Baza wiedzy

Siły wewnętrzne dla przekrojów 2D

Concrete

RCS

EN (Eurocode)

Beam

Ten artykuł jest również dostępny w:

Przetłumaczone przez AI z języka angielskiego

Wprowadzanie sił wewnętrznych

Wprowadzanie sił wewnętrznych elementów 2D zależy od typu elementu 2D:

Powłoka-płyta – można wprowadzić siły membranowe (n_x, n_y i n_xy), momenty gnące (m_x, m_y i m_xy) oraz siły poprzeczne (v_x i v_y)
Powłoka-ściana – można wprowadzić siły membranowe (n_x, n_y i n_xy), momenty gnące (m_x, m_y i m_xy) oraz siły poprzeczne (v_x i v_y)
Płyta – można wprowadzić tylko momenty gnące (m_x, m_y i m_xy) oraz siły poprzeczne (v_x i v_y)
Ściana – można wprowadzić tylko siły membranowe (n_x, n_y i n_xy)
Belka wysoka – można wprowadzić tylko siły membranowe (n_x, n_y i n_xy)

	Opis
m_x(y)	Moment gnący w kierunku osi x (y). Wartość dodatnia powoduje rozciąganie na dolnej powierzchni elementu 2D.
m_xy(yx)	Moment skręcający względem osi y (x) działający na krawędzi równoległej do osi x (y). Wartość dodatnia powoduje naprężenia ścinające rozciągające na dolnej powierzchni elementu 2D. Ponieważ w każdym punkcie elementu 2D obowiązuje twierdzenie o równości poziomych naprężeń ścinających, momenty skręcające m_xy = m_yx są równe w każdym punkcie elementu 2D. Dlatego w programie wprowadzana jest tylko wartość m_xy.
n_x(y)	Siła normalna w kierunku osi x (y). Wartość dodatnia działa w kierunku osi x(y) i powoduje rozciąganie w przekroju.
n_xy(yx)	Siła normalna działająca w płaszczyźnie środkowej w kierunku osi y(x) na krawędzi równoległej do osi x(y). Wartość dodatnia działa w kierunku osi x(y). Ponieważ w każdym punkcie elementu 2D obowiązuje twierdzenie o równości poziomych naprężeń ścinających, siły normalne n_xy = n_yx są równe w każdym punkcie elementu 2D. Dlatego w programie wprowadzana jest tylko wartość n_xy.
v_x(y)	Siła poprzeczna działająca prostopadle do płaszczyzny środkowej na krawędzi równoległej do osi x(y). Wartość dodatnia działa w kierunku osi z.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Sign convention of internal forces}}}\]

Dla sprawdzeń należy zdefiniować następujące typy kombinacji:

Stan graniczny nośności/Wyjątkowy – składowe sił wewnętrznych zdefiniowane dla tego typu kombinacji są używane do sprawdzeń SGN elementów 2D:
- Nośność N-M-M
- Odpowiedź N-M-M
- Interakcja

oraz sprawdzenie wymagań dotyczących zbrojenia

Charakterystyczny – składowe sił wewnętrznych zdefiniowane dla tego typu kombinacji są używane do sprawdzenia ograniczenia naprężeń (SGU)
Quasi-stały – składowe sił wewnętrznych zdefiniowane dla tego typu kombinacji są używane do sprawdzenia szerokości rys (SGU)

Uwaga:

Składowe sił wewnętrznych v_x i v_y nie muszą być wprowadzane dla typów kombinacji Charakterystyczny i Quasi-stały, ponieważ wartości te nie są używane w sprawdzeniach.

