IDEA StatiCa RCS – Projektowanie konstrukcyjne jednowymiarowych elementów betonowych

Projektowanie przekrojów żelbetowych zgodnie z EN 1992-1-1 i EN 1992-2.

Zginanie
Ścinanie
Skręcanie
Interakcja
Sprawdzenie ograniczenia naprężeń
Kontrola zarysowania
Diagram N-M-κ
Literatura

Zginanie

Metody sprawdzenia nośności przekroju

Do sprawdzenia stanu granicznego nośności dla jednowymiarowych elementów betonowych można zastosować dwie dobrze znane metody. Pierwsza z nich pozwala uzyskać nośność graniczną przekroju w postaci powierzchni interakcji lub wykresu interakcji (w przypadku momentu gnącego w jednym kierunku). Nośność przekroju można określić jako stosunek działających sił wewnętrznych do sił odpowiadających stanowi granicznemu. Druga metoda polega na znalezieniu równowagi w przekroju poprzecznym, gdzie poszukuje się rzeczywistego zachowania obciążonego przekroju, stopnia wykorzystania materiałów pod względem naprężeń oraz identyfikacji słabych punktów przekroju.

Ogólne założenia projektowe i obliczeniowe dla Stanu Granicznego Nośności 

1. Odkształcenie ε w zbrojeniu i betonie przyjmuje się jako wprost proporcjonalne do odległości od osi obojętnej (płaskie przekroje pozostają płaskie).
2. Współpraca zbrojenia i betonu jest zapewniona przez ich wzajemne oddziaływanie bez poślizgu (odkształcenie ε zbrojenia i sąsiednich włókien betonu są jednakowe).
3. Wytrzymałość betonu na rozciąganie jest pomijana (wszystkie naprężenia rozciągające są przenoszone przez zbrojenie).
4. Naprężenia ściskające w betonie w strefie ściskanej obliczane są na podstawie odkształceń wyznaczonych z wykresów naprężenie-odkształcenie.
5. Naprężenia w zbrojeniu obliczane są na podstawie odkształceń z wykresów naprężenie-odkształcenie.
6. Odkształcenie ściskające betonu z granicznym odkształceniem ε_cu2 (wykres paraboliczno-prostokątny dla betonu ściskanego) oraz ε_cu3 (dwuliniowy wykres naprężenie-odkształcenie), [2].
7. Odkształcenie ściskające zbrojenia jest nieograniczone w przypadku poziomej plastycznej gałęzi górnej; w przypadku pochylonej plastycznej gałęzi górnej odkształcenie jest ograniczone do ε_ud,[2].
8. Stan graniczny jest osiągnięty, gdy stan co najmniej jednego z materiałów przekracza graniczne odkształcenie stanu granicznego nośności (jeśli εu nie jest ograniczone, miarodajny jest ściskany beton).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}\]

Wykres interakcji

Pierwszą opcją jest sprawdzenie przekroju poprzecznego za pomocą powierzchni interakcji (lub wykresu interakcji). Wyjaśnienie przedstawiono na przykładzie powierzchni interakcji dla zbrojonego przekroju kwadratowego z przykładu na poniższym rysunku. Na powierzchni interakcji znajdują się punkty definiujące stan graniczny nośności badanego przekroju poprzecznego. Powierzchnia interakcji jest wyznaczana na podstawie punktów (N, My, Mz), które są określane przez całkowanie naprężeń w przekroju poprzecznym, który osiągnął graniczne odkształcenie w jednym z materiałów. Dla interakcji 3D powierzchnię można wyprowadzić z wykresu interakcji 2D, który jest krzywą zamkniętą, odpowiadającą naprężeniom przy stale obracającej się osi obojętnej.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}\]

W przypadku przekroju symetrycznego względem osi y, wykres interakcji jest symetryczny względem płaszczyzny N-M_y. Analogicznie, w przypadku przekroju symetrycznego względem osi z, wykres interakcji jest symetryczny względem płaszczyzny N-M_z. Przekrój zbrojony jednostronnie wprowadza spłaszczony kształt wykresu interakcji.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}\]

Punkty definiujące stan graniczny nośności są wyznaczane przez całkowanie naprężeń.  Poniższy rysunek przedstawia rozkład odkształceń w stanie granicznym nośności.

Rozkłady odkształceń w stanie granicznym nośności (zaczerpnięte z [2]).

Wykres interakcji przedstawia zniszczenie przekroju pod wpływem siły normalnej i momentów gnących. [1]

Uwzględniając zagadnienie wykresu 2D (krzywa zamknięta leżąca na powierzchni interakcji), można stwierdzić, że płaszczyzna odkształceń przechodzi przez oś obojętną i punkt krytyczny [y, z, ε], który jest traktowany jako punkt krytyczny R.  Punkt [y, z] definiuje punkt w przekroju poprzecznym z wartością odkształcenia ε w stanie granicznym nośności. Nachylenie osi obojętnej jest stałe dla wszystkich punktów wykresu 2D.

W przypadku gdy miarodajne dla projektowania jest naprężenie ściskające w betonie, punkt R odpowiada najbardziej oddalonemu ściskanemu włóknu betonu lub punktowi granicznemu C. Warunek ten można jednak zastosować tylko wtedy, gdy przekrój jest wykonany z jednego rodzaju betonu – nie dotyczy to przekrojów mieszanych.   

W przypadku gdy miarodajne dla projektowania jest naprężenie rozciągające w zbrojeniu (odkształcenie ε_ud jest przekroczone w stanie granicznym nośności dla jednego lub więcej prętów), musi być spełniony warunek, że dla danej płaszczyzny odkształceń wartość ε_ud nie jest przekroczona w żadnym innym pręcie.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}\]

Powyższy rysunek pokazuje, że wykres można podzielić na dwie części: część, w której zniszczenie jest spowodowane siłą rozciągającą, oraz część, w której zniszczenie następuje pod wpływem siły ściskającej. Punkty graniczne odpowiadają przypadkowi opisanemu powyżej, gdzie widoczne jest również skrajne nachylenie płaszczyzny odkształceń. Podczas wyznaczania wykresu interakcji nachylenie płaszczyzny odkształceń przekroju poprzecznego zmienia się w tym przedziale, podczas gdy poszukiwany jest punkt R (patrz powyżej). Na podstawie tak zdefiniowanej płaszczyzny wykonuje się całkowanie w celu uzyskania naprężeń w stanie granicznym nośności.

Sprawdzenie przekroju poddanego sile osiowej i momentowi gnącemu

Sprawdzenie przekroju poddanego sile osiowej i momentowi gnącemu polega na wykazaniu, że sprawdzane naprężenia (kombinacja N_d, M_yd, M_zd) znajdują się wewnątrz lub na powierzchni interakcji. Można to wykonać różnymi metodami. Poniższy przykład ilustruje sprawdzenie prostokątnego przekroju poprzecznego poddanego siłom N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm.

Metoda NuMuMu

W celu określenia nośności przekroju poprzecznego przyjmuje się proporcjonalne zmiany wszystkich składowych sił wewnętrznych (mimośród siły normalnej pozostaje stały) aż do osiągnięcia powierzchni interakcji. Zmianę rozpatrywanych sił wewnętrznych można interpretować jako przemieszczanie się wzdłuż prostej łączącej początek układu współrzędnych (0,0,0) z punktem zdefiniowanym przez siły wewnętrzne (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Dwa punkty przecięcia tej prostej z powierzchnią interakcji, które można wyznaczyć, reprezentują dwa zestawy sił w stanie granicznym nośności. W każdym punkcie przecięcia program wyznacza trzy siły w stanie granicznym: obliczeniową nośność na siłę osiową N_Rd oraz odpowiadające jej obliczeniowe momenty nośności M_Rdy, M_Rdz.

Metoda  NuMM

W celu określenia nośności przekroju poprzecznego przyjmuje się stałą siłę normalną (równą działającej obliczeniowej sile normalnej) oraz proporcjonalne zmiany momentów gnących aż do osiągnięcia powierzchni interakcji. Zmianę rozpatrywanych sił wewnętrznych można interpretować jako przemieszczanie się w poziomej płaszczyźnie wzdłuż prostej łączącej punkt (N_Ed,0,0) z  punktem zdefiniowanym przez działające siły wewnętrzne (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Dwa punkty przecięcia tej prostej z powierzchnią interakcji, które można wyznaczyć, reprezentują dwa zestawy sił w stanie granicznym nośności. W każdym punkcie przecięcia program wyznacza trzy siły w stanie granicznym: obliczeniowe momenty nośności M_Rdy, M_Rdz oraz (odpowiadającą im) działającą obliczeniową siłę normalną N_Ed.

