Konstrukční návrh betonových 3D diskontinuit v IDEA StatiCa Detail

1 Úvod do metody 3D CSFM

1.1 Obecný úvod ke konstrukčnímu návrhu betonových 3D detailů
1.2 Hlavní předpoklady a omezení
1.3 Implementace teorie plasticity Mohr-Coulomb v 3D CSFM
1.4 Obecné předpoklady mechaniky pro 3D CSFM

2 Analytický model IDEA StatiCa 3D Detail

2.1 Úvod do implementace metodou konečných prvků
2.2 Typy konečných prvků
2.3 Prvky pro přenos zatížení
2.4 Tvorba sítě v 3D CSFM
2.5 Metoda řešení a algoritmus řízení zatížení pro 3D CSFM
2.6 Prezentace 3D výsledků
2.7 Model importovaný z IDEA StatiCa Connection

3 Ověření modelu

3.1 Mezní stavy

4 Konstrukční posouzení podle EUROKÓDU

4.1 Materiálové modely v 3D CSFM (EN)
4.2 Dílčí součinitele spolehlivosti
4.3 Posouzení mezního stavu únosnosti

5 Konstrukční posouzení podle ACI 318-19

5.1 Materiálové modely v 3D CSFM (ACI)
5.2 Součinitele snížení únosnosti a zatížení
5.3 Ověření únosnosti

6 Konstrukční posouzení podle AASHTO

6.1 Materiálové modely v 3D CSFM (AASHTO)
6.2 Součinitele únosnosti a zatížení
6.3 Ověření mezního stavu únosnosti

7 Konstrukční posouzení podle AS 3600

7.1 Materiálové modely v 3D CSFM (AUS)
7.2 Součinitele redukce napětí a únosnosti a součinitele zatížení
7.3 Ověření únosnosti a kotvení

1 Úvod do metody 3D CSFM

1.1 Obecný úvod do konstrukčního návrhu betonových 3D detailů

V praxi se inženýři mohou setkat s různými typy konečných prvků (od jednoduchých 1D prutových prvků až po složitější 3D objemové prvky), které se používají v různých aplikacích pro analýzu a návrh konstrukčních prvků. Společným rysem většiny výpočtů v praxi bývá lineární chování modelů, jehož nesporné výhody jsou rychlost, přehlednost a jednoduše fakt, že pro velkou škálu problémů je toto řešení zcela dostačující.

Zejména ve světě betonových konstrukcí se často stává, že lineární přístup není dostačující jednoduše proto, že po vzniku prvních trhlin v zatíženém prvku dochází k přerozdělení napětí a problém se stává výrazně nelineárním.

Pro tyto případy je nutné zvolit jeden z propracovanějších přístupů. Pro 1D případy lze často nalézt analytické metody definované přímo v normách. Například pro 2D rovinné prvky a oblasti nespojitosti (D-oblasti) lze sestavit oblíbené modely vzpěra-táhlo, nebo lze použít sofistikovanější metodu napěťových polí implementovanou v IDEA StatiCa Detail, CSFM.

Pokud však inženýr narazí na problém, který nelze zjednodušit na rovinné chování, jsou možnosti velmi omezené. Samozřejmě lze sestavit 3D model vzpěra-táhlo nebo použít polodecký software pro přesnou analýzu. Tyto postupy jsou často časově náročné, nejsou v souladu s normami a vyžadují inženýra znalého pokročilých metod modelování.

Z tohoto důvodu IDEA StatiCa vyvinula a implementovala 3D CSFM (Compatible Stress Field Method) v aplikaci Detail. 3D CSFM rozšiřuje zavedený CSFM do třetí dimenze a nabízí rychlé a normám odpovídající řešení, které je primárně určeno pro každodenní práci inženýra, přičemž mu poskytuje jedinečnou novou schopnost bezpečně řešit složité detaily betonových konstrukcí.

1.2 Hlavní předpoklady a omezení CSFM ve 3D

3D CSFM definuje chování betonu na základě teorie plasticity Modified Mohr-Coulomb pro monotónní zatížení. Metoda uvažuje hlavní napětí betonu v tlaku a napětí vyztužení (σ_sr) v trhlinách, přičemž zanedbává tahovou pevnost betonu (odříznutí tahu), s výjimkou jejího ztužujícího vlivu na vyztužení (Tahové zpevnění).

σ_c1r, σ_c2r, σ_c3r ≤ 0 MPa

Pruty vyztužení jsou propojeny s objemovými konečnými prvky betonu prostřednictvím prvků soudržnosti, které umožňují skluz mezi betonem a vyztužením. Je třeba poznamenat, že 3D CSFM není vhodné pro simulaci prostého betonu z důvodu absence tahu, což může vést k zavádějícím deformacím a divergenci modelu. Obecně platí, že teorie Mohr-Coulomb zahrnuje dvě základní vlastnosti řídící vývoj plochy plasticity v tlaku a částečně v tahu: úhel vnitřního tření φ a parametr soudržnosti c. 3D CSFM předpokládá nulový úhel vnitřního tření (obr. 1e), což vede ke konzervativnímu návrhu, protože plocha plasticity připomíná model Tresca, který je nezávislý na prvním invariantu napětí.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Basic assumptions of the 3D CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses; (d) stress-strain diagram of reinforcement}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{in terms of stresses at cracks and average strains; (e) Mohr's circles for concrete model in 3D CSFM; (f) bond shear stress-slip}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{relationship for anchorage length verifications.}}}\)

Beton 

Prezentovaný materiálový model je model plasticity s více plochami daný kombinací modelů Mohr-Coulomb a Rankine pro monotónní zatížení. Je důležité poznamenat, že tento model neřeší odlehčení, proto nejsou ukládány stavové proměnné, jak by tomu bylo u klasických modelů plasticity používaných pro cyklické zatížení.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Mohr-Coulomb multi-surface plasticity model for friction angle 0 degree}}}\]

Jak již bylo zmíněno, materiálový model je určen pro použití v aplikacích, které počítají odezvu železobetonu (není vhodný pro prostý beton). Je to z důvodu vyloučení betonu v tahu. Model proto není vhodný ani pro konstrukční prvky, kde nejsou splněna návrhová pravidla pro železobeton, jako je minimální stupeň vyztužení, maximální rozteč prutů apod. Je třeba také dodat, že z důvodů numerické stability je v modelu definována velmi malá tahová únosnost. Tahová část je omezena rovinami odpovídajícími modelu Rankine.

3D CSFM v IDEA StatiCa Detail neuvažuje explicitní kritérium porušení z hlediska přetvoření betonu v tlaku (tj. uvažuje nekonečně plastickou větev po dosažení vrcholového napětí). Toto zjednodušení neumožňuje ověřit deformační kapacitu konstrukcí porušujících se v tlaku. Jejich mezní únosnost je však správně předpovězena, pokud je nárůst křehkosti betonu s rostoucí pevností zohledněn pomocí redukčního součinitele 𝜂_𝑓𝑐 definovaného v fib Model Code 2010 takto:

\[f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

kde:

f_c je charakteristická válcová pevnost betonu (v MPa pro definici \( \eta_{fc} \)).

Hodnota f_c,red je poté porovnána s ekvivalentním hlavním napětím σ_c,eq v betonu, které bude definováno dále, samozřejmě s uvážením všech součinitelů bezpečnosti předepsaných normou.

Podrobný popis materiálového modelu betonu lze nalézt na následujícím odkazu:

• Materiálový model betonu pro 3D Detail

Vyztužení

Bilineární diagram napětí-přetvoření pro pruty vyztužení, jak je definován návrhovými normami (obr. 1d), představuje idealizovaný model. Tento model vyžaduje znalost základních vlastností vyztužení ve fázi návrhu, konkrétně pevnosti a třídy tažnosti. Alternativně mají uživatelé možnost definovat vlastní vztah napětí-přetvoření.

Tahové zpevnění je zohledněno úpravou diagramu napětí-přetvoření holého prutu vyztužení tak, aby zachytilo průměrnou tuhost prutů zabetonovaných v betonu (ε_m) (obr. 1b).

Kotvení

Skluz soudržnosti mezi vyztužením a betonem je zaveden do modelu metodou konečných prvků uvažováním zjednodušeného tuhého-dokonale plastického konstitutivního vztahu uvedeného na (obr. 1f), přičemž f_bd je návrhová hodnota (výpočtová hodnota) mezního napětí soudržnosti stanovená návrhovou normou pro konkrétní podmínky soudržnosti.

Jedná se o zjednodušený model s jediným účelem ověření předpisů pro soudržnost podle návrhových norem (tj. kotvení vyztužení). Zkrácení kotevní délky při použití háků, smyček a podobných tvarů prutů lze zohlednit definováním určité únosnosti na konci vyztužení, jak bude popsáno dále.

Kotvy

Prvek kotvy je definován tak, aby byl schopen přenášet normálové tahové nebo tlakové síly, jakož i smykové síly, s uvážením ohybové tuhosti. 

K dispozici jsou následující typy kotev:

• Předem zabetonované kotvy
  • Vyztužení
  • Podložka
  • Spřahovací trn
• Předem zabetonované vyztužení
  • Vyztužení
  • Závitové tyče

Předem zabetonované kotvy - Vyztužení

Modelováno jako žebrované vyztužení zabetonované v betonu. Pevnost soudržnosti se vypočítá podle vybraných normových pravidel stejným způsobem jako pro standardní vyztužení. Na konci kotvy lze definovat typ kotvení, který funguje identicky jako vyztužení – je aplikována kotevní pružina s β-součinitelem nastaveným podle zvolené normy. K dispozici jsou tři geometrické tvary: přímý, tvar L, tvar U.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Cast-in reinforcement anchor - shapes}}}\]

Předem zabetonované kotvy - Podložka a Spřahovací trn

Podložka a hlava spřahovacího trnu jsou modelovány jako deskový-skořepinový prvek z příslušného materiálu připojený přímo k dříku kotvy. Přenáší zatížení do betonu prostřednictvím kontaktu pouze v tlaku. Dostupné tvary: kruhový a čtvercový (pouze kruhový pro spřahovací trn) s přizpůsobitelnými rozměry. Model podložky a hlavy je elastický a není posuzován na únosnost. 

Na úrovni modelu metodou konečných prvků je přímo posuzováno vytažení kotvy. Tlakový kontakt má nastavena stop kritéria tak, aby nebyl schopen přenést do betonu větší kontaktní napětí, než předepisuje vybraná norma. V praxi to znamená, že pokud by byla kotva zatížena silou, která nevyhovuje posouzení na vytažení, výsledkem by bylo předčasné ukončení výpočtu, protože toto stop kritérium by bylo překročeno při dalším zatěžování.

Dřík kotvy má nulovou pevnost soudržnosti – veškeré zatížení je přenášeno do betonu prostřednictvím plechu nebo hlavy.

Dodatečně instalované kotvy - Vyztužení a Závitová tyč

Navrženy jako pruty instalované do vyvrtaných otvorů a lepené adhesivem. Inženýr zadává návrhovou pevnost soudržnosti přímo z technické specifikace adhesivního produktu.

Více informací o připojení jednotlivých typů kotev k patní desce nebo předem zabetonované desce lze nalézt v kapitole Typy konečných prvků - Prvky pro přenos zatížení. 

1.3 Implementace teorie plasticity Mohr-Coulomb ve 3D CSFM

V následující kapitole se podíváme na to, jak je teorie Mohr-Coulomb implementována ve 3D CSFM. Vysvětlíme, jak je zohledněn efekt sevření (trojosá napjatost) a jak se vypočítá ekvivalentní hlavní napětí σ_c,eq, které se používá ke stanovení únosnosti z hlediska betonu.

Úvod do teorie

Teorie Mohr–Coulomb je matematický model popisující odezvu křehkých materiálů na smyk a normálové napětí. Většina klasických konstrukčních materiálů se řídí tímto pravidlem alespoň v části své obálky smykového porušení. Obecně platí teorie pro materiály, u nichž pevnost v tlaku výrazně převyšuje pevnost v tahu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Mohr-Coulomb Plasticity Model }}}\]

V konstrukčním inženýrství se používá ke stanovení zatížení při porušení i úhlu lomu pro přemístění lomové plochy v betonu a podobných materiálech. Coulombova třecí hypotéza se používá ke stanovení kombinace smykového a normálového napětí, která způsobí porušení materiálu. Mohrova kružnice se používá ke stanovení toho, která hlavní napětí tuto kombinaci smykového a normálového napětí vyvolají, a úhlu roviny, ve které k tomu dojde. Podle principu normality bude napětí zavedené při porušení kolmé na přímku popisující podmínku porušení. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Meridian plane and tension cut-off}}}\]

Lze ukázat, že materiál porušující se podle Coulombovy třecí hypotézy vykazuje přemístění zavedené při porušení, které svírá s lomovou přímkou úhel rovný úhlu tření. To umožňuje stanovit pevnost materiálu porovnáním vnější mechanické práce zavedené přemístěním a vnějším zatížením s vnitřní mechanickou prací zavedenou přetvořením a napětím na lomové přímce. Ze zákona zachování energie musí být součet těchto hodnot nulový, což umožňuje vypočítat zatížení při porušení konstrukce.

Implementace ve 3D CSFM

Obecně platí, že pro daný úhel vnitřního tření betonu, který je přibližně φ = 30–40° dle Reference [1], [2], [3], [4], lze Mohrovy kružnice pro tahovou a tlakovou pevnost betonu sestrojit jako na Obrázku 6.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Mohr's circles for concrete}}}\]

Kde f_c je pevnost betonu v tlaku, f_ct je pevnost betonu v tahu, φ je úhel vnitřního tření a σ_c1, σ_c3 jsou hlavní napětí betonu při trojosém tlaku.

Lze si povšimnout, že s rostoucím hlavním napětím σ_c3 roste také maximální možný rozdíl mezi hodnotami σ_c3 a σ_c1, který definujeme jako maximální σ_c,eq (viz níže). Tento rozdíl odpovídá dvojnásobku deviatorického napětí definovaného v literatuře jako poloměr Mohrových kružnic.