Wyznaczanie kierunku sprawdzenia

Dla prawidłowego sprawdzenia elementu 2D należy wyznaczyć kierunek sprawdzenia. Kierunek sprawdzenia można wprowadzić dla każdego typu kombinacji oddzielnie, korzystając z następujących dwóch metod:

Kierunek zdefiniowany przez użytkownika – użytkownik definiuje kierunek sprawdzenia jako kąt względem osi x w płaszczyźnie elementu 2D. Ta opcja jest ustawiona domyślnie dla typu kombinacji SGN, a predefiniowana wartość kąta wynosi 0 stopni. Sprawdzenia są wykonywane w następujących kierunkach:
- Zdefiniowany kierunek
- Kierunek prostopadły do zdefiniowanego kierunku
- Kierunek krzyżulca ściskanego na górnej powierzchni
- Kierunek krzyżulca ściskanego na dolnej powierzchni
Kierunek naprężeń głównych – kierunek sprawdzenia jest obliczany automatycznie jako kierunek naprężeń głównych na górnej i dolnej powierzchni elementu 2D. Ta opcja jest ustawiona domyślnie dla typów kombinacji Charakterystyczny i Quasi-stały. Sprawdzenia są wykonywane w następujących kierunkach:
- Kierunek naprężeń głównych na dolnej powierzchni
- Kierunek prostopadły do kierunku naprężeń głównych na dolnej powierzchni
- Kierunek krzyżulca ściskanego na dolnej powierzchni
- Kierunek naprężeń głównych na górnej powierzchni
- Kierunek prostopadły do kierunku naprężeń głównych na górnej powierzchni
- Kierunek krzyżulca ściskanego na górnej powierzchni

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated internal forces in input direction by theory of Baumann}}}\]

Analiza kierunku sprawdzenia dla stanu granicznego nośności

Analiza 1

Dla elementu 2D obciążonego wyłącznie momentami gnącymi (m_x = 20 kNm/m, m_y = 10 kNm/m, m_xy = 5 kNm/m) przy zmienionym kącie zbrojenia i kącie kierunku sprawdzenia dla stanu granicznego nośności – wyniki przedstawiono na poniższym wykresie:

Z analizy wynika:

Jeśli pręty zbrojeniowe są prostopadłe do siebie, wyniki sprawdzeń są podobne dla różnych kątów kierunku sprawdzenia, nie zależą od zdefiniowanego kąta zbrojenia, a maksymalna wartość sprawdzenia jest osiągana dla kątów 0, 45 i 90 stopni. Sprawdzenie można zatem wykonać dla predefiniowanego kierunku sprawdzenia wynoszącego 0 stopni.
Jeśli pręty zbrojeniowe nie są prostopadłe do siebie, wyniki sprawdzeń różnią się znacząco, a maksymalna wartość sprawdzenia jest osiągana w przybliżeniu w kierunku odpowiadającym kierunkowi średniemu zbrojenia. Dlatego zaleca się zmianę predefiniowanego kierunku sprawdzenia lub wykonanie sprawdzeń w większej liczbie kierunków w przypadkach, gdy pręty zbrojeniowe nie są prostopadłe do siebie.

Analiza 2

Dla zbrojenia ortogonalnego zmieniono wartości momentów gnących i kąt dla sprawdzenia normowego SGN. Wyniki przedstawiono na wykresie:

Z analizy wynika, że nawet dla różnych wartości momentów gnących maksymalna wartość sprawdzenia stanu granicznego nośności jest osiągana dla kierunków sprawdzenia 0, 45 i 90 stopni. Sprawdzenie można zatem wykonać dla predefiniowanego kąta sprawdzenia wynoszącego 0 stopni. Podobny wniosek jest słuszny dla elementów 2D obciążonych wyłącznie siłą normalną lub siłą normalną w połączeniu z momentami gnącymi.

Przeliczenie sił wewnętrznych na kierunki sprawdzenia

Zdefiniowane siły wewnętrzne są przeliczane na kierunki sprawdzenia przy użyciu wzoru transformacji Baumanna, opisanego w: Baumann, Th. : "Zur Frage der Netzbewehrung von Flächentragwerken". In : Der Bauingenieur 47 (1972), Berlin 1975. Procedura obliczeniowa jest następująca:

Obliczenie sił normalnych na obu powierzchniach elementu 2D
Obliczenie sił głównych na obu powierzchniach elementu 2D
Obliczenie przeliczonych sił dla każdej powierzchni w zdefiniowanym kierunku sprawdzenia
Obliczenie przeliczonych sił dla każdej powierzchni do środka
Przeliczenie sił poprzecznych na zdefiniowany kierunek sprawdzenia