Metoda  NMuMu

W celu określenia nośności przekroju poprzecznego przyjmuje się stałą siłę normalną (równą działającej obliczeniowej sile normalnej) oraz proporcjonalne zmiany momentów gnących aż do osiągnięcia powierzchni interakcji. Zmianę rozpatrywanych sił wewnętrznych można interpretować jako przemieszczanie się w poziomej płaszczyźnie wzdłuż prostej łączącej punkt (N_Ed,0,0) z punktem zdefiniowanym przez działające siły wewnętrzne (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Dwa punkty przecięcia tej prostej z powierzchnią interakcji, które można wyznaczyć, reprezentują dwa zestawy sił w stanie granicznym nośności. W każdym punkcie przecięcia program wyznacza trzy siły w stanie granicznym: obliczeniowe momenty nośności M_Rdy, M_Rdz, oraz (odpowiadającą im) działającą obliczeniową siłę normalną N_Ed.

Wyznaczanie odpowiedzi przekroju

Inną możliwością sprawdzenia przekroju poprzecznego jest wyznaczenie odpowiedzi przekroju poprzecznego (tj. rozkładu odkształceń i naprężeń od działających sił wewnętrznych). Metoda ta jest znana również jako metoda granicznych odkształceń. Poziom działających naprężeń w każdym włóknie (w przypadku zginania płaskiego w każdej warstwie) oraz w każdym pręcie zbrojeniowym jest obliczany w zależności od odkształcenia z wykresu naprężenie-odkształcenie materiału.
Wyznaczanie odpowiedzi przekroju poprzecznego jest obliczane metodą numeryczną określoną w [6]. Zasada polega na stopniowym przyroście obciążenia przekroju przez niezrównoważone składowe nieprzeniesionych sił. Są one wyznaczane przez całkowanie naprężeń po przekroju z wykorzystaniem wykresów naprężenie-odkształcenie. Jeśli wartość naprężenia można wyznaczyć dla danego odkształcenia z wykresu naprężenie-odkształcenie, patrz rysunek poniżej (a), obliczone naprężenie jest prawidłowe przy założeniu liniowo sprężystego materiału. W przypadkach (b) i (c), naprężenie dla obliczeń liniowych osiąga nierealistyczne wartości, a część (b) lub cała wartość (c) nie może być przeniesiona przez materiał. Całkując nieprzeniesione naprężenia, otrzymuje się nieprzeniesione siły wewnętrzne, których wypadkowe należy dodać do sił wewnętrznych od obciążeń zmiennych. 

Nieprzeniesione naprężenia na wykresach naprężenie-odkształcenie. [4]

Nieprzeniesione siły wewnętrzne. [4]

Ta metoda obliczeniowa wymaga zastosowania metod numerycznych do całkowania naprężeń po polu przekroju poprzecznego oraz do nieliniowej analizy równań równowagi w przekroju. Iteracja jest przerywana w momencie, gdy kryteria zbieżności są spełnione.

\[\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}\]

gdzie 

F_e jest obciążeniem przekroju,

F_i jest odpowiedzią przekroju (siły wewnętrzne obliczone na podstawie płaszczyzny odkształceń).

Jeśli a jest wartością przybliżoną, a b jest wartością dokładną (prawdziwą), to odchylenie bezwzględne jest dane następującym równaniem.

\[e = \left| {b - a} \right|\]

Odchylenie względne jest dane następującym wzorem:

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|\]

W większości programów można ustawić te kryteria zbieżności (wartości domyślne wynoszą 1% jako błąd względny, 100 N, 100 Nm jako błąd bezwzględny siły normalnej i momentów). 

Jeśli zatem dane wejściowe wynoszą N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm, a scałkowane siły po iteracji wynoszą N = - 0,07 kN, My = 100,5 kNm, Mz = 0,02 kNm, ocena będzie następująca. Uwzględniając, że N i Mz są równe 0, można dokonać porównania z odchyleniem bezwzględnym:

Wartość siły normalnej 100N> | 70 | N
Wartość momentu gnącego Mz 100Nm> | 20 | Nm
Wartość momentu gnącego My

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01\]

Sprawdzenie przekroju poprzecznego na podstawie odpowiedzi

W przypadku wyznaczania równowagi w przekroju poprzecznym płaszczyzna odkształceń jest znana. Na podstawie płaszczyzny odkształceń można obliczyć odkształcenie w dowolnym miejscu przekroju, a następnie naprężenia lub siły wewnętrzne w prętach zbrojeniowych, przekroju poprzecznym lub jego częściach z wykorzystaniem wykresów naprężenie-odkształcenie materiałów. Obliczone wartości naprężeń i odkształceń porównuje się z granicznymi wartościami odkształceń z wykresów naprężenie-odkształcenie zastosowanych materiałów.
Zaletą tej metody jest to, że uzyskuje się pełny obraz wartości naprężeń i odkształceń w przekroju od sił wewnętrznych działających na przekrój poprzeczny.

Ścinanie

Ze względu na kruchość zniszczenia, sprawdzenie ścinania jest jednym z ważnych sprawdzeń normowych przekroju żelbetowego.

Procedura obliczeniowa

Obliczenie nośności na ścinanie składa się z kilku podstawowych etapów. W pierwszej kolejności należy przeanalizować, czy w sprawdzanym miejscu występują rysy od zginania, czy nie. Jeśli tak, stosuje się obliczenia zgodnie z EN 1992-1-1 [2], art. 6.2.2 (1). W przeciwnym razie należy ustalić, czy mamy do czynienia z betonem niezbrojonym czy słabo zbrojonym, a następnie postępować zgodnie z EN 1992-1-1 art. 12.6.3.

Dla zbrojonego betonu niezarysowanego (bez zbrojenia na ścinanie) sprawdzenie wykonuje się zgodnie z EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (2). Dla elementów, w których wymagane jest zbrojenie na ścinanie, sprawdzenie wykonuje się zgodnie z art. 6.2.3 [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}\]

Nośność na ścinanie elementów bez zbrojenia na ścinanie

Nośność na ścinanie elementów w zarysowanych strefach zginanych (art. 6.2.2 (1) [2])

Nośność na ścinanie żelbetowych elementów bez zbrojenia na ścinanie poddanych momentowi zginającemu wyraża się wzorem:

 \[{{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d\]

Wzór ten został wyznaczony na podstawie badań przeprowadzonych na reprezentatywnej liczbie prostych belek przy zniszczeniu przez siłę poprzeczną. Ponieważ powyższa nośność może być równa zero dla elementów bez zbrojenia podłużnego (r_l), dla słabo zbrojonych elementów wyprowadzono odpowiednie równania. Ponieważ powyższa nośność może być równa zero dla elementów bez zbrojenia podłużnego (r_l), dla słabo zbrojonych elementów nośność wyznaczana jest ze wzoru

\[{{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d\]

Nośność na ścinanie z uwzględnieniem wpływu siły normalnej wyznaczana jest ze wzoru

\[{{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d\]

Pełne wyrażenie nośności na ścinanie odpowiadające EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (1)

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d\]

Z minimum

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d\]

gdzie  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          współczynnik wysokości przekroju

\[k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0\]

ρ₁      stopień zbrojenia zbrojeniem podłużnym

\[{{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02\]

f_ck        charakterystyczna wytrzymałość walcowa betonu na ściskanie w wieku 28 dni

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  w MPa

b_w        najmniejsza szerokość przekroju w strefie rozciąganej

d          wysokość użyteczna przekroju

υ_min      minimalna zastępcza wytrzymałość na ścinanie υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

Nośność na ścinanie elementów w niezarysowanych strefach zginanych (art. 6.2.2 (2) [2])

Nośność na ścinanie elementów w niezarysowanych strefach zginanych można wyznaczyć z koła Mohra. Do równania

\[{{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}\]

Podstawiamy σ_x = σ_cp a τ_z = V_Rd,c S / (I b_w) i wyznaczamy V_Rd,c, otrzymując równanie odpowiadające wzorowi podanemu w EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (2)

gdzie  

I           jest momentem bezwładności przekroju,

b_w        jest szerokością przekroju na poziomie osi środkowej

S          jest momentem statycznym powierzchni powyżej osi środkowej względem tej osi,

f_ctd        obliczeniowa osiowa wytrzymałość betonu na rozciąganie w MPa,

 s_cp       jest naprężeniem ściskającym betonu na poziomie osi środkowej od obciążeń i/lub sprężania,

a_l         współczynnik długości wprowadzenia, zazwyczaj 1,0.

