Projektowanie i ocena elementów betonowych są zazwyczaj przeprowadzane na poziomie przekrojowym (element 1D) lub punktowym (element 2D). Procedura ta jest opisana we wszystkich normach projektowania konstrukcji, np. w EN 1992-1-1 lub ACI 318-19, i jest stosowana w codziennej praktyce inżynierskiej. Nie zawsze jest jednak znane lub respektowane, że procedura ta jest dopuszczalna jedynie w obszarach, gdzie obowiązuje hipoteza Bernoulliego-Naviera o płaskim rozkładzie odkształceń (zwanych obszarami B). Miejsca, w których hipoteza ta nie obowiązuje, nazywane są obszarami nieciągłości lub zaburzonymi (strefy nieciągłości – D-Regions). Przykłady obszarów B i D dla elementów 1D przedstawiono na (Rys. 1). Są to m.in. strefy podporowe, miejsca przyłożenia sił skupionych, lokalizacje nagłych zmian przekroju poprzecznego, otwory itp. Przy projektowaniu konstrukcji betonowych napotykamy wiele innych stref nieciągłości, takich jak ściany, tarcze mostowe, wsporniki itp.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}\]

W przeszłości do wymiarowania stref nieciągłości stosowano półempiryczne reguły projektowania. Na szczęście reguły te zostały w dużej mierze zastąpione w ostatnich dziesięcioleciach przez modele Strut-and-tie (Schlaich i in., 1987) oraz pola naprężeń (Marti 1985), które są uwzględnione w aktualnych normach projektowania i powszechnie stosowane przez projektantów. Modele te są mechanicznie spójnymi i skutecznymi narzędziami. Należy zauważyć, że pola naprężeń mogą być ogólnie ciągłe lub nieciągłe, a modele Strut-and-tie stanowią szczególny przypadek nieciągłych pól naprężeń.

Pomimo rozwoju narzędzi obliczeniowych w ostatnich dziesięcioleciach, modele Strut-and-Tie są w zasadzie nadal stosowane jako obliczenia ręczne. Ich zastosowanie do rzeczywistych konstrukcji jest żmudne i czasochłonne, ponieważ wymagane są iteracje, a należy uwzględnić kilka przypadków obciążeń. Ponadto metoda ta nie jest odpowiednia do weryfikacji kryteriów użytkowalności (odkształcenia, szerokości rys itp.).

Zainteresowanie inżynierów konstruktorów niezawodnym i szybkim narzędziem do projektowania stref nieciągłości doprowadziło do decyzji o opracowaniu nowej Compatible Stress Field Method – metody wspomaganego komputerowo projektowania pól naprężeń, umożliwiającej automatyczne projektowanie i ocenę elementów z betonu konstrukcyjnego poddanych obciążeniom w płaszczyźnie.

Compatible Stress Field Method (CSFM) jest ciągłą metodą analizy pól naprężeń opartą na MES, w której klasyczne rozwiązania pól naprężeń są uzupełnione o rozważania kinematyczne, tj. stan odkształceń jest oceniany w całej konstrukcji. Dzięki temu efektywna wytrzymałość betonu na ściskanie może być automatycznie obliczana na podstawie stanu odkształceń poprzecznych w sposób podobny do analiz pól ściskania uwzględniających compression softening (Vecchio i Collins 1986; Kaufmann i Marti 1998) oraz metody EPSF (Fernández Ruiz i Muttoni 2007). Ponadto CSFM uwzględnia tension stiffening, zapewniając realistyczne sztywności elementów, i obejmuje wszystkie wymagania normowe (w tym aspekty użytkowalności i zdolności do odkształceń), które nie były konsekwentnie uwzględniane przez poprzednie podejścia. CSFM wykorzystuje powszechne jednoosiowe prawa konstytutywne dla betonu i zbrojenia, podane przez normy projektowania. Są one znane na etapie projektowania, co umożliwia stosowanie metody współczynników częściowych bezpieczeństwa. Projektanci nie muszą zatem podawać dodatkowych, często arbitralnych właściwości materiałowych, jakie są zazwyczaj wymagane w nieliniowych analizach MES, co sprawia, że metoda jest doskonale odpowiednia dla praktyki inżynierskiej.

Aby wspierać stosowanie wspomaganych komputerowo pól naprężeń przez inżynierów konstruktorów, metody te powinny być zaimplementowane w przyjaznych dla użytkownika środowiskach programowych. W tym celu CSFM zostało zaimplementowane w IDEA StatiCa Detail – nowym, przyjaznym dla użytkownika komercyjnym oprogramowaniu opracowanym wspólnie przez ETH Zurych i firmę programistyczną IDEA StatiCa w ramach projektu DR-Design Eurostars-10571.

1.2 Główne założenia i ograniczenia CSFM w 2D

CSFM uwzględnia maksymalne główne naprężenie betonu przy ściskaniu (σ_c₂_r) oraz naprężenia zbrojenia (σ_sr) w rysach, pomijając wytrzymałość betonu na rozciąganie (σ_c₁_r = 0), z wyjątkiem jej efektu usztywnienia zbrojenia. Uwzględnienie tension stiffening pozwala na symulację średnich odkształceń zbrojenia (ε_m). Przyjmuje się fikcyjne, obracające się, beznaprężeniowe rysy otwierające się bez poślizgu (Rys. 2a), a równowaga w rysach wraz ze średnimi odkształceniami zbrojenia jest również brana pod uwagę.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Basic assumptions of the CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses with consideration of compression softening;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) stress-strain diagram of reinforcement in terms of stresses at cracks and average strains; (e) compression softening}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{law; (f) bond shear stress-slip relationship for anchorage length verifications.}}}\)

Pomimo swojej prostoty, podobne założenia wykazały dokładność prognoz dla elementów żelbetowych poddanych obciążeniom w płaszczyźnie (Kaufmann 1998; Kaufmann i Marti 1998), pod warunkiem że zastosowane zbrojenie zapobiega kruchemu zniszczeniu przy zarysowaniu. Ponadto, nieuwzględnianie żadnego wkładu wytrzymałości betonu na rozciąganie w nośności granicznej jest zgodne z zasadami współczesnych norm projektowania, które w większości opierają się na teorii plastyczności.

Jednak CSFM nie jest odpowiedni dla smukłych elementów bez zbrojenia poprzecznego, ponieważ istotne mechanizmy dla takich elementów, jak zazębienie kruszywa, resztkowe naprężenia rozciągające na czole rysy oraz efekt kołkowania – wszystkie opierające się bezpośrednio lub pośrednio na wytrzymałości betonu na rozciąganie – są pomijane. Podczas gdy niektóre normy projektowania dopuszczają projektowanie takich elementów na podstawie przepisów półempirycznych, CSFM nie jest przeznaczony dla tego rodzaju potencjalnie kruchych konstrukcji.

Beton

Model betonu zaimplementowany w CSFM opiera się na jednoosiowych prawach konstytutywnych ściskania przepisanych przez normy projektowania dla projektowania przekrojów, które zależą wyłącznie od wytrzymałości na ściskanie. Diagram paraboliczno-prostokątny (Rys. 2c) jest domyślnie stosowany w CSFM, ale projektanci mogą również wybrać uproszczoną sprężysto-idealnie plastyczną zależność. Przy sprawdzaniu według normy ACI możliwe jest stosowanie wyłącznie paraboliczno-prostokątnego diagramu naprężenie-odkształcenie. Jak wspomniano wcześniej, wytrzymałość na rozciąganie jest pomijana, podobnie jak w klasycznym projektowaniu żelbetu.

Efektywna wytrzymałość na ściskanie jest automatycznie wyznaczana dla zarysowanego betonu na podstawie głównego odkształcenia rozciągającego (ε₁) za pomocą współczynnika redukcyjnego k_c₂, jak pokazano na Rys. 2c i e. Zaimplementowana zależność redukcyjna (Rys. 2e) jest uogólnieniem propozycji fib Model Code 2010 dla sprawdzeń ścinania, która zawiera wartość graniczną 0,65 dla maksymalnego stosunku efektywnej wytrzymałości betonu do wytrzymałości betonu na ściskanie, co nie ma zastosowania do innych przypadków obciążeń.

CSFM w IDEA StatiCa Detail nie uwzględnia jawnego kryterium zniszczenia w kategoriach odkształceń dla betonu ściskanego (tj. przyjmuje nieskończenie plastyczną gałąź po osiągnięciu naprężenia szczytowego). To uproszczenie nie pozwala na weryfikację zdolności odkształceniowej konstrukcji niszczących się przy ściskaniu. Jednak ich nośność graniczna jest właściwie prognozowana, gdy oprócz współczynnika zarysowanego betonu (k_c₂) zdefiniowanego na (Rys. 2e), wzrost kruchości betonu wraz ze wzrostem jego wytrzymałości jest uwzględniany za pomocą współczynnika redukcyjnego \( \eta_{fc} \) zdefiniowanego w fib Model Code 2010 w następujący sposób:

\[f_{c,red} = k_c \cdot f_{c} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

gdzie:

k_cjest globalnym współczynnikiem redukcyjnym wytrzymałości na ściskanie

k_c₂ jest współczynnikiem redukcyjnym ze względu na obecność poprzecznego zarysowania

f_c jest charakterystyczną wytrzymałością betonu na ściskanie na próbkach walcowych (w MPa dla definicji \( \eta_{fc} \)).

Istnieje również redukcja współczynnika k_c₂ ze względu na stabilność obliczeń. Redukcja ta nie wpływa na całkowitą nośność elementów. Przyjmując wartość f_cd jako obliczeniową wytrzymałość betonu (wartość obliczeniowa), wartość k_c₂ jest redukowana zgodnie z następującymi zasadami.

σ_c₂_r < 0,11f_cd                                           k_c₂=1,0
0,11f_cd < σ_c₂_r < 0,37f_cd                          k_c₂ jest interpolacją liniową między 1,0 a wartością odczytaną z
                                                              wykresu przedstawionego na Rys. 2f
σ_c₂_r > 0,37f_cd                                           k_c₂ jest odczytywane bezpośrednio z wykresu na Rys. 2f

Zbrojenie

Przyjmuje się idealizowany dwuliniowy diagram naprężenie-odkształcenie dla gołych prętów zbrojeniowych, typowo definiowany przez normy projektowania (Rys. 2d). Definicja tego diagramu wymaga jedynie znajomości podstawowych właściwości zbrojenia w fazie projektowania (wytrzymałość i klasa ciągliwości). Można również zdefiniować zależność naprężenie-odkształcenie określoną przez użytkownika.

Tension stiffening jest uwzględniany poprzez modyfikację wejściowej zależności naprężenie-odkształcenie gołego pręta zbrojeniowego w celu odwzorowania średniej sztywności prętów zabetonowanych w betonie (ε_m).

Model przyczepności

Poślizg między zbrojeniem a betonem jest wprowadzony do modelu elementów skończonych poprzez uwzględnienie uproszczonej sztywno-idealnie plastycznej zależności konstytutywnej przedstawionej na Rys. 2f, gdzie f_bd jest obliczeniową wartością (wartością obliczeniową) granicznego naprężenia przyczepności określonego przez normę projektowania dla określonych warunków przyczepności.

Jest to uproszczony model służący wyłącznie do weryfikacji przepisów dotyczących przyczepności zgodnie z normami projektowania (tj. zakotwienia zbrojenia). Redukcję długości zakotwienia przy stosowaniu haków, pętli i podobnych kształtów prętów można uwzględnić poprzez zdefiniowanie określonej nośności na końcu zbrojenia, co zostanie opisane w dalszej części.

1.3 Narzędzia do projektowania zbrojenia

Przebieg pracy i cele

Celem narzędzi do projektowania zbrojenia w metodzie CSFM jest pomoc projektantom w efektywnym określaniu lokalizacji i wymaganej ilości prętów zbrojeniowych. W tym procesie dostępne są następujące narzędzia wspomagające użytkownika: obliczenia liniowe oraz optymalizacja topologii.

Narzędzia do projektowania zbrojenia stosują uproszczone modele konstytutywne w porównaniu z modelami używanymi do ostatecznej weryfikacji konstrukcji. Dlatego definicję zbrojenia na tym etapie należy traktować jako wstępny projekt, który zostanie potwierdzony/doprecyzowany podczas etapu ostatecznej weryfikacji. Zastosowanie poszczególnych narzędzi do projektowania zbrojenia zostanie przedstawione na modelu pokazanym na Rys. 3, który obejmuje jeden koniec belki swobodnie podpartej o zmiennej wysokości, obciążonej równomiernie rozłożonym obciążeniem.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Model used to illustrate the use of the reinforcement design tools.}}}\]

Analiza liniowa

Analiza liniowa uwzględnia liniowo sprężyste właściwości materiałowe i pomija zbrojenie w obszarze betonu. Jest to zatem bardzo szybkie obliczenie, które dostarcza wstępnych informacji o lokalizacji stref rozciąganych i ściskanych. Przykład takiego obliczenia przedstawiono na Rys. 4.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Results from the linear analysis tool for defining reinforcement layout}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]

Optymalizacja topologii

Optymalizacja topologii to metoda mająca na celu znalezienie optymalnego rozkładu materiału w danej objętości dla określonej konfiguracji obciążeń. Optymalizacja topologii zaimplementowana w Idea StatiCa Detail wykorzystuje liniowy model elementów skończonych. Każdy element skończony może mieć względną gęstość od 0 do 100%, reprezentującą względną ilość użytego materiału. Gęstości elementów stanowią parametry optymalizacji w zadaniu optymalizacyjnym. Wynikowy rozkład materiału uznaje się za optymalny dla danego zestawu obciążeń, jeśli minimalizuje całkowitą energię odkształcenia układu. Z definicji optymalny rozkład jest jednocześnie geometrią o największej możliwej sztywności dla danych obciążeń.

Iteracyjny proces optymalizacji rozpoczyna się od jednorodnego rozkładu gęstości. Obliczenia są wykonywane dla kilku wartości całkowitego udziału objętościowego (20%, 40%, 60% i 80%), co pozwala użytkownikowi wybrać najbardziej praktyczny wynik. Wynikowy kształt składa się z kratownic z krzyżulcami ściskanymi i cięgnami i reprezentuje optymalny kształt dla danych przypadków obciążeń (Rys. 5).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Results from the topology optimization design tool with 20\% and 40\% effective volume}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]

2 Model obliczeniowy IDEA StatiCa Detail

2.1 Wprowadzenie do implementacji Metody Elementów Skończonych

CSFM uwzględnia ciągłe pola naprężeń w betonie (dwuwymiarowe elementy skończone), uzupełnione dyskretnymi elementami "prętowymi" reprezentującymi zbrojenie (jednowymiarowe elementy skończone). Zbrojenie nie jest zatem rozmycie wbudowane w dwuwymiarowe elementy skończone betonu, lecz modelowane jawnie i połączone z nimi. W modelu obliczeniowym przyjmuje się płaski stan naprężeń.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Modelować można zarówno całe ściany i belki, jak i fragmenty (części) belek (izolowane strefy nieciągłości, zwane również odciętymi końcami). W przypadku ścian i całych belek podpory muszą być zdefiniowane w taki sposób, aby uzyskać konstrukcję (zewnętrznie) izostatyczną (statycznie wyznaczalną) lub hiperstatyczną (statycznie niewyznaczalną). Przekazywanie obciążeń na odciętych końcach belek realizowane jest za pomocą specjalnej strefy przenoszenia Saint-Venanta, która zapewnia realistyczny rozkład naprężeń w analizowanym obszarze szczegółu.

2.2 Podpory i elementy przenoszące obciążenia

Aby zamodelować większość sytuacji podczas procesu budowy, w CSFM dostępnych jest wiele rodzajów podpór (Rys. 7) oraz elementów służących do przenoszenia obciążeń (Rys. 8).

Podpory

Podporę punktową można modelować na kilka sposobów, aby zapewnić, że naprężenia nie są skoncentrowane w jednym punkcie, lecz rozłożone na większym obszarze. Pierwszą opcją jest rozproszona podpora punktowa (Rys. 7a), która równomiernie rozkłada obciążenie na krawędzi elementu na określonej szerokości.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Various types of supports:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) point distributed; (b) bearing plate; (c) line support; (d) patch support; (e) hanging.}}}\]

Podpora powierzchniowa (Rys. 7d) może być natomiast umieszczona wyłącznie wewnątrz objętości betonu z określonym efektywnym promieniem. Jest ona połączona sztywnymi elementami z węzłami siatki zbrojenia w obrębie tego promienia. Dlatego wymagane jest zdefiniowanie klatki zbrojeniowej wokół podpory powierzchniowej.

W celu dokładniejszego modelowania niektórych rzeczywistych scenariuszy dostępne są dwie inne opcje podpory punktowej. Po pierwsze, podpora punktowa z płytą podporową o określonej szerokości i grubości (Rys. 7b). Materiał płyty podporowej można określić, a cała płyta podporowa jest siatkowana niezależnie. Po drugie, dostępna jest podpora wisząca (Rys. 7e), którą można wykorzystać do modelowania kotew montażowych lub sworzni montażowych.

Podpora liniowa (Rys. 7c) może być zdefiniowana na krawędzi (poprzez określenie jej długości) lub wewnątrz elementu (za pomocą polilinii). Możliwe jest również określenie jej sztywności i/lub nieliniowego zachowania (podpora na ściskanie/rozciąganie lub tylko na ściskanie).

Szczegółowe opisy można znaleźć w Typy podpór w IDEA StatiCa Detail

Elementy przenoszące obciążenia

Wprowadzanie obciążeń do konstrukcji może być również modelowane na kilka sposobów. W przypadku obciążeń skupionych można zastosować płytę podporową (Rys. 8a) analogicznie jak podporę punktową, rozkładając obciążenie skupione na większym obszarze dzięki stalowej płycie o określonej szerokości i grubości.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Various types of load transfer components:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) bearing plate; (b) patch load; (c) hanging; (d) partially loaded area.}}}\]

Obciążenie skupione może być przyłożone bezpośrednio do powierzchni konstrukcji z określonym promieniem działania (obciążenie jest przykładane do elementów betonowych) lub za pośrednictwem specjalnego urządzenia przekazującego zwanego obciążeniem powierzchniowym (Rys. 8b i Rys. 9). Obciążenie powierzchniowe umożliwia przekazanie obciążenia bezpośrednio do zdefiniowanego zbrojenia znajdującego się w obszarze efektywnego promienia. Aby zapewnić prawidłowe działanie obciążenia powierzchniowego, konieczne jest zdefiniowanie grupy prętów, które zostaną połączone z obciążeniem (we właściwościach zbrojenia). Gdy zbrojenie połączone nie jest zdefiniowane, mechanizm przekazywania obciążenia jest taki sam jak w przypadku obciążenia skupionego przyłożonego do powierzchni elementu, a obciążenie jest przenoszone przez więzy do elementów betonowych, a nie bezpośrednio do zbrojenia.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Patch load: (a) load application; (b) load transferred through rebars (a group of bars for the load transfer is defined);}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(c) load transferred through concrete (a group of bars for the load transfer is not defined).}}}\]

Kotwy montażowe lub sworznie montażowe można modelować za pomocą obciążenia wiszącego (Rys. 8c). Użytkownik może zastosować częściowo obciążony obszar (Rys. 8d), który umożliwia zwiększenie nośności betonu na ściskanie zgodnie z Eurokodem (nie jest możliwe użycie tego rodzaju elementu przenoszącego obciążenie, gdy ustawiona jest norma ACI). Konstrukcja może być również obciążona obciążeniami liniowymi na krawędziach, ogólną polilinią lub obciążeniami powierzchniowymi. Detail application jest w stanie automatycznie uwzględnić ciężar własny w analizie.