Ve 3D CSFM implementovaném v IDEA StatiCa Detail je úhel vnitřního tření uvažován jako φ = 0°, jak je znázorněno na Obrázku 7.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}\]

Praktickým důsledkem této implementace je, že maximální rozdíl mezi σ_c3 a σ_c1 je konstantní s rostoucím σ_c3. 

Ekvivalentní hlavní napětí vyjadřuje ekvivalentní jednoosé napětí pro obecný trojosý stav napjatosti.

\[\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}\]

Hodnotu σ_c,eq lze proto přímo porovnat s mezemi jednoosé pevnosti podle norem.

\[\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} \le 1\]

Kde σ_c,lim je návrhová (redukovaná) jednoosá pevnost betonu f_c.

Porovnáním Obrázku 6, kde je použit skutečný úhel vnitřního tření, a Obrázku 7, který zobrazuje implementaci teorie Mohr-Coulomb s nulovým úhlem vnitřního tření, lze vidět, že přístup zvolený pro výpočty v aplikaci Detail je velmi konzervativní pro posouzení trojosého stavu napjatosti.

Pro lepší pochopení oblastí ovlivněných trojosou tlakovou napjatostí byl do aplikace IDEA StatiCa Detail přidán výraz pro nárůst efektivní pevnosti materiálu vlivem trojosého tlaku jako poměr σ_c3/σ_c,lim. Tento poměr naleznete v normovém posouzení pevnosti.

V pomocných výsledcích může uživatel také nalézt faktor κ, který trojosost vyjadřuje jiným způsobem. 

\[\kappa =   \frac{ \sigma_{c3}}{ \sigma_{c,eq}}\]

Normové posouzení betonu lze pak přepsat jako:

\[\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} = \frac{\sigma_{c,3} }{ \kappa \cdot \sigma_{c,lim}} \le 1\]

Z předchozího vyplývá, že pokud je prvek vystaven hydrostatickému napětí – σ_c3=σ_c2=σ_c1, bude mít ekvivalentní hlavní napětí σ_c,eq nulovou hodnotu a faktor kappa dosáhne nekonečna.

Více informací naleznete zde: Trojosá napjatost – efekt aktivního sevření

1.4 Obecné předpoklady mechaniky pro 3D CSFM

Rovnice rovnováhy

Teorie malých deformací umožňuje sestavení rovnice rovnováhy na základě nedeformovaného objemu pomocí přístupu první řádu. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Equilibrium equations and graphical representation on infinitesimal element}}}\]

Rovnice kompatibility

Tuhé těleso se skládá z infinitezimálních objemů nebo materiálových bodů, které jsou vzájemně propojeny bez mezer nebo překryvů. Aby nedocházelo ke vzniku mezer nebo překryvů při deformaci kontinua, musí být dodrženy matematické podmínky.

Konstitutivní rovnice

Konstitutivní rovnice řídící chování 3D prvků hrají klíčovou roli v analýze chování materiálu ve stavební mechanice. Tyto rovnice jsou formulovány tak, aby zohledňovaly nelineární izotropní chování, které platí pro plné blokové prvky v IDEA StatiCa Detail. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Linearly elastic isotropic compliance matrix}}}\]

2 Analytický model IDEA StatiCa 3D Detail

2.1 Úvod do implementace metody konečných prvků

3D CSFM uvažuje spojitá napěťová pole v betonu (3D konečné prvky), doplněná diskrétními prvky „prutů" reprezentujícími vyztužení (1D konečné prvky). Vyztužení tedy není difuzně zabudováno do 3D konečných prvků betonu, ale je explicitně modelováno a propojeno s nimi. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Rendering of the calculation model for concrete block and out-of-plane wall}}}\]

2.2 Obecné typy konečných prvků

Nelineární (inelastický) model analýzy metodou konečných prvků je tvořen několika typy konečných prvků používaných k modelování betonu, vyztužení a soudržnosti mezi nimi. Prvky betonu a vyztužení jsou nejprve samostatně síťovány a poté propojeny pomocí vícebodových vazeb (prvky MPC). To umožňuje, aby vyztužení zaujímalo libovolnou polohu, která není omezena uzly čtyřstěnné sítě. Pro ověření kotevní délky, soudržnosti a kotvení jsou mezi vyztužení a prvky MPC vloženy pružinové prvky.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC and bond elements}}}\]

Beton

Beton je analyzován pomocí smíšených čtyřstěnných prvků s uzlovými rotacemi. Čtyřstěnné prvky umožňují síťování oblastí libovolné topologie, přičemž implementovaná formulace zaručuje přesné výsledky deformací (bez parazitního smykového napětí známého jako efekt smykového zamknutí) i pro hrubou síť, která by nebyla vhodná pro formulaci lineárních čtyřstěnných prvků. 

Je využita plná integrace. To znamená, že každý prvek je vybaven čtyřmi integračními body umístěnými uvnitř objemu. Taková integrace poskytuje přesné pole přetvoření a napětí, což umožňuje dostatečné vyhodnocení a prezentaci výsledků v celém objemu. Kritéria zastavení jsou následně stanovena na základě hodnoty v integračním bodě.

Vyztužení

Pruty jsou modelovány dvouuzlovými 1D prvky „prutového" typu (CROD), které mají pouze osovou tuhost. Tyto prvky jsou napojeny na speciální prvky „soudržnosti", které byly vyvinuty za účelem modelování chování prokluzu mezi výztuží a okolním betonem. Tyto prvky soudržnosti jsou následně propojeny prvky MPC (vícebodová vazba) se sítí reprezentující beton. Tento přístup umožňuje nezávislé síťování vyztužení a betonu, přičemž jejich vzájemné propojení je zajištěno dodatečně.

Prvky soudržnosti

Kotevní délka je ověřována zahrnutím smykových napětí soudržnosti mezi prvky betonu (3D) a prvky výztuže (1D) do modelu metodou konečných prvků. Za tímto účelem byl vyvinut typ konečného prvku „soudržnosti".

Prvek soudržnosti je definován jako skořepinový konečný prvek propojený s prvky reprezentujícími vyztužení první vrstvou a druhou vrstvou s betonovou sítí prostřednictvím vícebodových vazeb (prvky MPC). Je třeba poznamenat, že prvek soudržnosti je v tomto článku vždy zobrazen s nenulovým výškovým rozměrem, který je však v modelu definován jako infinitezimální.

Chování tohoto prvku je popsáno napětím soudržnosti, τ_b, jako bilineární funkcí prokluzu mezi horními a dolními uzly, δu, viz (obr. 12).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad (a) Conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) shear-deformation function}}}\]

Modul pružnosti soudržnostního vztahu prokluz-napětí, Gb, je definován takto:

\[G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}\]

k_g            součinitel závisející na povrchu výztuže (výchozí hodnota kg = 0,2)

E_c            modul pružnosti betonu (uvažován jako Ecm v případě EN)

Ø             průměr výztuže

Návrhové hodnoty (výpočtové hodnoty) mezního smykového napětí soudržnosti, f_bd, uvedené v příslušných vybraných návrhových normách EN 1992-1-1 nebo ACI 318-19, jsou použity k ověření kotevní délky. Zpevnění plastické větve je výchozně vypočteno jako Gb/105.

Kotevní pružina

Opatření konců výztuže kotvením (tj. ohyby, háky, smyčkami…), které splňuje požadavky návrhových norem, umožňuje zkrácení základní kotevní délky prutů (l_b,net) o určitý součinitel β (dále označovaný jako „kotevní součinitel"). Návrhová hodnota kotevní délky (lb) se pak vypočítá takto:

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Model for the reduction of the anchorage length: a) Anchorage force along the anchorage length of }}}\] \[ \textsf{\textit{\footnotesize{the reinforcement bar, b) slip-anchorage force constitutive law}}}\]

Zkrácení kotevní délky je zahrnuto v modelu metodou konečných prvků pomocí pružinového prvku na konci prutu (obr. 13a), který je definován konstitutivním modelem zobrazeným na (obr. 13b). Maximální síla přenášená touto pružinou (F_au) je:

\[F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}\]

kde:

β             kotevní součinitel závislý na typu kotvení

A_s            průřez výztuže

f_yd           návrhová hodnota (výpočtová hodnota) meze kluzu vyztužení

2.3 Zařízení pro přenos zatížení

Patní deska

Patní deska je modelována jako pružný skořepinový prvek. Ocelový materiál použitý pro patní desky je definován na záložce Materiály. Jediná fyzikální vlastnost je modul pružnosti E.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad The base plate material definition}}}\]

Patní deska může být zatížena bodovým zatížením (Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz) a skupinou sil (Fx, Fy, Fz), která se používá především pro zatěžování modelů exportovaných z IDEA StatiCa Connection. Bodová zatížení a bodové momenty přímo zatěžují odpovídající uzel patní desky. To znamená, že nedochází k žádné redistribuci, pouze prostřednictvím tuhosti patní desky. 

Tato implementace umožňuje import účinků zatížení z IDEA StatiCa Connection, které jsou aplikovány na patní desku v místě jednotlivých konečných prvků svaru s hodnotou a směrem určeným z obecného napětí daného konečného prvku svaru. Více informací lze nalézt v příslušné kapitole tohoto dokumentu.

Druhou možností zatížení je Pahýl — představující krátkou část sloupu nad patní deskou. Pahýl je modelován jako konstrukce z pružných skořepinových prvků a chová se jako fyzikálně přesné rozhraní mezi vnitřními silami a plechem. Uživatel vybírá průřez pahýlu ze standardní databáze průřezů. Soustava 6 složek vnitřních sil (síly a momenty) je aplikována v jediném bodě na spodní ploše pahýlu — tj. v základně sloupu. Podpory přenášejí síly na horní plochu pahýlu, odkud jsou přirozeně redistribuovány pahýlem do patní desky, kotev a betonu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad The load transfer through the stub}}}\]

Mechanismus přenosu smyku (z patní desky do betonového bloku)

Mezi patní deskou a betonem je definován třecí kontakt pouze v tlaku. Pro přenos smyku může uživatel volit ze tří možností:

• Kotvami
• Třením
• Smykovou zarážkou

Software neumožňuje kombinaci těchto mechanismů přenosu smyku. 

Součinitel tření by měl být zadán jako návrhová (faktorizovaná) hodnota. V případě, že výsledná smyková síla F_xy překročí tlakovou sílu F_z násobenou součinitelem tření μ, výpočet se zastaví a ne všechna zatížení budou aplikována na model. Podmínka je zapsána takto:

\[\frac {F_{xy}}{ \mu \cdot F_{z}}\le 1\]

To lze vidět v následujícím příkladu, kde jsou uvažovány dva zatěžovací stavy. 

• ZS1 - Stálý typ - F_z = 100 kN
• ZS2 - Proměnný typ - F_x = 100 kN

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad Load input for example explaining shear transfer by friction}}}\]

V prvním kroku výpočtu je aplikováno veškeré stálé zatížení. Poté je proměnné zatížení postupně zvyšováno, dokud nedosáhne hodnoty tlakového zatížení násobené součinitelem tření.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Results from example explaining shear transfer by friction}}}\]

Graf na obrázku 18 definuje chování třecího kontaktu mezi patní deskou a betonem.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 18\qquad Force-displacement graph describing the behavior of frictional contact}}}\]

Hodnota F_zμ se liší pro každý inkrement výpočtu, zatímco hodnota maximální smykové deformace u_xy je konstantní. 

Pokud jsou tlaková normálová síla F_z a smyková síla F_xy zadány v jednom typu zatěžovacího stavu (např. pouze stálý) a podmínka F_xy / (F_zμ) ≤ 1 není splněna, žádné zatížení nebude aplikováno na model, protože podmínka není splněna v žádném inkrementu výpočtu.

Smyková zarážka je spojena s betonovou sítí pomocí podpor umožňujících přenos pouze tlakového normálového napětí. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Shear lug transfer of shear mechanism}}}\]

Smyková zarážka je modelována z pružných skořepinových prvků, kde materiál definuje modul pružnosti E.

Výsledky nejsou vyhodnocovány ani zobrazovány pro patní desku ani pro smykovou zarážku.

 Možnosti patní desky  (vzduchová mezera, podlití)

K dispozici je následující sada možností vzduchové mezery, plně sladěná s aplikací Connection.

• Přímé uložení
• Maltové lože – matice shora
• Maltové lože – matice shora i zdola
• Mezera

Vrstva malty je modelována jako skořepinový prvek, přičemž je zohledněna její tuhost. Skořepinové prvky jsou nestlačitelné ve směru své tloušťky. To pomáhá redistribuovat lokální síly do betonu a je platné pro typické tloušťky podlití používané v praxi – 25–50 mm.

Rozdíl mezi maticemi pouze shora (kloubové spojení mezi kotvou a patní deskou) a shora i zdola (tuhé spojení mezi kotvou a patní deskou) výrazně ovlivňuje únosnost ve smyku z hlediska tlačeného betonu.

Kotvy

Konečné prvky představující kotvy jsou modelovány tak, aby byly schopny přenášet normálové a smykové síly do betonu, přičemž je zohledněna také ohybová tuhost kotev. Pro modelování prokluzu mezi kotvou a okolním betonem jsou použity stejné prvky soudržnosti a MPC jako pro vyztužení. S tím rozdílem, že:

• Pro dodatečně instalované kotvy (lepené) je nutné zadat návrhovou pevnost soudržnosti.
• Pro podložky a spřahovací trny je soudržnost podél dříku kotvy zanedbána. Veškeré osové zatížení je pak přenášeno do betonu prostřednictvím podložky nebo hlavy kotvy.

Kotvy mohou být propojeny s patními deskami. Pro toto propojení je použita plně nelineární podpora spojující konec kotvy s uzlem patní desky. Tato podpora umožňuje řídit všechny stupně volnosti, aby bylo zajištěno například to, že kotvy nepřenášejí tlakovou sílu z patní desky, nebo že kotvou není přenášen smyk při modelování smykové zarážky apod.