W związku z powyższym należy zaznaczyć, że w strefach bez rys od zginania nośność V_Rd ,c może być znacznie wyższa niż w strefach zarysowanych zgodnie z art. 6.2.2 (1) [2]. Poniższy rysunek wyraźnie pokazuje, że mimo iż siła poprzeczna jest sprawdzana w jej ekstremum (które nie powoduje rys), nie musi to koniecznie oznaczać, że zostanie przeniesiona na całej długości belki. Wynika to ze zmiany metody obliczania nośności betonu na ścinanie. Po stronie bezpiecznej nośność na ścinanie można oczywiście przyjmować zgodnie z art. 6.2.2 (1) [2] również w miejscach, gdzie rysy nie wystąpią.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}\]

Do wyrażenia V_Rd, c zgodnie z art. 6.2.2 (2)[2] należy również zaznaczyć, że w ogólnym przypadku sprawdzenie powinno być oparte na włóknie o ekstremalnym głównym naprężeniu rozciągającym betonu w strefie normalnych naprężeń ściskających, a nie w środku ciężkości przekroju. W tym miejscu konieczne jest obliczenie charakterystyk przekrojowych (S i b_W). W celu wyznaczenia maksymalnego naprężenia głównego s₁ w programie IDEA RCS przeprowadzamy linię przez środek ciężkości w kierunku wypadkowej sił poprzecznych. Linię tę dzielimy na 20 odcinków. Na tej linii wyznaczamy bardziej charakterystyczne punkty (punkty wielokąta przekroju, środek ciężkości, oś obojętna). W tych punktach obliczamy S, b_w, σ_x, τ_yz a σ_1.  W punkcie maksymalnego głównego naprężenia rozciągającego obliczamy nośność na ścinanie.

Siła poprzeczna przed zastosowaniem współczynnika redukcyjnego b wymaganego przez art. 6.2.2 (6) musi spełniać dodatkowy warunek

\[ {{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}\]

gdzie 

 \[ {{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]\]  kde f_ck je v MPa

Nośność na ścinanie elementów bez zbrojenia lub słabo zbrojonych (art. 12.6.3 [2])

Nośność na ścinanie betonu niezbrojonegoego lub słabo zbrojonego można wyznaczyć z wyrażenia

\[ {{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}\]

Gdzie

τ_cp podstawiamy przez

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~\]

lub

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~\]

Wartości cząstkowe użyte w powyższym wzorze są dane przez:

\[ {{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}\]

gdzie  

f_cd,pl     Obliczeniowa wytrzymałość na ściskanie dla betonu niezbrojonegoego lub słabo zbrojonego,

f_ctd,pl    Obliczeniowa osiowa wytrzymałość na rozciąganie betonu niezbrojonegoego lub słabo zbrojonego,

f_cvd       Obliczeniowa nośność na ścinanie przy ściskaniu betonu.

Nośność elementów ze zbrojeniem na ścinanie (art. 6.2.3 [2])

Obliczenie nośności żelbetowych elementów ze zbrojeniem na ścinanie opiera się na metodzie analogii kratownicowej ze zmiennym kątem pochylenia krzyżulców. Podstawą tej metody jest równowaga sił w trójkącie wyznaczonym przez siłę w krzyżulcu ściskanym (ukośnym), siłę w zbrojeniu na ścinanie (strzemię) oraz siłę w zbrojeniu podłużnym.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}\]

Przekrój poddany ścinaniu jest przecięty rysami pod kątem θ, dlatego krzyżulec betonowy o tym samym kącie co siły poprzeczne przenosi siłę ścinającą. Siła ściskająca w krzyżulcu może być wyrażona jako V_ed/sinθ. Siła ta musi być przeniesiona przez powierzchnię betonu prostopadłą do krzyżulca ściskanego b_wzcosθ. Naprężenie ściskające betonu w krzyżulcu ściskanym wynosi wówczas:

\[ {{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)\]

Podstawiając \[{{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}\]  i \[{{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}\] oraz wyrażając \[{{V}_{Rd,max}}\] otrzymujemy równanie na nośność krzyżulca na ścinanie:

\[ {{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)\]

Do zrównoważenia pionowej składowej siły w krzyżulcu ściskanym stosuje się zbrojenie na ścinanie. Wielkość siły pionowej wynika z naprężenia ściskającego w obszarze betonu odpowiadającym jednemu strzemięniu - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. Graniczna siła w strzemięniu wynosi \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

Podstawiając σ_c, porównując z graniczną siłą w zbrojeniu i po przekształceniach otrzymujemy:

\[ \frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta\]

Następnie wyrażając V_ed jako V_RDs otrzymujemy nośność przekroju z pionowym zbrojeniem na ścinanie:

\[ {{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta\]

Podłużna siła ścinająca jest przenoszona przez zbrojenie podłużne i może być wyznaczona jako V_edcotgθ. Wyprowadzenie powyższych wzorów można znaleźć w [4].

W programie IDEA RCS możliwe jest sprawdzenie wyłącznie elementów z pionowym zbrojeniem na ścinanie. W ogólnym przypadku można stosować następujące równania:

\[{{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha\]

\[{{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)\]

Gdzie  

A_sw      jest polem przekroju zbrojenia na ścinanie,

s           jest rozstawem strzemion,

f_ywd      jest obliczeniową granicą plastyczności zbrojenia na ścinanie,

b_w        jest minimalną szerokością między pasem rozciąganym a ściskanym. Do obliczenia nośności V_Rd,max wartość szerokości przekroju musi być zredukowana do tzw. nominalnej szerokości przekroju w przypadku, gdy przekrój jest osłabiony przez kanały kablowe

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ dla iniekcjonowanych kanałów metalowych

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ dla nieiniekcjonowanych kanałów metalowych           

υ          = 0,6 pro f_ck ≤ 60MPa lub  pro f_ck > 60MPa,

α_cw       jest współczynnikiem uwzględniającym stan naprężeń w pasie ściskanym.

Obciążenie	σcp = 0	0 < σcp≤0,25 fcd	0,25 fcd < σcp≤0,5 fcd	0,5 fcd < σcp≤1,0 fcd
Współczynnik acw	1,0	1+σcp/fcd	1,25	2,5(1 - σcp/fcd)

Tab. 1‑1 Wyznaczanie współczynnika α_cw

Kąt θ jest kątem między krzyżulcem ściskanym betonu a osią elementu prostopadłą do siły poprzecznej. Wartości graniczne cotθ stosowane w danym kraju mogą być podane w jego Załączniku Krajowym. Zalecane wartości graniczne są określone wyrażeniem:

\[1~\le ~\cot \theta \le 2,5\]

Wybór wartości kąta θ może wpływać na wartości nośności. Zależność nośności jest widoczna na Rysunku 1.15. Rysunek pokazuje, że wraz ze wzrostem kąta θ nośność V_Rd,max  rośnie, a nośność V_Rd,s maleje. Nośność V_Rd,c jest stała, ponieważ opiera się na metodzie analogii kratownicowej.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}\]

Obliczanie charakterystyk przekrojowych dla ścinania

Do obliczenia ścinania istotne jest wyznaczenie zmiennych przekrojowych wpływających na nośność na ścinanie. Do zmiennych tych należą przede wszystkim szerokość przekroju przenosząca ścinanie b_w, wysokość użyteczna d oraz ramię sił wewnętrznych z. Norma [2] podaje te wartości bezpośrednio powiązane z rzeczywistym naprężeniem od zginania. Problem pojawia się jednak przy wyznaczaniu tych wartości, gdy kierunek wypadkowej momentów zginających (a dokładniej kierunek wypadkowej nośności przekroju) jest znacząco różny od kierunku wypadkowej sił poprzecznych. W takim przypadku norma EC2 nie podaje żadnych zaleceń.

Szerokość przekroju przenosząca ścinanie b_w

Program IDEA RCS oblicza szerokość przekroju odporną na ścinanie w kierunku prostopadłym do wypadkowej sił poprzecznych. W zależności od artykułu Eurokodu szerokość ta jest obliczana jako:
-  Najmniejsza szerokość przekroju między wypadkową ściskanego betonu a rozciąganym zbrojeniem w kierunku prostopadłym do wypadkowej sił poprzecznych dla art. 6.2.2 (a) i 6.2.3 (1)
- Szerokość przekroju w kierunku prostopadłym do wypadkowej sił poprzecznych w sprawdzanym punkcie zgodnie z art. 6.2.2 (2)

Wysokość użyteczna przekroju

Wysokość użyteczna jest zazwyczaj definiowana jako odległość najbardziej ściskanego włókna betonu do środka ciężkości zbrojenia. Ponieważ jest ona bezpośrednio związana ze zginaniem, odległość ta jest podawana jako rzut prostopadły na linię ciężkości płaszczyzny odkształceń.

Definicję tę można doprecyzować tak, że zamiast środka ciężkości zbrojenia rozciąganego stosuje się położenie wypadkowej sił w zbrojeniu. W trakcie opracowywania programu IDEA RCS rozwiązano problem: jak zdefiniować wysokość użyteczną przekroju, dla którego płaszczyzna obciążeń zginających nie pokrywa się z kierunkiem wypadkowej sił poprzecznych. Dlatego wysokość użyteczna jest definiowana jako odległość najbardziej ściskanego włókna betonu do wypadkowej sił w zbrojeniu rozciąganym (na podstawie naprężeń od zginania) w kierunku wypadkowej sił poprzecznych, patrz Rysunek 1.17.

