Geometrycznie i materiałowo nieliniowa analiza z imperfekcjami (GMNIA) belek zginanych

1. Cel

Celem niniejszego artykułu jest weryfikacja modułu GMNIA (geometrycznie i materiałowo nieliniowa analiza z imperfekcjami) aplikacji IDEA Member. Wynikowe nośności z IDEA Member są porównywane z rozwiązaniem analitycznym według EN 1993-1-1 [1] dla belek zginanych.

2. Opis modelu

W celu weryfikacji modułu GMNIA przeanalizowano łącznie 18 indywidualnych przypadków. Wszystkie mają ten sam przekrój IPE 240 i tę samą klasę stali S 235. Zbadano trzy różne warunki obciążenia (A – momenty na końcach, B – siła w środku, C – obciążenie ciągłe). Zweryfikowano sześć wartości smukłości względnej w zakresie od 0,6 do 1,6.

Rys. 1: Różne przypadki obciążeń zastosowane do weryfikacji

3. Imperfekcje geometryczne

Do obliczenia imperfekcji geometrycznej belki zginanej zastosowano cztery podejścia, oznaczone A, B, C i D. Podejścia A, B i C wykorzystują imperfekcję geometryczną dla wyboczenia względem słabej osi, pomnożoną przez współczynnik k = 0,5, zgodnie z EN 1993-1-1 Klauzula 5.3.4 (3) [1]. Imperfekcja geometryczna według podejścia D jest wyznaczana bezpośrednio dla zwichrzenia.

Podejście A – według EN 1993-1-1:2005, Tabela 5.1:

Tab. 1: Wartość obliczeniowa imperfekcji wstępnej e₀/L dla elementów

Podejście B – według prEN 1993-1-1:2020, drugi projekt [2], Klauzula 5.3.3.1:

\[ \frac{e_0}{L}=\frac{α}{ε} \beta \]

gdzie:

• e₀ – imperfekcja geometryczna
• α – współczynnik imperfekcji zależny od odpowiedniej krzywej wyboczeniowej według 1993-1-1, Tabela 6.1 [1]
• \( \varepsilon = \sqrt{\frac{235}{f_y}} \)
• f_y – granica plastyczności stali [MPa]
• β – referencyjna względna imperfekcja strzałkowa według Tabeli 2
• L – długość elementu

Tab. 2: Referencyjna względna imperfekcja strzałkowa

Podejście C – metoda EUGLI (Equivalent Unique Global and Local Initial Imperfection) według EN 1993-1-1:2005, Klauzula 5.3.2 (11) [1]:

\[ e_0=\alpha (\bar \lambda - 0.2) \frac{M_{Rk}}{N_{Rk}} \]

gdzie

• e₀ – imperfekcja geometryczna
• α – współczynnik imperfekcji zależny od odpowiedniej krzywej wyboczeniowej według 1993-1-1, Tabela 6.1 [1]
• \( \bar \lambda \)  – smukłość względna elementu
• N_Rk – charakterystyczna nośność przekroju na siłę normalną
• M_Rk – charakterystyczna nośność przekroju na moment

Podejście D – według [3]:

\[ e_0=\alpha_{LT} (\bar \lambda_{LT} - 0.2) \frac{M_{Rk}}{N_{Rk}} \]

gdzie

• e₀ – imperfekcja geometryczna
• α_LT – współczynnik imperfekcji z Tabeli 3
• \( \bar \lambda_{LT} \) – smukłość względna elementu
• N_Rk – charakterystyczna nośność przekroju na siłę normalną
• M_Rk – charakterystyczna nośność przekroju na moment

Tab. 3: Współczynniki imperfekcji do obliczania e₀

Wynikowe wartości imperfekcji geometrycznych zestawiono w poniższej tabeli. Należy zauważyć, że dla tego przekroju i klasy stali podejścia A i B dają te same wartości.

Tab. 4: Wynikowe wartości imperfekcji geometrycznych

4. Rozwiązanie analityczne

Do obliczenia nośności belki na wyboczenie zastosowano następujące podejście według EN 1993-1-1, Klauzule 6.3.2.1 i 6.3.2.2 [1]:

\[ \bar \lambda_{LT} = \sqrt{\frac{W_{pl,y} f_y}{M_{cr}}} \]

\[ \phi_{LT} = 0.5 \left [1 + \alpha_{LT} \left (\bar \lambda_{LT} - 0.2 \right ) + \bar \lambda_{LT} ^2 \right] \]

\[ \chi_{LT} = \frac{1}{\phi_{LT} + \sqrt{\phi_{LT}^2 - \bar \lambda_{LT} ^2}} \]

\[ M_{b,Rd} = \frac{\chi_{LT} W_{pl,y} f_y}{\gamma_{M1}} \]

5. Wyniki

Nośności graniczne (dla imperfekcji geometrycznych A = B, C i D) z IDEA Member są porównywane z wartościami analitycznymi dla walcowanego przekroju (EN) oraz dla jego reprezentacji bez promieni przejścia środnik–półka (Ew). Na koniec przedstawiono wyniki z oprogramowania ANSYS (A) [4], z zastosowaniem imperfekcji geometrycznych opartych na podejściu C.

Tab. 5: Wynikowe wartości nośności na moment

Wykres 1: Wynikowe wartości nośności na moment

Wykres 2: Porównanie wynikowych nośności na moment

Wyniki GMNIA są zachowawcze w porównaniu z rozwiązaniem według Eurokodu. Wynika to częściowo z modelowania przekroju w IDEA Member – wpływ ten wynosi od 5 do 10%, co widać na podstawie wartości niebieskich słupków na powyższym wykresie.

Porównując dwa pomarańczowe słupki (Member i ANSYS), widoczna jest dobra zgodność z rozwiązaniem numerycznym w ANSYS.

Wybór imperfekcji geometrycznej odgrywa kluczową rolę w wynikowej nośności. Przy zastosowaniu imperfekcji A lub B wynikowe nośności na moment są o 10–30% niższe w porównaniu z Eurokodem. Metody C i D są jedynie nieznacznie zachowawcze (< 10%) w porównaniu z analitycznym rozwiązaniem według Eurokodu dla rzeczywistego walcowanego przekroju. Są one jednak bardzo zbliżone do oczekiwanej wartości obliczonej analitycznie dla przekroju bez promieni przejścia środnik–półka.

Rys. 2: Zdeformowany kształt przy nośności granicznej i odkształcenie plastyczne modelu B_4

6. Literatura i odniesienia

[1] EN 1993-1-1: Eurocode 3: Design of steel structures – Part 1-1: General rules and rules for buildings, CEN, 2005.

[2] prEN 1993-1-1: Eurocode 3: Design of steel structures – Part 1-1: General rules and rules for buildings, second draft, CEN, 2017.

[3] Snijder, H. H., van der Aa, R. P., Hofmeyer, H., & van Hove, B. W. E. M. (2018). Lateral torsional buckling design imperfections for use in non-linear FEA. Steel Construction: Design and Research, 11(1), 49-56.

[4] Aa, R.P. van der: Numerical assessment of the design imperfections for steel beam lateral torsional buckling, Master thesis, report 2015.96, Eindhoven University of Technology, Eindhoven, Dept. of the Built Environment, Structural Design, The Netherlands, 2015.