2.3 Przenoszenie obciążeń na przyciętych końcach belek

W wielu przypadkach konieczne jest modelowanie jedynie pewnego detalu (części) elementu konstrukcyjnego, takiego jak podparcie belki, otwór w środku belki itp. Takie podejście może prowadzić do konfiguracji podpór, które są niestabilne, lecz dopuszczalne w IDEA StatiCa Detail (w tym przypadek braku podpór). Jednak w takich sytuacjach konieczne jest również zamodelowanie przekroju reprezentującego połączenie z sąsiadującym obszarem B, wraz z siłami wewnętrznymi w tym przekroju, które spełniają warunki równowagi. W pewnych przypadkach (np. przy modelowaniu podparcia belki) siły wewnętrzne mogą być wyznaczane automatycznie przez program.

Pomiędzy obszarem B a analizowaną strefą nieciągłości automatycznie tworzona jest strefa przenoszenia Saint-Venanta, zapewniająca realistyczny rozkład naprężeń w analizowanym obszarze. Szerokość strefy przenoszenia jest wyznaczana jako połowa wysokości przekroju. Ponieważ jedynym celem strefy Saint-Venanta jest uzyskanie właściwego rozkładu naprężeń w pozostałej części modelu, żadne wyniki z tego obszaru nie są wyświetlane podczas weryfikacji i nie są tu uwzględniane żadne kryteria zatrzymania.

Krawędź strefy Saint-Venanta reprezentująca przycięty koniec belki jest modelowana jako sztywna, tzn. może się obracać, ale musi pozostać płaska. Realizuje się to poprzez połączenie wszystkich węzłów MES krawędzi z oddzielnym węzłem w środku ciężkości przekroju za pomocą elementu sztywnego ciała (RBE2). Siły wewnętrzne elementu mogą być następnie przyłożone w tym węźle, jak pokazano na Rys. 10.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Transfer of internal forces at a trimmed end.}}}\]

2.4 Geometryczna modyfikacja przekrojów poprzecznych

Redukcja przekroju poprzecznego jest wykonywana automatycznie dla konstrukcji zdefiniowanych jako belka lub węzeł ramy (zdefiniowanych przez oś x i przekrój poprzeczny). Modyfikacja ta jest automatycznie stosowana do przekrojów poprzecznych z bardzo szerokimi półkami (Rys. 11) i opiera się na założeniu, że pole naprężeń ściskających rozszerza się od ściany pod kątem 45°, a zatem wspomniana zredukowana szerokość stanowi maksymalną szerokość zdolną do przenoszenia obciążeń.

Należy zauważyć, że metoda wyznaczania efektywnej szerokości półki zastosowana w CSFM różni się od metody podanej w pkt 5.3.2.1 EN 1992-1-1 (2015) lub w pkt 9.2.4.4 ACI 318-19. Poza geometrią, efektywna szerokość półki według Eurokodu jest wprost uzależniona od rozpiętości przęseł i warunków brzegowych konstrukcji.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Width reduction of a cross-section: (a) user input; (b) FE model – automatically determined reduced flange width.}}}\]

W przypadku skosów leżących w płaszczyźnie poziomej (Rys. 12), każdy skos jest podzielony na pięć odcinków wzdłuż swojej długości. Każdy z tych odcinków jest następnie modelowany jako ściana o stałej grubości, równej rzeczywistej grubości w środku danego odcinka.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Horizontal haunch: (a) user input; (b) FE model – a haunch automatically divided into five sections.}}}\]

2.5 Typy elementów skończonych

Nieliniowy (niesprężysty) model analizy metodą elementów skończonych tworzony jest przy użyciu kilku typów elementów skończonych służących do modelowania betonu, zbrojenia oraz przyczepności między nimi. Elementy betonowe i zbrojeniowe są najpierw siatkowane niezależnie, a następnie łączone ze sobą za pomocą więzów wielopunktowych (elementy MPC). Pozwala to na umieszczenie zbrojenia w dowolnym, względnym położeniu w stosunku do betonu. Jeśli ma być przeprowadzona weryfikacja długości zakotwienia, między zbrojeniem a elementami MPC wstawiane są elementy sprężynowe przyczepności i końca zakotwienia.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}\]

Beton

Beton jest modelowany za pomocą czworokątnych i trójkątnych elementów powłokowych CQUAD4 i CTRIA3. Mogą być one definiowane odpowiednio przez cztery lub trzy węzły. W elementach tych przyjmuje się wyłącznie płaski stan naprężeń, tzn. naprężenia i odkształcenia w kierunku z nie są uwzględniane.

Każdy element posiada cztery lub trzy punkty całkowania, rozmieszczone w odległości około 1/4 jego wymiaru. W każdym punkcie całkowania każdego elementu obliczane są kierunki odkształceń głównych α₁, α₂. W obu tych kierunkach naprężenia główne σ_c₁, σ_c₂ oraz sztywności E₁, E₂ są wyznaczane zgodnie z przyjętym wykresem naprężenie-odkształcenie betonu, jak pokazano na Rys. 2. Należy zaznaczyć, że wpływ efektu compression softening sprzęga zachowanie głównego kierunku ściskanego z aktualnym stanem drugiego kierunku głównego.

Zbrojenie

Pręty zbrojeniowe są modelowane za pomocą dwuwęzłowych jednowymiarowych elementów „prętowych" (CROD), które posiadają jedynie sztywność osiową. Elementy te są połączone ze specjalnymi elementami „przyczepności", opracowanymi w celu modelowania zachowania poślizgu między prętem zbrojeniowym a otaczającym betonem. Elementy przyczepności są następnie łączone za pomocą elementów MPC (więzy wielopunktowe) z siatką reprezentującą beton. Podejście to umożliwia niezależne siatkowanie zbrojenia i betonu, przy jednoczesnym zapewnieniu ich wzajemnego połączenia.

Elementy przyczepności

Długość zakotwienia jest weryfikowana poprzez uwzględnienie w modelu elementów skończonych naprężeń stycznych przyczepności między elementami betonowymi (2D) a elementami prętów zbrojeniowych (1D). W tym celu opracowano typ elementu skończonego „przyczepności".

Definicja elementu przyczepności jest podobna do definicji elementu powłokowego (CQUAD4). Jest on również definiowany przez 4 węzły, jednak w odróżnieniu od powłoki posiada niezerową sztywność jedynie na ścinanie między dwoma górnymi a dwoma dolnymi węzłami. W modelu górne węzły są połączone z elementami reprezentującymi zbrojenie, a dolne z elementami reprezentującymi beton. Zachowanie tego elementu opisuje naprężenie przyczepności τ_b jako dwuliniowa funkcja poślizgu między węzłami górnymi i dolnymi δ_u, patrz Rys. 14.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}\]

Sprężysty moduł sztywności relacji przyczepność-poślizg, G_b, jest definiowany następująco:

\[G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}\]

gdzie:

k_g współczynnik zależny od powierzchni pręta zbrojeniowego (domyślnie k_g= 0,2)

E_c moduł sprężystości betonu (przyjmowany jako E_cm w przypadku EN)

Ø średnica pręta zbrojeniowego

Wartości obliczeniowe (z uwzględnieniem współczynników) granicznego naprężenia stycznego przyczepności f_bd, podane w odpowiednich wybranych normach projektowania EN 1992-1-1 lub ACI 318-19, są stosowane do weryfikacji długości zakotwienia. Wzmocnienie gałęzi plastycznej jest domyślnie obliczane jako G_b/10⁵.

Sprężyna zakotwienia

Zastosowanie zakończeń zakotwień prętów zbrojeniowych (tj. zagięć, haków, pętli…), spełniających wymagania norm projektowania, pozwala na redukcję podstawowej długości zakotwienia prętów (l_b,net) o określony współczynnik β (zwany dalej „współczynnikiem zakotwienia"). Wartość obliczeniowa długości zakotwienia (l_b) jest następnie obliczana w następujący sposób:

\[l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}\]

Zamierzona redukcja l_b,net jest równoważna aktywacji pręta zbrojeniowego na jego końcu przy określonym procencie jego maksymalnej nośności, wyznaczonym przez współczynnik redukcji zakotwienia, jak pokazano na Rys. 15a.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad Model for the reduction of the anchorage length:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}\]

Redukcja długości zakotwienia jest uwzględniona w modelu elementów skończonych za pomocą elementu sprężynowego na końcu pręta (Rys. 15), który jest definiowany przez model konstytutywny przedstawiony na Rys. 15b. Maksymalna siła przenoszona przez tę sprężynę (F_au) wynosi:

\[F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}\]

gdzie:

β współczynnik zakotwienia zależny od typu zakotwienia,

A_s pole przekroju poprzecznego pręta zbrojeniowego,

f_yd wartość obliczeniowa (z uwzględnieniem współczynników) granicy plastyczności zbrojenia.

2.6 Siatka

Elementy skończone są implementowane wewnętrznie, a model obliczeniowy jest generowany automatycznie bez konieczności zaawansowanej interakcji użytkownika. Ważną częścią tego procesu jest tworzenie siatki.

Beton

Wszystkie elementy betonowe są siatkowane łącznie. Zalecany rozmiar elementu jest automatycznie obliczany przez aplikację na podstawie wymiarów i kształtu konstrukcji, z uwzględnieniem średnicy największego pręta zbrojeniowego. Ponadto zalecany rozmiar elementu gwarantuje, że w smukłych częściach konstrukcji, takich jak słupy o małym przekroju lub cienkie płyty, generowane są co najmniej 4 elementy, co zapewnia wiarygodne wyniki w tych obszarach. Maksymalna liczba elementów betonowych jest ograniczona do 5000, jednak wartość ta jest wystarczająca do zapewnienia zalecanego rozmiaru elementu dla większości konstrukcji. Projektanci mogą zawsze wybrać zdefiniowany przez użytkownika rozmiar elementu betonowego, modyfikując mnożnik domyślnego rozmiaru siatki.

Zbrojenie

Zbrojenie jest dzielone na elementy o długości zbliżonej do rozmiaru elementu betonowego. Po wygenerowaniu siatek zbrojenia i betonu są one połączone elementami przyczepności, jak pokazano na Rys. 13.

Płyty podporowe

Pomocnicze elementy konstrukcyjne, takie jak płyty podporowe, są siatkowane niezależnie. Rozmiar tych elementów jest obliczany jako 2/3 rozmiaru elementów betonowych w obszarze połączenia. Węzły siatki płyty podporowej są następnie połączone z węzłami krawędziowymi siatki betonowej za pomocą elementów więzów interpolacyjnych (RBE3).

Obciążenia i podpory

Obciążenia powierzchniowe i podpory powierzchniowe są połączone wyłącznie ze zbrojeniem, jak pokazano na Rys. 16. Dlatego konieczne jest zdefiniowanie zbrojenia wokół nich. Połączenie ze wszystkimi węzłami zbrojenia w obrębie efektywnego promienia jest zapewnione przez elementy RBE3 z równymi wagami.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}\]

Podpory liniowe i obciążenia liniowe są połączone z węzłami siatki betonowej za pomocą elementów RBE3 na podstawie określonej szerokości lub efektywnego promienia. Waga połączeń jest odwrotnie proporcjonalna do odległości od podpory lub impulsu obciążenia.

Więcej informacji na temat połączenia między poszczególnymi obciążeniami a siatką można znaleźć w Ogólnym opisie impulsów obciążeń w Detail application

2.7 Metoda rozwiązania i algorytm sterowania obciążeniem

Do znalezienia rozwiązania nieliniowego problemu MES stosowany jest standardowy algorytm pełnej metody Newtona-Raphsona (NR).

Ogólnie rzecz biorąc, algorytm NR często nie zbiega się, gdy pełne obciążenie jest przykładane w jednym kroku. Powszechnie stosowanym podejściem, które jest również używane tutaj, jest sekwencyjne przykładanie obciążenia w wielu przyrostach i wykorzystanie wyniku z poprzedniego przyrostu obciążenia jako punktu startowego dla rozwiązania Newtona w kolejnym przyroście. W tym celu zaimplementowano algorytm sterowania obciążeniem nadrzędny wobec metody Newtona-Raphsona. W przypadku gdy iteracje NR nie zbiegają się, bieżący przyrost obciążenia jest redukowany do połowy swojej wartości i iteracje NR są ponawiane.

Drugim celem algorytmu sterowania obciążeniem jest wyznaczenie obciążenia krytycznego, odpowiadającego określonym „kryteriom zatrzymania" – konkretnie: maksymalnemu odkształceniu w betonie, maksymalnemu poślizgowi w elementach przyczepności, maksymalnemu przemieszczeniu w elementach zakotwienia oraz maksymalnemu odkształceniu w prętach zbrojeniowych. Obciążenie krytyczne wyznaczane jest metodą bisekcji. W przypadku gdy kryterium zatrzymania zostanie przekroczone w dowolnym miejscu modelu, wyniki ostatniego przyrostu obciążenia są odrzucane i obliczany jest nowy przyrost o połowę mniejszy od poprzedniego. Proces ten jest powtarzany aż do wyznaczenia obciążenia krytycznego z określoną tolerancją błędu.

Dla betonu kryterium zatrzymania zostało ustalone na poziomie 5% odkształcenia przy ściskaniu (tj. około rząd wielkości większego niż rzeczywiste odkształcenie graniczne betonu) oraz 7% przy rozciąganiu w punktach całkowania elementów powłokowych. Przy rozciąganiu wartość ta została ustalona tak, aby umożliwić osiągnięcie granicznego odkształcenia zbrojenia, które zazwyczaj wynosi około 5% bez uwzględnienia tension stiffening. Przy ściskaniu wartość została wybrana spośród kilku alternatyw jako wystarczająco duża, aby efekty miażdżenia były widoczne w wynikach, lecz wystarczająco mała, aby nie powodować nadmiernych problemów ze stabilnością numeryczną.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.}}}\]

Dla zbrojenia kryterium zatrzymania jest zdefiniowane w kategoriach naprężeń. Ponieważ modelowane są naprężenia w rysie, kryterium przy rozciąganiu odpowiada wytrzymałości zbrojenia na rozciąganie z uwzględnieniem współczynnika bezpieczeństwa. Ta sama wartość jest stosowana jako kryterium przy ściskaniu.

Kryterium zatrzymania w elementach przyczepności i sprężynach zakotwienia wynosi α·δu_max, gdzie δu_max jest maksymalnym poślizgiem stosowanym w sprawdzeniach normowych, a α = 10.

2.8 Prezentacja wyników

Wyniki są prezentowane oddzielnie dla betonu i dla elementów zbrojenia. Wartości naprężeń i odkształceń w betonie są obliczane w punktach całkowania elementów powłokowych. Ponieważ prezentowanie danych w taki sposób nie jest praktyczne, wyniki są domyślnie prezentowane w węzłach, jako maksymalna wartość naprężenia ściskającego z sąsiednich punktów całkowania Gaussa w połączonych elementach (Rys. 18). Należy zauważyć, że taka reprezentacja może lokalnie zaniżać wyniki na ściskanych krawędziach elementów w przypadku, gdy rozmiar elementu skończonego jest zbliżony do głębokości strefy ściskanej.

Rys. 18 - Element skończony betonu z punktami całkowania i węzłami: prezentacja wyników dla betonu w węzłach i w elementach skończonych.

Wyniki dla elementów skończonych zbrojenia są albo stałe dla każdego elementu (jedna wartość – np. dla naprężeń w stali), albo liniowe (dwie wartości – dla wyników przyczepności). Dla elementów pomocniczych, takich jak elementy płyt podporowych, prezentowane są wyłącznie odkształcenia.

3 Weryfikacja modelu

3.1 Stany graniczne i obliczanie szerokości rys

Ocena konstrukcji przy użyciu CSFM jest przeprowadzana za pomocą dwóch różnych analiz: jednej dla kombinacji obciążeń w stanie granicznym użytkowalności (SGU) i jednej dla stanu granicznego nośności (SGN). Analiza SGU zakłada, że ostateczne zachowanie elementu jest zadowalające i że warunki plastyczności materiału nie zostaną osiągnięte przy poziomach obciążeń użytkowalności. Takie podejście umożliwia stosowanie uproszczonych modeli konstytutywnych (z liniową gałęzią wykresu naprężenie-odkształcenie betonu) w analizie SGU w celu zwiększenia stabilności numerycznej i szybkości obliczeń. Dlatego zaleca się stosowanie przedstawionego poniżej toku postępowania, w którym analiza stanu granicznego nośności jest przeprowadzana jako pierwszy krok.

Analiza stanu granicznego nośności

Różne weryfikacje wymagane przez określone normy projektowania są oceniane na podstawie bezpośrednich wyników dostarczanych przez model. Sprawdzenia SGN są przeprowadzane dla wytrzymałości betonu, wytrzymałości zbrojenia oraz zakotwienia (naprężenia ścinające przyczepności).

Aby zapewnić efektywny projekt elementu konstrukcyjnego, zdecydowanie zaleca się przeprowadzenie wstępnej analizy uwzględniającej następujące kroki:

Wybór zestawu najbardziej krytycznych kombinacji obciążeń.
Obliczanie wyłącznie kombinacji obciążeń dla stanu granicznego nośności (SGN).
Zastosowanie grubej siatki (poprzez zwiększenie mnożnika domyślnego rozmiaru siatki w Ustawieniach (Rys. 19)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}\]

Taki model będzie obliczany bardzo szybko, umożliwiając projektantom efektywne sprawdzenie szczegółów elementu konstrukcyjnego i ponowne uruchamianie analizy do momentu spełnienia wszystkich wymagań weryfikacyjnych dla najbardziej krytycznych kombinacji obciążeń. Po spełnieniu wszystkich wymagań weryfikacyjnych tej wstępnej analizy sugeruje się uwzględnienie pełnych kombinacji obciążeń ostatecznych oraz zastosowanie drobnej siatki (rozmiar siatki zalecany przez program). Użytkownik może zmieniać rozmiar siatki za pomocą mnożnika, który może przyjmować wartości od 0,5 do 5 (Rys. 19).