Przypadki wyjątkowe wystąpią, gdy nie jesteśmy w stanie wyznaczyć ściskanego włókna lub wypadkowej w zbrojeniu rozciąganym. W takim przypadku zaleca się stosowanie wartości 0,9 h (90% wysokości przekroju w kierunku wypadkowej sił poprzecznych). Wartość tę użytkownik może zdefiniować w programie IDEA RCS poprzez ustawienie zmiennych normowych.

Ramię sił wewnętrznych

Ramię sił wewnętrznych jest określone w art. 6.2.3 (3) [2] jako „odległość między pasem rozciąganym a ściskanym". Norma nie określa, jak postępować, gdy płaszczyzna działającego momentu zginającego różni się od kierunku wypadkowej sił poprzecznych. Dlatego, podobnie jak w przypadku wysokości użytecznej, definiujemy odległość w kierunku wypadkowej sił poprzecznych. Również tutaj mogą wystąpić podobne przypadki wyjątkowe, na przykład gdy cały przekrój jest ściskany itp. W takim przypadku przyjmuje się wartość 0,9 d (90% użytecznej wysokości przekroju). Wartość tę użytkownik może ustawić w programie IDEA RCS poprzez ustawienie zmiennych normowych.

Zależność między nachyleniem płaszczyzny zginania a wypadkową siły poprzecznej jest wyraźnie widoczna na Rysunku 1.18 i Rysunku 1.19. Wraz ze wzrostem nachylenia wartości wysokości użytecznej, ramion sił i związanych z nimi nośności maleją. Stanem granicznym jest 90°. Dla tego nachylenia ramię sił wewnętrznych nie może być obliczone, w konsekwencji ramię sił jest równe zero. W takim przypadku uwzględniana jest wartość określona w ustawieniach zmiennych normowych. Powoduje to skok na końcu wykresu. Niniejsze badanie potwierdza, że zalecane maksymalne nachylenie wynosi około 20°.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}\]

W ramach testowania aplikacji RCS przeprowadzono badanie dotyczące zależności nośności na ścinanie od zmiany siły normalnej. Nośność V_Rd,max jest kształtowana wyłącznie przez współczynnik α_cw, patrz Rys. 1.20. Rys. 1.21 pokazuje stałą wartość nośności V_Rds. Dla nośności V_Rdc spadki są spowodowane wzrostem siły normalnej. Niebieska krzywa na Rys. 1.21 przedstawia nośność V_Rdc z pominięciem wpływu rys i została obliczona przy użyciu wzoru z art. 6.2.2 (1) [2]. Skok w przejściu między ściskaniem a rozciąganiem jest spowodowany udziałem zbrojenia rozciąganego. Czerwona krzywa jest obliczona przy użyciu wzoru z art. 6.2.2 (2) [2]. Po wystąpieniu pierwszej rysy krzywa zależności jest taka sama jak dla art. 6.2.2 (1) [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}\]

Skręcanie

Założenia obliczeniowe

Zachowanie przekroju żelbetowego poddanego skręcaniu można podzielić na dwie kategorie – przed i po chwili, gdy można spodziewać się pierwszych zarysowań. Przed zarysowaniem przekrój zachowuje się jak materiał sprężysty. Naprężenie skręcające można wyrazić wzorem   

 \[\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}\] 

gdzie W_t jest wskaźnikiem przekrojowym przy skręcaniu.

Zarysowania w elemencie niezbrojonym spowodowane głównym naprężeniem rozciągającym od skręcania stanowią również stan graniczny nośności. Zachowanie przekroju żelbetowego poddanego skręcaniu można opisać na podstawie cienkościennego przekroju zamkniętego, patrz rys. poniżej. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}\]

Procedura obliczeniowa

Proces sprawdzenia normowego przekroju żelbetowego na skręcanie jest bardzo podobny do sprawdzenia na ścinanie. Przede wszystkim sprawdzamy nośność betonu. Jeśli sprawdzenie betonu jest spełnione, zbrojenie można zaprojektować zgodnie z zasadami konstruowania. W przeciwnym razie należy zweryfikować zbrojenie oraz nośność ściskanych krzyżulców ukośnych w drodze obliczeń.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}\]

Nośność

Przepływ ścinający w ścianie cienkościennego przekroju poddanego skręcaniu można wyrazić jako:

\[ {{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

Siłę ścinającą w ścianie cienkościennego przekroju można wyrazić jako:

\[ V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z\]

Gdzie 

τ          Przepływ ścinający w ścianie,

t_ef         jest efektywną grubością ściany,

z           jest długością boku ściany,

T_Ed       jest momentem skręcającym,

A_k        jest polem powierzchni ograniczonej osiami środkowymi łączących ścian, łącznie z wewnętrznymi obszarami pustymi.

Moment zarysowania od skręcania, który można wyznaczyć podstawiając f_ctd do poprzedniego wyrażenia. W ten sposób otrzymujemy wyrażenie na nośność przy skręcaniu bez zbrojenia na skręcanie.

\[ {{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}\]

gdzie  f_ctd       obliczeniowa wytrzymałość osiowa betonu na rozciąganie

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}\]

Nośność elementu ze zbrojeniem na skręcanie składa się z nośności ściskanych krzyżulców betonowych, która opiera się na metodzie analogii kratownicowej. Naprężenie ściskające w krzyżulcu można wyrazić za pomocą siły ścinającej w ścianie cienkościennego przekroju na rozpatrywanej powierzchni ściany, tj.

\[{{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }\]

Podstawiając σ_c=σ_cwf_cd oraz T_Ed=T_Rd,max i wyznaczając T_Rd,max otrzymujemy równanie na nośność ściskanego krzyżulca

\[{{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}\]

gdzie  

ν          = 0,6 dla f_ck ≤ 60MPa lub dla f_ck > 60MPa

α_cw       współczynnik uwzględniający stan naprężeń ściskających w pasie ściskanym

f_cd        wartość obliczeniowa wytrzymałości betonu na ściskanie

nośność zbrojenia na ścinanie poddanego skręcaniu opiera się ponownie na naprężeniu w ściskanym krzyżulcu. Siła w strzemionach jest równa naprężeniu w ściskanym krzyżulcu na obszarze odpowiadającym danemu rzędowi strzemion, tj.

\[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~\]

Podstawiając T_Ed=T_Rd,s i wyznaczając T_Rd,s  otrzymujemy równanie:

 \[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta\] 

Jeśli znana jest ilość zbrojenia podłużnego i poprzecznego, kąt θ można wyznaczyć z wyrażenia

\[{{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}\] 

Podstawiając do T_Rd,s otrzymujemy

\[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}\]  

Gdzie

A_sw      pole zbrojenia na ścinanie

s           jest rozstawem strzemion zbrojenia na ścinanie

f_ywd      jest efektywną obliczeniową wytrzymałością zbrojenia na ścinanie

A_sl       pole zbrojenia podłużnego

u_k         jest zewnętrznym obwodem przekroju

f_ywd      jest efektywną obliczeniową wytrzymałością zbrojenia podłużnego

Siłę w zbrojeniu podłużnym można wyprowadzić z siły ścinającej w ścianie przekroju poddanego czystemu momentowi skręcającemu, która jest dana jako:

\[V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}\]

Siła ta jest przenoszona w kierunku podłużnym i otrzymujemy:

\[{{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }\]

Dopuszczalny zakres wartości kąta θ jest podobny jak przy sprawdzeniu na ścinanie, tj. 1 < cot θ < 2,5. Zależność między nośnościami przedstawiono na rys. poniżej. Diagram pokazuje, że wraz ze wzrostem kąta θ nośność T_Rd,max rośnie, nośność T_Rd.s maleje, a nośność T_Rd,c jest stała, ponieważ nie opiera się na metodzie analogii kratownicowej.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}\]

Obliczanie charakterystyk przekroju przy skręcaniu

Do sprawdzenia przekroju na skręcanie konieczne jest wyznaczenie tzw. zastępczego cienkościennego przekroju zamkniętego. Przy wyznaczaniu wymiarów zastępczego cienkościennego przekroju przyjmuje się kształt prostokątny. Dla rzeczywistego pola prostokąta przyjmuje się A = b×h, a dla obwodu prostokąta u =2 (b +h). Korzystając z tych dwóch równań można wyznaczyć zastępcze wymiary prostokąta oraz obwód oryginalnego przekroju. Rozwiązując układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi otrzymujemy:

\[b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}\]

Grubość ściany efektywnego przekroju można wyznaczyć z obwodu i pola przekroju jako:

\[t=\text{A}/\text{u}\]

Następnie pole i obwód wyznaczone przez oś środkową efektywnego przekroju:

\[{{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[{{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)\]

Problem z tą metodą pojawia się w przypadku przekrojów teowych z szeroką płytą, gdy do obliczenia wymiarów przyjmowane jest całkowite pole i obwód (łącznie z tą płytą). W przyszłych wersjach programu IDEA RCS zostanie umożliwiony wybór najbardziej masywnej części przekroju, która będzie używana do sprawdzenia skręcania.