Vlastnosti propojení s patní deskou pro kotvy umožňují uživateli řídit, zda bude kotva s patní deskou spojena výše zmíněnou podporou a jakým způsobem. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20\qquad Interconnection with base plate settings}}}\]

Zaškrtávací políčko Přenos smyku lze použít k řízení toho, zda bude kotva a patní deska spojena nebo ne z hlediska smyku. Kombinace mechanismů přenosu smyku není podporována, takže pro přenos třením a smykovou zarážkou je toto políčko irelevantní. Na druhou stranu, pro přenos smyku kotvami toto pole umožňuje vyloučit některé kotvy z přenosu smyku.

Zaškrtávací políčko Přenos osových sil lze použít k řízení toho, zda bude kotva a patní deska spojena nebo ne v osovém směru. Používá se především pro export z funkce Přípoj (viz příslušná kapitola). Při ručním modelování má smysl mít toto políčko vždy zaškrtnuté.

Pokud políčko není zaškrtnuto, kotva je odpojena v tahu i tlaku (v případě modelu exportovaného z aplikace Connection je spojení nahrazeno dvojicí sil). Pokud je políčko zaškrtnuto, kotva je vždy spojena s plechem v tahu, ale spojení v tlaku je řízeno typem kotvy a typem vzduchové mezery. Více informací viz obrázek 23.

Závity na dříku

Řízeno zaškrtávacím políčkem ve vlastnostech kotvy a má 2 účely:

1. Definuje způsob připojení kotvy k patní desce:

• Pro spřahovací trny a předem zabetonované kotvy vyztužení připojené k patní desce (nikoli pro předem zabetonované plechy) rozlišuje mezi šroubovým spojením (kloubovým) a svařovaným spojením (tuhým) — viditelným ve 3D scéně.
• Způsob připojení kotvy k plechu má významný vliv na únosnost ve smyku z hlediska tlačeného betonu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Cut threads options}}}\]

2. Pro Eurocode je únosnost kotvy se závity na dříku snížena podle EN 1993-1-8 3.6.1 (3). Toto nastavení lze provést v nastavení projektu. Pro závitové tyče a podložky se doporučuje toto nastavení ponechat vždy zapnuté.

Osové a rotační propojení mezi kotvou a patní deskou

Jak již bylo zmíněno v této kapitole, v závislosti na typu kotvy, nastavení vzduchové mezery a na tom, zda jsou uvažovány závity na dříku, jsou kotvy připojeny k patní desce různými způsoby. Z hlediska rotačního spojení může jít o kloubové / tuhé spojení. Z hlediska osového spojení může jít o tah / tah + tlak. Typy rotačního spojení výrazně ovlivňují únosnost ve smyku z hlediska tlačeného betonu. Ve 3D scéně lze snadno rozpoznat, zda je kotva připojena jako tuhá nebo kloubová, a to podle přítomnosti matic, viz obrázek 22.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Rotational constraints}}}\]

Následující tabulka zobrazuje všechny možné kombinace spojení patních desek s kotvami a odpovídající rotační a osová spojení.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}\]

Předem zabetonované plechy

Předem zabetonovaný plech je zvláštním případem patní desky. Je modelován analogicky s následujícími rozdíly:

Protože je plech zabetonován uvnitř betonového bloku, nelze specifikovat žádný typ vzduchové mezery. Hloubka zabetonování desky je zanedbána. Plech, modelovaný skořepinovými prvky, je umístěn přímo na povrchu betonu. Proto se nepředpokládá, že boční plochy desky jsou podepřeny betonem.

Je možné použít pouze vyztužení a spřahovací trny, které lze stejně jako klasické kotvy nastavit tak, aby byly připojeny k desce v osovém a smykovém směru. Praktické zkušenosti a některé národní dokumenty poukazují na potřebu navrhovat spřahovací trny pouze na smyk a vyztužení na osové zatížení. Z hlediska osových a rotačních podpor jsou kotvy vždy připojeny jako tuhé a tah + tlak.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}\]

2.4 Betonová síť v 3D CSFM

Konečné prvky jsou implementovány interně a analytický model je generován automaticky bez nutnosti odborné interakce uživatele. Důležitou součástí tohoto procesu je tvorba sítě.

Beton

Všechny betonové prvky jsou síťovány společně. Doporučená velikost prvku je automaticky vypočtena aplikací na základě velikosti a tvaru konstrukce s přihlédnutím k průměru největšího prutu vyztužení. Doporučená velikost prvku navíc zaručuje, že v tenkých částech konstrukce, jako jsou štíhlé sloupy nebo tenké stěny, budou vygenerovány minimálně čtyři prvky, aby bylo zajištěno spolehlivé výsledky v těchto oblastech. Projektanti mohou vždy zvolit uživatelsky definovanou velikost betonového prvku úpravou násobitele výchozí velikosti sítě.

Vyztužení

Vyztužení je rozděleno na prvky přibližně stejné délky jako je velikost betonového prvku. Jakmile jsou sítě vyztužení a betonu vygenerovány, jsou vzájemně propojeny prvky soudržnosti, jak je znázorněno na obr. 9.

Zjemnění

Betonová síť je automaticky zjemněna v okolí kotev, v okolí smykových zarážek a pod pahýlem pro zatížení. Velikost zjemněné sítě je přibližně dvakrát menší než základní betonová síť. Poloměr zjemněné oblasti je definován přibližně jako velikost prvku vynásobená dvěma.

2.5 Metoda řešení a algoritmus řízení zatížení pro 3D CSFM

Pro nalezení řešení nelineárního problému metodou konečných prvků je použit standardní plný algoritmus Newton-Raphson (NR). 

Obecně platí, že algoritmus NR často nekonverguje, je-li plné zatížení aplikováno v jediném kroku. Obvyklým přístupem, který je použit i zde, je postupné přikládání zatížení ve více přírůstcích, přičemž výsledek z předchozího přírůstku zatížení slouží jako výchozí bod pro Newtonovo řešení následujícího přírůstku. Za tímto účelem byl nad Newton-Raphsonem implementován algoritmus řízení zatížení. V případě, že iterace NR nekonvergují, je aktuální přírůstek zatížení snížen na polovinu a iterace NR jsou zopakovány.

Druhým účelem algoritmu řízení zatížení je nalezení kritického zatížení, které odpovídá určitým „kritériím zastavení" – konkrétně maximálnímu přetvoření v betonu, maximálnímu prokluzu v prvcích soudržnosti, maximálnímu přemístění v prvcích kotvení a maximálnímu přetvoření ve výztuži. Kritické zatížení je nalezeno metodou bisekce. V případě, že je kritérium zastavení kdekoliv v modelu překročeno, jsou výsledky posledního přírůstku zatížení zahozeny a je vypočten nový přírůstek o poloviční velikosti oproti předchozímu. Tento postup se opakuje, dokud není kritické zatížení nalezeno s určitou tolerancí chyby.

Pro beton bylo kritérium zastavení stanoveno na 5 % přetvoření v tlaku (tj. přibližně o řád větší než skutečné mezní přetvoření betonu při porušení) a 7 % v tahu v integračních bodech skořepinových prvků. V tahu byla hodnota nastavena tak, aby bylo možné nejprve dosáhnout mezního přetvoření výztuže, které je obvykle přibližně 5 % bez zohlednění tahového zpevnění. V tlaku byla hodnota zvolena z několika alternativ jako hodnota dostatečně velká, aby byly účinky drcení betonu patrné ve výsledcích, avšak dostatečně malá, aby nezpůsobovala příliš mnoho problémů s numerickou stabilitou.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig 25\qquad Constitutive law of bond and anchorage elements used for anchorage length verification: a) Bond shear stress}}}\] \[ \textsf{\textit{\footnotesize{slip response of bond element, b) force-displacement response of an anchorage element}}}\]

Pro výztuž je kritérium zastavení definováno z hlediska napětí. Protože je modelováno napětí v trhlině, odpovídá kritérium v tahu pevnosti výztuže v tahu se zohledněním součinitele bezpečnosti. Stejná hodnota je použita pro kritérium v tlaku.

Kritérium zastavení v prvcích soudržnosti a kotvicích pružinách je α·δ_umax, kde δ_umax je maximální prokluz použitý při normovém posouzení a α = 10.

Další kritéria zastavení pro kotvení:

• Vytažení kotev s hlavou (maximální kontaktní tlaková síla na horní ploše hlavy kotvy). 
• Maximální posouvající síla, kterou může kotva přenést z hlediska otlačení betonu.

Tato dvě kritéria závisí na zvolené normě. Více informací o nich naleznete v částech vysvětlujících části konstrukční analýzy závislé na normě v aplikaci.

2.6 Prezentace 3D výsledků

Výsledky jsou prezentovány samostatně pro beton a pro prvky vyztužení. Hodnoty napětí a přetvoření v betonu jsou vypočítány v integračních bodech objemových prvků. Protože prezentace dat tímto způsobem není praktická, jsou výsledky standardně prezentovány v uzlech, například jako maximální hodnota tlakového napětí z přilehlých Gaussových integračních bodů v propojených prvcích. Je třeba poznamenat, že tato reprezentace může lokálně podhodnocovat výsledky na tlačených hranách prvků v případě, kdy je velikost konečného prvku podobná hloubce tlačené zóny.

Výsledky pro konečné prvky vyztužení jsou buď konstantní pro každý prvek (jedna hodnota – např. pro napětí v oceli), nebo lineární (dvě hodnoty – pro výsledky soudržnosti). Pro pomocné prvky, jako jsou prvky nosných plechů, jsou prezentovány pouze deformace.

2.7 Model importovaný z IDEA StatiCa Connection

Model IDEA StatiCa Detail nemusí být vždy modelován od nuly nebo ze šablony. Existuje také možnost importovat model, včetně účinků zatížení, z IDEA StatiCa Connection. V aplikaci Connection je ocelová nadstavba nad betonovým blokem analyzována pomocí nelineárního 3D modelu, zatímco samotný betonový blok je reprezentován zjednodušeně pomocí Winklerova základu. V aplikaci Detail je naopak železobetonový blok modelován explicitně a podrobně posouzen.

Při přenosu modelu jsou do aplikace Detail importovány pouze patní deska, kotvy a betonový blok – samotný ocelový prvek (a jeho globální tuhost) nikoli. V modelu Connection je tento ocelový prvek připojen k patní desce svarem. Napětí v konečných prvcích svaru jsou integrována a převedena na soustavu ekvivalentních sil, které zatěžují patní desku v aplikaci Detail. Tímto způsobem je vliv chybějícího ocelového prvku reprezentován silami ve svaru aplikovanými přímo na patní desku.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Loads imported from IDEA StatiCa Connection}}}\]

Vzhledem k odlišné definici tuhosti mezi aplikacemi Connection a Detail (chybějící ocelový prvek, odlišné materiálové modely a reprezentace betonu) by přímé spojení patní desky a kotev v aplikaci Detail obecně vedlo k odlišnému přerozdělení zatížení, a tedy k odlišným tahovým silám v kotvách. Aby se tomu předešlo, jsou kotvy importovány axiálně odpojeny od patní desky. Namísto přenosu osových sil fyzickým kontaktem jsou tahové síly v kotvách získané z aplikace Connection aplikovány přímo na kotvy v aplikaci Detail. Zároveň je na patní desku v místě každé kotvy aplikována stejně velká, avšak opačně orientovaná síla, takže je zachována globální rovnováha modelu. Tento pár sil (jedna působící na kotvu, druhá na patní desku) reprezentuje vzájemné působení patní desky a kotvy, aniž by docházelo k dalšímu přerozdělení osových sil v aplikaci Detail. Tyto dvě protilehlé síly jsou znázorněny na obrázku 26.

Smykové síly jsou však stále přenášeny spojením mezi patní deskou a kotvami (nebo smykovou zarážkou, nebo třením). To je možné díky tomu, že pro spojení patní desky a kotev ve smyku je použita podpora, která umožňuje řídit příslušné stupně volnosti tohoto propojení. V aplikaci Detail může uživatel upravit cestu přenosu smykového zatížení – například uvolnit smyk ve dvou ze čtyř kotev a ponechat ve smyku pouze krajní kotvy – zatímco osové síly zůstávají tak, jak byly importovány z aplikace Connection.

Pro předem zabetonované kotvy byl zvolen odlišný přístup. Několik evropských návrhových doporučení požaduje, aby osové síly přenášely pouze pruty vyztužení, zatímco spřahovací trny jsou považovány za prvky přenášející pouze smyk. Protože IDEA StatiCa Connection nemůže při exportu interně oddělit osové síly ve výztužných kotvách od osových sil ve spřahovacích trnech, jsou kotvy předem zabetonovaných kotev importovány do aplikace Detail plně spojeny, včetně osového směru. To umožňuje uživateli aktivovat v aplikaci Detail návrhovou možnost, při níž výztužné kotvy přenášejí pouze osový tah a spřahovací trny přenášejí pouze smyk. V tomto pracovním postupu musí být osová síla, která byla původně přiřazena spřahovacím trnům, přerozdělena na výztužné kotvy v rámci modelu Detail. Takové přerozdělení by nebylo možné, pokud bychom použili výše popsaný přístup s párem protilehlých sil, a proto jsou předem zabetonované kotvy řešeny odlišně.

3 Ověření modelu

3.1 Mezní stavy

Mezní stav únosnosti

Různá ověření požadovaná konkrétními návrhových normami jsou posuzována na základě přímých výsledků poskytnutých modelem. Ověření MSÚ se provádějí pro pevnost betonu, pevnost vyztužení a kotvení (smykové napětí v soudržnosti).