Podstawowe wyniki i weryfikacje (naprężenie, odkształcenie i stopień wykorzystania (tj. wartość obliczona/wartość graniczna z normy), a także kierunek naprężeń głównych w przypadku elementów betonowych) są wyświetlane za pomocą różnych wykresów, gdzie ściskanie jest generalnie przedstawiane kolorem czerwonym, a rozciąganie kolorem niebieskim. Globalne wartości minimalne i maksymalne dla całej konstrukcji mogą być wyróżnione, podobnie jak wartości minimalne i maksymalne dla każdej zdefiniowanej przez użytkownika części. W osobnej zakładce programu można wyświetlić zaawansowane wyniki, takie jak wartości tensorów, odkształcenia konstrukcji oraz stopnie zbrojenia (efektywne i geometryczne) stosowane do obliczania tension stiffening prętów zbrojeniowych. Ponadto można przedstawić obciążenia i reakcje dla wybranych kombinacji lub przypadków obciążeń.

Analiza stanu granicznego użytkowalności

Sprawdzenia SGU są przeprowadzane dla ograniczenia naprężeń, szerokości rys oraz ograniczeń ugięć. Naprężenia są sprawdzane w elementach betonowych i zbrojeniu zgodnie z obowiązującą normą w sposób podobny do określonego dla SGN.

Analiza SGU zawiera pewne uproszczenia modeli konstytutywnych stosowanych w analizie stanu granicznego nośności. Przyjmuje się doskonałą przyczepność, tzn. długość zakotwienia nie jest weryfikowana w stanie użytkowalności. Ponadto plastyczna gałąź krzywej naprężenie-odkształcenie betonu ściskanego jest pomijana, natomiast gałąź sprężysta jest liniowa i nieskończona. Uproszczenia te zwiększają stabilność numeryczną i szybkość obliczeń i nie ograniczają ogólności rozwiązania, o ile wynikowe granice naprężeń materiałowych w stanie użytkowalności są wyraźnie poniżej ich punktów plastyczności (zgodnie z wymaganiami norm). Dlatego uproszczone modele stosowane dla stanu użytkowalności są ważne tylko wtedy, gdy wszystkie wymagania weryfikacyjne są spełnione.

Obliczanie szerokości rys i tension stiffening

Obliczanie szerokości rys

Istnieją dwa sposoby obliczania szerokości rys – zarysowanie ustabilizowane i nieustabilizowane. Na podstawie geometrycznego współczynnika zbrojenia w każdej części konstrukcji decyduje się, który model obliczeniowy zostanie zastosowany (TCM dla zarysowania ustabilizowanego i POM dla modelu zarysowania nieustabilizowanego).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)

Podczas gdy CSFM daje bezpośredni wynik dla większości weryfikacji (np. nośność elementu, ugięcia…), wyniki szerokości rys są obliczane z wyników odkształceń zbrojenia bezpośrednio dostarczanych przez analizę MES zgodnie z metodologią opisaną na Rys. 20. Przyjmuje się kinematykę rysy bez poślizgu (czyste otwieranie rysy) (Rys. 20a), co jest zgodne z głównymi założeniami modelu. Kierunki główne naprężeń i odkształceń definiują nachylenie rys (θ_r = θ_s= θ_e). Zgodnie z (Rys. 20b), szerokość rysy (w) może być rzutowana w kierunku pręta zbrojeniowego (w_b), co prowadzi do:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]

gdzie θ_b jest nachyleniem pręta.

Należy zauważyć, że program wyświetla wartości θ_r i θ_b < π/2. Oznacza to, że poprzednie równanie działa dla przypadków, w których zbrojenie i rysa przechodzą przez różne ćwiartki kartezjańskiego układu współrzędnych, jak pokazano na Rys. 20, gdzie zbrojenie przechodzi przez I. i III. ćwiartkę, a rysa przez II. i IV. Dla przypadków, w których zbrojenie i rysa przechodzą przez te same ćwiartki, równanie należy zmodyfikować w następujący sposób:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}\]

Składowa w_b jest konsekwentnie obliczana na podstawie modeli tension stiffening poprzez całkowanie odkształceń zbrojenia. Dla obszarów z w pełni rozwiniętym schematem zarysowania, obliczone średnie odkształcenia (e_m) wzdłuż prętów zbrojeniowych są bezpośrednio całkowane wzdłuż rozstawu rys (s_r), jak wskazano na (Rys. 20c). Chociaż to podejście do obliczania kierunków rys nie odpowiada rzeczywistemu położeniu rys, nadal dostarcza reprezentatywnych wartości prowadzących do wyników szerokości rys, które można porównać z wartościami szerokości rys wymaganymi przez normy w miejscu pręta zbrojeniowego.

Szczególne sytuacje obserwuje się w wklęsłych narożnikach obliczanej konstrukcji. W tym przypadku narożnik predefiniuje położenie pojedynczej rysy, która zachowuje się w sposób nieustabilizowany, zanim rozwiną się dodatkowe sąsiednie rysy. Te dodatkowe rysy rozwijają się zazwyczaj po przekroczeniu zakresu użytkowalności (Mata-Falcón 2015), co uzasadnia obliczanie szerokości rys w takim obszarze tak, jakby były nieustabilizowane (Rys. 21).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]

Tension stiffening

Implementacja tension stiffening rozróżnia przypadki ustabilizowanego i nieustabilizowanego schematu zarysowania. W obu przypadkach beton jest domyślnie traktowany jako w pełni zarysowany przed obciążeniem.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)

Zarysowanie ustabilizowane

W w pełni rozwiniętych schematach zarysowania, tension stiffening jest wprowadzane przy użyciu modelu Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Rys. 22a – który wykazano, że daje doskonałe prognozy odpowiedzi pomimo swojej prostoty (Burns 2012). TCM zakłada stopniową, sztywno-idealnie plastyczną zależność naprężeń stycznych przyczepności od poślizgu z τ_b= τ_b₀ =2 f_ctm dla σ_s ≤ f_y i τ_b =τ_b₁ = f_ctm dla σ_s> f_y. Traktując każdy pręt zbrojeniowy jako cięgno rozciągane – Rys. 22b i Rys. 22a – rozkład naprężeń stycznych przyczepności, naprężeń w stali i betonie, a tym samym rozkład odkształceń między dwiema rysami może być wyznaczony dla dowolnej wartości maksymalnych naprężeń w stali (lub odkształceń) w rysach.

Dla s_r = s_r₀, nowa rysa może lub nie może się pojawić, ponieważ w środku między dwiema rysami σ_c₁ = f_ct. W konsekwencji rozstaw rys może się zmieniać o współczynnik dwa, tj. s_r = λs_r₀, z l = 0,5…1,0. Przyjmując określoną wartość λ, średnie odkształcenie cięgna (ε_m) można wyrazić jako funkcję maksymalnych naprężeń zbrojenia (tj. naprężeń w rysach, σ_sr). Dla idealizowanego bilinearnego wykresu naprężenie-odkształcenie dla gołych prętów zbrojeniowych przyjętego domyślnie w CSFM, uzyskuje się następujące analityczne wyrażenia w postaci zamkniętej (Marti et al. 1998):

\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]

\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]

\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]

gdzie:
E_sh moduł wzmocnienia stali E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s moduł sprężystości zbrojenia,

Ø średnica pręta zbrojeniowego,

s_rrozstaw rys,

σ_sr naprężenia zbrojenia w rysach,

σ_s rzeczywiste naprężenia zbrojenia,

f_ygranica plastyczności zbrojenia.

Implementacja CSFM w IDEA StatiCa Detail domyślnie uwzględnia średni rozstaw rys podczas komputerowej analizy pola naprężeń. Średni rozstaw rys przyjmuje się jako 2/3 maksymalnego rozstawu rys (λ = 0,67), co wynika z zaleceń opartych na badaniach zginania i rozciągania (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Należy zauważyć, że obliczenia szerokości rys uwzględniają maksymalny rozstaw rys (λ = 1,0) w celu uzyskania wartości po stronie bezpiecznej.

Zastosowanie TCM zależy od współczynnika zbrojenia, dlatego kluczowe jest przypisanie odpowiedniego obszaru betonu pracującego na rozciąganie między rysami do każdego pręta zbrojeniowego. Opracowano automatyczną procedurę numeryczną do wyznaczania odpowiedniego efektywnego współczynnika zbrojenia (ρ_eff = A_s/A_c,eff) dla dowolnej konfiguracji, w tym zbrojenia skośnego (Rys. 23).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)

Zarysowanie nieustabilizowane

Rysy występujące w obszarach o geometrycznym współczynniku zbrojenia niższym niż ρ_cr, tj. minimalnej ilości zbrojenia, przy której zbrojenie jest w stanie przenieść obciążenie zarysowujące bez uplastycznienia, są generowane przez działania niemechaniczne (np. skurcz) lub postęp rys kontrolowanych przez inne zbrojenie. Wartość tego minimalnego zbrojenia jest wyznaczana w następujący sposób:

\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]

gdzie:

f_y granica plastyczności zbrojenia,

f_ct wytrzymałość betonu na rozciąganie,

n współczynnik modularny, n = E_s / E_c .

Dla typowego betonu i stali zbrojeniowej, ρ_cr wynosi około 0,6%.

Dla strzemion o współczynniku zbrojenia poniżej ρ_cr, zarysowanie jest traktowane jako nieustabilizowane, a tension stiffening jest implementowane za pomocą modelu Pull-Out Model (POM) opisanego na Rys. 22b. Model ten analizuje zachowanie pojedynczej rysy bez uwzględnienia mechanicznej interakcji między oddzielnymi rysami, pomijając odkształcalność betonu na rozciąganie i przyjmując tę samą stopniową, sztywno-idealnie plastyczną zależność naprężeń stycznych przyczepności od poślizgu stosowaną przez TCM. Pozwala to na wyznaczenie rozkładu odkształceń zbrojenia (ε_s) w pobliżu rysy dla dowolnego maksymalnego naprężenia stali w rysie (σ_sr) bezpośrednio z równowagi. Biorąc pod uwagę fakt, że rozstaw rys jest nieznany dla nie w pełni rozwiniętego schematu zarysowania, średnie odkształcenie (ε_m) jest obliczane dla dowolnego poziomu obciążenia na odległości między punktami zerowego poślizgu, gdy pręt zbrojeniowy osiąga swoją wytrzymałość na rozciąganie (f_t) w rysie (l_ε,_avg na Rys. 22b), co prowadzi do następujących zależności:

Proponowane modele umożliwiają obliczenie zachowania zakotwionego zbrojenia, które jest ostatecznie uwzględniane w analizie. To zachowanie (w tym tension stiffening) dla najczęściej stosowanej europejskiej stali zbrojeniowej (B500B, z f_t / f_y = 1,08 i ε_u = 5%) jest zilustrowane na Rys. 22c-d.

4 Sprawdzenia konstrukcyjne według Eurokodu

Ocena konstrukcji przy użyciu CSFM jest przeprowadzana za pomocą dwóch różnych analiz: jednej dla kombinacji obciążeń w stanie granicznym użytkowalności i jednej dla stanu granicznego nośności. Analiza użytkowalności zakłada, że zachowanie graniczne elementu jest zadowalające i że warunki plastyczności materiału nie zostaną osiągnięte przy poziomach obciążeń użytkowalności. Podejście to umożliwia stosowanie uproszczonych modeli konstytutywnych (z liniową gałęzią wykresu naprężenie-odkształcenie betonu) w analizie użytkowalności w celu poprawy stabilności numerycznej i szybkości obliczeń.

4.1 Modele materiałowe (EN)

Beton - SGN

Model betonu zaimplementowany w CSFM opiera się na jednoosiowych prawach konstytutywnych ściskania przepisanych przez EN 1992-1-1 do projektowania przekrojów, które zależą wyłącznie od wytrzymałości na ściskanie. Diagram paraboliczno-prostokątny określony w EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1) (Rys. 24a) jest domyślnie stosowany w CSFM, jednak projektanci mogą również wybrać uproszczoną sprężysto-idealnie plastyczną zależność zgodnie z EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (2) (Rys. 24b). Wytrzymałość na rozciąganie jest pomijana, podobnie jak w klasycznym projektowaniu żelbetu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram.}}}\]

Implementacja CSFM w IDEA StatiCa Detail nie uwzględnia jawnego kryterium zniszczenia w kategoriach odkształceń dla betonu ściskanego (tj. po osiągnięciu naprężenia szczytowego przyjmuje gałąź plastyczną z ε_cu₂ (ε_cu₃) o wartości 5%, podczas gdy EN 1992-1-1 zakłada odkształcenie graniczne mniejsze niż 0,35%). To uproszczenie nie pozwala na weryfikację zdolności odkształceniowej konstrukcji ulegających zniszczeniu przez ściskanie. Jednak ich nośność graniczna f_cd zgodnie z EN 1992-1-1 3.1.3 jest właściwie przewidywana, gdy oprócz współczynnika zarysowanego betonu (k_c₂ zdefiniowanego na (Rys. 25)) uwzględnia się wzrost kruchości betonu wraz ze wzrostem jego wytrzymałości za pomocą współczynnika redukcyjnego \(\eta_{fc}\) zdefiniowanego w fib Model Code 2010 w następujący sposób:

\[f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

gdzie:

α_cc jest współczynnikiem uwzględniającym długotrwałe efekty wpływające na wytrzymałość na ściskanie oraz niekorzystne efekty wynikające ze sposobu przyłożenia obciążenia. Jest on zgodny z EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (1). Wartość domyślna wynosi 1,0.

k_cjest globalnym współczynnikiem redukcyjnym wytrzymałości na ściskanie

k_c₂ jest współczynnikiem redukcyjnym ze względu na obecność poprzecznego zarysowania

f_ck jest charakterystyczną wytrzymałością walcową betonu (w MPa dla definicji \( \eta_{fc} \)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad The compression softening law.}}}\]

Beton - SGU

Analiza użytkowalności zawiera pewne uproszczenia modeli konstytutywnych stosowanych w analizie stanu granicznego nośności. Gałąź plastyczna wykresu naprężenie-odkształcenie betonu ściskanego jest pomijana, natomiast gałąź sprężysta jest liniowa i nieskończona. Prawo compression softening nie jest uwzględniane. Uproszczenia te poprawiają stabilność numeryczną i szybkość obliczeń i nie ograniczają ogólności rozwiązania, o ile wynikowe limity naprężeń materiałowych w stanie użytkowalności są wyraźnie poniżej punktów plastyczności (zgodnie z wymaganiami Eurokodu). Dlatego uproszczone modele stosowane dla stanu użytkowalności są ważne tylko wtedy, gdy spełnione są wszystkie wymagania weryfikacyjne.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}\]

Efekty długotrwałe

W analizie użytkowalności długotrwałe efekty betonu są uwzględniane za pomocą efektywnego nieskończonego współczynnika pełzania (\(\varphi\), przyjmowanego domyślnie jako 2,5), który modyfikuje sieczny moduł sprężystości betonu (E_cm) zgodnie z EN 1992-1-1, sekcja 3.1.4 (3) resp. 7.4.3 (5) w następujący sposób:

\[E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}\]

Przy uwzględnianiu efektów długotrwałych najpierw obliczany jest krok obciążenia ze wszystkimi obciążeniami stałymi z uwzględnieniem współczynnika pełzania (tj. przy użyciu efektywnego modułu sprężystości betonu, E_c,eff), a następnie dodatkowe obciążenia są obliczane bez współczynnika pełzania (tj. przy użyciu E_cm). Ponadto, w celu przeprowadzenia weryfikacji krótkotrwałych, wykonywane jest kolejne obliczenie, w którym wszystkie obciążenia są obliczane bez współczynnika pełzania. Oba obliczenia dla weryfikacji długo- i krótkotrwałych przedstawiono na Rys. 26.

Współczynniki pełzania są definiowane przez użytkownika we właściwościach materiału i powinny być obliczane zgodnie z EN 1992-1-1, Rys. 3.1.

Zbrojenie

Domyślnie przyjmowany jest idealizowany bilinearny wykres naprężenie-odkształcenie dla prętów zbrojeniowych bez otuliny betonowej, zdefiniowany w EN 1992-1-1, sekcja 3.2.7 (Rys. 27). Definicja tego wykresu wymaga jedynie znajomości podstawowych właściwości zbrojenia na etapie projektowania (wytrzymałość i klasa ciągliwości). Gdy jest to znane, można uwzględnić rzeczywistą zależność naprężenie-odkształcenie zbrojenia (walcowanego na gorąco, ciągniętego na zimno, hartowanego i samoodpuszczanego, …). Wykres naprężenie-odkształcenie zbrojenia może być zdefiniowany przez użytkownika, jednak w takim przypadku nie jest możliwe przyjęcie efektu tension stiffening (nie jest możliwe obliczenie szerokości rys). Stosowanie wykresu naprężenie-odkształcenie z poziomą gałęzią górną nie pozwala na weryfikację trwałości konstrukcji. Dlatego konieczna jest ręczna weryfikacja standardowych wymagań dotyczących ciągliwości.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}\)

Tension stiffening (Rys. 28) jest uwzględniany automatycznie poprzez modyfikację wejściowego wykresu naprężenie-odkształcenie pręta zbrojeniowego bez otuliny betonowej w celu uchwycenia średniej sztywności prętów zabetonowanych w betonie (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

4.2 Współczynniki bezpieczeństwa

Compatible Stress Field Method jest zgodna z nowoczesnymi normami projektowania. Ponieważ modele obliczeniowe wykorzystują wyłącznie standardowe właściwości materiałów, format częściowych współczynników bezpieczeństwa określony w normach projektowania może być stosowany bez żadnych modyfikacji. W ten sposób obciążenia wejściowe są mnożone przez współczynniki, a charakterystyczne właściwości materiałów są redukowane przy użyciu odpowiednich współczynników bezpieczeństwa określonych w normach projektowania, dokładnie tak jak w konwencjonalnej analizie żelbetu. Wartości współczynników bezpieczeństwa materiałów określone w EN 1992-1-1 rozdz. 2.4.2.4 są ustawione domyślnie, jednak użytkownik może zmienić współczynniki bezpieczeństwa w ustawieniach normy i obliczeń (Rys. 29).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29\qquad The setting of material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Współczynniki bezpieczeństwa obciążeń muszą być zdefiniowane przez użytkownika w regułach kombinacji dla każdej nieliniowej kombinacji przypadków obciążeń (Rys. 30). Dla wszystkich szablonów zaimplementowanych w Idea StatiCa Detail, częściowe współczynniki bezpieczeństwa są już predefiniowane.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad The setting of load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Stosując odpowiednio zdefiniowane przez użytkownika kombinacje częściowych współczynników bezpieczeństwa, użytkownicy mogą również prowadzić obliczenia metodą CSFM z zastosowaniem metody globalnego współczynnika nośności (Navrátil i in. 2017), jednak podejście to jest rzadko stosowane w praktyce projektowej. Niektóre wytyczne zalecają stosowanie metody globalnego współczynnika nośności w analizie nieliniowej. Jednak w uproszczonych analizach nieliniowych (takich jak CSFM), które wymagają jedynie tych właściwości materiałów, które są stosowane w konwencjonalnych obliczeniach ręcznych, nadal bardziej wskazane jest stosowanie formatu częściowych współczynników bezpieczeństwa.