Interakcja

Interakcja siły poprzecznej i skręcania dla zbrojenia na ścinanie

Wyznaczanie siły w zbrojeniu na ścinanie od siły poprzecznej. 

Obliczenie opiera się na wzorze do wyznaczania nośności zbrojenia na ścinanie zdefiniowanym w EN 1992-1-1. Na podstawie równania 6.13 (rozdz. 6.2.3 (4)) nośność jednej gałęzi strzemienia można wyprowadzić jako:

\[{{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta \]

\[\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}\]

A_sw,V .  .  . pole przekroju jednej gałęzi strzemienia przenoszącej ścinanie w rozpatrywanym przekroju

s .  .  .  .  . rozstaw zbrojenia na ścinanie w kierunku osi podłużnej elementu 

a_sw,V .  .  . pole przekroju zbrojenia na ścinanie na jednostkę długości

z .  .  .  .  . wewnętrzne ramię sił. Dla elementu o stałej wysokości odpowiada momentowi gnącemu w rozpatrywanym elemencie. W analizie ścinania żelbetu bez siły osiowej można zwykle stosować przybliżoną wartość z = 0,9d.

f_ywd .  .  .  obliczeniowa granica plastyczności zbrojenia na ścinanie

θ .  .  .  .  . kąt między krzyżulcem ściskanym betonu a osią elementu prostopadłą do siły poprzecznej

α .  .  .  .  . kąt między zbrojeniem na ścinanie a osią elementu prostopadłą do siły poprzecznej

β .  .  .  .  . nachylenie gałęzi strzemienia względem wypadkowej przyłożonej siły poprzecznej

Siła poprzeczna jest równomiernie rozdzielana między poszczególne zbrojenia przenoszące siłę poprzeczną na podstawie kąta nachylenia zbrojenia oraz sztywności osiowej poszczególnych gałęzi strzemion.

\[{{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}\]

\[{{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}\]

Następnie można wyprowadzić średnie odkształcenie zbrojenia rozpatrywane w kierunku wypadkowej siły poprzecznej:

\[{{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}\]

Rzeczywiste odkształcenie i-tego zbrojenia można obliczyć jako:

\[{{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}\]

Naprężenie w danej gałęzi zbrojenia:

\[{{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}\]

Wyznaczanie siły w poszczególnych strzemionach od skręcania

Nośność przekroju na skręcanie można obliczać na podstawie modelu cienkościennego przekroju zamkniętego, w którym równowaga jest zapewniona przez zamknięty przepływ sił ścinających. Przekroje pełne mogą być modelowane jako zastępcze przekroje cienkościenne. W przypadku przekrojów niepełnych zastępcza grubość ścianki nie powinna przekraczać rzeczywistej grubości ścianki.

Przepływ sił ścinających w ściankach cienkościennego przekroju zamkniętego od skręcania można obliczyć jako:

\[{{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

Siła poprzeczna w danej ściance wynosi:

\[{{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}\]

l_i .  .  .  . długość linii środkowej rozpatrywanej ścianki

Siła poprzeczna w środniku – długość linii środkowej środnika można zastąpić wartością ramienia sił „z".

\[{{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z\]

Siła w strzemionach przenoszących skręcanie na jeden metr długości elementu (na jednostkę długości):

\[{{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta\]

Rozkład sił na poszczególne strzemiona

Jeżeli dla wszystkich strzemion zdefiniowany jest ten sam materiał, wynikowe naprężenie od skręcania w każdej gałęzi strzemienia jest stałe. Wówczas:

\[{{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}\]

gdzie a_sw,T jest całkowitym polem strzemion przenoszących skręcanie na jednostkę długości.

W przypadku gdy poszczególne strzemiona mają różne materiały, należy uwzględnić sztywność osiową poszczególnych prętów.

\[{{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}\]

n_T .  .  .  . liczba gałęzi zbrojenia (grup zbrojenia) przenoszących skręcanie

F_si,T .  .  . siła w i-tej grupie zbrojenia wynikająca ze skręcania na jednostkę długości

a_si,T .  .  . pole przekroju zbrojenia na ścinanie przenoszącego skręcanie na jednostkę długości 

E_si,T .  .  . moduł sprężystości Younga i-tej grupy zbrojenia przenoszącego skręcanie

ε_sw,T .  .  odkształcenie zbrojenia od skręcania

Wynikowe naprężenie w każdym strzemeniu od przyłożonego skręcania oblicza się jako:

\[{{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}\]

Interakcja V+T

Obliczenie naprężeń w strzemionach od ścinania i skręcania jest sumą naprężeń od poszczególnych składowych obciążenia.  

\[{{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}\]

Wypadkowa siła w i-tym zbrojeniu:

\[{{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}\]

Interakcja ścinania, skręcania i zginania dla zbrojenia podłużnego

Wyznaczanie siły w każdym zbrojeniu podłużnym od siły normalnej i momentu gnącego

Aplikacja RCS służy do obliczania odpowiedzi przekroju na kombinację siły normalnej i momentu gnącego w celu wyznaczenia naprężeń i odkształceń w poszczególnych prętach podłużnych i zbrojeniu sprężającym.

Wyznaczanie siły w poszczególnym zbrojeniu podłużnym od siły poprzecznej

Przyrost siły rozciągającej w zbrojeniu podłużnym ΔF_td od siły poprzecznej zależy od geometrii modelu Strut-and-tie. 

\[\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\]

ΔF_td .  .  .  przyrost siły rozciągającej w zbrojeniu podłużnym od siły poprzecznej

V_ed .  .  .  . wartość obliczeniowa siły poprzecznej działającej w rozpatrywanym przekroju

θ .  .  .  .  . kąt między krzyżulcem ściskanym betonu a osią elementu 

α .  .  .  .  . kąt między zbrojeniem na ścinanie a osią elementu

Dla zbrojenia podłużnego znajdującego się w pasie rozciąganym wypadkowa siła F_t w zbrojeniu podłużnym od kombinacji N+M+V nie powinna być większa niż M_Ed,max/z (gdzie M_Ed,max jest maksymalnym momentem wzdłuż belki)

\[{{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}\]

Siła ΔF_td jest przenoszona przez wszystkie przyczepne cięgna sprężające i zbrojenie zlokalizowane w części przekroju przenoszącej ścinanie (środnik w przypadku profilu I). Po stronie bezpiecznej wkład zbrojenia sprężającego można przyjąć jako 0. Założeniem obliczenia jest stałość przyrostu odkształcenia osiowego poszczególnych zbrojeniowych prętów podłużnych przenoszących ścinanie (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = const.). Wyprowadzenie jest ważne dla dwuliniowego wykresu pracy zbrojenia z poziomą gałęzią plastyczną. W przypadku wykresu z gałęzią nachyloną obliczenie należy zmodyfikować.

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}\]

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}\]

Δε_V .  .  .  . przyrost odkształcenia w zbrojeniu podłużnym od siły poprzecznej

n_s,V .  .  .  . liczba podłużnych prętów zbrojeniowych przenoszących siłę poprzeczną

A_sl,i,V .  .  . pole i-tego podłużnego pręta zbrojeniowego przenoszącego siłę poprzeczną

E_sl,i,V .  .  . moduł sprężystości Younga i-tego podłużnego pręta zbrojeniowego przenoszącego siłę poprzeczną

n_p,V .  .  .  . liczba cięgien przenoszących siłę poprzeczną

A_pl,i,V .  .  . pole i-tego cięgna przenoszącego siłę poprzeczną

E_pl,i,V .  .  . moduł sprężystości Younga i-tego cięgna przenoszącego siłę poprzeczną

Po wyznaczeniu wartości siły ΔF_td można obliczyć średnie odkształcenie zbrojenia Δε_V.

\[\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}\]

Przyrost naprężenia w poszczególnych prętach podłużnych od przyłożonej siły poprzecznej:

dla pręta zbrojeniowego \[\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}\]

dla cięgna \[\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}\]

Wyznaczanie siły w każdym zbrojeniu podłużnym od skręcania

Bardzo ważne jest wyznaczenie zbrojenia podłużnego przenoszącego skręcanie. Są to zbrojenia zlokalizowane w zastępczym efektywnym cienkościennym przekroju zamkniętym przenoszącym skręcanie.

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta \]

Zgodnie z EN 1992-1-1 zbrojenie podłużne odporne na skręcanie musi spełniać kilka warunków:

- zbrojenie powinno być równomiernie rozłożone na długości z_i, jednak w małych przekrojach zbrojenie może być skoncentrowane w narożnikach strzemion

- maksymalny rozstaw osiowy zbrojenia podłużnego wynosi 350 mm

Wkład zbrojenia sprężającego nie jest uwzględniany zgodnie z EN 1992-1-1.