Aby byl zajištěn efektivní návrh konstrukčního prvku, je velmi doporučeno provést předběžnou analýzu, která zohledňuje následující kroky:

• Zvolte výběr nejkritičtějších kombinací zatížení.
• Vypočítejte pouze kombinace zatížení pro mezní stav únosnosti (MSÚ).
• Pro urychlení výpočtu a řešení případných problémů zvažte použití hrubé sítě zvýšením násobitele výchozí velikosti sítě v Nastavení (Obr. 27). Pokud model funguje správně, vraťte násobitel zpět na hodnotu 1.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig 27\qquad Mesh multiplier}}}\]

Takový model se vypočítá velmi rychle, což umožňuje projektantům efektivně přezkoumat detailování konstrukčního prvku a opakovaně spouštět analýzu, dokud nejsou splněny všechny požadavky na ověření pro nejkritičtější kombinace zatížení. Jakmile jsou splněny všechny požadavky na ověření této předběžné analýzy, doporučuje se zahrnout úplné kombinace zatížení pro MSÚ a použít jemnou velikost sítě (velikost sítě doporučenou programem). Uživatelé mohou změnit velikost sítě pomocí násobitele, který může nabývat hodnot od 0,5 do 5 (Obr. 27).

Základní výsledky a ověření (napětí, přetvoření a využití (tj. vypočtená hodnota/limitní hodnota z normy)), jakož i směr hlavních napětí v případě betonových prvků) jsou zobrazeny pomocí různých grafů, kde tlak je obecně zobrazen červeně a tah modře. Globální minimální a maximální hodnoty pro celou konstrukci mohou být zvýrazněny, stejně jako minimální a maximální hodnoty pro každou uživatelsky definovanou část. V samostatné záložce programu lze zobrazit pokročilé výsledky, jako jsou hodnoty tenzorů, deformace konstrukce a stupně vyztužení (efektivní a geometrické) používané pro výpočet tahového zpevnění výztužných prutů. Dále lze zobrazit zatížení a reakce pro vybrané kombinace nebo zatěžovací stavy.

4 Konstrukční posouzení podle EUROKÓDU

4.1 Modely materiálů v 3D CSFM (EN)

Beton - MSÚ

Model betonu implementovaný v 3D CSFM vychází z jednoosých konstitutivních zákonů pro tlak předepsaných normou EN 1992-1-1 pro návrh průřezů, které závisí pouze na pevnosti v tlaku. Diagram parabola-obdélník specifikovaný v EN 1992-1-1 čl. 3.1.7 (1) (obr. 28a) je v 3D CSFM používán jako výchozí, ale projektanti mohou také zvolit zjednodušený elasticko-ideálně plastický vztah podle EN 1992-1-1 čl. 3.1.7 (2) (obr. 28b). Pevnost v tahu je zanedbána, stejně jako v klasickém návrhu železobetonových konstrukcí.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig 28\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram}}}\]

Implementace 3D CSFM v IDEA StatiCa Detail neuvažuje explicitní kritérium porušení z hlediska přetvoření betonu v tlaku (tj. po dosažení maximálního napětí uvažuje plastickou větev s ε_cu2 (ε_cu3) o hodnotě 5 %, zatímco EN 1992-1-1 předpokládá mezní přetvoření menší než 0,35 %). Toto zjednodušení neumožňuje ověřit deformační kapacitu konstrukcí porušovaných tlakem. Jejich mezní únosnost f_cd podle EN 1992-1-1 3.1.3 je však správně předpovězena, pokud je nárůst křehkosti betonu s rostoucí pevností zohledněn pomocí redukčního součinitele \(\eta_{fc}\) definovaného v fib Model Code 2010 takto:

\[f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot f_{ck}}{γ_c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

kde:

α_cc je součinitel zohledňující dlouhodobé účinky na pevnost v tlaku a nepříznivé účinky vyplývající ze způsobu přenášení zatížení. Stanovuje se podle EN 1992-1-1 čl. 3.1.6 (1). Výchozí hodnota je 1,0.

f_ck je charakteristická válcová pevnost betonu (v MPa pro definici \( \eta_{fc} \)).

Vyztužení

Jako výchozí se uvažuje idealizovaný bilineární diagram napětí-přetvoření pro holé výztužné pruty definovaný v EN 1992-1-1, oddíl 3.2.7 (obr. 29). Definice tohoto diagramu vyžaduje znalost pouze základních vlastností výztuže ve fázi návrhu (pevnost a třída tažnosti). Pokud jsou k dispozici, lze uvažovat skutečný vztah napětí-přetvoření výztuže (válcovaná za tepla, tažená za studena, kalená a samopopouštěná, …). Diagram napětí-přetvoření výztuže může být definován uživatelem, v takovém případě však nelze uvažovat tahové zpevnění (nelze vypočítat šířku trhlin). Použití diagramu napětí-přetvoření s vodorovnou horní větví neumožňuje ověření konstrukční trvanlivosti. Proto je nutné ruční ověření standardních požadavků na tažnost.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}\] \[ \textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}\]

Tahové zpevnění (obr. 30) je automaticky zohledněno úpravou vstupního diagramu napětí-přetvoření holého výztužného prutu tak, aby byla zachycena průměrná tuhost prutů zabetonovaných v betonu (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

4.2 Dílčí součinitele spolehlivosti

Compatible Stress Field Method je v souladu s moderními návrhových normami. Protože výpočetní modely využívají pouze standardní vlastnosti materiálů, lze bez jakékoli úpravy použít formát dílčích součinitelů spolehlivosti předepsaný v návrhových normách. Vstupní zatížení jsou tak násobena příslušnými součiniteli a charakteristické vlastnosti materiálů jsou redukovány pomocí příslušných součinitelů spolehlivosti předepsaných v normách, přesně jako v konvenční analýze betonu. Hodnoty součinitelů spolehlivosti materiálů předepsané v EN 1992-1-1 kap. 2.4.2.4 a součinitele pro kotvy předepsané v EN 1992-4, EN 1993-1-8 a EN 1994-1-1 jsou nastaveny jako výchozí, ale uživatel může součinitele spolehlivosti změnit v nastavení Normy a výpočtu (Obr. 31).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Součinitele spolehlivosti zatížení musí uživatel definovat v pravidlech kombinací pro každou nelineární kombinaci zatěžovacích stavů (Obr. 32). Pro všechny šablony implementované v IDEA StatiCa Detail jsou dílčí součinitele spolehlivosti již předdefinovány.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Pomocí vhodných uživatelsky definovaných kombinací dílčích součinitelů spolehlivosti mohou uživatelé také provádět výpočty s 3D CSFM metodou globálního součinitele únosnosti (Navrátil a kol. 2017), tento přístup se však v návrhové praxi téměř nepoužívá. Některé metodické pokyny doporučují používat metodu globálního součinitele únosnosti pro nelineární analýzu. Nicméně u zjednodušených nelineárních analýz (jako je 3D CSFM), které vyžadují pouze ty vlastnosti materiálů, jež se používají v konvenčních ručních výpočtech, je stále vhodnější používat formát dílčích součinitelů spolehlivosti.

4.3 Posouzení mezních stavů únosnosti

Různá posouzení požadovaná normou EN 1992-1-1 jsou vyhodnocována na základě přímých výsledků poskytnutých modelem. Posouzení na MSÚ se provádí pro pevnost betonu, pevnost vyztužení a kotvení (smykové napětí v soudržnosti).

Pevnost - Beton

Pevnost betonu v tlaku je vyhodnocována jako poměr mezi maximálním ekvivalentním hlavním napětím σ_c,eq získaným z analýzy MKP a limitní hodnotou σ_c,lim = f_cd.

Ekvivalentní hlavní napětí vyjadřuje ekvivalentní jednoosé napětí pro obecný trojosý stav napjatosti.

\[\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}\]

Hodnotu σ_c,eq lze tedy přímo porovnat s limity jednoosé pevnosti podle EN 1992-1-1 čl. 3.1.7 (1).

Tento výraz je odvozen z implementace teorie plasticity Mohr-Coulomb, přičemž se konzervativně předpokládá úhel vnitřního tření φ = 0°.

Pevnost - Vyztužení

Pevnost vyztužení je vyhodnocována jak v tahu, tak v tlaku jako poměr mezi napětím ve vyztužení v trhlinách σ_sr a stanovenou limitní hodnotou σ_s,lim:

\(σ_{s,lim} = \dfrac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}\)

\(σ_{s,lim} = \dfrac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}\)

kde:

f_yk        je mez kluzu vyztužení podle EN 1992-1-1 čl. 3.2.3,

k          je poměr pevnosti v tahu f_tk k mezi kluzu,
            \(k = \dfrac{f_{tk}}{f_{yk}}\)

γ_s             je dílčí součinitel spolehlivosti pro vyztužení.

Pevnost - Kotvy

Kotvy jsou posuzovány na normálová napětí obdobným způsobem jako vyztužení, přičemž se stanovuje limitní hodnota σ_s,lim.

Kromě toho jsou pro kotvy stanoveny hodnoty N_Ed a V_Ed, které jsou porovnávány s N_Rd,s a V_Rd,s podle zvolené normy. Norma se volí v závislosti na typu kotvy použité v nastavení projektu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Anchor check - Design code selection}}}\]

Protože různé normy volí různé přístupy k posouzení kotev, může uživatel zvolit následující normy pro jednotlivé typy kotev:

• Kotvy ze šroubového materiálu v tahu a/nebo smyku – EN 1992-4, EN 1993-1-8
• Spřahovací trny v tahu a/nebo smyku – EN 1992-4, EN 1994-1-1
• Kotvy v tahu a/nebo smyku – EN 1992-4, EN 1992-1-1
• Kotvy v tlaku a/nebo ohybu – EN 1993-1-1

Posouzení na tah podle EN 1992-4 - 7.2.1.3

\[N_{Rd,s} = \frac{c \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}\]

kde:

• c – redukce pro řezaný závit  
• f_uk – minimální pevnost šroubu v tahu
• A_s – plocha průřezu kotevního šroubu v tahu (redukovaná závitem v případě šroubového materiálu)
• \(\gamma_{Ms} = 1.2 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.4\) – dílčí součinitel spolehlivosti pro ocel 
• f_yk – minimální mez kluzu šroubu

Posouzení na tah podle EN 1993-1-8 - 3.6.1

\[N_{Rd,s} = F_{t.Rd} = \frac{c \cdot k_2 \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}\] 

kde:

• c – snížení tahové únosnosti šroubů s řezaným závitem podle EN 1993-1-8 – čl. 3.6.1. (3) 
• k₂ = 0,9 – součinitel pro kotvy bez zapuštěné hlavy 
• f_ub – pevnost kotevního šroubu v tahu 
• A_s – plocha průřezu kotevního šroubu v tahu (redukovaná závitem v případě šroubového materiálu)
• γ_M2 = 1,25 – dílčí součinitel spolehlivosti pro šrouby (EN 1993-1-8, Tabulka 2.1) 

Posouzení na tah podle EN 1992-1-1 - 3.2.7

\[N_{Rd,s} = \frac{kf_{yk}}{\gamma_{S}}\]

kde:

• \(k=(f_{t}/f_{y})\) je uvedeno v příloze C
• f_yk – charakteristická mez kluzu
• γ_M2 = 1,15 – dílčí součinitel spolehlivosti pro vyztužení

Posouzení na tlak podle EN 1993-1-1 - 6.3

Používá se pro všechny kotvy namáhané normálovou tlakovou silou, bez ohledu na jejich materiál nebo typ uložení. 

\[F_{c,Rd}=\frac{\chi\,A_s f_y}{\gamma_{M2}}\]

kde:

• \(\chi=\dfrac{1}{\Phi+\sqrt{\Phi^2-\bar{\lambda}^2}}\le 1\) – součinitel snížení únosnosti při boulení
• \(\Phi=0.5\left[1+\alpha\left(\bar{\lambda}-0.2\right)+\bar{\lambda}^2\right]\) – hodnota pro stanovení součinitele snížení únosnosti při boulení χ
• \(\alpha=0.49\) – součinitel imperfekce pro křivku boulení c (odpovídající plnému kruhu)
• \(\bar{\lambda}=\sqrt{\dfrac{A_s f_y}{N_{cr}}}\) – poměrná štíhlost
  • A_s – plocha kotvy redukovaná závitem
• \(N_{cr}=\dfrac{\pi^2 E I}{L_{cr}^2}\)  – Eulerova kritická síla
• \(I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}\) – moment setrvačnosti šroubu
  • d_s – průměr kotvy redukovaný závitem
• \(L_{cr}=2\,l\)  – vzpěrná délka; na bezpečné straně se předpokládá, že šroub je vetknut do betonu a může se volně otáčet u patní desky 
• \(l=l_{a}\) – délka prvku kotvy rovná polovině tloušťky patní desky + mezera + polovina průměru šroubu; na bezpečné straně se předpokládá, že podložka a matice nejsou přitlačeny k povrchu betonu (ETAG 001 – příloha C – čl. 4.2.2.4), viz obrázek 34.

