Momenty skręcające i spaczenie

Elementy o niezerowej stałej spaczenia, \(I_w\), obciążone w sposób inny niż dwoma identycznymi momentami skręcającymi na końcach, ulegają spaczeniu pod wpływem skręcania.

Elementy w IDEA StatiCa Connection mają swoje operacje wytwórcze, a za nimi domyślnie 1,25*h elementów powłokowych + 4*h elementów skondensowanych; patrz artykuł o automatycznej długości elementu. Ich długość nie jest zatem pomijalnie mała, lecz sięga około jednej trzeciej typowego rozpiętości elementu stalowego.

Gdy przyłożone jest skręcanie – czy to bezpośrednio przez wprowadzenie Mx, czy przez przyłożenie siły poprzecznej do elementu niesymetrycznego, np. ceownika lub kątownika – rozwijają się naprężenia od spaczenia.

Skręcanie powoduje:

• skręcanie swobodne (St. Venant), \(T_t\) 
• skręcanie od spaczenia, \(T_w\)
• bimoment, \(B\)

A te z kolei wywołują naprężenia:

• naprężenie ścinające od skręcania swobodnego (St. Venant), \(\tau_{t}\)
• naprężenie ścinające od skręcania ze spaczeniem, \(\tau_w\)
• naprężenie normalne od bimomentu, \(\sigma_w\)

Siły można wyznaczyć, rozwiązując równanie różniczkowe:

\[EI_w\varphi^{IV}-GI_t\varphi^{II}=m\]

gdzie:

• \(E\) – moduł sprężystości przy rozciąganiu i ściskaniu
• \(G\) – moduł sprężystości przy ścinaniu
• \(I_w\) – stała spaczenia
• \(I_t\) – stała skręcania
• \(\varphi\) – obrót
• \(m\) – moment skręcający

Rozwiązania są znane dla idealnych warunków brzegowych, np. utwierdzenia lub wolnego końca.

Górną granicą naprężeń normalnych od bimomentu dla elementów w IDEA StatiCa Connection jest warunek utwierdzenia na jednym końcu i wolnego końca, na którym przyłożone jest obciążenie (skręcanie).

Dla tego warunku:

\[T_t=M \left ( 1-\frac{{\cosh} K_t (1-x/L)}{{\cosh}K_t} \right )\]

\[T_w = M \frac{{\cosh} K_t (1-x/L)}{{\cosh} K_t}\]

\[B=-\frac{ML}{K_t}\frac{{\sinh} K_t (1-x/L)}{{\cosh} K_t}\]

gdzie:

• \(M\) – moment skręcający przyłożony na końcu elementu (Mx zadany w IDEA StatiCa Connection lub siła poprzeczna V pomnożona przez odległość między środkiem ścinania a środkiem ciężkości)
• \(K_t = L \sqrt{\frac{GI_t}{EI_w}}\)
• \(L\) – długość elementu (wspornika)

Oto przykład naprawdę sztywnego połączenia:

Słup jest obciążony momentem skręcającym \(M_x = 30\,\textrm{kNm}\). Mimo że płyta podstawy jest bardzo gruba, nadal nieznacznie odkształca się wskutek spaczenia słupa. Powoduje to siły rozciągające w kotwach i naprężenia ściskające w betonie. Oznacza to, że utwierdzenie spaczenia nadal nie jest doskonałe. Nie można jednak oczekiwać czegoś takiego w rzeczywistości.

Korzystając z analizy zmęczenia materiału, można wykreślić naprężenia normalne i ścinające w pobliżu spoiny czołowej (w odległości 0,5 grubości gardła spoiny):

Porównajmy naprężenia z rozwiązaniem analitycznym. Korzystając z podanych powyżej wzorów, siły wynoszą:

Odpowiadające naprężenia w pasie słupa można obliczyć:

\[\tau_t=T_t \frac{t_f}{I_t}\]

\[\tau_w= T_w \frac{S_{\omega,max}}{I_w t_f} \]

\[\sigma_w=B \frac{\omega}{I_w}\]

Szczytowe naprężenie normalne od spaczenia w miejscu płyty podstawy (oś podłużna elementu = 0 na wykresach) osiąga 314 MPa, co jest nieznacznie wyższe od wyników uzyskanych w IDEA StatiCa. Różnica ta wynika z niedoskonałego utwierdzenia spaczenia. Naprężenia ścinające w miejscu połączenia elementu (w tym przypadku płyty podstawy słupa) są pomijalnie małe. 

Rozkład naprężeń wzdłuż przekroju od skręcania i spaczenia można zobaczyć w edytorze przekrojów ogólnych:

Przykład z praktyki inżynierskiej może być trudniejszy do wyjaśnienia. Zmieńmy grubość płyty podstawy na 30 mm i zastosujmy tylko cztery kotwy M36 8.8:

Teraz płyta podstawy odkształca się znacząco, naprężenia w betonie nie są pomijalnie małe, a siła w kotwach jest bardzo duża – blisko 140 kN (w porównaniu z \(N_{Rd,s} = 370.4\, \textrm{kN}\) wyznaczonym według EN 1992-4). Naprężenia normalne od spaczenia nie są już liniowe jak w rozwiązaniu analitycznym, ze względu na odkształcenie płyty podstawy. Nieco zaskakująco, szczytowe naprężenie 314 MPa jest faktycznie równe rozwiązaniu analitycznemu.

Wnioski

Inżynierowie mają tendencję do pomijania efektów skręcania, zwłaszcza spaczenia, lub unikania ich, np. przez stosowanie przekrojów zamkniętych. Należy zauważyć, że oprogramowanie wykorzystujące elementy 1D zazwyczaj ma sześć stopni swobody (3 przemieszczenia, 3 obroty), a do uwzględnienia spaczenia potrzebny byłby siódmy. Elementy 1D z siedmioma stopniami swobody są dostępne np. w LTBeam lub Consteel. Nawet wówczas trudno jest określić, w jaki sposób spaczenie jest przenoszone przez połączenia z jednego elementu na drugi. Niemniej spaczenie jest rzeczywistym zjawiskiem, a przekroje otwarte są bardzo podatne na jego skutki. 

Należy zachować ostrożność przy przykładaniu skręcania do elementów o przekroju otwartym. Gdy taki element nie spełnia warunków nośności w IDEA StatiCa Connection, powinno to być sygnałem ostrzegawczym dla inżyniera. Skręcanie wraz ze spaczeniem powinno być oceniane w projektowaniu elementów, np. przy użyciu IDEA StatiCa Member z rzeczywistą długością elementu i siłami przyłożonymi we właściwych miejscach.