4.3 Posouzení mezních stavů únosnosti

Různá posouzení požadovaná normou EN 1992-1-1 jsou vyhodnocována na základě přímých výsledků poskytnutých modelem. Posouzení na MSÚ se provádí pro pevnost betonu, pevnost vyztužení a kotvení (smykové napětí v soudržnosti).

Pevnost - Beton

Pevnost betonu v tlaku je vyhodnocována jako poměr mezi maximálním ekvivalentním hlavním napětím σ_c,eq získaným z analýzy MKP a limitní hodnotou σ_c,lim = f_cd.

Ekvivalentní hlavní napětí vyjadřuje ekvivalentní jednoosé napětí pro obecný trojosý stav napjatosti.

\[\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}\]

Hodnotu σ_c,eq lze tedy přímo porovnat s limity jednoosé pevnosti podle EN 1992-1-1 čl. 3.1.7 (1).

Tento výraz je odvozen z implementace teorie plasticity Mohr-Coulomb, přičemž se konzervativně předpokládá úhel vnitřního tření φ = 0°.

Pevnost - Vyztužení

Pevnost vyztužení je vyhodnocována jak v tahu, tak v tlaku jako poměr mezi napětím ve vyztužení v trhlinách σ_sr a stanovenou limitní hodnotou σ_s,lim:

\(σ_{s,lim} = \dfrac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}\)

\(σ_{s,lim} = \dfrac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}\)

kde:

f_yk        je mez kluzu vyztužení podle EN 1992-1-1 čl. 3.2.3,

k          je poměr pevnosti v tahu f_tk k mezi kluzu,
            \(k = \dfrac{f_{tk}}{f_{yk}}\)

γ_s             je dílčí součinitel spolehlivosti pro vyztužení.

Pevnost - Kotvy

Kotvy jsou posuzovány na normálová napětí obdobným způsobem jako vyztužení, přičemž se stanovuje limitní hodnota σ_s,lim.

Kromě toho jsou pro kotvy stanoveny hodnoty N_Ed a V_Ed, které jsou porovnávány s N_Rd,s a V_Rd,s podle zvolené normy. Norma se volí v závislosti na typu kotvy použité v nastavení projektu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Anchor check - Design code selection}}}\]

Protože různé normy volí různé přístupy k posouzení kotev, může uživatel zvolit následující normy pro jednotlivé typy kotev:

• Kotvy ze šroubového materiálu v tahu a/nebo smyku – EN 1992-4, EN 1993-1-8
• Spřahovací trny v tahu a/nebo smyku – EN 1992-4, EN 1994-1-1
• Kotvy v tahu a/nebo smyku – EN 1992-4, EN 1992-1-1
• Kotvy v tlaku a/nebo ohybu – EN 1993-1-1

Posouzení na tah podle EN 1992-4 - 7.2.1.3

\[N_{Rd,s} = \frac{c \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}\]

kde:

• c – redukce pro řezaný závit  
• f_uk – minimální pevnost šroubu v tahu
• A_s – plocha průřezu kotevního šroubu v tahu (redukovaná závitem v případě šroubového materiálu)
• \(\gamma_{Ms} = 1.2 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.4\) – dílčí součinitel spolehlivosti pro ocel 
• f_yk – minimální mez kluzu šroubu

Posouzení na tah podle EN 1993-1-8 - 3.6.1

\[N_{Rd,s} = F_{t.Rd} = \frac{c \cdot k_2 \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}\] 

kde:

• c – snížení tahové únosnosti šroubů s řezaným závitem podle EN 1993-1-8 – čl. 3.6.1. (3) 
• k₂ = 0,9 – součinitel pro kotvy bez zapuštěné hlavy 
• f_ub – pevnost kotevního šroubu v tahu 
• A_s – plocha průřezu kotevního šroubu v tahu (redukovaná závitem v případě šroubového materiálu)
• γ_M2 = 1,25 – dílčí součinitel spolehlivosti pro šrouby (EN 1993-1-8, Tabulka 2.1) 

Posouzení na tah podle EN 1992-1-1 - 3.2.7

\[N_{Rd,s} = \frac{kf_{yk}}{\gamma_{S}}\]

kde:

• \(k=(f_{t}/f_{y})\) je uvedeno v příloze C
• f_yk – charakteristická mez kluzu
• γ_M2 = 1,15 – dílčí součinitel spolehlivosti pro vyztužení

Posouzení na tlak podle EN 1993-1-1 - 6.3

Používá se pro všechny kotvy namáhané normálovou tlakovou silou, bez ohledu na jejich materiál nebo typ uložení. 

\[F_{c,Rd}=\frac{\chi\,A_s f_y}{\gamma_{M2}}\]

kde:

• \(\chi=\dfrac{1}{\Phi+\sqrt{\Phi^2-\bar{\lambda}^2}}\le 1\) – součinitel snížení únosnosti při boulení
• \(\Phi=0.5\left[1+\alpha\left(\bar{\lambda}-0.2\right)+\bar{\lambda}^2\right]\) – hodnota pro stanovení součinitele snížení únosnosti při boulení χ
• \(\alpha=0.49\) – součinitel imperfekce pro křivku boulení c (odpovídající plnému kruhu)
• \(\bar{\lambda}=\sqrt{\dfrac{A_s f_y}{N_{cr}}}\) – poměrná štíhlost
  • A_s – plocha kotvy redukovaná závitem
• \(N_{cr}=\dfrac{\pi^2 E I}{L_{cr}^2}\)  – Eulerova kritická síla
• \(I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}\) – moment setrvačnosti šroubu
  • d_s – průměr kotvy redukovaný závitem
• \(L_{cr}=2\,l\)  – vzpěrná délka; na bezpečné straně se předpokládá, že šroub je vetknut do betonu a může se volně otáčet u patní desky 
• \(l=l_{a}\) – délka prvku kotvy rovná polovině tloušťky patní desky + mezera + polovina průměru šroubu; na bezpečné straně se předpokládá, že podložka a matice nejsou přitlačeny k povrchu betonu (ETAG 001 – příloha C – čl. 4.2.2.4), viz obrázek 34.

Posouzení na smyk podle EN 1992-4 - 7.2.2.3

Pro uložení = přímé se předpokládá smyk bez ramene síly (EN 1992-4 – čl. 7.2.2.3.1):

\[V_{Rd,s} = \frac{k_6 \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}\]

Pro uložení = maltové lože se předpokládá smyk s ramenem síly (EN 1992-4 – čl. 7.2.2.3.2):

\[V_{Rd,s} = \frac{\alpha_M \cdot M_{Rk,s}}{\gamma_{Ms} \cdot l_a}\]

kde:

• k₆ = 0,6 pro kotvy s f_uk ≤ 500 MPa; k₆ = 0,5 jinak
• A_s – smyková plocha kotvy redukovaná závitem
• f_uk – pevnost kotevního šroubu
• α_M = 2 – předpokládá se plné vetknutí (EN 1992-4 – čl. 6.2.2.3)
• \(M_{Rk,s} = M^{0}_{Rk,s} \left(1 - \dfrac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)\) – charakteristická ohybová únosnost kotvy snížená o tahovou sílu v kotvě
•  \(M^{0}_{Rk,s} = 1.2 \cdot W_{el} \cdot f_{ub}\) – charakteristická ohybová únosnost kotvy (ETAG 001, příloha C – rovnice (5.5b))
• \(W_{el} = \dfrac{\pi d^{3}}{32}\) – průřezový modul kotvy
• d – průměr kotevního šroubu; je-li zvolena smyková rovina v závitu (což je vždy případ závitové tyče), použije se průměr redukovaný závitem; jinak se použije jmenovitý průměr, d_nom
• N_Ed – tahová síla v kotvě
• N_Rd,s – tahová únosnost kotvy
• \(l_{a} = 0.5\, d_{\mathrm{nom}} + t_{\mathrm{mortar}} + 0.5\, t_{\mathrm{bp}}\) – rameno síly
• t_mortar – tloušťka malty (zálivky)
• t_bp – tloušťka patní desky
• \(\gamma_{Ms} = 1.0 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.25\) pro \(f_{uk} \le 800 \text{ MPa}\) a  \(\dfrac{f_{yk}}{f_{uk}} \le 0.8\); γ_Ms = 1,5 jinak – dílčí součinitel spolehlivosti pro porušení oceli (EN 1992-4 – Tabulka 4.1)