Posouzení na smyk podle EN 1992-4 - 7.2.2.3

Pro uložení = přímé se předpokládá smyk bez ramene síly (EN 1992-4 – čl. 7.2.2.3.1):

\[V_{Rd,s} = \frac{k_6 \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}\]

Pro uložení = maltové lože se předpokládá smyk s ramenem síly (EN 1992-4 – čl. 7.2.2.3.2):

\[V_{Rd,s} = \frac{\alpha_M \cdot M_{Rk,s}}{\gamma_{Ms} \cdot l_a}\]

kde:

• k₆ = 0,6 pro kotvy s f_uk ≤ 500 MPa; k₆ = 0,5 jinak
• A_s – smyková plocha kotvy redukovaná závitem
• f_uk – pevnost kotevního šroubu
• α_M = 2 – předpokládá se plné vetknutí (EN 1992-4 – čl. 6.2.2.3)
• \(M_{Rk,s} = M^{0}_{Rk,s} \left(1 - \dfrac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)\) – charakteristická ohybová únosnost kotvy snížená o tahovou sílu v kotvě
•  \(M^{0}_{Rk,s} = 1.2 \cdot W_{el} \cdot f_{ub}\) – charakteristická ohybová únosnost kotvy (ETAG 001, příloha C – rovnice (5.5b))
• \(W_{el} = \dfrac{\pi d^{3}}{32}\) – průřezový modul kotvy
• d – průměr kotevního šroubu; je-li zvolena smyková rovina v závitu (což je vždy případ závitové tyče), použije se průměr redukovaný závitem; jinak se použije jmenovitý průměr, d_nom
• N_Ed – tahová síla v kotvě
• N_Rd,s – tahová únosnost kotvy
• \(l_{a} = 0.5\, d_{\mathrm{nom}} + t_{\mathrm{mortar}} + 0.5\, t_{\mathrm{bp}}\) – rameno síly
• t_mortar – tloušťka malty (zálivky)
• t_bp – tloušťka patní desky
• \(\gamma_{Ms} = 1.0 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.25\) pro \(f_{uk} \le 800 \text{ MPa}\) a  \(\dfrac{f_{yk}}{f_{uk}} \le 0.8\); γ_Ms = 1,5 jinak – dílčí součinitel spolehlivosti pro porušení oceli (EN 1992-4 – Tabulka 4.1)

Posouzení na smyk podle EN 1993-1-8 - 6.2.2

Smyková ocelová únosnost kotvy se stanovuje podle EN 1993-1-8 – 6.2.2 (7) bez ohledu na přímé nebo maltové lože uložení. Pevnost a tloušťka zálivky musí odpovídat čl. 6.2.5 (7).

\[V_{Rd,s} = F_{v,b,Rd} = \min \left\{ F_{1v,b,Rd} ,\, F_{2v,b,Rd} \right\}\]

kde:

\[F_{1v,b,Rd} = \frac{\alpha_v \cdot f_{ub} \cdot A}{\gamma_{M2}}\]

• α_v = 0,6 pro třídy 4.6, 5.6, 8.8 a 0,5 pro třídy 4.8, 5.8, 6.8, 10.9
• f_ub – pevnost šroubového materiálu v tahu
• A – plocha průřezu šroubu v tahu, A = A_s, kde As je plocha průřezu šroubu v tahu (redukovaná závitem)
• γ_M2 – součinitel spolehlivosti – EN 1993-1-8 – Tabulka 2.1

\[F_{2v,b,Rd} = \frac{\alpha_b \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}\]

• ​ \(\alpha_b = 0.44 - 0.0003\, f_{yb}\)
• α_b je součinitel závisející na mezi kluzu kotevního šroubu
• f_yb – mez kluzu kotvy; 235 MPa ≤ f_yb ​≤ 640 MPa
• f_ub – pevnost kotvy v tahu 
• A_s – plocha průřezu v tahu (redukovaná závitem)

Posouzení na smyk podle EN 1993-1-1 - 6.2.6

Tato normová posouzení se vztahují na kotvy připojené k patní desce s mezerou nebo na přímo zatíženou kotvu s vyčnívající délkou větší než 0,5násobek jejich průměru.

\[V_{pl,Rd}=\frac{A_v f_y/\sqrt{3}}{\gamma_{M2}}\]

kde:

• A_V = 0,844 A_s – smyková plocha
• A_s – plocha šroubu redukovaná závitem
• f_y – mez kluzu šroubu
• γ_M2 – dílčí součinitel spolehlivosti (definovaný v nastavení projektu)

Posouzení na smyk podle EN 1994-1-1 - 6.6.3.1

\[V_{Rd,s} = P_{Rd} = \frac{0.8 \, f_u \, \pi \, d^2}{4 \, \gamma_v}\]

kde:

• γ_v je dílčí součinitel spolehlivosti pro spřažení podle EN 1994-1-1 čl. 2.4.1.2. Doporučená hodnota γ_v je 1,25
• d je průměr dříku trnu, 16 mm ≤ d ≤ 25 mm;
• f_u je stanovená pevnost materiálu trnu v tahu, nejvýše však 500 MPa.

V EN 1994-1-1 čl. 6.6.3.1 je rovněž uvedena rovnice (6.19), která omezuje smykovou únosnost trnu prostřednictvím únosnosti betonu při protlačení (otlačení). V IDEA StatiCa Detail tento způsob porušení není posuzován samostatným normovým vzorcem v postprocesingu. Místo toho je zahrnut přímo do nelineární analýzy metodou konečných prvků jako kritérium zastavení: analýza je ukončena dříve, než smyková síla v kotvě dosáhne odpovídající hodnoty P_Rd
z rovnice (6.19). Tento přístup je použit proto, že rovnice (6.19) platí pouze pro spřahovací trny přivařené k ocelovému plechu a pro průměry trnů v rozsahu 16 mm ≤ d ≤ 25 mm, jak je uvedeno v čl. 6.6.3.1.

Pro pokrytí širšího rozsahu praktických případů byla vytvořena série 3D referenčních modelů v programu Abaqus s průměry kotev od 8 mm do 50 mm a pevnostními třídami betonu od C16/20 do C50/60. Trny byly modelovány buď tuhým přivařením k patní desce, nebo kloubovým spojením. Materiálové modely a parametry kontaktu v Detail byly následně kalibrovány na základě těchto simulací v Abaqus, které byly samy ověřeny vůči rovnici (6.19) v rámci její oblasti platnosti. Toto kritérium zastavení platí pro všechny typy kotev a všechny normy EN.

Posouzení na ohyb podle EN 1993-1-1 - 6.2.5

\[M_{pl,Rd}=\frac{W_{pl} f_y}{\gamma_{M2}}\]

kde:

• \(W_{pl}=\dfrac{d_s^{3}}{6}\) – průřezový modul šroubu
  • d_s – průměr kotvy redukovaný závitem
• f_y – mez kluzu materiálu
• γ_M2 – dílčí součinitel spolehlivosti (definovaný v nastavení projektu)

Návrhový ohybový moment M_Ed – Působí-li smykové zatížení s ramenem síly, musí být zohledněn ohybový moment působící na spojovací prvek. Návrhový ohybový moment působící na spojovací prvek se vypočítá podle EN 1993-1-1 vzorec (6.1):

\[M_{Ed}=V_{Ed}\cdot\frac{l_a}{\alpha_M}\]

kde:

• V_Ed – smykové zatížení působící na posuzovaný spojovací prvek
• l_a = a₃ + e₁
  • a₃ = 0,5d_nom, kde d_nom je průměr kotvy
  • e₁ – vzdálenost mezi smykovým zatížením a povrchem betonu, bez uvažování tloušťky případné vyrovnávací zálivky
• α_M = 2 – předpokládá se plné vetknutí (EN 1992-4 – čl. 6.2.2.3)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Buckling length}}}\]

Interakce tahu a smyku v oceli kotvy

Interakce tahu a smyku podle EN 1993-1-8 je implicitně zahrnuta v posouzení kotvy na smyk.

Interakce tahu a smyku podle EN 1992-4 je stanovena samostatně pro způsoby porušení oceli a betonu podle Tabulky 7.3. Interakce v oceli je posuzována pro každou kotvu samostatně.

\[\left( \frac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)^{2}+\left( \frac{V_{Ed}}{V_{Rd,s}} \right)^{2}\le 1\]

EN 1994-1-1 uvádí v článku 6.6.3.2, že pokud je tahová síla v kotvě větší než 0,1P_Rd, posouzení není touto normou pokryto. V takovém případě je interakce v aplikaci posuzována v souladu s EN 1992-4. V takovém případě by posouzení na smyk podle EN 1994-1-1 nemělo být uvažováno.

Interakce tahu nebo tlaku a ohybu v oceli kotvy EN 1993-1-1 - 6.2.1

\[\frac{N_{Ed}}{N_{Rd}}+\frac{M_{Ed}}{M_{Rd}}\le 1\]

kde:

• N_Ed – návrhová síla v tahu (kladná) nebo v tlaku (záporné znaménko)
• N_Rd – návrhová únosnost v tahu (kladná, F_t,Rd) nebo v tlaku (záporné znaménko, F_c,Rd)
• M_Ed – návrhový ohybový moment
• M_Rd = M_pl,Rd – návrhová ohybová únosnost

Posouzení na vytažení pro kotvy s hlavou (podložky a spřahovací trny)

Pro kotvy s hlavou je implementováno dodatečné kritérium zastavení pro kontrolu otlačení betonu (drcení) nad hlavou kotvy – vytažení. Během analýzy je sledována tlaková síla přenášená kontaktem hlavy s betonem a porovnávána s limitní hodnotou stanovenou podle EN 1992-4, čl. 7.2.1.5 (vytažení kotev s hlavou).

\[N_{Rd,p} = k_2 \cdot A_h \cdot f_{ck} / \gamma_{Mp}\]

kde:

• A_h je únosná plocha hlavy spojovacího prvku (bez plochy dříku). 
• f_ck je charakteristická pevnost betonu v tlaku – EN 1992-1-1 čl. 3.1.2
• γ_Mp je v aplikaci uvažováno jako γ_Mp = γ_c s výchozí hodnotou 1,5
•  k₂​ je vždy uvažováno jako 7,5, tj. hodnota pro popraskané beton. To je v souladu s přístupem CSFM použitým v Detail, kde je pevnost betonu v tahu zanedbána a beton je považován za popraskané v tahu. 

Jakmile kontaktní síla dosáhne tohoto normou stanoveného limitu, je spuštěno kritérium zastavení a analýza je ukončena dříve, než je překročena návrhová únosnost při vytažení.

Kotvení – napětí v soudržnosti

Smykové napětí v soudržnosti je vyhodnocováno samostatně jako poměr mezi napětím v soudržnosti τ_b vypočítaným analýzou MKP a mezní pevností v soudržnosti f_bd, podle EN 1992-1-1 čl. 8.4.2:

\[\frac{τ_{b}}{f_{bd}}\le 1\]

\[f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}\]

kde:

• f_ctd      je návrhová hodnota pevnosti betonu v tahu podle EN 1992-1-1 čl. 3.1.6 (2). Vzhledem k rostoucí křehkosti betonů vyšších pevností je f_ctk,0.05 omezena na hodnotu pro C60/75 podle EN 1992-1-1 čl. 8.4.2 (2)
• η₁       je součinitel vztahující se ke kvalitě podmínek soudržnosti a poloze prutu při betonáži (obr. 34).
• η₁ = 1,0 při splnění podmínek „dobré" soudržnosti a
• η₁ = 0,7 ve všech ostatních případech a pro pruty v konstrukčních prvcích betonovaných do posuvného bednění, pokud nelze prokázat existenci „dobrých" podmínek soudržnosti
• η₂        závisí na průměru prutu:
  η₂ = 1,0 pro Ø ≤ 32 mm
  η₂ = (132 - Ø)/100 pro Ø > 32 mm

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}\]

V IDEA StatiCa Detail jsou podmínky soudržnosti zohledněny podle obr. 34 c) a d). Směr betonáže lze v aplikaci nastavit pro každou položku projektu následovně:

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Direction of concreting}}}\]

Tato posouzení jsou prováděna s ohledem na příslušné limitní hodnoty pro jednotlivé části konstrukce (tj. přestože je použita jediná třída betonu i vyztužení, výsledné diagramy napětí-přetvoření se v každé části konstrukce budou lišit v důsledku vlivů tahového zpevnění a tlakového změkčení).

Kotvení – celková síla

Celková síla F_tot a limitní síla F_lim

Celková síla F_tot je výsledkem analýzy metodou konečných prvků a lze ji definovat dvěma způsoby.

\[F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}\]

kde A_s je plocha prutu vyztužení a σ_s je napětí v prutu.

Nebo jako součet kotevní síly F_a a síly ze soudržnosti F_bond.

\[F_{tot}=F_{a}+F_{bond}\]

kde F_a je skutečná síla v kotevní pružině a F_bond je síla ze soudržnosti, kterou lze získat integrací napětí v soudržnosti τ_b po délce prutu vyztužení l.

\[F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx\]

C_s je obvod prutu vyztužení.

Limitní síla F_lim je maximální síla v prvku prutu vyztužení s ohledem na mezní pevnost prutu a také podmínky kotvení (soudržnost mezi betonem a vyztužením a kotevní háky, smyčky apod.).

\[F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)\]

\[F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}\]

\[F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}\]

\[F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}\]

kde C_s je obvod prutu vyztužení a l je délka od začátku prutu k posuzovanému místu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Definition of the limit force Flim}}}\]

\[F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}\]

kde F_lim,add je dodatečná síla vypočítaná z velikosti úhlu mezi sousedními prvky. F_lim,2 musí být vždy menší než F_u.

Typy kotvení na konci vyztužení (kotvy a pruty)

Dostupné typy kotvení v 3D CSFM zahrnují přímý prut (tj. bez redukce kotevní délky), ohyb, hák, smyčku, přivařený příčný prut, dokonalou soudržnost a průběžný prut. Všechny tyto typy spolu s příslušnými součiniteli kotvení β jsou znázorněny na obr. 36 pro podélné vyztužení a na obr. 37 pro třmínky. Hodnoty použitých součinitelů kotvení jsou v souladu s EN 1992-1-1 čl. 8.4.4 Tab. 8.2. Je třeba poznamenat, že přes různé dostupné možnosti rozlišuje 3D CSFM tři typy konců kotvení: (i) bez redukce kotevní délky, (ii) redukce o 30 % kotevní délky v případě normalizovaného kotvení a (iii) dokonalá soudržnost.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the 3D CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}\]

Aby bylo dosaženo souladu s EN 1992-1-1, musí být v výpočtu použita kotevní pružina; kotevní pružina je upravena součinitelem β, takže uživatel musí při definování podmínek začátku a konce vyztužení použít jeden z dostupných typů kotvení. 

5 Konstrukční posouzení podle ACI 318-19

3D CSFM je v souladu s ACI 318-19, článek 6.8.1.1. Aby 3D CSFM splňovalo požadavky ACI 318-19, oddíl 6.8.1.2, bylo provedeno rozsáhlé ověřovací testování na různých univerzitách. Jednotlivé články shrnující výsledky ověření a validace jsou dostupné na následujícím odkazu.