Norma EN 1992-2 stanowi, że wkład zbrojenia sprężającego może być uwzględniony, jednak maksymalny przyrost naprężenia w zbrojeniu sprężającym nie może przekraczać Δσ_p ≤ 500MPa. Wówczas wzór można zmodyfikować:

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

Ponieważ jednak przyrost zbrojenia sprężającego może być uwzględniony, zależy to od wyboru użytkownika. Aktualnie zbrojenie sprężające nie jest uwzględniane w obliczeniu. 

Założeniem obliczenia jest stałość przyrostu odkształcenia osiowego każdego podłużnego zbrojenia przenoszącego ścinanie (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = const.). Wyprowadzenie jest ważne dla dwuliniowego wykresu pracy zbrojenia z poziomą gałęzią plastyczną. W przypadku wykresu z gałęzią rosnącą obliczenie należy zmodyfikować.

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

T_ed .  .  .  . wartość obliczeniowa momentu skręcającego przyłożonego w rozpatrywanym przekroju

θ .  .  .  .  . nachylenie krzyżulców ściskanych względem osi podłużnej belki (identyczne jak dla siły poprzecznej)

u_k .  .  .  .  obwód obszaru A_k

A_f .  .  .  .  pole zdefiniowane przez linię środkową zastępczego cienkościennego przekroju zamkniętego

n_s,T .  .  .  .liczba podłużnych prętów zbrojeniowych przenoszących moment skręcający

A_sl,i,T .  .  . pole i-tego podłużnego pręta zbrojeniowego przenoszącego moment skręcający

Δε_T .  .  .  .zmiana odkształcenia zbrojenia podłużnego od momentu skręcającego

Δσ_s,i,T .  .  zmiana naprężenia w i-tym zbrojeniu podłużnym od momentu skręcającego

E_sl,i,T .  .  . moduł sprężystości i-tego podłużnego pręta zbrojeniowego przenoszącego moment skręcający

Przyrost naprężenia w każdym zbrojeniu podłużnym od przyłożonego momentu skręcającego:

\[\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}\]

Sprawdzenie ograniczenia naprężeń

Sprawdzenie opiera się na ogólnych założeniach, w których rozpatrywane są dwa stany przekroju poprzecznego: przekrój niezarysowany (wytrzymałość betonu na rozciąganie nie jest pomijana) oraz przekrój w pełni zarysowany (wytrzymałość betonu na rozciąganie jest pomijana). Rozwiązanie z pominiętą wytrzymałością betonu na rozciąganie jest rozpatrywane zgodnie z założeniami Artykułu 7.1 (2) EN 1992-1-1.

Przy obliczaniu naprężeń i ugięć przyjmuje się przekrój niezarysowany, jeżeli naprężenie rozciągające od zginania nie przekracza f_ct, eff. Wartość f_ct, eff może być przyjmowana jako f_ctm lub f_ctm,fl. Wartość f_ctm jest stosowana przy obliczaniu szerokości rys oraz tension stiffening.

W ramach tego sprawdzenia rozpatrywane są cztery podstawowe przypadki w zakresie ograniczenia naprężeń.

• 7.2 (2) Naprężenia ściskające w elementach narażonych na oddziaływanie środowisk klas ekspozycji XD, XF i XS powinny być ograniczone:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{1}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{1}}=0,6\]

• 7.2 (3) Naprężenia w betonie pod obciążeniami quasi-stałymi są ograniczone:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{2}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{2}}=0,45\]

• 7.2 (5) Naprężenia rozciągające w zbrojeniu przy charakterystycznej kombinacji obciążeń powinny być ograniczone:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{3}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{3}}=0,8\]

• 7.2 (5) Gdy naprężenie jest wywołane wymuszonymi odkształceniami, naprężenie rozciągające nie powinno przekraczać:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{4}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{4}}=1\]

Wartości k₁, k₂, k₃, k₄ stosowane w danym kraju mogą być podane w jego Załączniku Krajowym. Zalecane wartości wynoszą odpowiednio 0,8; 1 i 0,75, charakterystyczna granica plastyczności zbrojenia, f_ck charakterystyczna wytrzymałość walcowa f_ck wyznaczona po 28 dniach.

Rysy

Powstawanie rys

Charakterystyczną cechą żelbetowych konstrukcji poddanych zginaniu lub rozciąganiu jest występowanie zarysowania w miejscach, gdzie naprężenie rozciągające w betonie przekracza jego wytrzymałość na rozciąganie. Dla trwałości konstrukcji, a także ze względów estetycznych, ważne jest zapewnienie, aby powstające rysy były jak najmniejsze. Obliczanie szerokości rys oraz maksymalne dopuszczalne szerokości dla różnych klas ekspozycji podano w EN 1992-1-1, rozdział 7.3.

W pierwszym kroku obliczeń określa się, czy przekrój jest zarysowany, czy nie. Szerokość rysy jest zawsze obliczana na podstawie quasi-stałej lub częstej kombinacji obciążeń (w zależności od załącznika krajowego), natomiast powstawanie rys należy sprawdzać dla wszystkich określonych kombinacji SGU. Mogą zatem wystąpić dwa przypadki:

• Maksymalne naprężenie rozciągające we włóknach betonowych nie przekroczy wytrzymałości betonu na rozciąganie dla żadnej kombinacji obciążeń (quasi-stałej M_E,qp, częstej M_E,fr ani charakterystycznej M_E,k), a zatem przekrój traktujemy jako niezarysowany.

\[{{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

• Jeśli rysy powstają dla którejkolwiek z kombinacji (quasi-stałej, częstej lub charakterystycznej), tzn. moment gnący wyznaczony z rozpatrywanej kombinacji obciążeń jest większy od momentu krytycznego M_cr, przekrój jest zarysowany dla tej kombinacji obciążeń i należy obliczyć charakterystyki zarysowanego przekroju oraz szerokość rysy.

\[{{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

M_E,i   .   .   moment gnący uzyskany z pewnej kombinacji obciążeń SGU. Może to być zatem M_E,qp, M_E,fr lub M_E,k. 

f_ct,ef   .   .  wytrzymałość betonu na rozciąganie w rozpatrywanym czasie. Jeśli beton ma więcej niż 28 dni, przyjmuje się wytrzymałość równą f_ctm.

Obliczanie szerokości rys

W elemencie obciążonym zginaniem powstawanie rys dzieli się na 2 zjawiska:

• Faza powstawania rys (etap nr 2 na rys. 1)
• Ustabilizowany rozwój rys (etap nr 3 na rys. 1)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}\]

Etap powstawania rys

Jest to początkowy etap procesu, w którym poszczególne rysy stopniowo pojawiają się, aż cała rozciągana część elementu zostaje objęta rysami rozmieszczonymi w przybliżeniu równomiernie na długości elementu. Pierwsza rysa powstaje, gdy siła w rozciąganym pasku przekroczy wartość siły krytycznej N_r (krytyczna siła rozciągająca, patrz niżej), a kolejne rysy rozwijają się aż do poziomu obciążenia wywołującego siłę w rozciąganym pasku równą około 1,3N_cr (etap nr 2 na rys. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}\]

Powstające rysy dzielą się na 2 rodzaje – pierwotne i wtórne. Rysy pierwotne pojawiają się we włóknach rozciąganych po osiągnięciu efektywnej wytrzymałości betonu na rozciąganie (f_ct,eff). Rysy pierwotne stanowią pierwszy schemat zarysowania (rys. 2). Następnie między rysami pierwotnymi tworzą się krótsze rysy wtórne (rys. 3). Przy naprężeniach odpowiadających około 1,2 do 1,5 σ_sr (zwykle przyjmuje się wartość średnią 1,3 σ_sr, gdzie σ_sr jest naprężeniem w zbrojeniu przy powstawaniu rys pierwotnych w strefie rozciąganej betonu), rozwój rys wtórnych jest również zakończony.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}\]

Szerokość rysy w fazie powstawania rys można obliczyć następująco:

\[{{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}\]

Etap ustabilizowanego zarysowania

Po przekroczeniu około 1,3-krotności siły krytycznej w strefie rozciąganej nie tworzą się nowe rysy, liczba rys w elemencie stabilizuje się, a przy dalszym obciążaniu wzrasta jedynie szerokość istniejących rys (etap nr 3 na rys. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}\]

Szerokość rysy w fazie ustabilizowanego rozwoju można obliczyć jako:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}\]

Krytyczna siła rozciągająca

Obliczenia opierają się na modelu paska rozciąganego (Tension Chord Model, TCM). Podstawowym założeniem jest obliczenie nośności granicznej żelbetowego paska złożonego z pręta zbrojeniowego o polu przekroju A_s,eff otoczonego efektywnym polem rozciąganego betonu A_c,eff, który jest w stanie przenosić naprężenia rozciągające do momentu przekroczenia wytrzymałości na rozciąganie f_ct,eff (zwykle przyjmuje się f_ctm). Zakładając doskonałą przyczepność między zbrojeniem a betonem, można przyjąć, że do chwili powstania pierwszej rysy odkształcenia zbrojenia i otaczającego betonu są identyczne. Wówczas maksymalną siłę w rozciąganym pasku tuż przed powstaniem pierwszej rysy N_r można wyznaczyć:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}\]

Wprowadzając podstawienie

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

otrzymujemy:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Tuż po powstaniu pierwszej rysy cała siła N_r jest przenoszona przez zbrojenie, a zatem naprężenie w zbrojeniu przechodzącym przez świeżo powstałą rysę można obliczyć jako:

\[{{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Obliczanie szerokości rys według EC 1992-1-1

Do obliczania szerokości rys w elementach żelbetowych stosuje się następujące równanie:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

s_r,max   .   .   .   maksymalny rozstaw rys

ε_sm  .   .   .   .   średnie odkształcenie zbrojenia od kombinacji obciążeń, uwzględniające efekty tension stiffening.