4.3 Analiza stanu granicznego nośności

Różne weryfikacje wymagane przez EN 1992-1-1 są oceniane na podstawie bezpośrednich wyników dostarczanych przez model. Weryfikacje SGN są przeprowadzane dla wytrzymałości betonu, wytrzymałości zbrojenia oraz zakotwienia (naprężenia styczne przyczepności).

Wytrzymałość betonu na ściskanie jest oceniana jako stosunek maksymalnego głównego naprężenia ściskającego σ_c= σ_c₂ uzyskanego z analizy MES do wartości granicznej σ_c,lim = f_cd.

Wytrzymałość zbrojenia jest oceniana zarówno na rozciąganie, jak i ściskanie jako stosunek naprężenia w zbrojeniu w rysach σ_sr do określonej wartości granicznej σ_s,lim:

\(σ_{s,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}\)

\(σ_{s,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}\)

gdzie:

f_yk granica plastyczności zbrojenia zgodnie z EN 1992-1-1 pkt 3.2.3,

k stosunek wytrzymałości na rozciąganie f_tk do granicy plastyczności,
\(k = \frac{f_{tk}}{f_{yk}}\)

γ_sjest cząstkowym współczynnikiem bezpieczeństwa dla zbrojenia

Naprężenie styczne przyczepności jest oceniane niezależnie jako stosunek naprężenia przyczepności τ_b obliczonego metodą MES do granicznej wytrzymałości na przyczepność f_bd_, zgodnie z EN 1992-1-1 rozdz. 8.4.2:

\[\frac{τ_{b}}{f_{bd}}\]

\[f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}\]

gdzie:

f_ctd jest obliczeniową wartością wytrzymałości betonu na rozciąganie zgodnie z EN 1992-1-1 pkt 3.1.6 (2). Ze względu na rosnącą kruchość betonów wyższych klas, f_ctk,0.05jest ograniczone do wartości dla C60/75 zgodnie z EN 1992-1-1 pkt 8.4.2 (2)

η₁ jest współczynnikiem związanym z jakością warunków przyczepności i położeniem pręta podczas betonowania (Rys. 31).

η₁ = 1,0 gdy uzyskane są warunki „dobre" oraz

η₁ = 0,7 dla wszystkich pozostałych przypadków oraz dla prętów w elementach konstrukcyjnych wykonanych w deskowaniu ślizgowym, chyba że można wykazać, że istnieją „dobre" warunki przyczepności

η₂ jest związany ze średnicą pręta:

η₂ = 1,0 dla Ø ≤ 32 mm

η₂ = (132 - Ø)/100 dla Ø > 32 mm

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}\]

W IDEA StatiCa Detail warunki przyczepności są uwzględniane zgodnie z Rys. 31 c) i d). Kierunek betonowania można ustawić w aplikacji dla każdego elementu projektu w następujący sposób.

Weryfikacje te są przeprowadzane z uwzględnieniem odpowiednich wartości granicznych dla poszczególnych części konstrukcji (tj. pomimo stosowania jednej klasy zarówno dla betonu, jak i zbrojenia, końcowe diagramy naprężenie-odkształcenie będą się różnić w każdej części konstrukcji ze względu na efekty tension stiffening i compression softening).

Istnieje również możliwość modelowania prętów gładkich. Więcej informacji można znaleźć tutaj: Pręty gładkie w Detail

Siła całkowita F_tot i siła graniczna F_lim

Siła całkowita F_tot jest wynikiem analizy metodą elementów skończonych i może być zdefiniowana na dwa sposoby.

\[F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}\]

gdzie A_s jest polem przekroju pręta zbrojeniowego, a σ_s jest naprężeniem w pręcie.

Lub jako suma siły zakotwienia F_ai siły przyczepności F_bond.

\[F_{tot}=F_{a}+F_{bond}\]

gdzie F_a jest rzeczywistą siłą w sprężynie zakotwienia, a F_bond jest siłą przyczepności, którą można uzyskać przez całkowanie naprężenia stycznego przyczepności τ_b wzdłuż długości pręta zbrojeniowego l.

\[F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx\]

C_s jest obwodem pręta zbrojeniowego.

Siła graniczna F_lim jest maksymalną siłą w elemencie pręta zbrojeniowego uwzględniającą wytrzymałość graniczną pręta, a także warunki zakotwienia (przyczepność między betonem a zbrojeniem oraz haki, pętle zakotwień itp.).

\[F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)\]

\[F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}\]

\[F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}\]

\[F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}\]

gdzie C_s jest obwodem pręta zbrojeniowego, a l jest długością od początku pręta do rozpatrywanego punktu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad Definition of the limit force Flim}}}\]

\[F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}\]

gdzie F_lim,add jest dodatkową siłą obliczoną na podstawie wartości kąta między sąsiednimi elementami. F_lim,2 musi być zawsze mniejsza niż F_u.

Dostępne typy zakotwień w CSFM obejmują pręt prosty (tj. bez redukcji końca zakotwienia), zagięcie, hak, pętlę, poprzeczny pręt spawany, doskonałą przyczepność oraz pręt ciągły. Wszystkie te typy, wraz z odpowiednimi współczynnikami zakotwienia β, przedstawiono na Rys. 32 dla zbrojenia podłużnego oraz na Rys. 33 dla strzemion. Wartości przyjętych współczynników zakotwienia są zgodne z EN 1992-1-1 sekcja 8.4.4 Tab. 8.2. Należy zauważyć, że pomimo różnych dostępnych opcji, CSFM rozróżnia trzy typy końców zakotwień: (i) brak redukcji długości zakotwienia, (ii) redukcja o 30% długości zakotwienia w przypadku znormalizowanego zakotwienia oraz (iii) doskonała przyczepność.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}\]

W celu zachowania zgodności z EN 1992-1-1, w obliczeniach należy stosować sprężynę zakotwienia; sprężyna zakotwienia jest modyfikowana przez współczynnik β, dlatego użytkownik musi wybrać jeden z dostępnych typów zakotwień podczas definiowania warunków początku i końca zbrojenia.

4.4 Częściowo obciążone obszary (PLA)

Projektując konstrukcje betonowe, spotykamy dwie duże grupy częściowo obciążonych obszarów (PLA) – pierwszą z nich stanowią łożyska, drugą zaś strefy zakotwienia. Zgodnie z aktualnie obowiązującymi normami dotyczącymi projektowania konstrukcji żelbetowych EN 1992-1-1 rozdz. 6.7 (Rys. 34), dla częściowo obciążonych obszarów należy uwzględniać lokalne miażdżenie betonu oraz poprzeczne siły rozciągające. Dla równomiernie rozłożonego obciążenia na obszarze A_c0, nośność ściskana betonu może być zwiększona nawet trzykrotnie w zależności od obliczeniowego obszaru rozłożenia obciążenia A_c1.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Partially loaded areas according to EN 1992-1-1.}}}\]

Częściowo obciążony obszar musi być odpowiednio uzbrojony zbrojeniem poprzecznym zaprojektowanym do przeniesienia sił rozrywających występujących w tej strefie. Do projektowania zbrojenia poprzecznego w częściowo obciążonych obszarach stosuje się metodę Strut-and-Tie zgodnie z Eurokodem. Bez wymaganego zbrojenia poprzecznego nie jest możliwe uwzględnienie zwiększenia nośności ściskanej betonu.

Częściowo obciążone obszary w CSFM

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}\]

Stosując CSFM, możliwe jest projektowanie i ocena konstrukcji żelbetowych z uwzględnieniem wpływu zwiększonej nośności ściskanej betonu w częściowo obciążonych obszarach. Ponieważ CSFM jest modelem tarczowym (2D), a częściowo obciążone obszary stanowią zadanie przestrzenne (3D), konieczne było znalezienie rozwiązania łączącego te dwa różne typy zadań (Rys. 35). Jeśli funkcja „częściowo obciążone obszary" jest aktywowana, dopuszczalna geometria stożka jest tworzona zgodnie z Eurokodem (Rys. 34). Wszystkie kolizje geometryczne są rozwiązywane w pełni w 3D dla określonej geometrii elementu betonowego oraz wymiarów każdego PLA. Następnie tworzony jest model obliczeniowy częściowo obciążonego obszaru.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Allowable cone geometries.}}}\]

Modyfikacja modelu materiałowego okazała się podejściem nieodpowiednim, głównie dlatego, że odwzorowanie właściwości na siatkę elementów skończonych jest problematyczne. Stwierdzono, że podejście niezależne od siatki elementów skończonych jest bardziej odpowiednim rozwiązaniem. Dla znanej geometrii stożka ściskanego tworzone są w pełni spójne fikcyjne krzyżulce ściskane (Rys. 35 i Rys. 37). Krzyżulce te mają identyczne właściwości materiałowe jak beton zastosowany w modelu, łącznie z wykresem naprężenie-odkształcenie. Kształt stożka wyznacza kierunek krzyżulców, które stopniowo rozkładają obciążenie z PLA na obliczeniowy obszar rozłożenia. Gęstość powierzchniowa fikcyjnych krzyżulców jest zmienna w każdej części stożka i dodaje fikcyjny obszar betonu w kierunku obciążenia. Na poziomie obciążonego obszaru (A_c0), fikcyjny obszar betonu jest dodawany zgodnie ze stosunkiem \(\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}\) (gdzie A_real jest obszarem podpory przyjętym w 2D modelu obliczeniowym), a obszar ten maleje liniowo do zera w kierunku obliczeniowego obszaru rozłożenia (A_c1). Rozwiązanie to zapewnia, że naprężenie ściskające w betonie jest stałe w całej objętości stożka.

\[\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}} - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Fictitious struts in the computational model}}}\]

Nośność częściowo obciążonego obszaru jest zwiększana zgodnie ze stosunkiem obliczeniowego obszaru rozłożenia do obszaru obciążonego, określonym w EN 1992-1-1 (6.7). Należy pamiętać, że jest to model obliczeniowy, który nie może precyzyjnie opisać stanu naprężeń w częściowo obciążonym obszarze, którego rzeczywisty przebieg jest znacznie bardziej złożony. Rozwiązanie to pozwala jednak na prawidłowe rozłożenie obciążenia na cały model przy jednoczesnym uwzględnieniu zwiększonej nośności częściowo obciążonego obszaru. Ponadto poprawnie wprowadza naprężenia poprzeczne w tej strefie.

Korzystając z funkcji częściowo obciążonych obszarów w celu symulacji zwiększenia nośności ściskanej betonu, konieczne jest przeprowadzenie sprawdzenia normowego oddzielnie zgodnie z EN 1992-1-1, punkt 6.7 (2). Poprzeczne siły rozciągające (siły rozrywające) przenoszone przez zbrojenie są sprawdzane automatycznie.

4.5 Analiza stanu granicznego użytkowalności

Oceny SGU przeprowadzane są dla ograniczenia naprężeń, szerokości rys i ugięć. Naprężenia sprawdzane są w elementach betonowych i zbrojeniu zgodnie z EN 1992-1-1 w sposób podobny do określonego dla SGN.

Ograniczenie naprężeń

Naprężenie ściskające w betonie należy ograniczyć, aby uniknąć rys podłużnych. Zgodnie z EN 1992-1-1 rozdz. 7.2 (2), rysy podłużne mogą wystąpić, jeśli poziom naprężeń przy charakterystycznej kombinacji obciążeń przekroczy wartość k₁f_ck. Naprężenie ściskające w betonie oceniane jest jako stosunek maksymalnego głównego naprężenia ściskającego σ_c = σ_c₂uzyskanego z analizy MES dla stanów granicznych użytkowalności do wartości granicznej σ_c,lim. Wówczas:

\[\frac{σ_{c}}{σ_{c,lim}}\]

\[σ_{c,lim} = k_1\cdot f_{ck}\]

gdzie:

f_ck charakterystyczna wytrzymałość walcowa betonu,

k₁ =0,6.

Jeśli naprężenie w betonie przy obciążeniach quasi-stałych jest mniejsze niż k₂f_ck zgodnie z EN 1992-1-1 pkt 7.2(3), można przyjąć liniowe pełzanie. Jeśli naprężenie w betonie przekracza k₂f_ck, należy uwzględnić nieliniowe pełzanie (patrz EN 1992-1-1 pkt 3.1.4). W IDEA StatiCa Detail można przyjąć jedynie liniowe pełzanie zgodnie z EN 1992-1-1 pkt 3.1.4 (3) (patrz Modele materiałowe (EN)).

Można przyjąć, że niedopuszczalne zarysowanie lub odkształcenie jest wykluczone, jeśli przy charakterystycznej kombinacji obciążeń naprężenie rozciągające w zbrojeniu nie przekracza k₃f_yk (EN 1992-1-1 rozdz. 7.2 (5)). Wytrzymałość zbrojenia oceniana jest jako stosunek naprężenia w zbrojeniu w rysach σ_s = σ_sr do określonej wartości granicznej σ_s,lim:

\[\frac{σ_{s}}{σ_{s,lim}}\]

\[σ_{s,lim} = k_3\cdot f_{yk}\]

gdzie:

f_yk granica plastyczności zbrojenia,

k₃ =0,8.

Ugięcie

Ugięcia można oceniać jedynie dla ścian lub belek izostatycznych (statycznie wyznaczalnych) lub hiperstatycznych (statycznie niewyznaczalnych). W tych przypadkach uwzględniana jest wartość bezwzględna ugięć (w odniesieniu do stanu początkowego przed obciążeniem), a maksymalna dopuszczalna wartość ugięć musi być określona przez użytkownika. Ugięć na przyciętych końcach nie można sprawdzać, ponieważ są to zasadniczo niestabilne konstrukcje, w których równowaga jest zapewniana przez dodanie sił na końcach, a zatem ugięcia są nierealistyczne. Krótkotrwałe u_z,st lub długotrwałe u_z,lt ugięcie może być obliczone i sprawdzone względem wartości granicznych zdefiniowanych przez użytkownika:

\[\frac{u_ z}{u_{z,lim}}\]

gdzie:

u_z krótko- lub długotrwałe ugięcie obliczone metodą MES,

u_z,lim wartość graniczna ugięcia zdefiniowana przez użytkownika.

Szerokość rysy

Szerokości i orientacje rys obliczane są wyłącznie dla efektów długotrwałych (z użyciem E_c,eff) dla kombinacji, w których włączone jest wyznaczanie szerokości rys. Weryfikacje oparte na wartościach granicznych określonych przez użytkownika zgodnie z Eurokodem przedstawiane są następująco:

\[\frac{w}{w_{lim}}\]

gdzie:

w szerokość rysy obliczona metodą MES,

w_lim wartość graniczna szerokości rysy zdefiniowana przez użytkownika.

Istnieją dwa sposoby obliczania szerokości rys (ustabilizowane i nieustabilizowane zarysowanie). W ogólnym przypadku (ustabilizowane zarysowanie) szerokość rysy obliczana jest przez całkowanie odkształceń na elementach 1D prętów zbrojeniowych. Kierunek rysy wyznaczany jest następnie na podstawie trzech najbliższych (od środka danego elementu skończonego 1D zbrojenia) punktów całkowania elementów 2D betonu. Choć takie podejście do obliczania kierunków rys nie odpowiada rzeczywistemu położeniu rys, dostarcza reprezentatywnych wartości prowadzących do wyników szerokości rys, które można porównać z wartościami szerokości rys wymaganymi przez normę w miejscu pręta zbrojeniowego.

5 Sprawdzenia konstrukcyjne według ACI 318-19

Ocena konstrukcji przy użyciu CSFM jest przeprowadzana za pomocą dwóch różnych analiz: jednej dla kombinacji obciążeń w stanie granicznym użytkowalności i jednej dla kombinacji obciążeń nośności. Analiza użytkowalności zakłada, że zachowanie przy obciążeniach obliczeniowych jest zadowalające i że warunki plastyczności materiału nie zostaną osiągnięte przy poziomach obciążeń użytkowalności. Podejście to umożliwia stosowanie uproszczonych modeli konstytutywnych (z liniową gałęzią wykresu naprężenie-odkształcenie betonu) w analizie użytkowalności w celu poprawy stabilności numerycznej i szybkości obliczeń.

CSFM jest zgodna z ACI 318-19, rozdział 6.8.1.1. Aby CSFM spełniała wymagania z ACI 318-19, sekcja 6.8.1.2, przeprowadzono szeroko zakrojone badania weryfikacyjne na różnych uczelniach. Poszczególne artykuły podsumowujące wyniki weryfikacji i walidacji można znaleźć pod poniższym linkiem.

Weryfikacje: Detail 2D

5.1 Modele materiałowe (ACI)

Beton - Nośność

Model betonu zastosowany do obliczeń nośności w CSFM oparty jest na paraboliczno-plastycznej krzywej naprężenie-odkształcenie betonu, zgodnie z paraboliczną krzywą naprężenie-odkształcenie opisaną przez Portland Cement Association w publikacji PCA's Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Rysunek 6-8. Wytrzymałość na rozciąganie jest pomijana, podobnie jak w klasycznym projektowaniu żelbetu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}\]

Implementacja CSFM w IDEA StatiCa Detail nie uwzględnia jawnego kryterium zniszczenia w kategoriach odkształceń betonu ściskanego (tj. po osiągnięciu naprężenia szczytowego przyjmuje gałąź plastyczną z ε_c₀ o wartości maksymalnej 5%, podczas gdy ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 zakłada odkształcenie graniczne mniejsze niż 0,3%). To uproszczenie nie pozwala na weryfikację zdolności odkształceniowej konstrukcji ulegających zniszczeniu przez ściskanie. Jednak nośność jest prawidłowo prognozowana, gdy oprócz współczynnika zarysowanego betonu (k_c₂ zdefiniowanego na (Rys. 39)) uwzględnia się wzrost kruchości betonu wraz ze wzrostem jego wytrzymałości za pomocą współczynnika redukcyjnego \(\eta_{fc}\) zdefiniowanego w fib Model Code 2010 w następujący sposób:

\[f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}\]

\[k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

gdzie:

α₁ jest współczynnikiem redukcyjnym wytrzymałości betonu na ściskanie zdefiniowanym w ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Przy stosowaniu paraboliczno-prostokątnego wykresu naprężenie-odkształcenie konieczne jest zredukowanie maksymalnego naprężenia ściskającego przez ten współczynnik. Uśrednia to rozkład naprężeń w strefie ściskanej w taki sposób, że wynikowa wytrzymałość na ściskanie jest mniejsza lub równa wytrzymałości na ściskanie obliczonej przy użyciu wykresu naprężenie-odkształcenie z opadającą gałęzią plastyczną.

Φ_cjest współczynnikiem redukcji nośności betonu. Wartość domyślna jest ustawiona zgodnie z ACI 318-19 Table 24.2.1 (b)(f).

k_c₂ jest współczynnikiem redukcyjnym uwzględniającym obecność zarysowania poprzecznego.

f'_c jest wytrzymałością betonu na ściskanie oznaczoną na próbce walcowej (w MPa dla definicji \( \eta_{fc} \)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad The compression softening law.}}}\]

k_c₂ jest współczynnikiem redukcyjnym opartym na tych samych założeniach co współczynnik strefy węzłowej β_n podany w ACI 318-19 Table 23.9.2, z tą różnicą, że w CSFM obecność głównego naprężenia rozciągającego prostopadłego do głównego naprężenia ściskającego jest sprawdzana dla każdego elementu skończonego (nie tylko dla węzłów modelu Strut and Tie).