Posouzení na smyk podle EN 1993-1-8 - 6.2.2

Smyková ocelová únosnost kotvy se stanovuje podle EN 1993-1-8 – 6.2.2 (7) bez ohledu na přímé nebo maltové lože uložení. Pevnost a tloušťka zálivky musí odpovídat čl. 6.2.5 (7).

\[V_{Rd,s} = F_{v,b,Rd} = \min \left\{ F_{1v,b,Rd} ,\, F_{2v,b,Rd} \right\}\]

kde:

\[F_{1v,b,Rd} = \frac{\alpha_v \cdot f_{ub} \cdot A}{\gamma_{M2}}\]

• α_v = 0,6 pro třídy 4.6, 5.6, 8.8 a 0,5 pro třídy 4.8, 5.8, 6.8, 10.9
• f_ub – pevnost šroubového materiálu v tahu
• A – plocha průřezu šroubu v tahu, A = A_s, kde As je plocha průřezu šroubu v tahu (redukovaná závitem)
• γ_M2 – součinitel spolehlivosti – EN 1993-1-8 – Tabulka 2.1

\[F_{2v,b,Rd} = \frac{\alpha_b \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}\]

• ​ \(\alpha_b = 0.44 - 0.0003\, f_{yb}\)
• α_b je součinitel závisející na mezi kluzu kotevního šroubu
• f_yb – mez kluzu kotvy; 235 MPa ≤ f_yb ​≤ 640 MPa
• f_ub – pevnost kotvy v tahu 
• A_s – plocha průřezu v tahu (redukovaná závitem)

Posouzení na smyk podle EN 1993-1-1 - 6.2.6

Tato normová posouzení se vztahují na kotvy připojené k patní desce s mezerou nebo na přímo zatíženou kotvu s vyčnívající délkou větší než 0,5násobek jejich průměru.

\[V_{pl,Rd}=\frac{A_v f_y/\sqrt{3}}{\gamma_{M2}}\]

kde:

• A_V = 0,844 A_s – smyková plocha
• A_s – plocha šroubu redukovaná závitem
• f_y – mez kluzu šroubu
• γ_M2 – dílčí součinitel spolehlivosti (definovaný v nastavení projektu)

Posouzení na smyk podle EN 1994-1-1 - 6.6.3.1

\[V_{Rd,s} = P_{Rd} = \frac{0.8 \, f_u \, \pi \, d^2}{4 \, \gamma_v}\]

kde:

• γ_v je dílčí součinitel spolehlivosti pro spřažení podle EN 1994-1-1 čl. 2.4.1.2. Doporučená hodnota γ_v je 1,25
• d je průměr dříku trnu, 16 mm ≤ d ≤ 25 mm;
• f_u je stanovená pevnost materiálu trnu v tahu, nejvýše však 500 MPa.

V EN 1994-1-1 čl. 6.6.3.1 je rovněž uvedena rovnice (6.19), která omezuje smykovou únosnost trnu prostřednictvím únosnosti betonu při protlačení (otlačení). V IDEA StatiCa Detail tento způsob porušení není posuzován samostatným normovým vzorcem v postprocesingu. Místo toho je zahrnut přímo do nelineární analýzy metodou konečných prvků jako kritérium zastavení: analýza je ukončena dříve, než smyková síla v kotvě dosáhne odpovídající hodnoty P_Rd
z rovnice (6.19). Tento přístup je použit proto, že rovnice (6.19) platí pouze pro spřahovací trny přivařené k ocelovému plechu a pro průměry trnů v rozsahu 16 mm ≤ d ≤ 25 mm, jak je uvedeno v čl. 6.6.3.1.

Pro pokrytí širšího rozsahu praktických případů byla vytvořena série 3D referenčních modelů v programu Abaqus s průměry kotev od 8 mm do 50 mm a pevnostními třídami betonu od C16/20 do C50/60. Trny byly modelovány buď tuhým přivařením k patní desce, nebo kloubovým spojením. Materiálové modely a parametry kontaktu v Detail byly následně kalibrovány na základě těchto simulací v Abaqus, které byly samy ověřeny vůči rovnici (6.19) v rámci její oblasti platnosti. Toto kritérium zastavení platí pro všechny typy kotev a všechny normy EN.