ε_cm  .   .   .   .   średnie odkształcenie betonu między rysami

Obliczanie różnicy odkształceń

Różnicę odkształceń zbrojenia i betonu między rysami można uzyskać z równania:

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

σ_s      .   .   .   .   naprężenie w zbrojeniu w rysie od rozpatrywanej kombinacji obciążeń

k_t      .   .   .   .   empiryczny współczynnik uwzględniający średnie odkształcenie, zależny od czasu trwania obciążenia. Może przyjmować wartość 0,6 dla analizy krótkotrwałej. Dla analizy długotrwałej uwzględnia się redukcję sztywności kompozytu do około 70%, dlatego jego wartość wynosi 0,4, co obejmuje tempo degradacji przyczepności między zbrojeniem a betonem w czasie.

α_e     .   .   .   . efektywny stosunek modułów sprężystości

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}\]

ς_p,_eff  .   .   .   .   efektywny stopień zbrojenia

\[{{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

A_c,_eff .   .   .   .   efektywne pole przekroju betonu rozciąganego otaczającego zbrojenie (wyznaczanie A_c,eff poniżej)

A_s,_eff .   .   .   .   pole przekroju zbrojenia z przyczepnością znajdującego się w obszarze A_c,_eff

A_p´    .   .   .   .   pole przekroju cięgien sprężających (pre- lub post-tensioned) w obszarze A_c,_eff

ξ₁  .   .   .   .   .   skorygowany stosunek wytrzymałości na przyczepność, uwzględniający różne średnice stali sprężającej i zbrojeniowej:

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}\]

ξ  .   .   . stosunek wytrzymałości na przyczepność stali sprężającej i zbrojeniowej (Tabela 6.2)

ϕ_s   .   .  największa średnica pręta zbrojeniowego

ϕ_p   .   .  średnica lub równoważna średnica stali sprężającej

Dla wiązek, A_p jest polem przekroju zbrojenia w cięgnie

\[{{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}\]

Dla pojedynczych splotów siedmiodrutowych, gdzie φ_wire jest średnicą drutu

\[{{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Dla pojedynczych splotów trzydrutowych, gdzie φ_wire jest średnicą drutu

\[{{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Jeśli do zapobiegania zarysowaniu stosuje się wyłącznie zbrojenie sprężające, należy przyjąć:

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}\]

W elementach sprężonych minimalne pole zbrojenia z przyczepnością nie jest wymagane, o ile przy charakterystycznej kombinacji obciążeń i charakterystycznej wartości siły sprężającej naprężenie rozciągające w żadnym włóknie nie przekracza wytrzymałości betonu na rozciąganie f_ct,eff. (szczegóły – patrz EN 1992-1-1 rozdz. 7.3.2)

Efektywne pole betonu rozciąganego

Ważnym, a zarazem najbardziej złożonym krokiem obliczeń jest wyznaczenie efektywnego pola rozciąganego betonu otaczającego zbrojenie. Zarówno Eurokod, jak i Model Code rozpatrują proste przypadki obciążeń, w których element żelbetowy jest obciążony jednoosiowym zginaniem lub rozciąganiem. Wartość efektywnej wysokości wyznacza się jako:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}\]

Zazwyczaj miarodajna jest wartość h_c,eff = 2,5(h-d). Dla elementów rozciąganych górną granicą jest h/2, natomiast dla elementów zginanych – (h-x)/3. Pole A_c,eff jest jednak również ograniczone szerokością wyznaczoną ze wzoru 5(c+ϕ/2). Jeśli rozstaw zbrojenia jest większy niż 5(c+ϕ/2), dla poszczególnych prętów przyjmuje się efektywne pole rozciąganego betonu o szerokości 5(c+ϕ/2).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}\]

Maksymalny rozstaw rys

Przy obliczaniu maksymalnego rozstawu rys s_r,max mogą wystąpić dwa przypadki:

• Osiowy rozstaw zbrojenia z przyczepnością nie przekracza odległości 5(c+ϕ/2) – rys. 9a
• Osiowy rozstaw zbrojenia z przyczepnością jest większy niż 5(c+ϕ/2) – rys. 9b

Obliczanie maksymalnego rozstawu rys s_r,max dla przypadku, gdy osiowe rozstawy zbrojenia nie przekraczają wartości 5(c+ϕ/2), definiuje się następująco:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

c  .    .   .   .   .   wartość otuliny betonowej w mm. Ponieważ wartość otuliny może być różna dla zbrojenia skrajnego przy krawędziach poziomych i pionowych, zaleca się przyjęcie maksymalnej wartości otuliny znalezionej dla rozpatrywanego zbrojenia.

ϕ     .   .   .   .   średnica zbrojenia z przyczepnością. W przypadku różnych średnic zbrojenia należy obliczyć średnicę zastępczą zgodnie z równaniem 7.12 EN 1992-1-1.

\[{{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}\]

k₁ .   .   .   . współczynnik uwzględniający właściwości przyczepności zbrojenia z przyczepnością

• k₁ = 0,8 dla prętów o wysokiej przyczepności
• k₁ = 1,6 dla prętów o efektywnie gładkiej powierzchni (np. cięgna sprężające)

k₂ .   .   .   . współczynnik uwzględniający rozkład odkształceń

• k₂ = 1,0 dla zginania
• k₂ = 0,5 dla czystego rozciągania

W przypadkach mimośrodowego rozciągania lub obszarów lokalnych należy stosować pośrednie wartości k₂, które można obliczyć ze wzoru:

\[{{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}\]

k₃      .   .   .   .  współczynnik wyrażający długość obszaru w pobliżu rysy, w którym przyczepność między betonem a zbrojeniem jest naruszona. Zalecana wartość podstawowa EC k₃ = 3,4 może być modyfikowana przez załącznik krajowy. 

k₄      .   .   .   .   współczynnik wyrażający zależność między przyczepnością a wytrzymałością betonu na rozciąganie. Zalecana wartość podstawowa EC k4 = 0,425 może być korygowana przez załącznik krajowy.

Obliczanie maksymalnego rozstawu rys s_r,max dla przypadku, gdy osiowe rozstawy zbrojenia przekraczają wartość 5(c+ϕ/2), definiuje się następująco:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

Wartości maksymalnego rozstawu rys według równania

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

powinny być zawsze większe od wartości wyznaczonych ze wzoru

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;\]

w przeciwnym razie zaleca się przyjęcie większego rozstawu uzyskanego z powyższych równań. Równanie na odkształcenie betonu/zbrojenia nie jest modyfikowane dla przypadku dużego osiowego rozstawu zbrojenia. W obszarach z kontrolowaną szerokością rys osiowy rozstaw poszczególnych prętów zbrojeniowych nie powinien być większy niż 5(c+ϕ/2).

Obliczanie szerokości rys zaimplementowane w RCS

Wyznaczanie efektywnego pola A_c,eff

Ponieważ nie jest oczywiste, które zbrojenie można uznać za podłużne zbrojenie przeciwrysowe, A_c,eff wyznacza się za pomocą następującego procesu iteracyjnego.

• Dla całego zbrojenia pracującego na rozciąganie wyznacza się środek ciężkości sił rozciągających C_g,s,1. Efektywna głębokość zbrojenia d jest odległością między C_g,s a najbardziej ściskanym włóknem betonowym, obliczoną w kierunku wypadkowego momentu gnącego. Jednocześnie wyznacza się położenie osi obojętnej oraz wysokość strefy ściskanej x dla zarysowanego przekroju. Umożliwia to wyznaczenie efektywnej wysokości h_c,eff:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

• Wykluczając całe zbrojenie leżące poza A_c,eff,1, wyznacza się nowy środek ciężkości zbrojenia C_g,s,2 wraz z nową efektywną głębokością zbrojenia d; efektywna wysokość h_c,eff jest wyznaczana w taki sam sposób jak w poprzednim kroku, lecz ze zmienionymi wartościami wejściowymi.