• Ověření: Detail 3D

5.1 Modely materiálů v 3D CSFM (ACI)

Beton - Pevnost

Model betonu implementovaný pro výpočty pevnosti v CSFM vychází z parabolicko-plastické křivky napětí-přetvoření betonu podle parabolické křivky napětí-přetvoření Portland Cement Association popsané v PCA's Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, obrázek 6-8. Tahová pevnost je zanedbána, stejně jako v klasickém návrhu železobetonových konstrukcí.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}\]

Implementace CSFM v IDEA StatiCa Detail neuvažuje explicitní kritérium porušení z hlediska přetvoření betonu v tlaku (tj. po dosažení maximálního napětí uvažuje plastickou větev s ε_c0 s maximální hodnotou 5 %, zatímco ACI 318-19 čl. 22.2.2.1 předpokládá mezní přetvoření menší než 0,3 %). Toto zjednodušení neumožňuje ověřit deformační kapacitu konstrukcí porušených tlakem. Pevnost je však správně předpovězena, pokud je nárůst křehkosti betonu s rostoucí pevností zohledněn pomocí redukčního součinitele \(\eta_{fc}\) definovaného v fib Model Code 2010 takto:

\[f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

kde:

α₁ je redukční součinitel tlakové pevnosti betonu definovaný v ACI 318-19 čl. 22.2.2.4.1. Při použití diagramu napětí-přetvoření ve tvaru paraboly-obdélníku je nutné maximální tlakové napětí tímto součinitelem redukovat. Tím se průměruje rozložení napětí v tlačené zóně tak, aby výsledná tlaková pevnost byla menší nebo rovna tlakové pevnosti vypočtené pomocí diagramu napětí-přetvoření s klesající plastickou větví.

Φ_c je součinitel snížení pevnosti betonu. Výchozí hodnota je nastavena podle ACI 318-19 tabulky 24.2.1 (b)(f).

f'_c je válcová pevnost betonu (v MPa pro definici \( \eta_{fc} \)).

Vyztužení

Uvažuje se dokonale elasto-plastický diagram napětí-přetvoření s definovanou mezí kluzu pro předem nezpínanou výztuž. Viz ACI 319-19 čl. 20.2.1. Definice tohoto diagramu vyžaduje znalost pouze základních vlastností výztuže – pevnosti a modulu pružnosti.

Diagram napětí-přetvoření výztuže může být také definován uživatelem, v takovém případě však nelze uvažovat vliv tahového zpevnění. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}\]

kde:

Φ_s je součinitel snížení pevnosti výztuže. Výchozí hodnota je nastavena podle ACI 318-19 tabulky 24.2.1.

f_y je mez kluzu výztuže

E_s je modul pružnosti výztuže

Jako mezní přetvoření, při kterém je výpočet zastaven, je zvoleno 10 %. Toto je považováno za bezpečné na základě ASTM A955/A955M-20c článku 7.

Tahové zpevnění (obr. 42)  je automaticky zohledněno úpravou vstupního diagramu napětí-přetvoření holého prutu výztuže tak, aby byla zachycena průměrná tuhost prutů zabetonovaných v betonu (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

5.2 Součinitele snížení únosnosti a součinitele zatížení

Compatible Stress Field Method je v souladu s moderními návrhových normami. Protože výpočetní modely využívají pouze standardní vlastnosti materiálů, lze bez jakékoli úpravy použít formát dílčích součinitelů bezpečnosti předepsaný v návrhových normách. Vstupní zatížení jsou tak násobena součiniteli a charakteristické vlastnosti materiálů jsou redukovány příslušnými součiniteli snížení únosnosti, přesně jako v konvenční analýze betonu.

Hodnoty součinitelů snížení únosnosti jsou předepsány v ACI 318-19 kapitole 21 a pro kotvy v ACI 318-19 kapitole 17 a AISC 360-16 kapitolách D, E, F, G. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}\]

Součinitele zatížení pro kombinace únosnosti musí být definovány podle ACI 318-19 Tabulky 5.3.1.

Pokud není uvedeno jinak v Kapitole 34, kombinace zatížení na úrovni provozního stavu nejsou v ACI 318-19 definovány. Doporučuje se použít pravidla kombinací na základě Přílohy C normy ASCE/SEI 7-16. Pro všechny šablony jsou součinitele zatížení již předdefinovány.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of load factors in IDEA StatiCa Detail.}}}\]

5.3 Ověření únosnosti v Detail 3D

Různá ověření požadovaná normou ACI 318-19 jsou posuzována na základě přímých výsledků poskytnutých modelem. Ověření jsou prováděna pro únosnost betonu, únosnost vyztužení a kotvení (smykové napětí v soudržnosti).

Únosnost – Beton

Únosnost betonu v tlaku je hodnocena jako poměr mezi maximálním ekvivalentním hlavním napětím f_c,eq (také σ_c,eq v předchozím textu) získaným z analýzy metodou konečných prvků a limitní hodnotou f'_c,lim.

Ekvivalentní hlavní napětí vyjadřuje ekvivalentní jednoosé napětí pro obecný trojosý stav napjatosti.

\[f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}\]

Hodnotu f_c,eq lze tedy přímo porovnat s limity jednoosé únosnosti. Tento výraz je odvozen z implementace teorie plasticity Mohr-Coulomb, konzervativně předpokládající úhel vnitřního tření φ = 0°.

Únosnost – Vyztužení

Únosnost vyztužení je hodnocena jak v tahu, tak v tlaku jako poměr mezi napětím ve vyztužení v trhlinách f_s a stanovenou limitní hodnotou f_y,lim.

\[f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}\]

Únosnost – Kotvy

Kotvy jsou posuzovány na normálová napětí podobným způsobem jako vyztužení, přičemž je stanovena limitní hodnota f_y,lim. 

Pro snazší orientaci v následujícím textu nejprve rozdělíme kotvení do tří skupin z hlediska normového posouzení podle ACI nebo AISC.

Skupina 1

• Typy kotvení
  • Předem zabetonované kotvy – plech
  • Patní deska – Stand-off = přímé 
  • Patní deska – Stand-off = maltové lože – tloušťka malty menší než 0,5násobek průměru kotvy
  • Jednotlivá kotva s vyčnívající délkou menší než 0,5násobek průměru kotvy
• Normové posouzení kotev (ACI / AISC)
  • Tah/tlak
    • Všechny typy kotev v tahu – ACI 318-19 kap. 17.6.1.2  
    • Všechny typy kotev v tlaku – AISC 360-16 kap. E
  • Smyk bez ramene síly
    • Šroubový materiál – ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (b)
    • Spřahovací trny – ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (a)
    • Vyztužení – ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (b)
  • Interakce tahu a smyku – ACI 318-19 kap. 17.8

Skupina 2

• Typy kotvení
  • Patní deska – Stand-off = maltové lože – tloušťka malty větší než 0,5násobek průměru kotvy
• Normové posouzení kotev (ACI / AISC)
  • Tah/tlak
    • Všechny typy kotev v tahu – ACI 318-19 kap. 17.6.1.2  
    • Všechny typy kotev v tlaku – AISC 360-16 kap. E
  • Smyk s ramenem síly
    • Šroubový materiál – ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (b) + kap. 17.7.1.2.1.
    • Spřahovací trny – ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (a) + kap. 17.7.1.2.1.
    • Vyztužení – ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (b) + kap. 17.7.1.2.1.
  • Interakce tahu a smyku – ACI 318-19 kap. 17.8

Skupina 3

• Typy kotvení
  • Patní deska – Stand-off = mezera
  • Jednotlivá kotva s vyčnívající délkou větší než 0,5násobek průměru kotvy
• Normové posouzení kotev (ACI / AISC)
  • Tah/tlak (s boulením)
    • Všechny typy kotev v tahu – ACI 318-19 kap. 17.6.1.2
    • Všechny typy kotev v tlaku – AISC 360-16 kap. E3
  • Ohyb
    • Pro všechny typy kotev – AISC 360-16 kap. F11
  • Smyk
    • Pro všechny typy kotev – AISC 360-16 kap. G
  • Interakce osové síly a ohybu
    • \(\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1\) 

Tahová únosnost kotvy podle ACI 318-19 kap. 17.6.1.2

\[\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}\]

kde:

• ϕ_a,t  – součinitel snížení únosnosti pro kotvy v tahu podle ACI 318-19 kap. 17.5.3 (a)
• A_se,N – plocha průřezu v tahu (redukovaná závitem)
• f_uta – stanovená tahová pevnost oceli kotvy, nesmí být větší než 1,9 f_ya a 860 MPa

Smyková únosnost kotvy podle ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (a)

Únosnost oceli ve smyku pro spřahovací trny se stanoví jako:

\[\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}\]

kde:
ϕ_a,v – součinitel snížení únosnosti pro kotvy v tahu podle ACI 318-19 kap. 17.5.3 (a)
A_se,V – plocha průřezu v tahu (redukovaná závitem)
f_uta – stanovená tahová pevnost oceli kotvy, nesmí být větší než 1,9 f_ya a 860 MPa

Smyková únosnost kotvy podle ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (b)

Únosnost oceli ve smyku pro kotvy ze šroubového materiálu a vyztužení se stanoví jako:

\[\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}\]

kde:

• ϕ_a,v  – součinitel snížení únosnosti pro kotvy v tahu podle ACI 318-19 kap. 17.5.3 (a)
• A_se,V – plocha průřezu v tahu (redukovaná závitem)
• f_uta – stanovená tahová pevnost oceli kotvy, nesmí být větší než 1,9 f_ya a 860 MPa

Smyková únosnost kotvy připojené k základu maltovým ložem – ACI 318-19 kap. 17.7.1.2.1

Pokud jsou kotvy použity s maltovými podložkami (Skupina 2), návrhová únosnost vypočtená podle 17.7.1.2 se násobí hodnotou 0,80.

Interakce tahu a smyku podle ACI 318-19 kap. 17.8

Je přípustné zanedbat interakci mezi tahem a smykem, pokud je splněna podmínka (a) nebo (b).
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Pokud N_ua/(ϕN_n) > 0,2 pro rozhodující únosnost v tahu a V_ua/(ϕV_n) > 0,2 pro rozhodující únosnost ve smyku, musí být splněna rovnice (17.8.3).

\[\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2\]

Tlaková únosnost kotvy podle AISC 360-16 kap. E3

\[P_n =\phi_{a,c}\, F_{cr}\, A_{g}\]

kde:

• ϕ_a,t  – součinitel snížení únosnosti pro kotvy v tlaku podle AISC 360-16 kap. E1
  
• (a) Když: \(\dfrac{L_c}{r} \le 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad\)  nebo     \(\dfrac{F_y}{F_e}\le 2.25\)
  • \(F_{cr}=\left(0.658^{\,F_y/F_e}\right)F_y\)
    
• (b) Když: \(\dfrac{L_c}{r} > 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad\)  nebo     \(\dfrac{F_y}{F_e}> 2.25\)
  • \(F_{cr}=0.877F_e\)
    
• A_g​ – hrubá plocha průřezu prvku
• E – modul pružnosti oceli
• \(F_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{L_c}{r}\right)^2}\) – napětí při pružném boulení
• F_y – stanovená minimální mez kluzu použitého typu oceli
• \(r=\sqrt{\dfrac{I}{A_s}}\) – poloměr setrvačnosti
• \(I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}\) – moment setrvačnosti šroubu 

Ohybová únosnost kotvy podle AISC 360-16 kap. F11

\[M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y\]

kde:

• \(Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}\) – plastický průřezový modul šroubu
• \(S_x=\dfrac{2I}{d_s}\) – elastický průřezový modul šroubu

Smyková únosnost kotvy podle AISC 360-16 kap. G

\[V_n=\phi_{a,v}\,0.6\,A_v\,F_y\]

kde:

• A_V = 0.844As – smyková plocha
• A_s – plocha šroubu redukovaná závitem

Drcení betonu na rozhraní kotva–beton

Smyková únosnost kotvy je také omezena z hlediska drcení betonu na rozhraní kotva–beton. Limitní hodnoty a metoda jejich stanovení jsou podrobně popsány v článku – Smykové chování kotev v železobetonu. Jakmile kontaktní síla dosáhne této limitní hodnoty, je spuštěno stop kritérium a analýza je ukončena dříve, než je únosnost překročena.​ 

Posouzení vytažení pro kotvy s hlavou (podložky a spřahovací trny)

Pro kotvy s hlavou je implementováno dodatečné stop kritérium pro posouzení tlačeného betonu (drcení) nad hlavou kotvy – vytažení. Během analýzy je sledována tlaková síla přenášená kontaktem hlava–beton a porovnávána s limitní hodnotou stanovenou podle ACI 318-19, odst. 17.6.3.2.2a (porušení vytažením kotev s hlavou).

\[N_{pn} = \Phi \cdot \Psi_{c,p} \cdot 8 \cdot A_{brg} \cdot f'_c\]
​

kde:

• \( \Phi\) je součinitel snížení únosnosti – Tabulka 17.5.3(c)
• A_brg čistá plocha opření hlavy trnu, kotevního šroubu nebo žebírkové tyče s hlavou (bez plochy dříku). 
• f'_c je stanovená pevnost betonu v tlaku
• \(\Psi_{c,p}\) je součinitel trhlin při vytažení podle 17.6.3.3 a je vždy uvažován jako 1,0, tj. hodnota pro potrhaný beton. To je v souladu s přístupem CSFM použitým v aplikaci Detail, kde je tahová pevnost betonu zanedbána a beton je uvažován jako potrhaný v tahu.

Jakmile kontaktní síla dosáhne této normou stanovené limitní hodnoty, je spuštěno stop kritérium a analýza je ukončena dříve, než je únosnost při vytažení překročena.​ 

Kotvení –  Napětí v soudržnosti

Smykové napětí v soudržnosti je hodnoceno samostatně jako poměr mezi napětím v soudržnosti τ_b vypočteným metodou konečných prvků a pevností v soudržnosti f_bu.

