CSFM wyjaśnione

W praktyce metody Strut-and-Tie (S&T) i pól naprężeń są standardowo stosowane do projektowania stref nieciągłości w żelbetowych i sprężonych konstrukcjach betonowych. Compatible Stress Field Method (CSFM) została opracowana poprzez rozszerzenie tych klasycznych teorii, umożliwiając wysoki stopień automatyzacji i jest zgodna z normą projektową. Pomimo swojej prostoty, metoda zapewnia bardzo realistyczny opis odpowiedzi konstrukcji betonowej zarówno w stanie granicznym nośności (SGN), jak i stanie granicznym użytkowalności (SGU). CSFM jest zaimplementowana w IDEA StatiCa Detail. 

Rys. 1  a) Ściana z otworami b) Ściana ścinana c) Belka z podcięciami i otworami d) Filar mostu e) Poprzecznica mostu 

Standardowe procedury projektowania przekrojów poprzecznych konstrukcji betonowych mają zastosowanie w częściach, gdzie obowiązuje hipoteza Bernoulliego-Naviera o płaskim rozkładzie odkształceń (region B). Miejsca, w których hipoteza ta nie ma zastosowania, nazywane są strefami nieciągłości (D-Regions). Obejmują one części konstrukcji, w których pojawiają się obciążenia skupione lub gdzie następuje nagła zmiana przekroju, takie jak podcięcia (Rys. 1c), belki wysokie, ściany z otworami (Rys. 1a, 1b) lub wsporniki i głowice palowe. W dziedzinie inżynierii mostowej są to np. głowice filarów (Rys. 1d), poprzecznice (Rys. 1e), dewiatory itp.

1. Metoda Strut and Tie

Podstawowym założeniem przy definiowaniu modelu S&T jest pominięcie wytrzymałości betonu na rozciąganie. Prosty model kratownicowy składa się z elementów pracujących na ściskanie i rozciąganie, reprezentując zachowanie w SGN. Ogólnie nie jest to złożony problem i zdefiniowanie podstawowego modelu S&T (Rys. 2a) nie powinno stanowić trudności dla doświadczonego inżyniera. Jednak nawet dla tego podstawowego zadania prawidłowa ocena modelu zgodnie z normą projektową może być żmudnym, ręcznym i iteracyjnym procesem.

Rys. 2 a) Model S&T wariant 1 b) Model S&T wariant 2 c) Model S&T wariant 

Należy sprawdzić cięgna, strefy węzłowe oraz poprzeczne odkształcenia rozciągające w krzyżulcach. Jeśli model nie przejdzie sprawdzenia normowego, geometria S&T musi zostać skorygowana lub należy wybrać inny model S&T (Rys. 2b, 2c). Często prowadzi to do sytuacji, w której inżynier konstruktor wybiera geometrię modelu S&T tylko raz i sprawdza wyłącznie zbrojenie. Może to prowadzić do istotnego błędu. Wybór modelu jest zawsze kwestią doświadczenia. W przypadku bardziej złożonych detali konstrukcyjnych dobór modelu S&T, który w wystarczającym stopniu odwzorowuje rzeczywiste zachowanie konstrukcji, może nie być tak prosty jak w powyższym przypadku. Ponadto S&T jest metodą przeznaczoną wyłącznie do projektowania stanów granicznych nośności. Nie pozwala na projektowanie stanów granicznych użytkowalności (odkształcenia, zarysowanie), które są krytycznymi kryteriami, szczególnie w konstrukcjach o dużym znaczeniu, gdyż bezpośrednio wpływają na trwałość konstrukcji.

2. Compatible Stress Field Method - CSFM

CSFM jest nowoczesną metodą nieliniową do analizy stref nieciągłości i elementów, których zachowanie można uprościć do płaskiego stanu naprężeń, tj. modelu 2D.  Opiera się jednak nadal na podstawowym i bezpiecznym założeniu norm: beton nie przenosi rozciągania, a całe rozciąganie musi być przenoszone przez zbrojenie. Compatible Stress Field Method (CSFM) jest ewolucją metod S&T i pól naprężeń, eliminując ich główne wady wymienione powyżej: niepewności w wyborze modelu, trudności w automatyzacji oraz niemożność sprawdzania stanów granicznych użytkowalności.