Obliczenie sił normalnych na obu powierzchniach elementu 2D

Zdefiniowane siły wewnętrzne są przeliczane na obie powierzchnie przy użyciu następujących wzorów:

\[{{n}_{x,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{x}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{x}}}{z}\]

\[{{n}_{y,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{y}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{y}}}{z}\]

\[~~~~~{{n}_{xy,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{xy}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{xy}}}{z}\]

Do przeliczenia sił wewnętrznych należy wyznaczyć ramię sił wewnętrznych (z). Ramię sił wewnętrznych jest wyznaczane metodą granicznych odkształceń przy obciążeniu głównym momentem gnącym w kierunkach momentów głównych m₁ na obu powierzchniach. Jeśli momenty główne są równe zeru lub jeśli równowaga nie jest osiągana w kierunku momentów głównych, ramię sił wewnętrznych jest wyznaczane według wzoru:

\[z=x\cdot d\]

	Opis
x	Współczynnik do obliczania ramienia sił wewnętrznych jest zdefiniowany w ustawieniach normy krajowej.
d	Efektywna wysokość przekroju obliczana oddzielnie dla górnej i dolnej powierzchni elementu 2D. Dla dolnej powierzchni jest to odległość od środka ciężkości prętów zbrojeniowych na dolnej powierzchni do górnej krawędzi przekroju. Dla górnej powierzchni jest to odległość od środka ciężkości prętów zbrojeniowych na górnej powierzchni do dolnej krawędzi przekroju.

Uwaga:

Ramię sił wewnętrznych można zweryfikować w sprawdzeniu Odpowiedź N-M-M. Należy wprowadzić tylko momenty gnące, a kierunek sprawdzenia musi odpowiadać kierunkowi momentu głównego.

Na poniższym diagramie przedstawiono weryfikację ramienia sił wewnętrznych dla momentów gnących m_x = 20 kNm/m, m_y = 10 kNm/m, m_xy = 5 kNm/m. Kierunek momentów głównych obliczono jako α_m1 = 22,5 stopnia, a odpowiedź przekroju obliczono w celu wyznaczenia ramienia sił wewnętrznych.

Uwaga:

Ramiona sił wewnętrznych do przeliczenia sił wewnętrznych w kierunku sprawdzenia oraz ramiona sił wewnętrznych do sprawdzeń mogą być różne, ponieważ ramię sił wewnętrznych do przeliczenia jest wyznaczane na przekroju obciążonym momentami głównymi w kierunku momentów głównych, a ramię sił wewnętrznych do sprawdzenia jest wyznaczane na przekroju obciążonym momentami gnącymi i siłami normalnymi w kierunku sprawdzenia. Wartości ramion sił wewnętrznych dla wszystkich typów kombinacji są wyświetlane w tabeli Przeliczone siły w nawigatorze Siły wewnętrzne w przekroju.

Obliczenie sił wewnętrznych na obu powierzchniach

Siły główne na obu powierzchniach elementu 2D są obliczane według wzoru:

\[{{n}_{1,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}\]

\[{{n}_{2,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}\]

Kierunek sił głównych jest obliczany według wzoru:

\[{{\alpha }_{n1,low\left( upp \right)}}=0,5\cdot {{\tan }^{-1}}\left( \frac{2\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}{{{n}_{x,low\left( upp \right)}}-{{n}_{y,low\left( upp \right)}}} \right)\]

Uwaga:

Siły główne i kierunek sił głównych dla obu powierzchni elementu 2D są wyświetlane dla wszystkich typów kombinacji w tabeli Przeliczone siły w nawigatorze Siły wewnętrzne w przekroju.