Beton – Stan graniczny użytkowalności

Analiza stanu granicznego użytkowalności zawiera pewne uproszczenia modeli konstytutywnych stosowanych w analizie nośności. Gałąź plastyczna krzywej naprężenie-odkształcenie betonu ściskanego jest pomijana, natomiast gałąź sprężysta jest liniowa i nieskończona. Prawo compression softening nie jest uwzględniane. Uproszczenia te poprawiają stabilność numeryczną i szybkość obliczeń i nie ograniczają ogólności rozwiązania, o ile wynikowe limity naprężeń materiałowych w stanie granicznym użytkowalności są wyraźnie poniżej punktów plastyczności (zgodnie z wymaganiami ACI). Dlatego uproszczone modele stosowane dla stanu granicznego użytkowalności są ważne tylko wtedy, gdy spełnione są wszystkie wymagania weryfikacyjne.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}\]

Efekty długoterminowe

Długoterminowe zachowanie konstrukcji, takie jak długoterminowe ugięcia lub obliczanie szerokości rys spowodowanych obciążeniami trwałymi, jest uzależnione od pełzania betonu. ACI 318-19 w paragrafie 24.2.4.1.3 definiuje współczynnik zależny od czasu dla obciążeń trwałych – ξ reprezentujący efekt pełzania dla określonego czasu trwania obciążenia trwałego.

W Detail application moduł sprężystości E_c jest korygowany w celu określenia długoterminowego zachowania konstrukcji za pomocą współczynnika ξ. Skorygowany moduł sprężystości jest oznaczany jako E_c,eff – patrz Rysunek 40.

Zakładając, że odkształcenie elementu jest wyrażone przez odkształcenie, można zapisać:

\[\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} + \epsilon_{creep} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)\]

gdzie:

ε₀ jest odkształceniem krótkoterminowym (bez wpływu pełzania), a ε_creep jest odkształceniem spowodowanym pełzaniem.

Korzystając z prawa Hooke'a, można zapisać:

\[E_{c,eff} = \frac{f_{c}}{\epsilon_{tot}}\]

Podstawiając \(\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)\) oraz \(\epsilon_{0} = f_{c} / E_{c}\) otrzymujemy:

\[E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\xi}\]

Czas trwania obciążenia trwałego do wyznaczenia współczynnika ξ można ustawić indywidualnie dla każdej długoterminowej kombinacji użytkowalności.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41\qquad Sustained load duration}}}\]

Długoterminowe ugięcia, naprężenia i szerokości rys są następnie obliczane przy użyciu zmodyfikowanego modelu materiałowego, w którym efekt compression softening jest automatycznie uwzględniany przez naturę analizy MES. Nie jest zatem konieczne dalsze mnożenie ich przez współczynnik zdefiniowany w 24.2.4.1.1.

Efekty krótkoterminowe

W celu przeprowadzenia weryfikacji krótkoterminowych wykonywane jest kolejne obliczenie, w którym wszystkie obciążenia są obliczane bez współczynnika zależnego od czasu dla obciążeń trwałych. Oba obliczenia dla weryfikacji długo- i krótkoterminowych przedstawiono na Rys. 40.

Zbrojenie

Przyjmuje się idealnie sprężysto-plastyczny wykres naprężenie-odkształcenie z określoną granicą plastyczności dla zbrojenia bez sprężenia, patrz ACI 319-19 CL. 20.2.1. Definicja tego wykresu wymaga jedynie znajomości podstawowych właściwości zbrojenia – wytrzymałości i modułu sprężystości.

Wykres naprężenie-odkształcenie zbrojenia może być również zdefiniowany przez użytkownika, jednak w takim przypadku nie jest możliwe przyjęcie efektu tension stiffening (nie jest możliwe obliczenie szerokości rys).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}\]

gdzie:

Φ_sjest współczynnikiem redukcji nośności zbrojenia. Wartość domyślna jest ustawiona zgodnie z ACI 318-19 Table 24.2.1.

f_y jest granicą plastyczności zbrojenia

E_s moduł sprężystości zbrojenia

10% jest przyjęte jako graniczne odkształcenie, przy którym obliczenia są przerywane. Jest to uznane za bezpieczne na podstawie ASTM A955/A955M-20c Article 7.

Tension stiffening (Rys. 43) jest automatycznie uwzględniany poprzez modyfikację wejściowego wykresu naprężenie-odkształcenie gołego pręta zbrojeniowego w celu odwzorowania średniej sztywności prętów zabetonowanych w betonie (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

5.2 Współczynniki redukcji nośności i obciążeń

Wartości współczynników redukcji nośności są określone w ACI 318-19 Cl. 21.2. Domyślne wartości dla betonu i zbrojenia są dobrane na podstawie założenia, że typowy przykład rozwiązywany w aplikacji jest kontrolowany przez ścinanie (na podstawie Tabeli 21.2.1 (b), (f), (g)). Możliwe jest jednak modelowanie dowolnego typu elementu. Dlatego, jeśli oceniany jest element kontrolowany przez ściskanie lub rozciąganie, użytkownik ma możliwość zmiany wartości współczynnika redukcji nośności w Preferencjach.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}\]

Współczynniki obciążeń dla kombinacji nośności należy definiować zgodnie z ACI 318-19 Tabela 5.3.1.

Z wyjątkiem przypadków określonych w Rozdziale 34, kombinacje obciążeń na poziomie użytkowania nie są zdefiniowane w ACI 318-19. Zaleca się stosowanie reguł kombinacji opartych na Załączniku C normy ASCE/SEI 7-16. Dla wszystkich szablonów współczynniki obciążeń są już predefiniowane.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

5.3 Sprawdzenia nośności

Różne sprawdzenia wymagane przez ACI 318-19 są oceniane na podstawie bezpośrednich wyników dostarczanych przez model. Sprawdzenia są przeprowadzane dla nośności betonu, nośności zbrojenia oraz zakotwienia (naprężenia styczne przyczepności).

Nośność betonu na ściskanie jest oceniana jako stosunek maksymalnego głównego naprężenia ściskającego f_c (również σ₂ w wynikach pomocniczych) uzyskanego z analizy MES do wartości granicznej f'_c,lim.

Nośność zbrojenia jest oceniana zarówno na rozciąganie, jak i ściskanie jako stosunek naprężenia w zbrojeniu w rysach f_s do określonej wartości granicznej f_y,lim.

Naprężenie styczne przyczepności jest oceniane niezależnie jako stosunek naprężenia przyczepności τ_b obliczonego przez analizę MES do wytrzymałości na przyczepność f_bu.

Norma ACI nie odnosi się jednak wprost do wytrzymałości na przyczepność, lecz operuje obliczaniem tzw. długości zakotwienia, opisanej w punkcie 25.4.2. Ponieważ wytrzymałość na przyczepność jest podstawowym parametrem wejściowym do wyznaczania długości zakotwienia, patrz R25.4.1.1 oraz ACI Committee 408 1966, wytrzymałość na przyczepność można obliczyć w następujący sposób:

Przyjmijmy, że jeśli zakotwi się pręt zbrojeniowy w bloku betonowym na długości zakotwienia l_d lub większej, wyrwanie zbrojenia doprowadzi do zerwania pręta, a nie do jego wyciągnięcia z betonu. Można to zapisać następującym wzorem.

\[\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}\]

gdzie:

d_b jest średnicą pręta zbrojeniowego, l_d jest długością zakotwienia, f_bu jest wytrzymałością na przyczepność, f_y jest granicą plastyczności zbrojenia, a A_s jest polem przekroju pręta zbrojeniowego.

Na podstawie powyższego wzór na obliczenie wytrzymałości na przyczepność można łatwo wyprowadzić:

\[f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }\]

Długość zakotwienia l_d jest następnie wyznaczana zgodnie z tablicą ACI 318-19 25.4.2.3 w następujący sposób:

\[l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}\]

gdzie:

C = 25 (2,1 dla układu metrycznego) dla prętów nr 6 i mniejszych oraz drutów żebrowanych, C = 20 (1,7 dla układu metrycznego) dla prętów nr 7 i większych, λ = 1,0 dla betonu zwykłego, ψ_t, ψ_e_, ψ_g są wyznaczane zgodnie z tablicą ACI 318-19 25.4.2.3.

Obsługiwane jest wyłącznie zbrojenie niepowlekane lub powlekane cynkiem (galwanizowane), dlatego ψ_e = 1,0. ψ_g jest automatycznie wyznaczane na podstawie gatunku zbrojenia, a ψ_t jest automatycznie określane na podstawie położenia zbrojenia w modelu oraz kierunku betonowania, który można ustawić w aplikacji dla każdej pozycji projektu w następujący sposób.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Direction of concreting}}}\]

Sprawdzenia te są przeprowadzane z uwzględnieniem odpowiednich wartości granicznych dla poszczególnych części konstrukcji (tj. pomimo stosowania jednego gatunku zarówno dla betonu, jak i zbrojenia, końcowe wykresy naprężenie-odkształcenie będą się różnić w każdej części konstrukcji ze względu na efekty tension stiffening i compression softening).

Istnieje również możliwość modelowania prętów gładkich. Więcej informacji można znaleźć tutaj: Pręty gładkie w Detail

Siła całkowita F_tot i siła graniczna F_lim

Siła całkowita F_tot jest wynikiem analizy metodą elementów skończonych i może być zdefiniowana na dwa sposoby.

\[F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}\]

gdzie A_s jest polem przekroju pręta zbrojeniowego, a f_s jest naprężeniem w pręcie.

Lub jako suma siły zakotwienia F_ai siły przyczepności F_bond.

\[F_{tot}=F_{a}+F_{bond}\]

gdzie F_a jest rzeczywistą siłą w sprężynie zakotwienia, a F_bond jest siłą przyczepności, którą można uzyskać przez całkowanie naprężenia przyczepności τ_b wzdłuż długości pręta zbrojeniowego l.

\[F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx\]

C_s jest obwodem pręta zbrojeniowego.

Siła graniczna F_lim jest maksymalną siłą w elemencie pręta zbrojeniowego uwzględniającą nośność pręta oraz warunki zakotwienia (przyczepność między betonem a zbrojeniem oraz haki, pętle itp.).

\[F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)\]

\[F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}\]

gdzie C_s jest obwodem pręta zbrojeniowego, a l jest długością od początku pręta do rozpatrywanego punktu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad Definition of the limit force Flim}}}\]

\[F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}\]

gdzie F_lim,add jest siłą dodatkową obliczoną na podstawie wartości kąta między sąsiednimi elementami. F_lim,2 musi być zawsze mniejsza niż F_u.

Dostępne typy zakotwienia w CSFM obejmują pręt prosty (tj. bez redukcji końca zakotwienia), hak 90°, hak 180°, doskonałą przyczepność oraz pręt ciągły. Wszystkie te typy, wraz z odpowiednimi współczynnikami zakotwienia β, przedstawiono na rys. 48 dla zbrojenia podłużnego. Wartości przyjętych współczynników zakotwienia są wyprowadzone z porównania równania z punktu ACI 318-19 25.4.3.1 z równaniami z punktu ACI 318-19 25.4.2.3. Należy zauważyć, że pomimo różnych dostępnych opcji, CSFM rozróżnia trzy typy końców zakotwienia: (i) brak redukcji długości zakotwienia, (ii) redukcja o 30% długości zakotwienia w przypadku znormalizowanego zakotwienia oraz (iii) doskonała przyczepność.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}\]

Współczynnik zakotwienia dla strzemion wynosi zawsze β = 1,0.

W celu zachowania zgodności z ACI, w obliczeniach należy stosować sprężynę zakotwienia; sprężyna zakotwienia jest modyfikowana przez współczynnik β, dlatego użytkownik musi wybrać jeden z dostępnych typów zakotwienia podczas definiowania warunków początku i końca zbrojenia.

5.4 Strefy podporowe i zakotwień – Obszary częściowo obciążone

Projektując konstrukcje betonowe, spotykamy dwie duże grupy obszarów częściowo obciążonych (PLA) – pierwsza z nich obejmuje podpory, natomiast druga składa się ze stref zakotwień.

Zgodnie z aktualnie obowiązującymi normami dotyczącymi projektowania konstrukcji żelbetowych ACI 318-19 rozdz. 22.8, dla podpór należy uwzględniać lokalne miażdżenie betonu oraz poprzeczne siły rozciągające. Dla równomiernie rozłożonego obciążenia na obszarze A_c1, nośność ściskana betonu może być zwiększona nawet dwukrotnie w zależności od obliczeniowego obszaru rozłożenia obciążenia A_c2. Patrz tabela ACI 318-19 22.8.3.2.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49\qquad Partially loaded areas for bearings according to ACI 318-19}}}\]

Dla stref zakotwień sprężanych kablami należy stosować ACI 318-19 rozdz. 25.9.

Obszar częściowo obciążony musi być odpowiednio zbrojony zbrojeniem poprzecznym zaprojektowanym do przeniesienia sił rozłupujących występujących w tym obszarze. Bez wymaganego zbrojenia poprzecznego nie jest możliwe uwzględnienie zwiększenia nośności ściskanej betonu.

Obszary częściowo obciążone w CSFM

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}\]

Stosując CSFM, możliwe jest projektowanie i ocena konstrukcji żelbetowych z uwzględnieniem wpływu zwiększonej nośności ściskanej betonu w obszarach częściowo obciążonych. Ponieważ CSFM jest modelem tarczowym (2D), a obszary częściowo obciążone są zadaniem przestrzennym (3D), konieczne było znalezienie rozwiązania łączącego te dwa różne typy zadań (Rys. 50). Jeśli funkcja „obszarów częściowo obciążonych" jest aktywowana, dopuszczalna geometria stożka jest tworzona zgodnie z ACI (Rys. 49). Wszystkie kolizje geometryczne są rozwiązywane w pełni w 3D dla określonej geometrii elementu betonowego oraz wymiarów każdego PLA. Następnie tworzony jest model obliczeniowy obszaru częściowo obciążonego.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad Allowable cone geometries.}}}\]

Modyfikacja modelu materiałowego okazała się podejściem nieodpowiednim, głównie dlatego, że mapowanie właściwości na siatkę elementów skończonych jest problematyczne. Stwierdzono, że podejście niezależne od siatki elementów skończonych jest bardziej odpowiednim rozwiązaniem. Dla znanych geometrii stożka ściskanego tworzone są całkowicie spójne fikcyjne krzyżulce ściskane (Rys. 51 i Rys. 52). Krzyżulce te mają identyczne właściwości materiałowe jak beton zastosowany w modelu, w tym diagram naprężenie-odkształcenie. Kształt stożka wyznacza kierunek krzyżulców, które stopniowo rozłożają obciążenie z PLA na obliczeniowy obszar rozłożenia. Gęstość powierzchniowa fikcyjnych krzyżulców jest zmienna w każdej części stożka i dodaje fikcyjny obszar betonu w kierunku obciążenia. Na poziomie obszaru obciążonego (A_c1) dodawany jest fikcyjny obszar betonu zgodnie ze stosunkiem \(\sqrt{A_{c1} \cdot A_{c2}} - A_{real}\) (gdzie A_real jest obszarem podpory przyjętym w 2D modelu obliczeniowym), a obszar ten zmniejsza się liniowo do zera w kierunku obliczeniowego obszaru rozłożenia (A_c2). Rozwiązanie to zapewnia, że naprężenie ściskające w betonie jest stałe w całej objętości stożka.

\[\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c2}}{A_{c1}}} - \frac{A_{real}}{A_{c1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad Fictitious struts in the computational model}}}\]

Nośność obszaru częściowo obciążonego jest zwiększana zgodnie ze stosunkiem obliczeniowego obszaru rozłożenia do obszaru obciążonego, określonym w ACI 318-19 rozdz. 22.8. Należy pamiętać, że jest to model obliczeniowy, który nie może precyzyjnie opisać stanu naprężeń w obszarze częściowo obciążonym, którego rzeczywisty przebieg jest znacznie bardziej złożony. Jednak rozwiązanie to umożliwia prawidłowe rozłożenie obciążenia na cały model przy jednoczesnym uwzględnieniu zwiększonej nośności obszaru częściowo obciążonego. Ponadto poprawnie wprowadza naprężenia poprzeczne w tym obszarze, co pozwala na prawidłowe projektowanie zbrojenia na siły rozłupujące.

Dopuszczalne naprężenie podporowe wynoszące 0.85f_c' jest podane w Tabeli 22.8.3.2. Gęstość jest ograniczona tak, aby nie przekroczyć maksymalnej podwojonej nośności podanej we wzorze w Tabeli 22.8.3.2(b).

Dla stref zakotwień, PLA jest stosowane w aplikacji w taki sam sposób jak dla podpór. Dlatego strefy lokalne zdefiniowane w ACI 318-19 rozdział 25.9 muszą być sprawdzane ręcznie zgodnie z ACI 318-19 25.9.3. PLA jest zatem stosowane wyłącznie w celu uniknięcia przekroczenia kryterium odkształcenia w strefie lokalnej, a tym samym przedwczesnego zatrzymania obliczeń. Z drugiej strony, zgodnie z ACI 318-19, pkt 25.9.4.3.1 (b), zbrojenie odporne na naprężenia rozrywające i łuszczące w płaszczyźnie może być bezpośrednio i korzystnie weryfikowane w aplikacji.

5.5 Weryfikacje stanu granicznego użytkowalności

Oceny stanu granicznego użytkowalności przeprowadzane są dla ograniczenia naprężeń, szerokości rys oraz ugięć. Naprężenia sprawdzane są w elementach betonowych i zbrojeniu zgodnie z ACI 318-19 w sposób analogiczny do określonego dla stanu granicznego nośności.

Ograniczenie naprężeń

Dopuszczalne naprężenia ściskające w betonie przy obciążeniu eksploatacyjnym należy weryfikować dla elementów sprężonych klasy U i T. Na podstawie Tabeli R24.5.2.1, nie jest wymagane sprawdzenie ograniczenia naprężeń dla betonu, który przyjmuje się jako zarysowany. Użytkownik musi ustawić klasę elementu sprężonego w ustawieniach elementu projektowego.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 53\qquad Prestressed flexural member class selection}}}\]

Dopuszczalne naprężenie ściskające dla elementów poddanych obciążeniom chwilowym jest określone przez ACI 318-19 24.5.4.1 jako 0.6f_c'. Limit naprężeń ściskających wynoszący 0.45f_c' został ustanowiony w celu zmniejszenia prawdopodobieństwa zniszczenia elementów sprężonych pod wpływem obciążeń powtarzalnych. Limit ten wydawał się również uzasadniony w celu wykluczenia nadmiernych odkształceń od pełzania. Przy wyższych wartościach naprężeń odkształcenia od pełzania mają tendencję do szybszego wzrostu wraz ze wzrostem naprężeń.