Rys. 3 a) Płaski stan odkształceń b) Naprężenie główne c) CSFM

Zasadę CSFM można wyjaśnić na przykładzie płaskiego stanu naprężeń podstawowego elementu płaskiego żelbetowej konstrukcji. Rys. 3a przedstawia podstawowy element 2D w płaskim stanie naprężeń, znany ze wszystkich podręczników teorii sprężystości i wytrzymałości materiałów. Jest to naprężenie w jednym punkcie konstrukcji, uzyskane np. w wyniku liniowej analizy sprężystej metodą elementów skończonych (MES). Element jest poddany poziomemu naprężeniu normalnemu σ_x, pionowemu naprężeniu normalnemu σ_z oraz naprężeniu ścinającemu τ_xz. Na podstawie tych naprężeń można wyznaczyć tzw. naprężenia główne i ich kierunek określony kątem θ (Rys. 3b). Element jest wówczas poddany głównemu naprężeniu rozciągającemu σ₁ oraz głównemu naprężeniu ściskającemu σ₂.

Jak będzie wyglądać odkształcenie tego samego elementu analizowanego metodą CSFM? Odkształcenie przedstawiono na Rys. 3c. Ściskany beton pojawia się w kierunku głównego naprężenia ściskającego σ₂. Generowane jest pole naprężeń z naprężeniem σ_c2. Jak wspomniano powyżej, podstawowym założeniem jest to, że beton nie przenosi rozciągania. Dlatego poprzeczne główne naprężenie rozciągające σ₁ nie będzie przenoszone przez beton i prostopadle do tego kierunku powstanie rysa. Naprężenie σ_c1r musi zatem wynosić zero. Aby uniknąć zniszczenia rozpatrywanego elementu 2D, całe naprężenie rozciągające musi być przenoszone przez zbrojenie (zaznaczone na niebiesko na Rys. 3c), które musi być częścią modelu obliczeniowego. 

Jeśli analiza naprężeń jest przeprowadzana metodą CSFM w sposób ciągły na całym obszarze 2D poddawanym rozwiązaniu, wynikiem jest ciągłe pole ściskania w betonie oraz naprężenia rozciągające i ściskające w zbrojeniu. Uproszczona graficzna reprezentacja pola naprężeń CSFM przedstawiona jest na Rys. 4. Oprócz stopnia wykorzystania betonu i zbrojenia, rysunek wskazuje również zmienne kierunki obliczonych naprężeń σ_c2 w poszczególnych obszarach.

Rys. 4 Ogólne wyniki z IDEA StatiCa Detail 

Analiza detalu lub konstrukcji przy użyciu CSFM opiera się na metodzie elementów skończonych. Beton jest modelowany za pomocą dwuwymiarowych elementów tarczowych, a zbrojenie za pomocą jednowymiarowych elementów prętowych (Rys. 7). Analiza nie jest przeprowadzana w jednym kroku, ponieważ jest to zagadnienie nieliniowe. Obciążenia są przykładane przyrostowo podczas obliczeń, a rozwiązanie nieliniowego układu równań jest wyznaczane metodą Newtona-Raphsona. 

Fikcyjne rozmyte rysy (ε₁ jest wartością średnią) „tworzą się" prostopadle do kierunku naprężeń głównych, który może się zmieniać podczas obliczeń nieliniowych, gdy element „stopniowo zarysowuje się" wraz z każdym przyrostem obciążenia. Podsumowując, przyjmuje się fikcyjną obracającą się rysę bez naprężeń. 

