), które są określane przez całkowanie naprężeń w przekroju poprzecznym, który osiągnął graniczne odkształcenie w jednym z materiałów. Dla interakcji 3D powierzchnię można wyprowadzić z wykresu interakcji 2D, który jest krzywą zamkniętą, odpowiadającą naprężeniom przy stale obracającej się osi obojętnej.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}\]

W przypadku przekroju symetrycznego względem osi y, wykres interakcji jest symetryczny względem płaszczyzny N-M_y. Analogicznie, w przypadku przekroju symetrycznego względem osi z, wykres interakcji jest symetryczny względem płaszczyzny N-M_z. Przekrój zbrojony jednostronnie wprowadza spłaszczony kształt wykresu interakcji.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}\]

Punkty definiujące stan graniczny nośności są wyznaczane przez całkowanie naprężeń.  Poniższy rysunek przedstawia rozkład odkształceń w stanie granicznym nośności.

Rozkłady odkształceń w stanie granicznym nośności (zaczerpnięte z [2]).

Wykres interakcji przedstawia zniszczenie przekroju pod wpływem siły normalnej i momentów gnących. [1]

Uwzględniając zagadnienie wykresu 2D (krzywa zamknięta leżąca na powierzchni interakcji), można stwierdzić, że płaszczyzna odkształceń przechodzi przez oś obojętną i punkt krytyczny [y, z, ε], który jest traktowany jako punkt krytyczny R.  Punkt [y, z] definiuje punkt w przekroju poprzecznym z wartością odkształcenia ε w stanie granicznym nośności. Nachylenie osi obojętnej jest stałe dla wszystkich punktów wykresu 2D.

W przypadku gdy miarodajne dla projektowania jest naprężenie ściskające w betonie, punkt R odpowiada najbardziej oddalonemu ściskanemu włóknu betonu lub punktowi granicznemu C. Warunek ten można jednak zastosować tylko wtedy, gdy przekrój jest wykonany z jednego rodzaju betonu – nie dotyczy to przekrojów mieszanych.   

W przypadku gdy miarodajne dla projektowania jest naprężenie rozciągające w zbrojeniu (odkształcenie ε_ud jest przekroczone w stanie granicznym nośności dla jednego lub więcej prętów), musi być spełniony warunek, że dla danej płaszczyzny odkształceń wartość ε_ud nie jest przekroczona w żadnym innym pręcie.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}\]

Powyższy rysunek pokazuje, że wykres można podzielić na dwie części: część, w której zniszczenie jest spowodowane siłą rozciągającą, oraz część, w której zniszczenie następuje pod wpływem siły ściskającej. Punkty graniczne odpowiadają przypadkowi opisanemu powyżej, gdzie widoczne jest również skrajne nachylenie płaszczyzny odkształceń. Podczas wyznaczania wykresu interakcji nachylenie płaszczyzny odkształceń przekroju poprzecznego zmienia się w tym przedziale, podczas gdy poszukiwany jest punkt R (patrz powyżej). Na podstawie tak zdefiniowanej płaszczyzny wykonuje się całkowanie w celu uzyskania naprężeń w stanie granicznym nośności.

Sprawdzenie przekroju poddanego sile osiowej i momentowi gnącemu

Sprawdzenie przekroju poddanego sile osiowej i momentowi gnącemu polega na wykazaniu, że sprawdzane naprężenia (kombinacja N_d, M_yd, M_zd) znajdują się wewnątrz lub na powierzchni interakcji. Można to wykonać różnymi metodami. Poniższy przykład ilustruje sprawdzenie prostokątnego przekroju poprzecznego poddanego siłom N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm.

Metoda NuMuMu

W celu określenia nośności przekroju poprzecznego przyjmuje się proporcjonalne zmiany wszystkich składowych sił wewnętrznych (mimośród siły normalnej pozostaje stały) aż do osiągnięcia powierzchni interakcji. Zmianę rozpatrywanych sił wewnętrznych można interpretować jako przemieszczanie się wzdłuż prostej łączącej początek układu współrzędnych (0,0,0) z punktem zdefiniowanym przez siły wewnętrzne (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Dwa punkty przecięcia tej prostej z powierzchnią interakcji, które można wyznaczyć, reprezentują dwa zestawy sił w stanie granicznym nośności. W każdym punkcie przecięcia program wyznacza trzy siły w stanie granicznym: obliczeniową nośność na siłę osiową N_Rd oraz odpowiadające jej obliczeniowe momenty nośności M_Rdy, M_Rdz.

Metoda  NuMM

W celu określenia nośności przekroju poprzecznego przyjmuje się stałą siłę normalną (równą działającej obliczeniowej sile normalnej) oraz proporcjonalne zmiany momentów gnących aż do osiągnięcia powierzchni interakcji. Zmianę rozpatrywanych sił wewnętrznych można interpretować jako przemieszczanie się w poziomej płaszczyźnie wzdłuż prostej łączącej punkt (N_Ed,0,0) z  punktem zdefiniowanym przez działające siły wewnętrzne (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Dwa punkty przecięcia tej prostej z powierzchnią interakcji, które można wyznaczyć, reprezentują dwa zestawy sił w stanie granicznym nośności. W każdym punkcie przecięcia program wyznacza trzy siły w stanie granicznym: obliczeniowe momenty nośności M_Rdy, M_Rdz oraz (odpowiadającą im) działającą obliczeniową siłę normalną N_Ed.