Obliczenie przeliczonych sił wewnętrznych na powierzchniach w zdefiniowanym kierunku sprawdzenia

Przeliczenie sił głównych na kierunki sprawdzenia jest wykonywane oddzielnie dla każdej powierzchni przy użyciu wzoru transformacji Baumanna:

\[{{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{1,low\left( upp \right)}}\cdot \sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)+{{n}_{2,low\left( upp \right)}}\cdot \cos \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \cos \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)}{\sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)}\]

	Opis
i, j, k, i	Indeks kierunku sprawdzenia (kierunek przeliczenia sił wewnętrznych) i, j, k, i = 1, 2, 3, 1. Np. dla dolnej powierzchni i obliczenia siły w kierunku j (kąt α₂) wzór ma postać: \[{{n}_{surface,2,low}}=\frac{{{n}_{1,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{3,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{1,low}}+{{n}_{2,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{3,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{1,low}}}{\sin \left( {{\alpha }_{3,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{1,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)}\]
\[{{\alpha }_{i,j,k,low\left( upp \right)}}\]	Kąt między zdefiniowanym kierunkiem sprawdzenia lub kierunkiem krzyżulca ściskanego a kierunkiem sił głównych na dolnej lub górnej powierzchni elementu 2D. Zdefiniowany kierunek sprawdzenia α_{1, low(upp)} = α₁ – α_low(upp) Kierunek prostopadły do zdefiniowanego kierunku α_{2, low(upp)} = α₂ – α_low(upp) Kierunek sprawdzenia dla krzyżulca ściskanego α_{3, low(upp)} = α₃ – α_low(upp)
α₁	Zdefiniowany kierunek sprawdzenia dla danej kombinacji
α₂	Kierunek prostopadły do zdefiniowanego kierunku, α₂= α₁ + 90 stopni
α₃	Kierunek sprawdzenia zgodny z kierunkiem krzyżulca ściskanego w płaszczyźnie elementu 2D. Kierunek ten jest optymalizowany w celu minimalizacji siły w tym kierunku.

Uwaga:

Jeśli kierunek sprawdzenia jest identyczny z kierunkiem naprężeń głównych, siły w krzyżulcu ściskanym są równe zeru, dlatego kierunek ten jest pomijany w sprawdzeniu.

Kierunek krzyżulca ściskanego dla wszystkich stanów naprężeń z wyjątkiem hiperbolicznego stanu naprężeń (n_1,low(upp) > 0 i n_1,low(upp) < 0) można obliczyć według wzoru:

α₃ = 0,5(α₁ + α₂)

Przeliczone siły wewnętrzne dla obu powierzchni elementu 2D i wszystkich kierunków sprawdzenia, w tym kierunku krzyżulca ściskanego, są wyświetlane w tabeli Przeliczone siły

Transformacja przeliczonych sił wewnętrznych do środka ciężkości przekroju

Do sprawdzenia elementu 2D siły powierzchniowe w danym kierunku muszą być przeliczone do środka ciężkości przekroju. Wynikiem jest siła normalna n_d,i i moment gnący m_d,i działające w środku ciężkości przekroju elementu 2D.

m_d,i = n_lower,i·z_s,low+ n_upper,i·z_s,upp

n_d,i = n_lower,i + n_upper,i

	Opis
n_lower,i	Przeliczone siły powierzchniowe na dolnej powierzchni w i-tym kierunku sprawdzenia, gdzie n_lower,i = n_{surface,low,i}.
n_upper,i	Przeliczone siły wewnętrzne na górnej powierzchni w i-tym kierunku sprawdzenia, gdzie n_upper,i = n_{surface,upp,i}.
z_{s,low (upp)}	Odległość środka ciężkości ściskanego betonu lub środka ciężkości zbrojenia na dolnej (górnej) powierzchni, gdzie z = z_s,low+ z_s,upp

Uwaga:

Jeśli kierunki krzyżulców ściskanych na dolnej i górnej powierzchni są różne, do przeliczenia sił do środka ciężkości konieczne jest obliczenie wirtualnych sił na dolnej powierzchni w kierunku krzyżulca ściskanego na górnej powierzchni i odwrotnie.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated design forces}}}\]

