2.5 Typy elementów skończonych

Nieliniowy (niesprężysty) model analizy metodą elementów skończonych tworzony jest przy użyciu kilku typów elementów skończonych służących do modelowania betonu, zbrojenia oraz przyczepności między nimi. Elementy betonowe i zbrojeniowe są najpierw siatkowane niezależnie, a następnie łączone ze sobą za pomocą więzów wielopunktowych (elementy MPC). Pozwala to na umieszczenie zbrojenia w dowolnym, względnym położeniu w stosunku do betonu. Jeśli ma być przeprowadzona weryfikacja długości zakotwienia, między zbrojeniem a elementami MPC wstawiane są elementy sprężynowe przyczepności i końca zakotwienia.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}\]

Beton

Beton jest modelowany za pomocą czworokątnych i trójkątnych elementów powłokowych CQUAD4 i CTRIA3. Mogą być one definiowane odpowiednio przez cztery lub trzy węzły. W elementach tych przyjmuje się wyłącznie płaski stan naprężeń, tzn. naprężenia i odkształcenia w kierunku z nie są uwzględniane.

Każdy element posiada cztery lub trzy punkty całkowania, rozmieszczone w odległości około 1/4 jego wymiaru. W każdym punkcie całkowania każdego elementu obliczane są kierunki odkształceń głównych α₁, α₂. W obu tych kierunkach naprężenia główne σ_c1, σ_c2 oraz sztywności E₁, E₂ są wyznaczane zgodnie z przyjętym wykresem naprężenie-odkształcenie betonu, jak pokazano na Rys. 2. Należy zaznaczyć, że wpływ efektu compression softening sprzęga zachowanie głównego kierunku ściskanego z aktualnym stanem drugiego kierunku głównego.

Zbrojenie

Pręty zbrojeniowe są modelowane za pomocą dwuwęzłowych jednowymiarowych elementów „prętowych" (CROD), które posiadają jedynie sztywność osiową. Elementy te są połączone ze specjalnymi elementami „przyczepności", opracowanymi w celu modelowania zachowania poślizgu między prętem zbrojeniowym a otaczającym betonem. Elementy przyczepności są następnie łączone za pomocą elementów MPC (więzy wielopunktowe) z siatką reprezentującą beton. Podejście to umożliwia niezależne siatkowanie zbrojenia i betonu, przy jednoczesnym zapewnieniu ich wzajemnego połączenia.

Elementy przyczepności

Długość zakotwienia jest weryfikowana poprzez uwzględnienie w modelu elementów skończonych naprężeń stycznych przyczepności między elementami betonowymi (2D) a elementami prętów zbrojeniowych (1D). W tym celu opracowano typ elementu skończonego „przyczepności".

Definicja elementu przyczepności jest podobna do definicji elementu powłokowego (CQUAD4). Jest on również definiowany przez 4 węzły, jednak w odróżnieniu od powłoki posiada niezerową sztywność jedynie na ścinanie między dwoma górnymi a dwoma dolnymi węzłami. W modelu górne węzły są połączone z elementami reprezentującymi zbrojenie, a dolne z elementami reprezentującymi beton. Zachowanie tego elementu opisuje naprężenie przyczepności τ_b jako dwuliniowa funkcja poślizgu między węzłami górnymi i dolnymi δ_u, patrz Rys. 14.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}\]

Sprężysty moduł sztywności relacji przyczepność-poślizg, G_b, jest definiowany następująco:

\[G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}\]

gdzie:

k_g            współczynnik zależny od powierzchni pręta zbrojeniowego (domyślnie k_g = 0,2)

E_c            moduł sprężystości betonu (przyjmowany jako E_cm w przypadku EN)

Ø             średnica pręta zbrojeniowego

Wartości obliczeniowe (z uwzględnieniem współczynników) granicznego naprężenia stycznego przyczepności f_bd, podane w odpowiednich wybranych normach projektowania EN 1992-1-1 lub ACI 318-19, są stosowane do weryfikacji długości zakotwienia. Wzmocnienie gałęzi plastycznej jest domyślnie obliczane jako G_b/10⁵.

Sprężyna zakotwienia

Zastosowanie zakończeń zakotwień prętów zbrojeniowych (tj. zagięć, haków, pętli…), spełniających wymagania norm projektowania, pozwala na redukcję podstawowej długości zakotwienia prętów (l_b,net) o określony współczynnik β (zwany dalej „współczynnikiem zakotwienia"). Wartość obliczeniowa długości zakotwienia (l_b) jest następnie obliczana w następujący sposób:

\[l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}\]

Zamierzona redukcja l_b,net jest równoważna aktywacji pręta zbrojeniowego na jego końcu przy określonym procencie jego maksymalnej nośności, wyznaczonym przez współczynnik redukcji zakotwienia, jak pokazano na Rys. 15a.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}\]

Redukcja długości zakotwienia jest uwzględniona w modelu elementów skończonych za pomocą elementu sprężynowego na końcu pręta (Rys. 15), który jest definiowany przez model konstytutywny przedstawiony na Rys. 15b. Maksymalna siła przenoszona przez tę sprężynę (F_au) wynosi:

\[F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}\]

gdzie:

β             współczynnik zakotwienia zależny od typu zakotwienia,

A_s            pole przekroju poprzecznego pręta zbrojeniowego,

f_yd           wartość obliczeniowa (z uwzględnieniem współczynników) granicy plastyczności zbrojenia.