Metoda  NMuMu

W celu określenia nośności przekroju poprzecznego przyjmuje się stałą siłę normalną (równą działającej obliczeniowej sile normalnej) oraz proporcjonalne zmiany momentów gnących aż do osiągnięcia powierzchni interakcji. Zmianę rozpatrywanych sił wewnętrznych można interpretować jako przemieszczanie się w poziomej płaszczyźnie wzdłuż prostej łączącej punkt (N_Ed,0,0) z punktem zdefiniowanym przez działające siły wewnętrzne (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Dwa punkty przecięcia tej prostej z powierzchnią interakcji, które można wyznaczyć, reprezentują dwa zestawy sił w stanie granicznym nośności. W każdym punkcie przecięcia program wyznacza trzy siły w stanie granicznym: obliczeniowe momenty nośności M_Rdy, M_Rdz, oraz (odpowiadającą im) działającą obliczeniową siłę normalną N_Ed.

Wyznaczanie odpowiedzi przekroju

Inną możliwością sprawdzenia przekroju poprzecznego jest wyznaczenie odpowiedzi przekroju poprzecznego (tj. rozkładu odkształceń i naprężeń od działających sił wewnętrznych). Metoda ta jest znana również jako metoda granicznych odkształceń. Poziom działających naprężeń w każdym włóknie (w przypadku zginania płaskiego w każdej warstwie) oraz w każdym pręcie zbrojeniowym jest obliczany w zależności od odkształcenia z wykresu naprężenie-odkształcenie materiału.
Wyznaczanie odpowiedzi przekroju poprzecznego jest obliczane metodą numeryczną określoną w [6]. Zasada polega na stopniowym przyroście obciążenia przekroju przez niezrównoważone składowe nieprzeniesionych sił. Są one wyznaczane przez całkowanie naprężeń po przekroju z wykorzystaniem wykresów naprężenie-odkształcenie. Jeśli wartość naprężenia można wyznaczyć dla danego odkształcenia z wykresu naprężenie-odkształcenie, patrz rysunek poniżej (a), obliczone naprężenie jest prawidłowe przy założeniu liniowo sprężystego materiału. W przypadkach (b) i (c), naprężenie dla obliczeń liniowych osiąga nierealistyczne wartości, a część (b) lub cała wartość (c) nie może być przeniesiona przez materiał. Całkując nieprzeniesione naprężenia, otrzymuje się nieprzeniesione siły wewnętrzne, których wypadkowe należy dodać do sił wewnętrznych od obciążeń zmiennych. 

Nieprzeniesione naprężenia na wykresach naprężenie-odkształcenie. [4]

Nieprzeniesione siły wewnętrzne. [4]

Ta metoda obliczeniowa wymaga zastosowania metod numerycznych do całkowania naprężeń po polu przekroju poprzecznego oraz do nieliniowej analizy równań równowagi w przekroju. Iteracja jest przerywana w momencie, gdy kryteria zbieżności są spełnione.

\[\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}\]

gdzie 

F_e jest obciążeniem przekroju,

F_i jest odpowiedzią przekroju (siły wewnętrzne obliczone na podstawie płaszczyzny odkształceń).

Jeśli a jest wartością przybliżoną, a b jest wartością dokładną (prawdziwą), to odchylenie bezwzględne jest dane następującym równaniem.

\[e = \left| {b - a} \right|\]

Odchylenie względne jest dane następującym wzorem:

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|\]

W większości programów można ustawić te kryteria zbieżności (wartości domyślne wynoszą 1% jako błąd względny, 100 N, 100 Nm jako błąd bezwzględny siły normalnej i momentów). 

Jeśli zatem dane wejściowe wynoszą N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm, a scałkowane siły po iteracji wynoszą N = - 0,07 kN, My = 100,5 kNm, Mz = 0,02 kNm, ocena będzie następująca. Uwzględniając, że N i Mz są równe 0, można dokonać porównania z odchyleniem bezwzględnym:

Wartość siły normalnej 100N> | 70 | N
Wartość momentu gnącego Mz 100Nm> | 20 | Nm
Wartość momentu gnącego My

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01\]

Sprawdzenie przekroju poprzecznego na podstawie odpowiedzi

W przypadku wyznaczania równowagi w przekroju poprzecznym płaszczyzna odkształceń jest znana. Na podstawie płaszczyzny odkształceń można obliczyć odkształcenie w dowolnym miejscu przekroju, a następnie naprężenia lub siły wewnętrzne w prętach zbrojeniowych, przekroju poprzecznym lub jego częściach z wykorzystaniem wykresów naprężenie-odkształcenie materiałów. Obliczone wartości naprężeń i odkształceń porównuje się z granicznymi wartościami odkształceń z wykresów naprężenie-odkształcenie zastosowanych materiałów.
Zaletą tej metody jest to, że uzyskuje się pełny obraz wartości naprężeń i odkształceń w przekroju od sił wewnętrznych działających na przekrój poprzeczny.