Abordarea rigidității directe

Motivație

O înțelegere profundă a Analizei prin Metoda Elementelor Finite (FEA) este esențială atât pentru asigurarea unor date de intrare corecte, cât și pentru prezentarea rezultatelor în mod adecvat. Obiectivul principal al acestui articol este de a explica modul în care matricea este asamblată în fundal de orice software FEA și modul în care rigiditatea la rotație poate influența comportamentul global al unei structuri. Acest articol servește drept condiție prealabilă pentru un articol viitor, în care toate concluziile vor fi aplicate unei structuri utilizând IDEA StatiCa Connection.

Abordarea rigidității directe – îmbinări rigide

Să analizăm exemplul simplu al unei structuri prezentate în figura 1. Structura este alcătuită dintr-un stâlp și o grindă cu proprietăți identice ale secțiunii transversale HEA 200. Fiecare nod are trei grade de libertate, incluzând două translații (X și Z) și o rotație (Ry). Spațiul de lucru este 2D. Materialul este oțel cu un modul de elasticitate de 200.000 MPa.

01) Model cu arc – SCG, geometrie, axonometrie + secțiuni HEA 200

Matricea de rigiditate locală

Matricea de rigiditate guvernează relația dintre variația deplasărilor (și rotațiilor) la capetele grinzii și forțele corespunzătoare (reacțiuni). Este de remarcat că fiecare nod din spațiul de lucru 2D are trei grade de libertate (două translații și o rotație), rezultând o matrice locală cu dimensiunile 6x6. Această matrice reprezintă rigiditatea normală, rigiditatea la forfecare și rigiditatea la încovoiere a elementului.

02) Matricea de rigiditate locală a tuturor elementelor

Matricea de transformare

În 90% dintre structuri, matricea de rigiditate locală a elementelor nu este aliniată cu sistemul de coordonate global. Doar grinzile simple aliniate pe o linie dreaptă au același Sistem de Coordonate Local (SCL) și Sistem de Coordonate Global (SCG). În cazul nostru, al treilea element este rotit cu 90 de grade în jurul nodului doi. Această transformare este necesară pentru calculele ulterioare.

03) Matricea de transformare pentru elementele 1, 2; Matricea de transformare pentru elementul 3

Transformarea în sistemul de coordonate global

Pentru un calcul precis al deplasărilor, este esențial să se alinieze sistemele de coordonate ale tuturor elementelor implicate. O modalitate de a realiza acest lucru este utilizarea unei matrice de transformare, care simplifică procesul și permite o tranziție fluidă către calculul deplasărilor. Transformarea nu modifică matricea pentru elementele unu și doi, deoarece sistemul lor de coordonate local este același cu cel global. Cu toate acestea, se poate observa o modificare la elementul trei, care este rotit cu aproximativ 90 de grade. Intrările pentru translațiile X și Z sunt modificate. Se pot observa valori mici nenule în matrice. Acestea provin din procesul numeric, dar, deoarece sunt relativ mici față de rigiditatea globală, nu afectează rezultatele în mod semnificativ.

04) Matricea globală pentru elementele 1, 2; Matricea globală pentru elementul 3

Matricea globală – sumare

Există patru noduri, iar fiecare nod are trei grade de libertate. Aceasta înseamnă că matricea rezultantă are dimensiunile 12x12. Partea esențială a procesului constă în adunarea valorilor din coloanele și rândurile matricelor individuale în matricea globală.

05) Matricea de rigiditate globală a întregului sistem

Condiții la limită și vectorul de încărcare

Fără condiții la limită, sistemul este subdeterminat (și se poate obține doar soluția trivială). În acest scenariu, se consideră constrângeri fixe la nodurile unu și trei. Deplasările (și rotațiile) la limită egale cu zero pot fi reprezentate prin eliminarea rândurilor și coloanelor corespunzătoare. Soluția este trivială dacă nu se aplică forțe (deplasări nule). În exemplul nostru, nodul patru este supus unei forțe verticale de 50 kN.