Naprężenie ściskające w betonie jest oceniane jako stosunek maksymalnego głównego naprężenia ściskającego f_c = σ_c₂uzyskanego z analizy MES dla stanu użytkowalności do wartości granicznej, która jest ustalana na podstawie Tabeli 24.5.4.1.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 54\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}\]

W aplikacji, Prestress plus sustained load jest traktowane jako kombinacja długoterminowa, a Prestress plus total load jako kombinacja krótkoterminowa.

Ugięcie

Na podstawie wybranego typu kombinacji (długoterminowej lub krótkoterminowej) wyznaczane jest odpowiednio ugięcie długoterminowe lub krótkoterminowe. Maksymalna dopuszczalna wartość ugięcia powinna być określona przez użytkownika i uwzględniona zgodnie z ACI 138-19 24.2.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 55\qquad Maximum allowable deflection value}}}\]

W aplikacji możliwe jest wyświetlenie ugięć od obciążenia stałego Δ_DL i obciążenia zmiennego Δ_LL oddzielnie, jak również całkowitego ugięcia Δ_Tot(stałe+zmienne), przy jednoczesnym wyświetlaniu odkształconego kształtu.

Ugięć na przyciętych końcach nie można sprawdzać.

Szerokość rys

Szerokości rys i orientacje rys są obliczane dla krótkoterminowych lub długoterminowych kombinacji stanu użytkowalności. Ponieważ ACI nie określa bezpośrednio granicznych szerokości rys, użytkownik musi podać graniczną szerokość rysy w_lim.

Weryfikacje są przedstawiane w następujący sposób:

\[\frac{w}{w_{lim}}\]

gdzie:

w krótko- lub długoterminowa szerokość rysy obliczona metodą MES,

w_lim graniczna wartość szerokości rysy zdefiniowana przez użytkownika.

Metoda obliczania szerokości rys stosowana w aplikacji, opisana również bardziej szczegółowo w niniejszym dokumencie, jest zgodna z ACI 224R-01. Możliwe jest zatem zastosowanie Tabeli 4.1 z ACI 224R-01 do wyznaczenia granicznej wartości szerokości rys.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 56\qquad Reasonable crack widths for reinforced concrete under service load}}}\]

Istnieją dwa sposoby obliczania szerokości rys (ustabilizowane i nieustabilizowane zarysowanie). W ogólnym przypadku (ustabilizowane zarysowanie) szerokość rysy jest obliczana przez całkowanie odkształceń na elementach 1D prętów zbrojeniowych. Kierunek rysy jest następnie obliczany na podstawie trzech najbliższych (od środka danego elementu skończonego 1D zbrojenia) punktów całkowania elementów 2D betonu. Chociaż takie podejście do obliczania kierunków rys nie odpowiada rzeczywistemu położeniu rys, dostarcza ono reprezentatywnych wartości prowadzących do wyników szerokości rys, które można porównać z wartościami szerokości rys wymaganymi przez normę w miejscu pręta zbrojeniowego.

6 Sprawdzenia konstrukcyjne według AASHTO

6.1 Modele materiałowe (AASHTO)

Beton - Nośność

Model betonu zastosowany do obliczeń nośności w CSFM opiera się na założeniach projektowania na nośność według AASHTO LRFD dotyczących równowagi i zgodności odkształceń. Zgodnie z artykułem 5.6.2.1 AASHTO LRFD (2024) wytrzymałość betonu na rozciąganie jest pomijana.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}\]

Implementacja CSFM w IDEA StatiCa Detail nie uwzględnia jawnego kryterium zniszczenia w kategoriach odkształceń dla betonu ściskanego (tj. po osiągnięciu naprężenia szczytowego przyjmuje gałąź plastyczną z ε_c₀ o wartości maksymalnej 5%, podczas gdy artykuł 5.6.2.1 AASHTO LRFD (2024) zakłada odkształcenie graniczne mniejsze niż 0,3%). To uproszczenie nie pozwala na weryfikację zdolności odkształceniowej konstrukcji ulegających zniszczeniu przez ściskanie. Jednak nośność jest prawidłowo przewidywana, gdy oprócz współczynnika zarysowanego betonu (k_c₂ zdefiniowanego na (Rys. 57)) uwzględnia się wzrost kruchości betonu wraz ze wzrostem jego wytrzymałości za pomocą współczynnika redukcyjnego \(\eta_{fc}\) zdefiniowanego w fib Model Code 2010 w następujący sposób:

\[f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}\]

\[k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

gdzie:

α₁ jest współczynnikiem redukcyjnym wytrzymałości betonu na ściskanie zdefiniowanym w artykule 5.6.2.2 AASHTO LRFD (2024). Przy stosowaniu diagramu naprężenie-odkształcenie w kształcie parabola-prostokąt konieczne jest zredukowanie maksymalnego naprężenia ściskającego przez ten współczynnik. Uśrednia to rozkład naprężeń w strefie ściskanej w taki sposób, że wynikowa wytrzymałość na ściskanie jest mniejsza lub równa wytrzymałości na ściskanie obliczonej przy użyciu diagramu naprężenie-odkształcenie z opadającą gałęzią plastyczną.

Φ_cjest współczynnikiem nośności dla betonu. Wartość domyślna jest ustawiana zgodnie z artykułem 5.5.4.2 AASHTO LRFD (2024).

k_c₂ jest współczynnikiem redukcyjnym uwzględniającym obecność zarysowania poprzecznego.

f'_c jest wytrzymałością betonu na ściskanie oznaczoną na próbkach walcowych (w MPa dla definicji \( \eta_{fc} \)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58\qquad The compression softening law.}}}\]

k_c₂ jest współczynnikiem redukcyjnym opartym na tych samych założeniach co współczynnik efektywności betonu ν podany w AASHTO LRFD (2024) 5.8.2.5.3a i Tabeli 5.8.2.5.3a-1, z tą różnicą, że w CSFM obecność głównego naprężenia rozciągającego prostopadłego do głównego naprężenia ściskającego jest sprawdzana dla każdego elementu skończonego (nie tylko dla węzłów modelu Strut and Tie).

Beton – Stan graniczny użytkowalności

Analiza stanu granicznego użytkowalności zawiera pewne uproszczenia modeli konstytutywnych stosowanych w analizie nośności. Gałąź plastyczna krzywej naprężenie-odkształcenie betonu ściskanego jest pomijana, natomiast gałąź sprężysta jest liniowa i nieskończona. Prawo compression softening nie jest uwzględniane. Uproszczenia te poprawiają stabilność numeryczną i szybkość obliczeń oraz nie ograniczają ogólności rozwiązania, o ile wynikowe limity naprężeń materiałowych w stanie granicznym użytkowalności są wyraźnie poniżej punktów plastyczności (zgodnie z podejściem stanu granicznego użytkowalności AASHTO LRFD). Dlatego uproszczone modele stosowane dla SGU są ważne tylko wtedy, gdy spełnione są wszystkie wymagania weryfikacyjne.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}\]

Efekty długoterminowe

Długoterminowe prawo konstytutywne (czerwona krzywa na Rys. 59) jest stosowane do obliczania szerokości rys, całkowitego ugięcia oraz ograniczenia naprężeń w elementach sprężonych, gdy w górnej wstążce wybrano efekt długoterminowy. W aplikacji IDEA StatiCa Detail do weryfikacji efektów długoterminowych stosowany jest efektywny moduł sprężystości, zgodnie z AASHTO LRFD (2024) C5.12.5.3.6-1.

\[E_{eff} = \frac{E_{c}}{1+\psi}\]

gdzie:
E_c jest modułem sprężystości zdefiniowanym w artykule 5.4.2.4 AASHTO LRFD (2024)
ψ jest współczynnikiem pełzania zdefiniowanym w artykule 5.4.2.3.2 AASHTO LRFD (2024)

Współczynniki pełzania są definiowane przez użytkownika we właściwościach materiału.

Efekty krótkoterminowe

W celu przeprowadzenia weryfikacji krótkoterminowych wykonywane jest osobne obliczenie, w którym wszystkie obciążenia są obliczane bez współczynnika pełzania. Oba obliczenia dla weryfikacji długo- i krótkoterminowych przedstawiono na Rys. 59.

Zbrojenie

Przyjmuje się idealnie sprężysto-plastyczny diagram naprężenie-odkształcenie z określoną granicą plastyczności dla zbrojenia niesprężonego, patrz artykuł 5.4.3 AASHTO LRFD (2024). Definicja tego diagramu wymaga jedynie znajomości podstawowych właściwości zbrojenia – wytrzymałości i modułu sprężystości.

Diagram naprężenie-odkształcenie zbrojenia może być również definiowany przez użytkownika, jednak w takim przypadku nie jest możliwe uwzględnienie efektu tension stiffening (nie jest możliwe obliczenie szerokości rys).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}\]

gdzie:

Φ_sjest współczynnikiem nośności dla zbrojenia. Wartość domyślna jest ustawiana zgodnie z artykułem 5.5.4.2 AASHTO LRFD (2024).

f_y jest granicą plastyczności zbrojenia

E_s jest modułem sprężystości zbrojenia

10% jest przyjmowane jako graniczne odkształcenie, przy którym obliczenia są przerywane. Jest to uznawane za bezpieczne na podstawie artykułu 7 ASTM A955/A955M-20c.

Tension stiffening (Rys. 61) jest uwzględniany automatycznie poprzez modyfikację wejściowego diagramu naprężenie-odkształcenie gołego pręta zbrojeniowego w celu odwzorowania średniej sztywności prętów zabetonowanych w betonie (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

6.2 Współczynniki nośności i obciążeń

Wartości współczynników nośności są określone w AASHTO LRFD (2024) Artykuł 5.5.4. Domyślne wartości dla betonu i zbrojenia są dobrane konserwatywnie, na podstawie założenia, że typowy rozwiązywany przykład dotyczy strefy nieciągłości – typowego przypadku dla metody Strut-and-tie. Możliwe jest jednak modelowanie dowolnego typu elementu. Dlatego, jeśli oceniany jest element kontrolowany przez ściskanie lub rozciąganie, użytkownik ma możliwość zmiany wartości współczynnika redukcji nośności w Preferencjach.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 62\qquad The setting of resistance factors in IDEA StatiCa Detail.}}}\]

Współczynniki obciążeń i kombinacje obciążeń należy definiować zgodnie z AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), Artykuł 3.4.1 i Tablice 3.4.1-1 do 3.4.1-6. AASHTO LRFD jednoznacznie określa kombinacje obciążeń dla stanów granicznych nośności (Strength I do Strength V) oraz kombinacje obciążeń na poziomie użytkowania (Service I do Service IV), wraz z odpowiednimi współczynnikami obciążeń dla każdego przypadku.

Dla każdego szablonu program zawiera predefiniowane podstawowe kombinacje, które wymagają uzupełnienia w zależności od analizowanego elementu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 63\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

6.3 Stan graniczny nośności

Różne weryfikacje wymagane przez AASHTO są oceniane na podstawie bezpośrednich wyników dostarczanych przez model. Weryfikacje przeprowadzane są dla wytrzymałości betonu, wytrzymałości zbrojenia oraz zakotwienia (naprężenia styczne przyczepności).

Wytrzymałość betonu na ściskanie jest oceniana jako stosunek maksymalnego głównego naprężenia ściskającego f_c (również σ₂ w wynikach pomocniczych) uzyskanego z analizy MES do wartości granicznej f'_c,lim.

Wytrzymałość zbrojenia jest oceniana zarówno na rozciąganie, jak i ściskanie jako stosunek naprężenia w zbrojeniu w miejscu rys f_s do określonej wartości granicznej f_y,lim.

Naprężenie styczne przyczepności jest oceniane niezależnie jako stosunek naprężenia przyczepności τ_b obliczonego metodą MES do wytrzymałości na przyczepność f_bu.

Ponieważ jednak wytrzymałość na przyczepność nie jest wprost zdefiniowana w AASHTO, jej wartość musi być wyznaczona przy użyciu równań definiujących długość zakotwienia. Wytrzymałość na przyczepność jest w istocie podstawowym parametrem wejściowym do wyznaczania długości zakotwienia; zob. np. artykuł AASHTO LRFD (2024) Article C5.10.8.2 lub NCHRP Report 733, Attachment E strona E-9.

Obliczenie opisane w AASHTO LRFD (2024) Article 5.10.8.2.1 i 5.10.8.2.2, które wymaga znajomości maksymalnego rozstawu osiowego poprzecznego zbrojenia w obrębie l_d, liczby prętów lub drutów zakotwiczonych wzdłuż płaszczyzny rozszczepiania, całkowitego pola przekroju poprzecznego wszystkich prętów poprzecznych oraz innych wielkości geometrycznych, których nie można wiarygodnie określić w modelu Detail application dla ogólnych danych wejściowych, przyjęto podejście z AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.1 w następujący sposób:

Przyjmijmy, że jeśli zakotwiony pręt zbrojeniowy w bloku betonowym na długości zakotwienia l_d lub większej zostanie wyrwany, doprowadzi to do zerwania zbrojenia, a nie do wyrwania betonu. Można to zapisać następującym wzorem.

\[\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{b}\]

gdzie:

d_b jest średnicą pręta zbrojeniowego
l_d jest długością zakotwienia
f_bu jest wytrzymałością na przyczepność
f_y jest granicą plastyczności zbrojenia
A_b jest polem przekroju pręta zbrojeniowego

Na podstawie powyższego można łatwo wyprowadzić wzór na obliczanie wytrzymałości na przyczepność.

\[f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{b}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }\]

Podstawowa długość zakotwienia na rozciąganie l_db jest wyznaczana w AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.1 w następujący sposób:

Dla prętów nr 11 i mniejszych: \(l_{bd}=\max\left(1.25\cdot\dfrac{A_{b}\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}},\ 0.4\cdot d_{b}\cdot f_{y}\right)\)

Dla prętów nr 14: \(l_{bd}=\dfrac{2.70\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}\)

Dla prętów nr 18: \(l_{bd}=\dfrac{3.5\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}\)

gdzie:

A_b jest polem przekroju pręta zbrojeniowego (in²)
f_y jest określoną granicą plastyczności zbrojenia (ksi)
f'_c określona wytrzymałość betonu na ściskanie w wieku 28 dni, o ile nie podano innego wieku (ksi)
d_b jest średnicą pręta zbrojeniowego (in)

Następnie, przez pomnożenie podstawowej długości zakotwienia l_db przez współczynniki opisane w AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.2 i 5.11.2.1.3, wyznaczana jest długość zakotwienia l_d jako parametr wejściowy.

Współczynniki modyfikacyjne zmniejszające długość zakotwienia z 5.11.2.1.3 są zawsze równe 1,0 w aplikacji. Współczynnik modyfikacyjny dla górnego poziomego lub prawie poziomego zbrojenia wynosi 1,4 dla warunków przyczepności „złej", zgodnie z poniższym rysunkiem:

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 64\qquad Description of bond conditions; a) b) 'good' bond conditions for all bars; c) d) unhatched zone – 'good' bond conditions, hatched zone – 'poor' bond conditions}}}\]

Kierunek betonowania można ustawić w aplikacji.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 65\qquad Direction of concreting}}}\]

Wszystkie pozostałe współczynniki wyznaczone w 5.11.2.1.2 są równe 1,0, ponieważ obsługiwany jest wyłącznie beton zwykły oraz wyłącznie zbrojenie niepowlekane.

Naprężenie styczne przyczepności oraz wytrzymałość na przyczepność prętów ściskanych są obliczane analogicznie do prętów rozciąganych, lecz stosowane są równania z AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.2.

Istnieje również możliwość modelowania prętów gładkich. Więcej informacji można znaleźć tutaj: Pręty gładkie w Detail

Siła całkowita F_tot i siła graniczna F_lim

Siła całkowita F_tot jest wynikiem analizy metodą elementów skończonych i może być zdefiniowana na dwa sposoby.

\[F_{tot}=A_{b} \cdot f_{s}\]

gdzie A_b jest polem przekroju pręta zbrojeniowego, a f_s jest naprężeniem w pręcie.

Lub jako suma siły zakotwienia F_ai siły przyczepności F_bond.

\[F_{tot}=F_{a}+F_{bond}\]

\[F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx\]

C_s jest obwodem pręta zbrojeniowego.

Siła graniczna F_lim jest maksymalną siłą w elemencie pręta zbrojeniowego uwzględniającą wytrzymałość pręta, a także warunki zakotwienia (przyczepność między betonem a zbrojeniem oraz haki, pętle zakotwień itp.).

\[F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)\]

\[F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{b}\]

\[F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{b}\]

\[F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}\]

gdzie C_s jest obwodem pręta zbrojeniowego, a l jest długością od początku pręta do rozpatrywanego punktu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 66\qquad Definition of the limit force Flim}}}\]

\[F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}\]

gdzie F_lim,add jest dodatkową siłą obliczoną na podstawie wartości kąta między sąsiednimi elementami. F_lim,2 musi być zawsze mniejsza niż F_u.

Dostępne typy zakotwień w CSFM obejmują pręt prosty (tj. bez redukcji końca zakotwienia), hak 90°, hak 180°, doskonałą przyczepność oraz pręt ciągły. Wszystkie te typy, wraz z odpowiednimi współczynnikami zakotwienia β, przedstawiono na Rys. 67 dla zbrojenia podłużnego. Wartości przyjętych współczynników zakotwienia są wyprowadzone z porównania równania z sekcji AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.1 i równań z sekcji AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.4.1. Należy zauważyć, że pomimo różnych dostępnych opcji, CSFM rozróżnia trzy typy końców zakotwień: (i) brak redukcji długości zakotwienia, (ii) redukcja o 30% długości zakotwienia w przypadku znormalizowanego zakotwienia oraz (iii) doskonała przyczepność.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 67\qquad Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}\]

Współczynnik zakotwienia dla strzemion (dostępny dla elementu belkowego) wynosi zawsze β = 1,0.

W celu zachowania zgodności z AASHTO, w obliczeniach należy stosować sprężynę zakotwienia. Sprężyna zakotwienia jest modyfikowana przez współczynnik β, dlatego użytkownik musi wybrać jeden z dostępnych typów zakotwienia podczas definiowania warunków początku i końca zbrojenia.

6.4 Nośność stref podporowych i zakotwień – Częściowo obciążone obszary

Projektując konstrukcje betonowe, spotykamy dwie duże grupy częściowo obciążonych obszarów (PLA) – pierwsza z nich obejmuje łożyska, natomiast druga składa się ze stref zakotwień.

Zgodnie z aktualnie obowiązującymi normami dotyczącymi projektowania konstrukcji żelbetowych, dla łożysk należy uwzględniać lokalne miażdżenie betonu oraz poprzeczne siły rozciągające. Dla równomiernie rozłożonego obciążenia na obszarze A₁, nośność ściskana betonu może być zwiększona nawet dwukrotnie w zależności od obliczeniowego obszaru rozłożenia obciążenia A₂. Patrz AASHTO LRFD (2024) Artykuł 5.6.5.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 68\qquad Partially loaded areas for bearings according to AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.5}}}\]

Dla stref zakotwień sprężanych kablami należy stosować AASHTO LRFD (2024) Artykuł 5.8.4.4.