Posouzení na ohyb podle EN 1993-1-1 - 6.2.5

\[M_{pl,Rd}=\frac{W_{pl} f_y}{\gamma_{M2}}\]

kde:

• \(W_{pl}=\dfrac{d_s^{3}}{6}\) – průřezový modul šroubu
  • d_s – průměr kotvy redukovaný závitem
• f_y – mez kluzu materiálu
• γ_M2 – dílčí součinitel spolehlivosti (definovaný v nastavení projektu)

Návrhový ohybový moment M_Ed – Působí-li smykové zatížení s ramenem síly, musí být zohledněn ohybový moment působící na spojovací prvek. Návrhový ohybový moment působící na spojovací prvek se vypočítá podle EN 1993-1-1 vzorec (6.1):

\[M_{Ed}=V_{Ed}\cdot\frac{l_a}{\alpha_M}\]

kde:

• V_Ed – smykové zatížení působící na posuzovaný spojovací prvek
• l_a = a₃ + e₁
  • a₃ = 0,5d_nom, kde d_nom je průměr kotvy
  • e₁ – vzdálenost mezi smykovým zatížením a povrchem betonu, bez uvažování tloušťky případné vyrovnávací zálivky
• α_M = 2 – předpokládá se plné vetknutí (EN 1992-4 – čl. 6.2.2.3)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Buckling length}}}\]

Interakce tahu a smyku v oceli kotvy

Interakce tahu a smyku podle EN 1993-1-8 je implicitně zahrnuta v posouzení kotvy na smyk.

Interakce tahu a smyku podle EN 1992-4 je stanovena samostatně pro způsoby porušení oceli a betonu podle Tabulky 7.3. Interakce v oceli je posuzována pro každou kotvu samostatně.

\[\left( \frac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)^{2}+\left( \frac{V_{Ed}}{V_{Rd,s}} \right)^{2}\le 1\]

EN 1994-1-1 uvádí v článku 6.6.3.2, že pokud je tahová síla v kotvě větší než 0,1P_Rd, posouzení není touto normou pokryto. V takovém případě je interakce v aplikaci posuzována v souladu s EN 1992-4. V takovém případě by posouzení na smyk podle EN 1994-1-1 nemělo být uvažováno.

Interakce tahu nebo tlaku a ohybu v oceli kotvy EN 1993-1-1 - 6.2.1

\[\frac{N_{Ed}}{N_{Rd}}+\frac{M_{Ed}}{M_{Rd}}\le 1\]

kde:

• N_Ed – návrhová síla v tahu (kladná) nebo v tlaku (záporné znaménko)
• N_Rd – návrhová únosnost v tahu (kladná, F_t,Rd) nebo v tlaku (záporné znaménko, F_c,Rd)
• M_Ed – návrhový ohybový moment
• M_Rd = M_pl,Rd – návrhová ohybová únosnost

Posouzení na vytažení pro kotvy s hlavou (podložky a spřahovací trny)

Pro kotvy s hlavou je implementováno dodatečné kritérium zastavení pro kontrolu otlačení betonu (drcení) nad hlavou kotvy – vytažení. Během analýzy je sledována tlaková síla přenášená kontaktem hlavy s betonem a porovnávána s limitní hodnotou stanovenou podle EN 1992-4, čl. 7.2.1.5 (vytažení kotev s hlavou).

\[N_{Rd,p} = k_2 \cdot A_h \cdot f_{ck} / \gamma_{Mp}\]

kde:

• A_h je únosná plocha hlavy spojovacího prvku (bez plochy dříku). 
• f_ck je charakteristická pevnost betonu v tlaku – EN 1992-1-1 čl. 3.1.2
• γ_Mp je v aplikaci uvažováno jako γ_Mp = γ_c s výchozí hodnotou 1,5
•  k₂​ je vždy uvažováno jako 7,5, tj. hodnota pro popraskané beton. To je v souladu s přístupem CSFM použitým v Detail, kde je pevnost betonu v tahu zanedbána a beton je považován za popraskané v tahu. 

Jakmile kontaktní síla dosáhne tohoto normou stanoveného limitu, je spuštěno kritérium zastavení a analýza je ukončena dříve, než je překročena návrhová únosnost při vytažení.