Wynikiem rozwiązania MES z zastosowaniem CSFM jest zgodne pole naprężeń (tj. beton w modelu nie rozpada się na pojedyncze niezależnie działające krzyżulce ściskane) oraz stan odkształceń, które są ciągłe w całej rozwiązywanej dziedzinie 2D. Jest to istotna zaleta w porównaniu z klasycznymi podejściami S&T i umożliwia automatyzację oraz udoskonalenie modelu obliczeniowego, jak opisano w kolejnych akapitach.

Rys. 5 Zasada compression softening betonu

Prosta postać CSFM pozwala na zastosowanie standardowego jednoosiowego paraboliczno-prostokątnego wykresu naprężenie-odkształcenie dla betonu ściskanego zgodnie z normą projektową. Jak wiadomo, wytrzymałość betonu na ściskanie maleje, gdy beton jest uszkodzony przez poprzeczne rysy (Rys. 5). Ten tzw. efekt compression softening jest uwzględniony w metodzie poprzez automatyczne przyjmowanie efektywnej wytrzymałości betonu na ściskanie. 

Na podstawie poziomu poprzecznych odkształceń rozciągających ε₁ wyznaczany jest współczynnik redukcyjny k_c i korygowany jest wykres naprężenie-odkształcenie betonu (Rys. 5). Ponieważ pole odkształceń w całej konstrukcji jest znane, efektywna wytrzymałość betonu na ściskanie może być obliczana automatycznie w poszczególnych przekrojach w zależności od lokalnego poziomu poprzecznych odkształceń rozciągających ε₁.

Rys. 6 Zasada tension stiffening

Ponadto CSFM uwzględnia efekt usztywnienia rozciąganego betonu między rysami na zbrojenie, tzw. tension stiffening. W modelu obliczeniowym stosowane jest średnie odkształcenie zbrojenia ε_m. Następnie modyfikowany jest wykres naprężenie-odkształcenie zbrojenia (Rys. 6). Pozwala to na realistyczne odwzorowanie sztywności żelbetowej konstrukcji uszkodzonej przez rysy. Nadal jednak obowiązuje zasada, że wytrzymałość betonu na rozciąganie nie przyczynia się do nośności granicznej. Dla projektowania krytyczne jest maksymalne naprężenie w zbrojeniu σ_sr w rysach (Rys. 6).

CSFM wykorzystuje powszechne jednoosiowe modele materiałowe (wykresy naprężenie-odkształcenie) zdefiniowane w normach projektowych. Do sprawdzenia SGN stosuje się następnie standardowe podejście metodą częściowych współczynników bezpieczeństwa. Prostota metody sprawia, że jest ona odpowiednia dla praktyki inżynierskiej i jest zgodna z normami projektowymi. 

Mimo że jest to nieliniowa analiza MES, inżynier konstruktor nie musi wprowadzać do obliczeń dodatkowych właściwości materiałowych i charakterystyk betonu, które mogą nie być dostępne na etapie projektowania i które są niezbędne np. w nieliniowych analizach MES opartych na mechanice pękania. Jak już wskazano, istotną zaletą analizy CSFM, oprócz stanów granicznych nośności, jest możliwość sprawdzania stanów granicznych użytkowalności: ugięć, ograniczeń naprężeń, a w szczególności szerokości rys.

Rys. 7 Przykład reprezentacji modelu elementów skończonych w IDEA StatiCa Detail

(Rys. 7) Model MES w CSFM składa się z kilku typów elementów skończonych:

• Element 1D o osiowej sztywności dla zbrojenia
• Izoparametryczny element 2D dla betonu
• Sprężyny końcowe dla modelu zakotwienia zbrojenia z obróbką końców
• Specjalny element 2D do modelowania przyczepności między zbrojeniem a betonem
• Sztywne i interpolacyjne więzy (Multi-Point Constraints, MPC) między elementami przyczepności a betonem

Jeśli zaprojektowane zbrojenie zapobiega kruchemu zniszczeniu elementu, wykazano, że CSFM daje bardzo dobre prognozy odpowiedzi i nośności granicznej konstrukcji, mimo prostoty sformułowania. Innymi słowy, metoda nie jest odpowiednia np. do projektowania belek bez poprzecznego zbrojenia na ścinanie, które wykazują potencjalnie kruche zachowanie. Weryfikacje metody, w tym badania doświadczalne, podano w [1]. Bardziej szczegółowy opis metody wykracza poza zakres niniejszego artykułu i można go znaleźć również w Podstawach Teoretycznych.