06) Matricea redusă, vectorul de încărcare și condițiile la limită aplicate

Soluție

Luând în considerare deformații mici și material liniar elastic, putem rezolva cu ușurință vectorul deplasărilor necunoscute într-un singur pas. Această abordare este rapidă și foarte eficientă, constituind o metodă convenabilă pentru rezolvarea problemelor legate de deplasări.

07) Deplasările nodale în SCG

Verificare FEA

Dat fiind că valorile furnizate pentru noduri sunt precise, este imperativ ca rezultatele analizei prin metoda elementelor finite (FEA) să corespundă exact cu cele ale abordării rigidității directe (DSA). Această cerință asigură că rezultatele analitice sunt consistente cu comportamentul real al sistemului studiat. Prin urmare, este esențial să se verifice că rezultatele FEA și DSA coincid în limitele unui nivel acceptabil de toleranță.

08) Verificarea și compararea deplasărilor nodale între DSA și FEA

Abordarea rigidității directe – îmbinări semi-rigide

Este esențial să se înțeleagă că îmbinările sunt în mod tipic semi-rigide și nu complet rigide sau articulate. Neglijarea rigidității unei îmbinări poate conduce la un comportament al structurii în model diferit față de cel al structurii reale. Să analizăm modul în care rigiditatea este luată în considerare în calcule și cum influențează comportamentul structurii.

Arc rotațional și structuri civile

Structurile metalice civile, precum hale și cadre, sunt proiectate să preia eficient încărcările din încovoiere transferate de grinzi. Când grinda este încărcată și structura este hiperstatică, rigiditatea la rotație a îmbinării joacă un rol esențial în asigurarea redistribuirii corecte a încărcărilor și a deformațiilor precise. De aceea, este important să se mențină integritatea structurală a îmbinării pentru a preveni eventualele deteriorări ale structurii.

09) Arc rotațional – matricea locală

Pentru a asigura compatibilitatea într-o îmbinare, este important să se cupleze deformațiile. Această cuplare trebuie inclusă în matricea de rigiditate globală pentru calculul deformațiilor. Când se aplică rigiditatea la rotație, celelalte grade de libertate trebuie incluse ca un rând și o coloană suplimentare în matricea de rigiditate globală. Matricea finală pentru acest tip de îmbinare va avea dimensiunea 13x13, în timp ce matricea pentru o îmbinare rigidă va avea dimensiunea 12x12.

Impactul rigidității la rotație

Rigiditatea la rotație a unei structuri are un impact semnificativ asupra modului în care forțele sunt distribuite și deformațiile se produc. Aceasta înseamnă că o structură cu rigiditate la rotație se va comporta diferit față de o structură cu îmbinări rigide sau articulate. Dacă rigiditatea este mărită disproporționat, aceasta poate conduce la modificări suplimentare ale comportamentului structurii. În acest scenariu, vom explora efectele creșterii rigidității la rotație. Modelul utilizat provine din capitolul anterior, iar arcul rotațional este atașat la capătul (j) al elementului unu.

 10) Deformații pentru diferite valori ale rigidității la rotație

Graficul indică faptul că, în anumite intervale de rigiditate, deformația variază în mod multiliniar pentru o îmbinare semi-rigidă. Pentru îmbinările semi-rigide, subestimarea sau supraestimarea rigidității conduce la diferențe semnificative în săgeți și la redistribuirea eforturilor interioare. 

 11) Grafic rigiditate – deformație 

 12) Zone de rigiditate pentru îmbinări

Concluzii și subiecte viitoare

Pentru a asigura succesul studiului nostru viitor, trebuie mai întâi să dobândiți o înțelegere profundă a problemei în cauză. Numai atunci puteți avansa cu încredere și scop. Studiul nostru este dedicat explorării unei game de subiecte importante relevante pentru problema investigată. Prin cercetare și analiză atentă, sperăm să aducem o nouă perspectivă asupra acestei probleme complexe și provocatoare și să contribuim în cele din urmă la o mai bună înțelegere a acestui domeniu important de studiu.

• Cum se calculează rigiditatea la rotație în IDEA StatiCa
• Cum se utilizează rigiditatea pentru mai multe elemente într-un instrument FEA
• Verificarea rigidității la rotație între IDEA StatiCa și ABAQUS pentru o îmbinare placă la placă