Ponownie sprawdza się, czy całe rozpatrywane zbrojenie rozciągane leży w obszarze A_c,eff,2. Jeśli warunek ten jest spełniony, iterację można zakończyć, a wartości h_c,eff,2, A_c,eff,2 i A_s,eff,2 są wyświetlane jako wartości wynikowe w IDEA StatiCa RCS.

Możliwe przypadki obliczania szerokości rys

Ogólnie przy obliczaniu szerokości rys mogą wystąpić trzy przypadki:

• Zbrojenie rozciągane leży w obszarze A_c,eff, przy czym osiowy rozstaw poszczególnych prętów jest mniejszy niż 5(c+ϕ/2). Wówczas do obliczeń stosuje się następujące definicje:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• Zbrojenie rozciągane leży w obszarze A_c,eff, przy czym osiowy rozstaw poszczególnych prętów przekracza odległość 5(c+ϕ/2). Wówczas do obliczeń stosuje się następujące definicje:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• Zbrojenie rozciągane nie leży w obszarze A_c,eff (może to być spowodowane np. dużą grubością otuliny). 

W takim przypadku obliczenie szerokości rys nie byłoby możliwe. Dlatego obliczanie efektywnej wysokości h_c,eff jest modyfikowane w następujący sposób:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}\]

Jednocześnie wyświetlana jest następująca niezgodność:

Efektywne pole betonu rozciąganego otaczającego zbrojenie lub cięgna sprężające o głębokości h_c,eff, gdzie h_c,eff jest mniejszą z wartości 2,5(h – d) lub h/2. Przy przyjęciu wartości (h – x)/3 zbrojenie znajduje się poza efektywnym polem betonu rozciąganego, dlatego obliczenie szerokości rysy zgodnie z punktem 7.3.4 nie byłoby możliwe.

Wykres N-M-κ

Wykres N-M-κ przedstawia krzywiznę elementu (sztywność na zginanie) jako funkcję przyłożonego momentu gnącego i siły normalnej. Wyróżnia się trzy rodzaje wykresów N-M-κ:
- krótkotrwały,
- długotrwały
- SGN.
Wykresy te różnią się rodzajami diagramów naprężenie-odkształcenie stosowanych do obliczeń (wyjaśniono poniżej).

Do wyznaczenia wykresu N-M-κ wykorzystuje się obliczenie sztywności dla wybranych charakterystycznych stanów przekroju. Ogólnie może to być dowolny stan przekroju, na podstawie którego obliczana jest odpowiedź oraz wyznaczana sztywność na zginanie i krzywizna. W IDEA RCS rozpatruje się cztery charakterystyczne punkty (M_r, M_c, M_s i M_u)

M_r - moment zarysowania 

Przekrój jest poddany zdefiniowanej przez użytkownika sile normalnej, a płaszczyzna odkształceń zaczyna się obracać (w kierunku określonego momentu gnącego) aż do osiągnięcia wytrzymałości na rozciąganie betonu we włóknie betonowym (dla klasy betonu C30/37 wynosi f_ctm = 2,896 MPa). Do obliczeń stosuje się bilinearny diagram naprężenie-odkształcenie z poziomą gałęzią plastyczną zarówno dla zbrojenia, jak i betonu.

M_c - moment gnący przy osiągnięciu wytrzymałości na ściskanie betonu

Na podstawie poprzedniego kroku identyfikowane jest najbardziej wytężone włókno betonowe ściskane. Dla tego włókna ustawiane jest odkształcenie odpowiadające wytrzymałości granicznej betonu (f_ck/E_cm dla wykresu krótkotrwałego, f_ck/E_ceff dla długotrwałego i f_cd/E_cm dla wykresu SGN). Na podstawie zdefiniowanej siły normalnej i kierunku momentu gnącego uruchamiany jest proces iteracyjny w celu znalezienia płaszczyzny odkształceń zapewniającej równowagę między odpowiedzią przekroju a zdefiniowaną siłą normalną.  Do obliczeń stosuje się bilinearny diagram naprężenie-odkształcenie z poziomą gałęzią plastyczną zarówno dla zbrojenia, jak i betonu.

M_s - moment gnący przy osiągnięciu granicy plastyczności w najbardziej wytężonym pręcie zbrojeniowym

Kolejnym charakterystycznym punktem wykresu N-M-κ jest stan naprężeń w przekroju, gdy w najbardziej wytężonym pręcie zbrojeniowym osiągana jest granica plastyczności (odkształcenie pręta równe f_yk/E_s dla wykresów krótko- i długotrwałego, f_yd/E_s dla wykresu SGN). Proces iteracyjny wyznacza równowagę sił normalnych w przekroju poprzez obrót płaszczyzny odkształceń wokół punktu określonego przez położenie najbardziej wytężonego pręta zbrojeniowego. Do obliczeń stosuje się bilinearny diagram naprężenie-odkształcenie z poziomą gałęzią plastyczną zarówno dla zbrojenia, jak i betonu.

M_u - moment gnący w stanie granicznym nośności

Jest to graniczna nośność przekroju na zginanie, gdy przekrój jest poddany zdefiniowanej obliczeniowej sile normalnej N_ed. Do obliczenia nośności przekroju przyjmuje się, że osiągana jest wytrzymałość na ściskanie w najbardziej wytężonym włóknie betonowym oraz wytrzymałość na rozciąganie w najbardziej wytężonym pręcie zbrojeniowym (maksymalne odkształcenie betonu ε_cu = 0,1 oraz zbrojenia ε_s,max = 0,5). Do obliczeń stosuje się bilinearny diagram naprężenie-odkształcenie z poziomą gałęzią plastyczną dla zbrojenia oraz diagram paraboliczno-prostokątny dla betonu.

Wynikowa sztywność i krzywizna dla zdefiniowanej przez użytkownika kombinacji siły normalnej i momentu gnącego (Md) są następnie obliczane metodą liniowej interpolacji poszczególnych charakterystycznych punktów wykresu N-M-κ.

Obliczanie sztywności i krzywizn

Sztywności i krzywizny dla każdego stanu naprężeń przekroju (M_r, M_c, M_s lub M_u) są obliczane bezpośrednio z obrotu płaszczyzny odkształceń. 

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}\]

E_Ax .   .    sztywność osiowa elementu

N . .   .   . zdefiniowana siła normalna

ε_x .   .   .  odkształcenie osiowe w środku ciężkości przekroju betonowego

\[E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }\]

E_Iy .   .   .   sztywność na zginanie elementu

M .   .   .    obliczony moment gnący M_r, M_c, M_s lub M_u

κ .   .   .   . krzywizna elementu, obliczona jako tangens kąta między płaszczyzną odkształceń a osią podłużną elementu

Przykład praktyczny

Przekrój betonowy (klasa betonu C30/37) jest zbrojony prętami ϕ32 (klasa B500B). Zdefiniowana kombinacja quasi-stała wynosi N = -730 kN i M_y = 557 kNm.

Płaszczyzna odkształceń dla charakterystycznego punktu M_s jest wyznaczana przez IDEA RCS w następujący sposób:

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN\]

\[\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}\]

\[E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}\]

Diagramy naprężenie-odkształcenie stosowane do obliczeń

Zbrojenie - M_r, M_c, M_s i M_u

Beton - M_r, M_c, M_s

Beton - M_u

Literatura

[1] Bradáč Betonové konstrukce (konstrukcje betonowe), część 1: Wymiarowanie elementów z betonu zbrojonego i niezbrojony, EXPERT Ostrava, 1996

[2] ČSN EN 1992-1-1 (73 1201) Eurocode 2: Projektowanie konstrukcji betonowych - Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków, wraz ze zmianą NA wyd. A (2007) i rewizją 1 (2009)

[3] ČSN EN 1992-2 (73 6208) Eurokód 2: Navrhování betonových konstrukcí - Část 2: Betonové mosty - Navrhování a konstrukční zásady

[4] Navrátil, J. Předpjaté betonové konstrukce. 2. vydání, Akademické nakladatelství CERM, Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, 2008

[5] Šmiřák, S. Pružnost a plasticita I, Vysoké učení technické v Brně, Akademické nakladatelství CERM, Brno, 1999

[6] Vondráček, R. Numerical Methods in Nonlinear Concrete Design, Diplomová práce, ČVUT, Praha, 2000

[7] Zich, M. a kolektiv Konstrukční Eurokódy - Příklady posouzení betonových prvků dle Eurokódů, on-line book http://www.stavebniklub.cz/konstrukcni-eurokody-onbecd/, Verlag Dashöfer, 2010