Częściowo obciążony obszar musi być odpowiednio zbrojony zbrojeniem poprzecznym zaprojektowanym do przeniesienia sił rozłupujących występujących w tym obszarze. Bez wymaganego zbrojenia poprzecznego nie jest możliwe uwzględnienie zwiększenia nośności ściskanej betonu.

Częściowo obciążone obszary w CSFM

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 69\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}\]

Stosując CSFM, możliwe jest projektowanie i ocena konstrukcji żelbetowych z uwzględnieniem wpływu zwiększonej nośności ściskanej betonu w częściowo obciążonych obszarach. Ponieważ CSFM jest modelem tarczowym (2D), a częściowo obciążone obszary stanowią zadanie przestrzenne (3D), konieczne było znalezienie rozwiązania łączącego te dwa różne typy zadań (Rys. 69). Jeśli funkcja „częściowo obciążonych obszarów" jest aktywowana, dopuszczalna geometria stożka jest tworzona zgodnie z ACI (Rys. 68). Wszystkie kolizje geometryczne są w pełni rozwiązywane w 3D dla określonej geometrii elementu betonowego oraz wymiarów każdego PLA. Następnie tworzony jest model obliczeniowy częściowo obciążonego obszaru.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 70\qquad Allowable cone geometries.}}}\]

Modyfikacja modelu materiałowego okazała się podejściem nieodpowiednim, głównie dlatego, że mapowanie właściwości na siatkę elementów skończonych jest problematyczne. Stwierdzono, że podejście niezależne od siatki elementów skończonych jest bardziej odpowiednim rozwiązaniem. Dla znanych geometrii stożka ściskanego tworzone są całkowicie spójne fikcyjne krzyżulce ściskane (Rys. 70 i Rys. 71). Krzyżulce te mają identyczne właściwości materiałowe jak beton zastosowany w modelu, w tym diagram naprężenie-odkształcenie. Kształt stożka wyznacza kierunek krzyżulców, które stopniowo rozkładają obciążenie z PLA na obliczeniowy obszar rozłożenia. Gęstość powierzchniowa fikcyjnych krzyżulców jest zmienna w każdej części stożka i dodaje fikcyjny obszar betonu w kierunku obciążenia. Na poziomie obciążonego obszaru (A₁) dodawany jest fikcyjny obszar betonu zgodnie ze stosunkiem \(\sqrt{A_{1} \cdot A_{2}} - A_{real}\) (gdzie A_real jest obszarem podpory przyjętym w modelu obliczeniowym 2D), a obszar ten maleje liniowo do zera w kierunku obliczeniowego obszaru rozłożenia (A₂). Rozwiązanie to zapewnia stałe naprężenie ściskające w betonie w całej objętości stożka.

\[\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{2}}{A_{1}}} - \frac{A_{real}}{A_{1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 71\qquad Fictitious struts in the computational model}}}\]

Nośność częściowo obciążonego obszaru jest zwiększana zgodnie ze stosunkiem obliczeniowego obszaru rozłożenia do obszaru obciążonego, określonym w AASHTO LRFD (2024) Artykuł 5.6.5. Należy pamiętać, że jest to model obliczeniowy, który nie może precyzyjnie opisać stanu naprężeń w częściowo obciążonym obszarze, którego rzeczywisty przebieg jest znacznie bardziej złożony. Jednak rozwiązanie to umożliwia prawidłowe rozłożenie obciążenia na cały model przy jednoczesnym uwzględnieniu zwiększonej nośności częściowo obciążonego obszaru. Ponadto poprawnie wprowadza naprężenia poprzeczne w tym obszarze, umożliwiając prawidłowe projektowanie zbrojenia na siły rozłupujące.

Dopuszczalne naprężenie łożyskowe wynoszące 0.85f_c' jest podane w AASHTO LRFD (2024) Artykuł 5.8.4.4. Gęstość jest ograniczona tak, aby nie przekroczyć maksymalnej podwojonej nośności podanej we wzorze 5.6.5-3.

Dla stref zakotwień PLA jest stosowany w aplikacji w taki sam sposób jak dla łożysk. Dlatego naprężenia ściskające w strefach lokalnych i globalnych zdefiniowanych w Artykułach 5.8.4.4 i 5.8.4.5 muszą być sprawdzane ręcznie. PLA jest zatem stosowany wyłącznie w celu uniknięcia przekroczenia kryterium odkształcenia w strefie lokalnej, a tym samym przedwczesnego zatrzymania obliczeń. Z drugiej strony, zbrojenie odporne na naprężenia rozrywające, łuszczące w płaszczyźnie oraz naprężenia rozciągające przy krawędzi w strefach ogólnych (zdefiniowanych w Artykule 5.8.4.5) może być bezpośrednio i korzystnie weryfikowane w aplikacji.

6.5 Stan graniczny użytkowalności

Oceny użytkowalności przeprowadzane są dla ograniczenia naprężeń, szerokości rys oraz ugięć. Naprężenia sprawdzane są w elementach betonowych i zbrojeniu zgodnie z AASHTO LRFD w sposób analogiczny do określonego dla stanu nośności.

Ograniczenie naprężeń

Naprężenie ściskające w betonie jest oceniane wyłącznie dla elementów sprężonych (gdy w modelu obecny jest przypadek obciążenia sprężaniem) jako stosunek maksymalnego głównego naprężenia ściskającego f_c = σ_c₂uzyskanego z analizy MES dla stanu użytkowalności do wartości granicznych, które są ustalane na podstawie AASHTO LRFD Tabela 5.9.2.3.2a-1.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 72\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}\]

W aplikacji Prestress plus permanent load traktowane jest jako obciążenie trwałe (Sustain load), a Prestress, permanent, and transient load jako obciążenie całkowite (Total load).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 73\qquad Serviceability combination types}}}\]

Ponadto zawsze możliwe jest przeprowadzenie analizy zarówno dla efektów krótkoterminowych, jak i długoterminowych, z zastosowaniem modeli materiałowych uwzględniających lub nieuwzględniających współczynnika pełzania — patrz rozdział „Material models (AASHTO)".

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 74\qquad Serviceability material models}}}\]

Ugięcie

Ugięcia chwilowe i ugięcia całkowite są wyznaczane dla każdej kombinacji, w której włączone jest obliczanie ugięć.

Dla ugięć chwilowych stosowany jest moduł sprężystości E_c zgodnie z AASHTO LRFD (2024) artykuł 5.4.2.4.
Dla ugięć całkowitych stosowany jest efektywny moduł sprężystości E_c,eff zgodnie z AASHTO LRFD (2024) artykuł C5.12.5.3.6.

Patrz rozdział 'Material models (AASHTO) - Concrete – Serviceability' w niniejszym dokumencie.

Sprawdzenie ugięcia jest włączane w górnym pasku narzędzi. Użytkownik ustala graniczne wartości ugięć zgodnie z AASHTO LRFD (2024) artykuł 2.5.2.6.2, w zależności od rodzaju analizowanego elementu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 75\qquad Maximum allowable deflection value}}}\]

Ugięć na przyciętych końcach elementu nie można sprawdzać.

Szerokość rysy

Szerokości i orientacje rys obliczane są wyłącznie dla efektów długoterminowych (z zastosowaniem E_c,eff zgodnie z AASHTO LRFD (2024) artykuł C5.12.5.3.6) dla kombinacji, w których włączone jest obliczanie szerokości rys. Weryfikacje na podstawie wartości granicznych określonych przez użytkownika są następujące:

\[\frac{w}{w_{lim}}\]

gdzie:

w szerokość rysy obliczona metodą MES,

w_lim graniczna wartość szerokości rysy określona przez użytkownika.

Wartość graniczna w_lim powinna być wyznaczona na podstawie rodzaju elementu i klasy ekspozycji zgodnie z AASHTO LRFD (2024) artykuł 5.6.7 i jego komentarzem.

Istnieją dwa sposoby obliczania szerokości rys (zarysowanie ustabilizowane i nieustabilizowane). W ogólnym przypadku (zarysowanie ustabilizowane) szerokość rysy obliczana jest przez całkowanie odkształceń na elementach 1D prętów zbrojeniowych. Kierunek rysy wyznaczany jest następnie na podstawie trzech najbliższych (od środka danego jednowymiarowego elementu skończonego zbrojenia) punktów całkowania dwuwymiarowych elementów betonowych. Chociaż takie podejście do obliczania kierunków rys nie odpowiada rzeczywistemu położeniu rys, dostarcza reprezentatywnych wartości prowadzących do wyników szerokości rys, które można porównać z wartościami wymaganymi przez normę w miejscu pręta zbrojeniowego.

7 Sprawdzenia konstrukcyjne według normy australijskiej AS 3600 (2018)

CSFM jest metodą analizy konstrukcji spełniającą ogólne zasady zawarte w rozdziałach 6.1.1 i 6.1.2 i jest zdefiniowana jako (f) nieliniowa analiza naprężeń w rozdziale 6.1.3 – dalej w rozdziale 6.6.

Analiza metodą CSFM uwzględnia wszystkie istotne efekty nieliniowe i niesprężyste (z wyjątkiem skurczu) zdefiniowane w 6.6.3.

W celu spełnienia wymagań zawartych w sekcjach 6.6.4 i 6.6.5 – więcej informacji można znaleźć w AS3600:2018 Sup 1:2022, sekcja C6.6 – przeprowadzono weryfikacje i walidacje metody na różnych uczelniach. Poszczególne artykuły podsumowujące wyniki weryfikacji i walidacji można znaleźć pod poniższym linkiem.

Weryfikacje: Detail 2D

Ponieważ IDEA StatiCa Detail jest praktycznym programem projektowym, do obliczeń stosowana jest obliczeniowa charakterystyczna wytrzymałość na ściskanie walców po 28 dniach f'_c, zgodnie z opisem w następnym rozdziale.

7.1 Modele materiałowe (AS 3600)

Beton - Nośność

Model betonu zastosowany do obliczeń nośności w CSFM oparty jest na paraboliczno-plastycznej krzywej naprężenie-odkształcenie. Wytrzymałość na rozciąganie jest pomijana, podobnie jak w klasycznym projektowaniu żelbetu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 76\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}\]

Implementacja CSFM w IDEA StatiCa Detail nie uwzględnia jawnego kryterium zniszczenia w kategoriach odkształceń dla betonu ściskanego (tj. po osiągnięciu naprężenia szczytowego przyjmuje gałąź plastyczną z ε_c₀ o maksymalnej wartości 5%, podczas gdy AS 3600 Cl. 8.3.1 zakłada odkształcenie graniczne mniejsze niż 0,3%). To uproszczenie nie pozwala na weryfikację zdolności odkształceniowej konstrukcji ulegających zniszczeniu przez ściskanie. Jednak nośność jest właściwie prognozowana, gdy oprócz współczynnika zarysowanego betonu (k_c₂ zdefiniowanego na (Rys. 77)) uwzględnia się wzrost kruchości betonu wraz ze wzrostem jego wytrzymałości za pomocą współczynnika redukcyjnego \(\eta_{fc}\) zdefiniowanego w fib Model Code 2010 w następujący sposób:

\[f'_{c,lim}=\alpha_{2}\cdot\phi_{s}\cdot \beta \cdot \eta_{fc}\cdot f'_{c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

gdzie:

α₂ jest współczynnikiem redukcyjnym wytrzymałości betonu na ściskanie zdefiniowanym w AS 3600 Cl. 8.3.1
Przy stosowaniu paraboliczno-prostokątnego wykresu naprężenie-odkształcenie konieczne jest zredukowanie maksymalnego naprężenia ściskającego przez ten współczynnik. Uśrednia to rozkład naprężeń w strefie ściskanej w taki sposób, że wynikowa siła ściskająca jest mniejsza lub równa sile ściskającej obliczonej przy użyciu wykresu naprężenie-odkształcenie z opadającą gałęzią plastyczną. Analogiczne podejście jest zdefiniowane dla prostokątnego bloku naprężeń w Rozdziale 8.1.3.

Φ_sjest współczynnikiem redukcji naprężeń dla betonu. Wartość domyślna jest ustalona zgodnie z AS 3600 Tabela 2.2.3.

β jest współczynnikiem redukcyjnym ze względu na obecność zarysowania poprzecznego (w niniejszym tekście określanym również jako k_c₂)

f'_c jest wytrzymałością betonu na ściskanie oznaczoną na próbkach walcowych (w MPa dla definicji \( \eta_{fc} \)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 77\qquad The compression softening law.}}}\]

β jest współczynnikiem redukcyjnym opartym na tych samych zasadach co współczynnik efektywnej wytrzymałości na ściskanie zdefiniowany w Rozdziale 2.2.3. Literatura, na podstawie której wyznaczono ten współczynnik, może być znaleziona (wraz z kontekstem normy AS3600) w AS3600:2018 Sup 1:2022 CL. C2.2.3.

Beton – SGU

Analiza stanu granicznego użytkowalności zawiera pewne uproszczenia modeli konstytutywnych stosowanych w analizie nośności. Gałąź plastyczna krzywej naprężenie-odkształcenie betonu ściskanego jest pomijana, natomiast gałąź sprężysta jest liniowa i nieograniczona. Prawo compression softening nie jest uwzględniane. Uproszczenia te poprawiają stabilność numeryczną i szybkość obliczeń, nie ograniczając ogólności rozwiązania, o ile wynikowe limity naprężeń materiałowych w stanie granicznym użytkowalności są wyraźnie poniżej granicy plastyczności (zgodnie z wymaganiami AS3600). Dlatego uproszczone modele stosowane dla SGU są ważne tylko wtedy, gdy spełnione są wszystkie wymagania weryfikacyjne.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 78\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}\]

Efekty długoterminowe

W analizie SGU długoterminowe efekty betonu są uwzględniane za pomocą obliczeniowego współczynnika pełzania zgodnie z AS 3600 CL 3.1.8 (φ_cc, przyjmowanego domyślnie jako 2,5), który modyfikuje sieczny moduł sprężystości betonu (E_c) w następujący sposób:

\[E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\varphi_{cc}}\]

Przyrosty obciążeń są obliczane sekwencyjnie w kolejności: Sprężanie kablami - Stałe - Zmienne, z zastosowaniem odpowiedniego efektywnego modułu sprężystości dla każdego przyrostu, jak pokazano na Rys. 78. Współczynniki pełzania są definiowane przez użytkownika we właściwościach materiału i powinny być obliczane zgodnie z AS 3600 CL 3.1.8.3

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 79\qquad Definition of the design creep factor}}}\]

Efekty krótkoterminowe

W celu przeprowadzenia weryfikacji krótkoterminowych wykonywane jest dodatkowe obliczenie, w którym wszystkie obciążenia są obliczane bez współczynnika zależnego od czasu dla obciążeń długotrwałych. Oba obliczenia dla weryfikacji długo- i krótkoterminowych przedstawiono na Rys. 78.

Zbrojenie

Przyjmuje się idealnie sprężysto-plastyczny wykres naprężenie-odkształcenie z określoną granicą plastyczności dla zbrojenia niesprężonego, patrz AS 3600 Sekcja 3.2. Definicja tego wykresu wymaga jedynie znajomości podstawowych właściwości zbrojenia – wytrzymałości i modułu sprężystości.

Wykres naprężenie-odkształcenie zbrojenia może być również definiowany przez użytkownika, jednak w takim przypadku nie jest możliwe uwzględnienie efektu tension stiffening (nie jest możliwe obliczenie szerokości rys).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 80 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}\]

gdzie:

Φ_sjest współczynnikiem redukcji nośności dla zbrojenia. Wartość domyślna jest ustalona zgodnie z AS 3600 Tabela 2.2.3.

f_y jest granicą plastyczności zbrojenia

E_s moduł sprężystości zbrojenia

Tension stiffening (Rys. 81) jest uwzględniany automatycznie poprzez modyfikację wejściowego wykresu naprężenie-odkształcenie gołego pręta zbrojeniowego w celu odwzorowania średniej sztywności prętów zabetonowanych w betonie (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 81\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

7.2 Redukcja naprężeń i współczynniki obciążeń

Wartości współczynników redukcji naprężeń są określone w AUS 3600 Cl. 2.2.3. Wartości domyślne dla betonu i zbrojenia są ustawione zgodnie z Tabelą 2.2.3

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 82\qquad The setting of stress reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}\]

Współczynniki obciążeń dla kombinacji nośności należy definiować zgodnie z AS 3600 Cl. 4.2.2. Współczynniki obciążeń dla kombinacji użytkowalności należy wyznaczać zgodnie z Tabelą 4.1. Dla wszystkich szablonów współczynniki obciążeń są już predefiniowane.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 83\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

7.3 Sprawdzenie nośności i zakotwienia

Różne weryfikacje wymagane przez AS 3600 są oceniane na podstawie bezpośrednich wyników dostarczanych przez model. Weryfikacje przeprowadzane są dla nośności betonu, nośności zbrojenia oraz zakotwienia (naprężenia styczne przyczepności).

Nośność zbrojenia jest oceniana zarówno na rozciąganie, jak i ściskanie jako stosunek naprężenia w zbrojeniu w rysach f_s do określonej wartości granicznej f_sy,lim.

Naprężenie styczne przyczepności jest oceniane niezależnie jako stosunek naprężenia przyczepności τ_b obliczonego w analizie MES do obliczeniowego granicznego naprężenia przyczepności f_bu.

Do wyznaczenia obliczeniowego granicznego naprężenia przyczepności f_bu w aplikacji stosuje się wzór C13.1.2.2 zdefiniowany w AS3600:2018 Sup 1:2022.

\[f_{bu}=\frac{k_{2}}{k_{1} \cdot k_{3}} \cdot (0.5 \cdot \sqrt{f'_{c}})\]

Gdzie f'_c ≤ 65 MPa (we wzorze wartość w MPa), a współczynniki k są wyznaczane zgodnie z AS 3600 pkt 13.1.2.2 w następujący sposób:

k₃ = 0.7 (wartość zachowawcza dla całego zbrojenia)
k₂ = (132 - d_b) / 100 (d_b to średnica pręta zbrojeniowego w milimetrach)
= 1.3 dla pręta poziomego z więcej niż 300 mm betonu zalanego poniżej pręta, lub 1.0 w pozostałych przypadkach

k₁ jest automatycznie wyznaczany na podstawie położenia zbrojenia w modelu oraz kierunku betonowania, który można ustawić w aplikacji dla każdego elementu projektu w następujący sposób.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 84\qquad Direction of concreting}}}\]

Podstawowa długość zakotwienia L_sy,tb jest obliczana zgodnie ze wzorem 13.1.2.2 w AS 3600 w następujący sposób:

\[L_{sy,tb}=\frac{0.5\cdot k_{1}\cdot k_{3}\cdot f_{sy}\cdot d_{b}}{k_{2}\cdot \sqrt{f'_{c}}}\ge 29 \cdot k_{1}\cdot d_{b}\]

Jak widać we wzorze, podstawowa długość zakotwienia L_sy,tb jest ograniczona od dołu, dlatego obliczeniowe graniczne naprężenie przyczepności f_bu musi być ograniczone w ten sam sposób w aplikacji, co oznacza:

\[f_{bu}\le \frac{f_{sy}}{116 \cdot k_{1}} \]

Gdzie f_sy jest w MPa.

