Interakcja

Interakcja siły poprzecznej i skręcania dla zbrojenia na ścinanie

Wyznaczanie siły w zbrojeniu na ścinanie od siły poprzecznej. 

Obliczenie opiera się na wzorze do wyznaczania nośności zbrojenia na ścinanie zdefiniowanym w EN 1992-1-1. Na podstawie równania 6.13 (rozdz. 6.2.3 (4)) nośność jednej gałęzi strzemienia można wyprowadzić jako:

\[{{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta \]

\[\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}\]

A_sw,V .  .  . pole przekroju jednej gałęzi strzemienia przenoszącej ścinanie w rozpatrywanym przekroju

s .  .  .  .  . rozstaw zbrojenia na ścinanie w kierunku osi podłużnej elementu 

a_sw,V .  .  . pole przekroju zbrojenia na ścinanie na jednostkę długości

z .  .  .  .  . wewnętrzne ramię sił. Dla elementu o stałej wysokości odpowiada momentowi gnącemu w rozpatrywanym elemencie. W analizie ścinania żelbetu bez siły osiowej można zwykle stosować przybliżoną wartość z = 0,9d.

f_ywd .  .  .  obliczeniowa granica plastyczności zbrojenia na ścinanie

θ .  .  .  .  . kąt między krzyżulcem ściskanym betonu a osią elementu prostopadłą do siły poprzecznej

α .  .  .  .  . kąt między zbrojeniem na ścinanie a osią elementu prostopadłą do siły poprzecznej

β .  .  .  .  . nachylenie gałęzi strzemienia względem wypadkowej przyłożonej siły poprzecznej

Siła poprzeczna jest równomiernie rozdzielana między poszczególne zbrojenia przenoszące siłę poprzeczną na podstawie kąta nachylenia zbrojenia oraz sztywności osiowej poszczególnych gałęzi strzemion.

\[{{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}\]

\[{{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}\]

Następnie można wyprowadzić średnie odkształcenie zbrojenia rozpatrywane w kierunku wypadkowej siły poprzecznej:

\[{{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}\]

Rzeczywiste odkształcenie i-tego zbrojenia można obliczyć jako:

\[{{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}\]

Naprężenie w danej gałęzi zbrojenia:

\[{{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}\]

Wyznaczanie siły w poszczególnych strzemionach od skręcania

Nośność przekroju na skręcanie można obliczać na podstawie modelu cienkościennego przekroju zamkniętego, w którym równowaga jest zapewniona przez zamknięty przepływ sił ścinających. Przekroje pełne mogą być modelowane jako zastępcze przekroje cienkościenne. W przypadku przekrojów niepełnych zastępcza grubość ścianki nie powinna przekraczać rzeczywistej grubości ścianki.

Przepływ sił ścinających w ściankach cienkościennego przekroju zamkniętego od skręcania można obliczyć jako:

\[{{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

Siła poprzeczna w danej ściance wynosi:

\[{{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}\]

l_i .  .  .  . długość linii środkowej rozpatrywanej ścianki

Siła poprzeczna w środniku – długość linii środkowej środnika można zastąpić wartością ramienia sił „z".

\[{{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z\]

Siła w strzemionach przenoszących skręcanie na jeden metr długości elementu (na jednostkę długości):

\[{{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta\]

Rozkład sił na poszczególne strzemiona

Jeżeli dla wszystkich strzemion zdefiniowany jest ten sam materiał, wynikowe naprężenie od skręcania w każdej gałęzi strzemienia jest stałe. Wówczas:

\[{{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}\]

gdzie a_sw,T jest całkowitym polem strzemion przenoszących skręcanie na jednostkę długości.

W przypadku gdy poszczególne strzemiona mają różne materiały, należy uwzględnić sztywność osiową poszczególnych prętów.

\[{{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}\]

n_T .  .  .  . liczba gałęzi zbrojenia (grup zbrojenia) przenoszących skręcanie

F_si,T .  .  . siła w i-tej grupie zbrojenia wynikająca ze skręcania na jednostkę długości

a_si,T .  .  . pole przekroju zbrojenia na ścinanie przenoszącego skręcanie na jednostkę długości 

E_si,T .  .  . moduł sprężystości Younga i-tej grupy zbrojenia przenoszącego skręcanie

ε_sw,T .  .  odkształcenie zbrojenia od skręcania

Wynikowe naprężenie w każdym strzemeniu od przyłożonego skręcania oblicza się jako:

\[{{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}\]

Interakcja V+T

Obliczenie naprężeń w strzemionach od ścinania i skręcania jest sumą naprężeń od poszczególnych składowych obciążenia.  

\[{{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}\]

Wypadkowa siła w i-tym zbrojeniu:

\[{{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}\]

Interakcja ścinania, skręcania i zginania dla zbrojenia podłużnego

Wyznaczanie siły w każdym zbrojeniu podłużnym od siły normalnej i momentu gnącego

Aplikacja RCS służy do obliczania odpowiedzi przekroju na kombinację siły normalnej i momentu gnącego w celu wyznaczenia naprężeń i odkształceń w poszczególnych prętach podłużnych i zbrojeniu sprężającym.