Kotvení – napětí v soudržnosti

Smykové napětí v soudržnosti je vyhodnocováno samostatně jako poměr mezi napětím v soudržnosti τ_b vypočítaným analýzou MKP a mezní pevností v soudržnosti f_bd, podle EN 1992-1-1 čl. 8.4.2:

\[\frac{τ_{b}}{f_{bd}}\le 1\]

\[f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}\]

kde:

• f_ctd      je návrhová hodnota pevnosti betonu v tahu podle EN 1992-1-1 čl. 3.1.6 (2). Vzhledem k rostoucí křehkosti betonů vyšších pevností je f_ctk,0.05 omezena na hodnotu pro C60/75 podle EN 1992-1-1 čl. 8.4.2 (2)
• η₁       je součinitel vztahující se ke kvalitě podmínek soudržnosti a poloze prutu při betonáži (obr. 34).
• η₁ = 1,0 při splnění podmínek „dobré" soudržnosti a
• η₁ = 0,7 ve všech ostatních případech a pro pruty v konstrukčních prvcích betonovaných do posuvného bednění, pokud nelze prokázat existenci „dobrých" podmínek soudržnosti
• η₂        závisí na průměru prutu:
  η₂ = 1,0 pro Ø ≤ 32 mm
  η₂ = (132 - Ø)/100 pro Ø > 32 mm

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}\]

V IDEA StatiCa Detail jsou podmínky soudržnosti zohledněny podle obr. 34 c) a d). Směr betonáže lze v aplikaci nastavit pro každou položku projektu následovně:

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Direction of concreting}}}\]

Tato posouzení jsou prováděna s ohledem na příslušné limitní hodnoty pro jednotlivé části konstrukce (tj. přestože je použita jediná třída betonu i vyztužení, výsledné diagramy napětí-přetvoření se v každé části konstrukce budou lišit v důsledku vlivů tahového zpevnění a tlakového změkčení).

Kotvení – celková síla

Celková síla F_tot a limitní síla F_lim

Celková síla F_tot je výsledkem analýzy metodou konečných prvků a lze ji definovat dvěma způsoby.

\[F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}\]

kde A_s je plocha prutu vyztužení a σ_s je napětí v prutu.

Nebo jako součet kotevní síly F_a a síly ze soudržnosti F_bond.

\[F_{tot}=F_{a}+F_{bond}\]

kde F_a je skutečná síla v kotevní pružině a F_bond je síla ze soudržnosti, kterou lze získat integrací napětí v soudržnosti τ_b po délce prutu vyztužení l.

\[F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx\]

C_s je obvod prutu vyztužení.

Limitní síla F_lim je maximální síla v prvku prutu vyztužení s ohledem na mezní pevnost prutu a také podmínky kotvení (soudržnost mezi betonem a vyztužením a kotevní háky, smyčky apod.).

\[F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)\]

\[F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}\]

\[F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}\]

\[F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}\]

kde C_s je obvod prutu vyztužení a l je délka od začátku prutu k posuzovanému místu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Definition of the limit force Flim}}}\]

\[F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}\]

kde F_lim,add je dodatečná síla vypočítaná z velikosti úhlu mezi sousedními prvky. F_lim,2 musí být vždy menší než F_u.

Typy kotvení na konci vyztužení (kotvy a pruty)

Dostupné typy kotvení v 3D CSFM zahrnují přímý prut (tj. bez redukce kotevní délky), ohyb, hák, smyčku, přivařený příčný prut, dokonalou soudržnost a průběžný prut. Všechny tyto typy spolu s příslušnými součiniteli kotvení β jsou znázorněny na obr. 36 pro podélné vyztužení a na obr. 37 pro třmínky. Hodnoty použitých součinitelů kotvení jsou v souladu s EN 1992-1-1 čl. 8.4.4 Tab. 8.2. Je třeba poznamenat, že přes různé dostupné možnosti rozlišuje 3D CSFM tři typy konců kotvení: (i) bez redukce kotevní délky, (ii) redukce o 30 % kotevní délky v případě normalizovaného kotvení a (iii) dokonalá soudržnost.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the 3D CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}\]

Aby bylo dosaženo souladu s EN 1992-1-1, musí být v výpočtu použita kotevní pružina; kotevní pružina je upravena součinitelem β, takže uživatel musí při definování podmínek začátku a konce vyztužení použít jeden z dostupných typů kotvení.