Wyprowadzenie ograniczenia f_bu jest następujące:

\[f_{bu}= \frac{f_{sy}\cdot A_{s}}{ \pi \cdot d_{b} \cdot L_{sy,tb}}=\frac{f_{sy}\cdot \pi \cdot d_{b}^{2}}{4 \cdot \pi \cdot d_{b} \cdot 29 \cdot k{1} \cdot d_{b}} =\frac{f_{sy}}{116 \cdot k_{1}} \]

Istnieje również możliwość modelowania prętów gładkich. Więcej informacji można znaleźć tutaj: Pręty gładkie w Detail

Siła całkowita F_tot i siła graniczna F_lim

Siła całkowita F_tot jest wynikiem analizy metodą elementów skończonych i może być zdefiniowana na dwa sposoby.

\[F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}\]

gdzie A_s jest polem przekroju pręta zbrojeniowego, a f_s jest naprężeniem w pręcie.

Lub jako suma siły zakotwienia F_ai siły przyczepności F_bond.

\[F_{tot}=F_{a}+F_{bond}\]

\[F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx\]

C_s jest obwodem pręta zbrojeniowego.

\[F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)\]

\[F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}\]

gdzie C_s jest obwodem pręta zbrojeniowego, a l jest długością od początku pręta do rozpatrywanego punktu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 85\qquad Definition of the limit force Flim}}}\]

\[F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}\]

gdzie F_lim,add jest dodatkową siłą obliczoną na podstawie wartości kąta między sąsiednimi elementami. F_lim,2 musi być zawsze mniejsza niż F_u.

Dostępne typy zakotwień w CSFM obejmują pręt prosty (tj. bez redukcji końca zakotwienia), standardowy hak kątowy, standardowy hak, idealne zakotwienie oraz pręt ciągły. Wszystkie te typy, wraz z odpowiednimi współczynnikami zakotwienia β, przedstawiono na Rys. 86 dla zbrojenia podłużnego. Wartości przyjętych współczynników zakotwienia są wyprowadzone z AS 3600 pkt 13.1.2. Należy zauważyć, że CSFM rozróżnia trzy typy końców zakotwień: (i) brak redukcji długości zakotwienia, (ii) redukcja o 50% długości zakotwienia w przypadku znormalizowanego zakotwienia oraz (iii) idealne zakotwienie.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 86\qquad Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) Standard cog; (c) Standard hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}\]

Współczynnik zakotwienia dla strzemion wynosi zawsze β = 1.0.

W celu zachowania zgodności z AS 3600 w obliczeniach należy stosować sprężynę zakotwienia; sprężyna zakotwienia jest modyfikowana przez współczynnik β, dlatego użytkownik musi wybrać jeden z dostępnych typów zakotwień podczas definiowania warunków początku i końca zbrojenia.

7.4 Sprawdzenia w stanie granicznym użytkowalności

Oceny stanu granicznego użytkowalności przeprowadzane są dla szerokości rys i ograniczeń ugięć.

Ugięcie

Na podstawie wybranego typu kombinacji (długoterminowej lub krótkoterminowej) oceniane jest ugięcie długoterminowe lub krótkoterminowe. Maksymalna dopuszczalna wartość ugięcia powinna być określona przez użytkownika i uwzględniona zgodnie z AS 3600 Cl. 2.3.2.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 87\qquad Maximum allowable deflection values}}}\]

W aplikacji możliwe jest wyświetlenie ugięć od obciążeń stałych Δ_PL i obciążeń zmiennych Δ_IL oddzielnie, a także całkowitego ugięcia Δ_Tot(stałe + zmienne), przy jednoczesnym wyświetlaniu odkształconego kształtu.

Ugięć na przyciętych końcach nie można sprawdzać.

Szerokość rysy

Szerokości rys i orientacje rys są obliczane dla krótkoterminowych lub długoterminowych kombinacji stanu granicznego użytkowalności. Metoda bezpośredniego obliczania szerokości rys w aplikacji jest zgodna z (oparta na) metodą podaną w AS 3600 8.6.2.3.

Weryfikacje są przedstawiane w następujący sposób:

\[\frac{w}{w_{lim}}\]

gdzie:

w krótko- lub długoterminowa szerokość rysy obliczona metodą MES,

w_lim graniczna wartość szerokości rysy określona przez użytkownika.

Zalecane maksymalne szerokości rys można znaleźć w AS3600:2018 Sup 1:2022 Tabela C2.3.3.1.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 88\qquad Recommended final design crack widths}}}\]

Alternatywnie, zgodnie z AS3600:2018 Sup 1:2022 Cl. C8.6.1 - Dla konstrukcji poddanych długoterminowym obciążeniom eksploatacyjnym, zalecane wartości w_lim są następujące:

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 89\qquad Recommended values for the limit value of the crack width for beams based on exposure classes}}}\]

Istnieją dwa sposoby obliczania szerokości rys (ustabilizowane i nieustabilizowane zarysowanie). W ogólnym przypadku (ustabilizowane zarysowanie) szerokość rysy jest obliczana przez całkowanie odkształceń na elementach 1D prętów zbrojeniowych. Kierunek rysy jest następnie obliczany na podstawie trzech najbliższych (od środka danego elementu skończonego 1D zbrojenia) punktów całkowania elementów 2D betonu. Chociaż to podejście do obliczania kierunków rys nie odpowiada rzeczywistemu położeniu rys, nadal dostarcza reprezentatywnych wartości prowadzących do wyników szerokości rys, które można porównać z wartościami szerokości rys wymaganymi przez normę w miejscu pręta zbrojeniowego.

8 Sprężenie – opis modelu

8 Wprowadzenie i modele materiałowe

Compatible Stress Field Method (CSFM) to metoda obliczeniowa oparta na płaskim stanie naprężeń 2D, w której beton jest modelowany za pomocą dwuwymiarowych elementów skończonych, do których za pomocą więzów podłączone są jednowymiarowe elementy zbrojenia. Do modelu można również dodać specjalne typy elementów 1D reprezentujące zbrojenie sprężające z przyczepnością, które można modelować jako sprężone z przyczepnością (pre-tensioned) oraz sprężane kablami (post-tensioned).

Zbrojenie sprężające jest modelowane podobnie do zbrojenia zwykłego za pomocą elementów liniowych przenoszących siłę osiową. Każdy indywidualny element zbrojenia sprężającego jest charakteryzowany przez jego pole przekroju i właściwości materiałowe. Właściwości te są określone przez charakterystyczną krzywą materiałową zgodnie z zastosowaną normą (EN 1992-1-1, ACI 318-19 itp.)

EUROCODE

Wykres naprężenie-odkształcenie zbrojenia sprężającego: a) wykres naprężenie-odkształcenie zgodnie z EN 1992-1-1; b) odkształcenie początkowe dla zbrojenia sprężonego z przyczepnością

ACI

Wykres naprężenie-odkształcenie zbrojenia sprężającego: a) wykres naprężenie-odkształcenie; b) odkształcenie początkowe dla zbrojenia sprężonego z przyczepnością

Elementy zbrojenia są połączone modelem przyczepności z elementami 2D modelu betonu w taki sam sposób jak klasyczne zbrojenie betonowe.

Przeczytaj Typy elementów skończonych

Elementy modelu przyczepności umożliwiają względne odkształcenie zbrojenia sprężającego i betonu z odpowiednimi nieliniowymi charakterystykami. Poprawnie modeluje to przyczepność zbrojenia do betonu, a także model zakotwienia zbrojenia sprężonego z przyczepnością. Końcowe modyfikacje zbrojenia sprężanego kablami, np. płyta kotwiąca, są modelowane przez element o sztywności odpowiadającej kotwi na końcu zbrojenia sprężającego, a końcowa siła sprężająca jest przykładana jako obciążenie powierzchniowe do modelu betonu na obszarze odpowiadającym rozmiarowi płyty kotwiącej. Model nie może poprawnie opisać lokalnego trójosowego stanu naprężeń w strefie pod kotwą, a strefa ta musi być rozpatrywana oddzielnie.

Efekt tension stiffening zbrojenia wynikający z interakcji z betonem nie jest uwzględniany w zbrojeniu sprężającym, ponieważ zakłada się, że beton w pobliżu zbrojenia sprężającego jest ściskany.

Zbrojenie sprężone z przyczepnością

Zbrojenie sprężone z przyczepnością jest sprężane przed betonowaniem elementu; zbrojenie sprężające jest niemal zawsze prowadzone jako linia prosta, dlatego nie występują straty sprężenia od tarcia. Po osiągnięciu wymaganej wytrzymałości betonu zbrojenie jest zwalniane z bloków kotwiących, co aktywuje zbrojenie sprężające i przenosi siły ze zbrojenia na beton. Efekt ten jest fizycznie równoważny schłodzeniu zbrojenia i jest modelowany przez odkształcenie początkowe podobne do odkształcenia termicznego. Daje to wykres naprężenie-odkształcenie zbrojenia sprężającego, jak pokazano na powyższym rysunku w b). Model obliczeniowy automatycznie oblicza odpowiedź odkształceniową konstrukcji na przyłożone sprężenie, a tym samym bezpośrednio wyznacza straty sprężenia od odkształcenia sprężystego elementu.

Ponieważ siła sprężająca jest znana, a zatem również naprężenie sprężające σ_pmo, diagram materiałowy zbrojenia jest używany do określenia zależności naprężeń od odkształceń i można go zapisać jako:

\[{{σ}_{p}}=~{{f}}({{ε}}-{{ε}_{0}})\]

Zakładając, że naprężenie sprężające w zbrojeniu jest niższe od granicy plastyczności (tj. spełnione są warunki określone w EN 1992-1-1, rozdział 5.10.3), odkształcenie początkowe można również obliczyć jako:

\[{{ε}_{0}}=\frac{{{σ}_{pm0}}}{{{E}_{p}}}\]

ε₀ - odkształcenie początkowe od sprężenia
σ_pm0 - naprężenie tuż przed zwolnieniem
E_p - moduł sprężystości zbrojenia sprężającego

Zbrojenie sprężone z przyczepnością charakteryzuje się tym, że jego zakotwienie na końcach jest realizowane przez kilka różnych mechanizmów – adhezję zbrojenia i betonu na poziomie molekularnym, tarcie powstające na styku powierzchni zbrojenia i betonu, mechaniczne wciskanie zbrojenia spiralnego w beton oraz zwiększenie średnicy zbrojenia sprężającego znane jako mechanizm klinowy lub efekt Hoyera. Wymienione efekty są uwzględnione w modelu obliczeniowym CSFM poprzez modyfikację właściwości modelu zakotwienia w strefie końcowej zbrojenia sprężonego z przyczepnością.

Interakcja zbrojenia sprężonego z przyczepnością i betonu: a) zbrojenie spiralne wciskające się w beton; b) efekt Hoyera

Zbrojenie sprężane kablami

Zbrojenie sprężane kablami jest sprężane po zabetonowaniu konstrukcji. Urządzenie sprężające jest podparte bezpośrednio w konstrukcji, co eliminuje straty od odkształcenia sprężystego konstrukcji od sprężenia. Po osiągnięciu żądanej siły sprężającej zbrojenie jest zakotwiane, a następnie kanały kablowe są iniekcjonowane, zapewniając przyczepność zbrojenia do konstrukcji. Przy modelowaniu zbrojenia sprężanego kablami obliczenie jest zatem podzielone na kilka kroków obciążenia – sprężenie, przyłożenie innych obciążeń stałych i przyłożenie obciążeń zmiennych.

Siatka elementów skończonych betonu z dołączonymi jednowymiarowymi elementami zbrojenia sprężającego:

Krok obciążenia „sprężenie"

Podczas sprężania zbrojenia sztywność zbrojenia nie jest włączana do sztywności konstrukcji. W tym kroku obciążenia sztywność elementu liniowego nie jest uwzględniana w modelu; elementy zbrojenia są zastępowane obciążeniem zastępczym odpowiadającym naprężeniu sprężającemu i polu zbrojenia, jak pokazano na powyższym rysunku. Po osiągnięciu pełnego obciążenia od sprężenia i zbieżności tego kroku obciążenia odczytywane jest odkształcenie konkretnego elementu liniowego; na podstawie odkształcenia wyznaczane jest odkształcenie początkowe ε₀ poszczególnych elementów liniowych zbrojenia sprężającego.

Naprężenie sprężające można zdefiniować ręcznie wzdłuż długości zbrojenia lub obliczyć automatycznie na podstawie geometrii zbrojenia. Jeśli wybrano automatyczne obliczanie strat, uwzględniane są straty od tarcia (zgodnie z EN 1992-1-1, 5.10.5.2 lub ACI 318-19, 20.3.2) oraz poślizg zbrojenia (wciskanie klinów kotwiących) podczas kotwienia. Ponieważ całe zbrojenie sprężające jest przykładane w jednym kroku, straty od kolejnego sprężania nie są uwzględniane.

Kolejne kroki obciążenia z uwzględnionym zbrojeniem sprężającym

W kolejnych krokach obciążenia (przyłożenie innych obciążeń stałych i zmiennych) stosowana jest ta sama procedura co dla zbrojenia sprężonego z przyczepnością. Uwzględniana jest pełna sztywność zbrojenia sprężającego, uwzględniana jest przyczepność między zbrojeniem a otaczającym betonem, a wykres naprężenie-odkształcenie zbrojenia sprężającego jest modyfikowany przez odkształcenie początkowe ε₀. Odkształcenie to jest różne dla każdego elementu i zostało uzyskane z poprzedniego kroku obciążenia „sprężenie". Dzięki przyczepności zbrojenia do betonu zmiana sprężenia wynikająca z odkształcenia sprężystego konstrukcji od obciążenia zewnętrznego jest poprawnie uwzględniana w modelu.

Rozpocznij BEZPŁATNY okres próbny

Literatura

ACI Committee 318. 2019. Building Code Requirements for Structural Concrete (ACI 318-19) and Commentary. Farmington Hills, MI: American Concrete Institute.

Alvarez, Manuel. 1998. Einfluss des Verbundverhaltens auf das Verformungsvermögen von Stahlbeton. IBK Bericht 236. Basel: Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zurich, Birkhäuser Verlag.

Beeby, A. W. 1979. "The Prediction of Crack Widths in Hardened Concrete." The Structural Engineer 57A (1): 9–17.

Broms, Bengt B. 1965. "Crack Width and Crack Spacing In Reinforced Concrete Members." ACI Journal Proceedings 62 (10): 1237–56. https://doi.org/10.14359/7742.

Burns, C.. 2012. "Serviceability Analysis of Reinforced Concrete Members Based on the Tension Chord Model." IBK Report Nr. 342, Zurich, Switzerland: ETH Zurich.

Crisfield, M. A. 1997. Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. Wiley.

European Committee for Standardization (CEN). 2015. 1 Eurocode 2: Design of concrete structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings. Brussels: CEN, 2005.

Fernández Ruiz, M., and A. Muttoni. 2007. "On Development of Suitable Stress Fields for Structural Concrete." ACI Structural Journal 104 (4): 495–502.

Kaufmann, W., J. Mata-Falcón, M. Weber, T. Galkovski, D. Thong Tran, J. Kabelac, M. Konecny, J. Navratil, M. Cihal, and P. Komarkova. 2020. "Compatible Stress Field Design Of Structural Concrete. Berlin, Germany."AZ Druck und Datentechnik GmbH, ISBN 978-3-906916-95-8.

Kaufmann, W., and P. Marti. 1998. "Structural Concrete: Cracked Membrane Model." Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467–75. https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467).

Kaufmann, W.. 1998. "Strength and Deformations of Structural Concrete Subjected to In-Plane Shear and Normal Forces." Doctoral dissertation, Basel: Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zürich. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-7612-4.

Konečný, M., J. Kabeláč, and J. Navrátil. 2017. Use of Topology Optimization in Concrete Reinforcement Design. 24. Czech Concrete Days (2017). ČBS ČSSI. https://resources.ideastatica.com/Content/06_Detail/Verification/Articles/Topology_optimization_US.pdf.

Marti, P. 1985. "Truss Models in Detailing." Concrete International 7 (12): 66–73.

Marti, P. 2013. Theory of Structures: Fundamentals, Framed Structures, Plates and Shells. First edition. Berlin, Germany: Wiley Ernst & Sohn.

http://sfx.ethz.ch/sfx_locater?sid=ALEPH:EBI01&genre=book&isbn=9783433029916.

Marti, P., M.Alvarez, W. Kaufmann, and V. Sigrist. 1998. "Tension Chord Model for Structural Concrete." Structural Engineering International 8 (4): 287–298.

https://doi.org/10.2749/101686698780488875.

Mata-Falcón, J. 2015. "Serviceability and Ultimate Behaviour of Dapped-End Beams (In Spanish: Estudio Del Comportamiento En Servicio y Rotura de Los Apoyos a Media Madera)." PhD thesis, Valencia: Universitat Politècnica de València.

Meier, H. 1983. "Berücksichtigung Des Wirklichkeitsnahen Werkstoffverhaltens Beim Standsicherheitsnachweis Turmartiger Stahlbetonbauwerke." Institut für Massivbau, Universität Stuttgart.

Navrátil, J., P. Ševčík, L. Michalčík, P. Foltyn, and J. Kabeláč. 2017. A Solution for Walls and Details of Concrete Structures. 24. Czech Concrete Days.

Schlaich, J., K. Schäfer, and M. Jennewein. 1987a. "Toward a Consistent Design of Structural Concrete." PCI Journal 32 (3): 74–150.

Standards Australia. 2018. Concrete Structures (AS 3600:2018). Sydney, NSW: Standards Australia.

Standards Australia. 2022. Concrete Structures – Commentary (Supplement 1 to AS 3600:2018). Sydney, NSW: Standards Australia.

Vecchio, F.J., and M.P. Collins. 1986. "The Modified Compression Field Theory for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear." ACI Journal 83 (2): 219–31.

Powiązane artykuły

Concrete

Baza wiedzy

CSFM wyjaśnione

Detail 2D

EN (Eurocode)

+15

Concrete

Webinar

Narożniki ram – typowy problem strefy nieciągłości

25.02.2026

Detail 2D

EN (Eurocode)

Concrete

Case study

Donau City Tower 2

12.05.2026

Detail 2D

EN (Eurocode)

IDEA StatiCa Detail – Projektowanie konstrukcyjne nieciągłości betonowych

Nawigacja

Projektowanie konstrukcyjne nieciągłości betonowych w IDEA StatiCa Detail

1 Wprowadzenie do metody CSFM