Ačkoli pevnost v soudržnosti není v ACI 318-19 explicitně definována, výpočet kotevní délky lze nalézt v oddíle 25.4.2. Protože však pevnost v soudržnosti je základním vstupem pro stanovení kotevní délky, viz R25.4.1.1 a ACI Committee 408 1966, lze pevnost v soudržnosti vypočítat následovně:

Předpokládejme, že pokud zakotvíme výztužnou tyč do betonového bloku na kotevní délku l_d nebo větší, vytažení vyztužení povede k přetržení vyztužení, nikoli k vytažení z betonu. To lze vyjádřit následujícím vzorcem.

\[\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}\]

kde:

d_b je průměr výztužné tyče, _d je kotevní délka, f_bu je pevnost v soudržnosti, f_y je mez kluzu vyztužení a A_s je plocha výztužné tyče.

Z výše uvedeného lze snadno odvodit vzorec pro výpočet pevnosti v soudržnosti:

\[f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }\]

Kotevní délka l_d se pak stanoví podle ACI 318-19 Tabulky 25.4.2.3 takto:

\[l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}\]

kde:

C = 25 (2,1 pro metrické jednotky) pro pruty č. 6 a menší a žebírkové dráty, C = 20 (1,7 pro metrické jednotky) pro pruty č. 7 a větší, λ = 1,0 pro beton normální hmotnosti, ψ_t, ψ_e, ψ_g jsou stanoveny podle ACI 318-19 Tabulky 25.4.2.3. 

Je podporováno pouze nepovlakované nebo pozinkované (galvanizované) vyztužení, takže ψ_e = 1,0. ψ_g je automaticky stanoveno z třídy vyztužení a ψ_t je automaticky odvozeno z polohy vyztužení v modelu a ze směru betonáže, který lze v aplikaci nastavit pro každou položku projektu následovně.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad Direction of concreting}}}\]

Tato ověření jsou prováděna s ohledem na příslušné limitní hodnoty pro jednotlivé části konstrukce (tj. přestože je použita jediná třída betonu i vyztužení, výsledné diagramy napětí-přetvoření se budou v každé části konstrukce lišit v důsledku vlivů tahového zpevnění a tlakového změkčení).

Kotvení –  Celková síla

Celková síla F_tot a limitní síla F_lim

Celková síla F_tot je výsledkem analýzy metodou konečných prvků a lze ji definovat dvěma způsoby.

\[F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}\]

kde A_s je plocha výztužné tyče a f_s je napětí v tyči.

Nebo jako součet kotevní síly F_a a síly v soudržnosti F_bond.

\[F_{tot}=F_{a}+F_{bond}\]

kde F_a je skutečná síla v kotevní pružině a F_bond je síla v soudržnosti, kterou lze získat integrací napětí v soudržnosti τ_b podél délky výztužné tyče l.

\[F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx\]

C_s je obvod výztužné tyče.

Limitní síla F_lim je maximální síla v prvku výztužné tyče s ohledem na únosnost tyče a také na podmínky kotvení (soudržnost mezi betonem a vyztužením a kotevní háky, smyčky atd.).

\[F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)\]

\[F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}\]

kde C_s je obvod výztužné tyče a l je délka od začátku tyče k posuzovanému místu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Definition of the limit force Flim}}}\]

\[F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}\]

kde F_lim,add je dodatečná síla vypočtená z velikosti úhlu mezi sousedními prvky. F_lim,2 musí být vždy menší než F_u.

Dostupné typy kotvení v CSFM zahrnují přímou tyč (tj. bez redukce kotevního konce), hák 90°, hák 180°, dokonalou soudržnost a průběžnou tyč. Všechny tyto typy spolu s příslušnými kotevními součiniteli β jsou znázorněny na Obr. 47 pro podélné vyztužení. Hodnoty přijatých kotevních součinitelů jsou odvozeny z porovnání rovnice z oddílu ACI 318-19 25.4.3.1 a rovnic z oddílu ACI 318-19 25.4.2.3. Je třeba poznamenat, že přes různé dostupné možnosti CSFM rozlišuje tři typy kotevních konců: (i) bez redukce kotevní délky, (ii) redukce o 30 % kotevní délky v případě normalizovaného kotvení a (iii) dokonalá soudržnost.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}\]

Kotevní součinitel pro třmínky je vždy – β = 1,0.

Aby bylo dosaženo souladu s ACI, musí být v výpočtu použita kotevní pružina; kotevní pružina je upravena součinitelem β, takže uživatel musí při definování podmínek začátku a konce vyztužení použít jeden z dostupných typů kotvení. 

6 Konstrukční posouzení podle AASHTO

7 Konstrukční posouzení podle australské normy AS 3600

CSFM je metoda konstrukční analýzy, která splňuje obecná pravidla v kapitolách 6.1.1 a 6.1.2 a je definována jako (f) nelineární analýza napětí v kapitole 6.1.3 – dále v kapitole 6.6. 

Za účelem splnění požadavků v oddílech 6.6.4 a 6.6.5 – více informací lze nalézt v AS3600:2018 Sup 1:2022, oddíl C6.6 – bylo provedeno ověření a validace metody. Jednotlivé články shrnující výsledky ověření a validace jsou dostupné na následujícím odkazu.

• Ověření: Detail 3D

Protože IDEA StatiCa Detail je praktický návrhový program, používají se pro výpočty návrhové charakteristické hodnoty válcové pevnosti betonu v tlaku ve stáří 28 dní f'c , jak je popsáno v následující kapitole.

7.1 Modely materiálů v 3D CSFM (AS 3600)

Beton - Pevnost

Model betonu implementovaný pro výpočty pevnosti v CSFM je založen na parabolicko-plastickém diagramu napětí-přetvoření. Tahová pevnost je zanedbána, stejně jako v klasickém návrhu železobetonových konstrukcí.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}\]

Implementace CSFM v IDEA StatiCa Detail neuvažuje explicitní kritérium porušení z hlediska přetvoření betonu v tlaku (tj. po dosažení maximálního napětí uvažuje plastickou větev s ε_cp s maximální hodnotou 5 %, zatímco AS 3600 Cl. 8.3.1 předpokládá mezní přetvoření menší než 0,3 %). Toto zjednodušení neumožňuje ověřit deformační kapacitu konstrukcí porušovaných tlakem. Pevnost je však správně předpovězena, pokud je nárůst křehkosti betonu s rostoucí pevností zohledněn pomocí redukčního součinitele \(\eta_{fc}\) definovaného v fib Model Code 2010 takto:

\[f'_{c,lim}=\alpha_{2}\cdot\phi_{s} \cdot \eta_{fc}\cdot f'_{c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

kde:

α₂ je redukční součinitel tlakové pevnosti betonu definovaný v AS 3600 Cl. 8.3.1
Při použití parabolicko-obdélníkového diagramu napětí-přetvoření je nutné snížit maximální tlakové napětí tímto součinitelem. Tím se zprůměruje rozložení napětí v tlačené zóně tak, aby výsledná tlaková pevnost byla menší nebo rovna tlakové pevnosti vypočtené pomocí diagramu napětí-přetvoření s klesající plastickou větví. Analogický přístup je definován pro obdélníkový blok napětí v kapitole 8.1.3.

Φ_s je redukční součinitel napětí betonu. Výchozí hodnota je stanovena podle AS 3600 Table 2.2.3.

f'_c je válcová pevnost betonu (v MPa pro definici \( \eta_{fc} \)).

Vyztužení

Uvažuje se dokonale elasto-plastický diagram napětí-přetvoření s definovanou mezí kluzu pro nevypínané vyztužení, viz AS 3600 Section 3.2. Definice tohoto diagramu vyžaduje znalost pouze základních vlastností vyztužení – pevnosti a modulu pružnosti.

Diagram napětí-přetvoření vyztužení může být také definován uživatelem, v takovém případě však nelze uvažovat tahové zpevnění (nelze vypočítat šířku trhlin). 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}\]

kde:

Φ_s je součinitel snížení únosnosti pro vyztužení. Výchozí hodnota je stanovena podle AS 3600 Table 2.2.3.

f_y je mez kluzu vyztužení

E_s modul pružnosti vyztužení

Tahové zpevnění (Obr. 59)  je automaticky zohledněno úpravou vstupního diagramu napětí-přetvoření holé výztužné tyče tak, aby byla zachycena průměrná tuhost tyčí zabetonovaných v betonu (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

7.2 Faktory redukce napětí a pevnosti a součinitele zatížení

Compatible Stress Field Method je v souladu s moderními návrhových normami. Protože výpočetní modely využívají pouze standardní vlastnosti materiálů, lze bez jakékoli úpravy použít formát dílčích součinitelů spolehlivosti předepsaný v návrhových normách. Vstupní zatížení jsou tak násobena součiniteli a charakteristické vlastnosti materiálů jsou redukovány příslušnými faktory redukce napětí, přesně jako v konvenční analýze betonu.

Hodnoty faktorů redukce napětí jsou předepsány v AUS 3600 Cl. 2.2.3 a dalších oddílech znázorněných na následujícím obrázku.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60\qquad The setting of stress reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}\]

Součinitele zatížení pro kombinace únosnosti musí být definovány podle AS 3600 Cl. 4.2.2. Součinitele zatížení pro kombinace použitelnosti se stanoví podle Tabulky 4.1. Pro všechny šablony jsou součinitele zatížení již předdefinovány.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

7.3 Ověření únosnosti a kotvení v Detail 3D

Různá ověření požadovaná normou AS 3600 jsou posuzována na základě přímých výsledků poskytnutých modelem. Ověření jsou prováděna pro pevnost betonu, pevnost vyztužení a kotvení (smykové napětí v soudržnosti).

Únosnost – Beton

Pevnost betonu v tlaku je hodnocena jako poměr mezi maximálním ekvivalentním hlavním napětím f_c,eq (také σ_c,eq v předchozím textu) získaným z analýzy metodou konečných prvků a limitní hodnotou f'_c,lim.

Ekvivalentní hlavní napětí vyjadřuje ekvivalentní jednoosé napětí pro obecný trojosý stav napjatosti.

\[f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}\]

Hodnotu f_c,eq lze tedy přímo porovnat s limity jednoosé pevnosti. Tento výraz je odvozen z implementace Mohr-Coulombovy teorie plasticity, přičemž konzervativně předpokládá úhel vnitřního tření φ = 0°.

Únosnost – Vyztužení

Pevnost vyztužení je hodnocena jak v tahu, tak v tlaku jako poměr mezi napětím ve vyztužení v trhlinách f_s a stanovenou limitní hodnotou f_sy,lim.

\[f_{sy,lim} = \phi_{s} \cdot f_{sy}\]

Únosnost – Kotvy

Kotvy jsou posuzovány na normálová napětí podobným způsobem jako vyztužení, přičemž je stanovena limitní hodnota f_sy,lim. 

Pro snazší orientaci v následujícím textu nejprve rozdělíme kotvení do tří skupin z hlediska normového posouzení podle AS 5216 a AS 4100.

Skupina 1

• Typy kotvení
  • Předem zabetonované kotvy – plech
  • Patní deska – Stand-off = přímé 
  • Patní deska – Stand-off = maltové lože – tloušťka malty menší než 0,5násobek průměru kotvy
  • Jednotlivá kotva s vyčnívající délkou menší než 0,5násobek průměru kotvy
• Normové posouzení kotev
  • Tah/tlak
    • Všechny materiály v tahu – AS 5216 kap. 6.2.2
    • Všechny typy kotev v tlaku – AS 4100 kap. 6.3.3
  • Smyk bez ramene síly
    • Všechny materiály – AS 5216 kap. 7.2.2.2
  • Interakce tahu a smyku – AS 5216 kap. 8.1.1

Skupina 2

• Typy kotvení
  • Patní deska – Stand-off = maltové lože – tloušťka malty větší než 0,5násobek průměru kotvy
• Normové posouzení kotev
  • Tah/tlak
    • Všechny materiály v tahu – AS 5216 kap. 6.2.2
    • Všechny typy kotev v tlaku – AS 4100 kap. 6.3.3
  • Smyk s ramenem síly
    • Všechny materiály – AS 5216 kap. 7.2.2.3

Ověření interakce podle AS 5216 se nevyžaduje pro dodatečně instalované kotvy nebo šrouby v kotvicích lištách namáhané smykovou silou s ramenem, protože tato interakce je zohledněna v rovnici 7.2.2.3(2).

Skupina 3

• Typy kotvení
  • Patní deska – Stand-off = mezera
  • Jednotlivá kotva s vyčnívající délkou větší než 0,5násobek průměru kotvy
• Normové posouzení kotev (ACI / AISC)
  • Tah/tlak (s boulením)
    • Všechny materiály v tahu – AS 5216 kap. 6.2.2 nebo AS 4100 kap. 9.2.2.2 (lze vybrat v nastavení)
    • Všechny typy kotev v tlaku – AS 4100 kap. 6.3.3
  • Ohyb
    • Pro všechny typy kotev – AS 4100 kap. 5.1
  • Smyk
    • Pro všechny typy kotev – AS 4100 kap. 5.11
• Interakce popsána dále

Tahová únosnost kotvy podle AS 5216 kap. 6.2.2

\[\phi N_{tf}=\phi_{Ms}\,A_s\,f_{uf}\]

kde:

• ϕN_tf – návrhová únosnost kotvy v tahu
• \(\phi_{Ms}=\dfrac{5 f_{yf}}{6 f_{uf}}\le \dfrac{1}{1.4}\) – součinitel snížení únosnosti pro kotvy v tahu podle AS 5216 Tabulka 3.2.4
• A_s – plocha průřezu v tahu (snížená o závit)
• f_uf – stanovená pevnost oceli kotvy v tahu 

Smyková únosnost kotvy podle AS 5216 kap. 7.2.2.2

Pevnost oceli ve smyku bez ramene síly se stanoví jako:

\[\phi V_{Rk,s}=\phi_{Ms}\,0.62\,f_{uf}\,A\]

kde:

• ϕV_tf – návrhová únosnost kotvy ve smyku
• A_s  – plocha průřezu v tahu (snížená o závit)
• f_uf – stanovená pevnost oceli kotvy v tahu 
• \(\phi_{Ms}=\begin{cases}\dfrac{f_{yf}}{f_{uf}} \le 0.8, & \text{when } f_{uf}\le 800~\text{MPa and } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}\le 0.8 \\[8pt] \dfrac{2}{3}, & \text{when } f_{uf}> 800~\text{MPa or } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}> 0.8 \end{cases}\)

Návrhová únosnost jednotlivého spojovacího prvku v případě porušení oceli, nebo spojovacích prvků s poměrem h_ef / d_nom < 5 a třídou pevnosti betonu v tlaku < 20 MPa, by měla být návrhová únosnost ϕV_tf vynásobena součinitelem 0,8.