Przeliczenie sił poprzecznych na zdefiniowany kierunek sprawdzenia

Siły poprzeczne są przeliczane na kierunek sprawdzenia według wzoru:

\[{{v}_{d,i}}={{v}_{x}}\cdot \cos ({{\alpha }_{i}})+{{v}_{y}}\cdot \sin ({{\alpha }_{i}})\]

a maksymalna siła poprzeczna wynosi:

\[{{v}_{d,max~}}=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}\]

i działa w kierunku

\[\beta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{{{v}_{y}}}{{{v}_{x}}} \right)\]

	Opis
α_i	Kąt sprawdzenia w i-tym kierunku

Uwaga:

Przy sprawdzaniu elementu 2D ze stosunkowo dużymi siłami poprzecznymi wskazane jest sprawdzenie elementu 2D w kierunku maksymalnej siły poprzecznej, co oznacza, że zdefiniowany kierunek sprawdzenia odpowiada kątowi β

Porównanie przeliczenia sił wewnętrznych różnymi metodami

Przeliczenie sił zgodnie z EN 1992-1-1

Metoda opisana w EN 1992-1-1 jest stosowana w wielu programach i w praktyce do obliczania obliczeniowych sił wewnętrznych. EN 1992-1-1 uwzględnia tylko prostopadłe kierunki zbrojenia. Obliczanie sił wymiarujących z uwzględnieniem momentu skręcającego opisano na poniższym schemacie blokowym, gdzie m_y³ m_x. Podobny diagram można sporządzić dla momentów m_y < m_x

	Opis
m_xd+,m_xd-	Wymiarujący moment gnący w kierunku osi x do projektowania i sprawdzenia zbrojenia na dolnej (-) lub górnej (+) powierzchni
m_yd+ m_yd-	Wymiarujący moment gnący w kierunku osi y do projektowania i sprawdzenia zbrojenia na dolnej (-) lub górnej (+) powierzchni
m_cd+,m_cd-	Wymiarujący moment gnący w ściskanym krzyżulcu betonowym na dolnej (-) lub górnej (+) powierzchni, który musi być przeniesiony przez beton

Wartości przeliczonych sił wymiarujących dla typu elementu = Płyta, obliczone metodą opisaną w normie EN, przedstawiono w poniższej tabeli:

W IDEA StatiCa RCS nie są wyświetlane wartości momentów na górnej i dolnej powierzchni, lecz wartości sił normalnych na obu powierzchniach oraz wartości momentów przeliczonych do środka ciężkości przekroju.

Momenty na dolnej i górnej powierzchni można obliczyć przy użyciu sił powierzchniowych wyświetlanych w wynikach numerycznych, korzystając ze wzoru:

\[{{m}_{surface,i,dlow\left( upp \right)}}={{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}\cdot z\]

Wartości sił powierzchniowych i przeliczonych momentów przedstawiono w poniższych tabelach:

Tabele pokazują, że momenty na powierzchniach płyty obliczone w IDEA Concrete i obliczone metodą opisaną w normie EN są zgodne tylko na jednej powierzchni. Różnica ta wynika z odmiennej optymalizacji krzyżulca betonowego. Metoda stosowana w IDEA StatiCa RCS poszukuje kąta krzyżulca ściskanego przy minimalnej sile w krzyżulcu. Metoda opisana w normie EN poszukuje minimalnej sumy sił ujemnych ze wszystkich kierunków.

Porównanie obliczenia sił wewnętrznych z programami RFEM i SCIA Engineer

W celu porównania wyników przeliczonych sił wewnętrznych w programach IDEA Concrete, RFEM i SCIA Engineer (SEN) przygotowano prosty model płyty o wymiarach 6 m x 4 m i grubości 200 mm. Płyta jest podparta podporami liniowymi na krawędziach i obciążona równomiernym obciążeniem 10 kN/m².

Dla uproszczenia prezentacji wyświetlono tylko wartości przeliczonych sił wewnętrznych w jednym przekroju podłużnym. Odległość przekroju od krawędzi płyty wynosi 1,5 m. Siły wewnętrzne obliczone w programie RFEM zostały użyte jako wartości wejściowe dla IDEA Concrete.