Jest oczywiste, że zasady CSFM mają charakter ogólny, a zatem jej zastosowanie nie ogranicza się do stref nieciągłości, lecz może być stosowana do modelowania całych elementów, np. prefabrykowanych dźwigarów, oraz wszędzie tam, gdzie element można uprościć do płaskiego modelu 2D. Metoda i jej implementacja w oprogramowaniu (IDEA StatiCa Detail) zostały również rozszerzone o możliwość definiowania zbrojenia sprężonego i sprężanego kablami.

3. Przykład projektowania głowicy filara

Praktyczne zastosowanie CSFM przedstawiono na przykładzie projektowania głowicy filara mostowego na Rys. 8. Jest to drugi filar ciągłego mostu o trzech przęsłach 30,0 m, 42,0 m i 30,0 m. Głowica żelbetowego filara jest zaprojektowana w betonie C40/50, a jej grubość (w kierunku podłużnym mostu) wynosi 2,0 m.

Rys. 8 Głowica filara: a) Zbiorcze wyniki projektowania; b) Naprężenia ściskające w betonie w SGN; c) Naprężenia rozciągające w zbrojeniu w SGN; d) Szerokość rys w SGU

Na szczycie głowicy filara zaprojektowano najpierw poprzeczną belkę ze zbrojenia B500 20xϕ28+20xϕ25 – cztery górne warstwy. Rysunek 8a przedstawia zbiorcze wyniki projektowania w stanie granicznym nośności, pokazując naprężenia ściskające w betonie, kierunki naprężeń ściskających oraz naprężenia w zbrojeniu. Bardziej szczegółowy rozkład naprężeń w betonie i zbrojeniu udokumentowano na Rys. 8b i 8c. Zbrojenie poprzeczne jest tuż poniżej granicy plastyczności, a naprężenia w betonie (i względne odkształcenia) są zadowalające w SGN. Jednak wynik obliczeń szerokości rys (Rys. 8d) wskazuje, że projekt nie spełnia wymagań w SGU: w_max = 0,36 mm > w_lim = 0,3 mm. Aby spełnić graniczną szerokość rys, konieczne jest zwiększenie zbrojenia belki poprzecznej do 20xϕ32+20xϕ28. W przypadku w_lim = 0,2 mm (np. filar w pobliżu drogi generującej rozprysk soli, klasa oddziaływania środowiska XF2), zbrojenie belki poprzecznej musiałoby zostać zwiększone nawet do 24xϕ32+24xϕ28.

Podsumowanie

CSFM jest odpowiednia dla praktyki inżynierskiej, ponieważ wykorzystuje proste modele materiałowe zdefiniowane w normie projektowej. Oprócz stanów granicznych nośności umożliwia również projektowanie stanów granicznych użytkowalności, których sprawdzenie było wcześniej trudne do wyobrażenia przy stosowaniu modeli S&T. Dzięki implementacji metody w IDEA StatiCa Detail możliwe jest realistyczne odwzorowanie odpowiedzi konstrukcji oraz efektywne i bezpieczne projektowanie i sprawdzanie stref nieciągłości i większych układów konstrukcyjnych.

CSFM została opracowana głównie dzięki pracom Profesora Waltera Kaufmanna, kierownika Katedry Inżynierii Konstrukcji Szwajcarskiego Federalnego Instytutu Technologicznego (ETH) w Zurychu. On i jego zespół zweryfikowali metodę i jej implementację w oprogramowaniu.

Literatura

[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,

[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)

[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.:  Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404

Autor

Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.

IDEA StatiCa s.r.o.