Wyznaczanie siły w poszczególnym zbrojeniu podłużnym od siły poprzecznej

Przyrost siły rozciągającej w zbrojeniu podłużnym ΔF_td od siły poprzecznej zależy od geometrii modelu Strut-and-tie. 

\[\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\]

ΔF_td .  .  .  przyrost siły rozciągającej w zbrojeniu podłużnym od siły poprzecznej

V_ed .  .  .  . wartość obliczeniowa siły poprzecznej działającej w rozpatrywanym przekroju

θ .  .  .  .  . kąt między krzyżulcem ściskanym betonu a osią elementu 

α .  .  .  .  . kąt między zbrojeniem na ścinanie a osią elementu

Dla zbrojenia podłużnego znajdującego się w pasie rozciąganym wypadkowa siła F_t w zbrojeniu podłużnym od kombinacji N+M+V nie powinna być większa niż M_Ed,max/z (gdzie M_Ed,max jest maksymalnym momentem wzdłuż belki)

\[{{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}\]

Siła ΔF_td jest przenoszona przez wszystkie przyczepne cięgna sprężające i zbrojenie zlokalizowane w części przekroju przenoszącej ścinanie (środnik w przypadku profilu I). Po stronie bezpiecznej wkład zbrojenia sprężającego można przyjąć jako 0. Założeniem obliczenia jest stałość przyrostu odkształcenia osiowego poszczególnych zbrojeniowych prętów podłużnych przenoszących ścinanie (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = const.). Wyprowadzenie jest ważne dla dwuliniowego wykresu pracy zbrojenia z poziomą gałęzią plastyczną. W przypadku wykresu z gałęzią nachyloną obliczenie należy zmodyfikować.

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}\]

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}\]

Δε_V .  .  .  . przyrost odkształcenia w zbrojeniu podłużnym od siły poprzecznej

n_s,V .  .  .  . liczba podłużnych prętów zbrojeniowych przenoszących siłę poprzeczną

A_sl,i,V .  .  . pole i-tego podłużnego pręta zbrojeniowego przenoszącego siłę poprzeczną

E_sl,i,V .  .  . moduł sprężystości Younga i-tego podłużnego pręta zbrojeniowego przenoszącego siłę poprzeczną

n_p,V .  .  .  . liczba cięgien przenoszących siłę poprzeczną

A_pl,i,V .  .  . pole i-tego cięgna przenoszącego siłę poprzeczną

E_pl,i,V .  .  . moduł sprężystości Younga i-tego cięgna przenoszącego siłę poprzeczną

Po wyznaczeniu wartości siły ΔF_td można obliczyć średnie odkształcenie zbrojenia Δε_V.

\[\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}\]

Przyrost naprężenia w poszczególnych prętach podłużnych od przyłożonej siły poprzecznej:

dla pręta zbrojeniowego \[\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}\]

dla cięgna \[\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}\]

Wyznaczanie siły w każdym zbrojeniu podłużnym od skręcania

Bardzo ważne jest wyznaczenie zbrojenia podłużnego przenoszącego skręcanie. Są to zbrojenia zlokalizowane w zastępczym efektywnym cienkościennym przekroju zamkniętym przenoszącym skręcanie.

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta \]

Zgodnie z EN 1992-1-1 zbrojenie podłużne odporne na skręcanie musi spełniać kilka warunków:

- zbrojenie powinno być równomiernie rozłożone na długości z_i, jednak w małych przekrojach zbrojenie może być skoncentrowane w narożnikach strzemion

- maksymalny rozstaw osiowy zbrojenia podłużnego wynosi 350 mm

Wkład zbrojenia sprężającego nie jest uwzględniany zgodnie z EN 1992-1-1.

Norma EN 1992-2 stanowi, że wkład zbrojenia sprężającego może być uwzględniony, jednak maksymalny przyrost naprężenia w zbrojeniu sprężającym nie może przekraczać Δσ_p ≤ 500MPa. Wówczas wzór można zmodyfikować:

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

Ponieważ jednak przyrost zbrojenia sprężającego może być uwzględniony, zależy to od wyboru użytkownika. Aktualnie zbrojenie sprężające nie jest uwzględniane w obliczeniu. 

Założeniem obliczenia jest stałość przyrostu odkształcenia osiowego każdego podłużnego zbrojenia przenoszącego ścinanie (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = const.). Wyprowadzenie jest ważne dla dwuliniowego wykresu pracy zbrojenia z poziomą gałęzią plastyczną. W przypadku wykresu z gałęzią rosnącą obliczenie należy zmodyfikować.

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

T_ed .  .  .  . wartość obliczeniowa momentu skręcającego przyłożonego w rozpatrywanym przekroju

θ .  .  .  .  . nachylenie krzyżulców ściskanych względem osi podłużnej belki (identyczne jak dla siły poprzecznej)

u_k .  .  .  .  obwód obszaru A_k

A_f .  .  .  .  pole zdefiniowane przez linię środkową zastępczego cienkościennego przekroju zamkniętego

n_s,T .  .  .  .liczba podłużnych prętów zbrojeniowych przenoszących moment skręcający

A_sl,i,T .  .  . pole i-tego podłużnego pręta zbrojeniowego przenoszącego moment skręcający

Δε_T .  .  .  .zmiana odkształcenia zbrojenia podłużnego od momentu skręcającego

Δσ_s,i,T .  .  zmiana naprężenia w i-tym zbrojeniu podłużnym od momentu skręcającego

E_sl,i,T .  .  . moduł sprężystości i-tego podłużnego pręta zbrojeniowego przenoszącego moment skręcający

Przyrost naprężenia w każdym zbrojeniu podłużnym od przyłożonego momentu skręcającego:

\[\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}\]