Smyková únosnost kotvy podle AS 5216 kap. 7.2.2.3

Pevnost oceli ve smyku s ramenem síly se stanoví jako:

\[\phi V_{Rk,s,M}=\phi_{Ms}\,\frac{\alpha_M\,M_{Rk,s}}{l_a}\]

kde:

• α_M = 2 – parametr zohledňující stupeň vetknutí, předpokládá se, že pata je zajištěna proti otáčení – Cl. 4.2.2.4
• \(M_{Rk,s}=M_{Rk,s}^{0}\left(1-\dfrac{N^{*}}{\phi_{Ms}\,N_{Rk,s}}\right)\) – charakteristická ohybová únosnost spojovacího prvku ovlivněná osovou silou
• \(l_a = a_3 + e_1 - l_e\) – délka ramene síly
• \(a_3 = 0.5\,d \) – vzdálenost mezi předpokládaným místem vetknutí spojovacího prvku namáhaného smykem a povrchem betonu
• \(e_1 = t_g + \dfrac{t_{fix}}{2}\) – excentricita působící smykové síly vůči povrchu betonu, bez uvažování tloušťky vyrovnávací malty nebo maltového lože
• t_g – tloušťka vrstvy malty
• t_fix – tloušťka patní desky
• d – jmenovitý průměr spojovacího prvku
• N* – návrhová tahová síla
• ϕ_Ms N_Rk,s – tahová únosnost spojovacího prvku při porušení oceli
• \(M_{Rk,s}^{0}=1.2\,W_{el}\,f_{uf}\) – charakteristická ohybová únosnost spojovacího prvku – ETAG 001 – Příloha C
• \(W_{el}=\dfrac{\pi d_s^{3}}{32}\) – elastický průřezový modul spojovacího prvku, průměr snížený o závit
• \(d_s=\sqrt{\dfrac{4A_s}{\pi}}\) – používá se místo jmenovitého průměru d pro závitové tyče a podložky
• \(\phi_{Ms}=\begin{cases}\dfrac{f_{yf}}{f_{uf}} \le 0.8, & \text{when } f_{uf}\le 800~\text{MPa and } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}\le 0.8 \\[8pt] \dfrac{2}{3}, & \text{when } f_{uf}> 800~\text{MPa or } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}> 0.8 \end{cases}\)

Interakce tahu a smyku podle AS 5216 kap. 8.1.1

\[\left(\frac{N^{*}}{\phi N_{Rk,s}}\right)^{2}+\left(\frac{V^{*}}{\phi V_{Rk,s}}\right)^{2}\le 1.0\]

Kde:

• N* – návrhová tahová síla působící na jednotlivý spojovací prvek
• V* – návrhová smyková síla působící na jednotlivý spojovací prvek 
• ϕN_Rk,s – návrhová tahová únosnost jednotlivého spojovacího prvku
• ϕV_Rk,s – návrhová smyková únosnost jednotlivého spojovacího prvku

Tahová únosnost kotvy podle AS 4100 kap. 9.2.2.2

\[N_{tf}^{*}\le \phi_{a,t} A_s f_{uf}\]

kde:

• A_s – plocha průřezu v tahu (snížená o závit) podle AS 1275
• ϕ_a,t – součinitel únosnosti pro šrouby podle AS 4100 Tabulka 3.4

Tlaková únosnost kotvy podle AS 4100 kap. 6.3.3

\[\phi N_c=\phi\,\alpha_c\,N_s=\phi\,\alpha_c\,k_f\,A_s\,f_y \le \phi N_s\]

kde:

• ϕ_a,c – součinitel únosnosti pro šrouby podle AS 4100 Tabulka 3.4
• \(N_c=\alpha_c\,N_s \le N_s\) – jmenovitá únosnost prvku – Cl. 6.3.3
• \(N_s=k_f\,A_s\,f_y\) – jmenovitá únosnost průřezu – Cl. 6.2
• f_y – mez kluzu kotvy
• \(l_e=k_e\,l\) – účinná délka – Cl. 6.3.2
• k_e = 2 – součinitel účinné délky prvku, konzervativně se předpokládá, že kotva je vetknutá dole a kloubově uložená nahoře jako kyvný prvek
• \(l = l_{gap}+\dfrac{d}{2}+\dfrac{t_p}{2}\) – předpokládaná délka prvku
• l_gap – výška mezery
• d – jmenovitý průměr šroubu
• t_p – tloušťka patní desky
• \(\alpha_c=\xi\left[\,1-\sqrt{\,1-\left(\dfrac{90}{\xi\,\lambda}\right)^2}\,\right]\) – součinitel snížení únosnosti při štíhlosti prvku
• \(\xi=\frac{\left(\dfrac{\lambda}{90}\right)^2+1+\eta}{2\left(\dfrac{\lambda}{90}\right)^2}\)
• \(\lambda=\lambda_n+\alpha_a\alpha_b\)
• \(\eta=0.00326(\lambda-13.5)\ge 0\)
• \(\lambda_n=\left(\frac{l_e}{r}\right)\sqrt{k_f}\,\sqrt{\dfrac{f_y}{250}}\)
• \(\alpha_a=\dfrac{2100(\lambda_n-13.5)}{\lambda_n^2-15.3\lambda_n+2050}\)
• α_b = 0,5 – konstanta průřezu tlačeného prvku – Tabulka 6.3.3
• k_f = 1 – tvarový součinitel – Cl. 6.2.2
• \(r=\sqrt{\dfrac{I_s}{A_s}}\) – poloměr setrvačnosti
• \(I_s=\dfrac{1}{64}\,\pi d_s^{4}\) – moment setrvačnosti
• A_s – plocha průřezu šroubu v tahu podle AS 1275
• \(d_s=\sqrt{\dfrac{4A_s}{\pi}}\) – průměr snížený o závit

Ohybová únosnost kotvy podle AS 4100 kap. 5.1

\[\phi M_s=\phi\,f_y\,Z_e\]

kde:

• ϕ_a,b – součinitel únosnosti pro šrouby podle AS 4100 Tabulka 3.4
• f_y – mez kluzu kotvy
• \(Z_e=\min\left(S,\,1.5\,Z\right)\) – účinný průřezový modul – Cl. 5.2.3
• \(S=\dfrac{d^{3}}{6}\) – plastický průřezový modul; pokud existuje závit, jmenovitý průměr d se nahradí průměrem sníženým o závit, d_s
• \(Z=\dfrac{1}{32}\,\pi d^{3}\) – elastický průřezový modul; pokud existuje závit, jmenovitý průměr d se nahradí průměrem sníženým o závit, d_s

Smyková únosnost kotvy podle AS 4100 kap. 5.11

\[\phi V_w = 0.6\,f_y\,A_w\]

kde:

• ϕ – součinitel únosnosti pro šrouby podle AS 4100 Tabulka 3.4
• f_y – mez kluzu kotvy
• A_w = 0,844 A_s – smyková plocha
• A_s – plocha průřezu v tahu (snížená o závit)

Interakce tahu a ohybu 

\[\frac{N_{tf}^{*}}{\phi N_t}+\frac{M^{*}}{\phi M_s}\le 1\]

kde:

• N^*_tf   – návrhová tahová síla
• ϕN_t – návrhová tahová únosnost kotvy
• M^*   – návrhový ohybový moment od smyku na rameni síly
• ϕ_Ms – návrhová ohybová únosnost kotvy

Interakce tlaku a ohybu

\[\frac{N^{*}}{\phi N_c}+\frac{M^{*}}{\phi M_s}\le 1\]

kde:

• N^*   – návrhová tlaková síla
• ϕN_c – návrhová tlaková únosnost kotvy
• M^*   – návrhový ohybový moment od smyku na rameni síly
• ϕ_Ms – návrhová ohybová únosnost kotvy

Drcení betonu na rozhraní kotva–beton

Smyková únosnost kotvy je rovněž omezena z hlediska drcení betonu na rozhraní kotva–beton. Limitní hodnoty a způsob jejich stanovení jsou podrobně popsány v článku – Smykové chování kotev v železobetonových konstrukcích. Jakmile kontaktní síla dosáhne tohoto limitu, je aktivováno zastavovací kritérium a analýza je ukončena dříve, než je překročena únosnost.​ 

Posouzení vytažení pro kotvy s hlavou (podložky a spřahovací trny)

Pro kotvy s hlavou je implementováno dodatečné zastavovací kritérium pro posouzení otlačení betonu (drcení) nad hlavou kotvy – vytažení. Během analýzy je sledována tlaková síla přenášená kontaktem hlava–beton a porovnávána s limitní hodnotou stanovenou podle AS 5216:2021 Cl. 6.3.4 (porušení vytažením kotev s hlavou).

\[N_{Rd,p} = \Phi_{Mp} \cdot k_{2} \cdot A_{h} \cdot f'_{c}\]
​

kde:

• \( \Phi_{Mp}\) je součinitel snížení únosnosti – Tabulka 3.2.4
• A_h je plocha hlavy spojovacího prvku přenášející zatížení (bez plochy dříku). 
• f'_c je stanovená pevnost betonu v tlaku
• k₂ se vždy uvažuje jako 7,5, tj. hodnota pro popraskané betony. To je v souladu s přístupem CSFM používaným v aplikaci Detail, kde se zanedbává pevnost betonu v tahu a předpokládá se, že beton je v tahu popraskán.

Jakmile kontaktní síla dosáhne tohoto normativního limitu, je aktivováno zastavovací kritérium a analýza je ukončena dříve, než je překročena návrhová únosnost při vytažení.​ 

Kotvení – napětí v soudržnosti

Smykové napětí v soudržnosti je hodnoceno samostatně jako poměr mezi napětím v soudržnosti τ_b vypočteným analýzou metodou konečných prvků a návrhovou mezní hodnotou napětí v soudržnosti f_bu.

Pro stanovení návrhové mezní hodnoty napětí v soudržnosti f_bu je v aplikaci uvažován vzorec C13.1.2.2 definovaný v AS3600:2018 Sup 1:2022.

\[f_{bu}=\frac{k_{2}}{k_{1} \cdot k_{3}} \cdot (0.5 \cdot \sqrt{f'_{c}})\]

Kde f'_c ≤ 65 MPa (ve vzorci je v MPa) a součinitele k jsou stanoveny z AS 3600 Cl. 13.1.2.2 takto:

k₃ = 0,7                                 (konzervativní hodnota pro veškeré vyztužení)
k₂ = (132 - d_b) / 100             (d_b je průměr prutu v milimetrech)
= 1,3 pro vodorovný prut s více než 300 mm betonu zabetonovaného pod prutem, jinak 1,0

k₁ je automaticky odvozen z polohy vyztužení v modelu a ze směru betonáže, který lze v aplikaci nastavit pro každou položku projektu následovně.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 62\qquad Direction of concreting}}}\]

Základní kotevní délka L_sy,tb se vypočítá podle vzorce 13.1.2.2 v AS 3600 takto:

\[L_{sy,tb}=\frac{0.5\cdot k_{1}\cdot k_{3}\cdot f_{sy}\cdot d_{b}}{k_{2}\cdot \sqrt{f'_{c}}}\ge 29 \cdot k_{1}\cdot d_{b}\]

Jak je patrné ze vzorce, základní kotevní délka L_sy,tb je omezena zdola, a proto musí být návrhová mezní hodnota napětí v soudržnosti f_bu v aplikaci omezena stejným způsobem, takže platí:

\[f_{bu}\le \frac{f_{sy}}{116 \cdot k_{1}} \]

Kde f_sy je v MPa.

Odvození omezení f_bu je následující:

\[f_{bu}= \frac{f_{sy}\cdot A_{s}}{ \pi \cdot d_{b} \cdot L_{sy,tb}}=\frac{f_{sy}\cdot \pi \cdot d_{b}^{2}}{4 \cdot \pi \cdot d_{b} \cdot 29 \cdot k{1} \cdot d_{b}} =\frac{f_{sy}}{116 \cdot k_{1}} \]

Celková síla F_tot a limitní síla F_lim

Celková síla F_tot je výsledkem analýzy metodou konečných prvků a lze ji definovat dvěma způsoby.

\[F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}\]

kde A_s je plocha prutu vyztužení a f_s je napětí v prutu.

Nebo jako součet kotvicí síly F_a a síly v soudržnosti F_bond.

\[F_{tot}=F_{a}+F_{bond}\]

kde F_a je skutečná síla v kotvicí pružině a F_bond je síla v soudržnosti, kterou lze získat integrací napětí v soudržnosti τ_b po délce prutu vyztužení l.

\[F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx\]

C_s je obvod prutu vyztužení.

Limitní síla F_lim je maximální síla v prvku prutu s ohledem na pevnost prutu a také podmínky kotvení (soudržnost mezi betonem a vyztužením a kotvicí háky, smyčky atd.).

\[F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)\]

\[F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}\]

kde C_s je obvod prutu vyztužení a l je délka od začátku prutu do sledovaného místa.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 63\qquad Definition of the limit force Flim}}}\]

\[F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}\]

kde F_lim,add je dodatečná síla vypočtená z velikosti úhlu mezi sousedními prvky. F_lim,2 musí být vždy menší než F_u.

Dostupné typy kotvení v CSFM zahrnují přímý prut (tj. bez snížení kotevní délky na konci), standardní ohyb, standardní hák, dokonalou soudržnost a průběžný prut. Všechny tyto typy spolu s příslušnými kotvicími součiniteli β jsou znázorněny na Obr. 64 pro podélné vyztužení. Hodnoty použitých kotvicích součinitelů jsou odvozeny z AS 3600 Cl. 13.1.2. Je třeba poznamenat, že CSFM rozlišuje tři typy zakončení kotvení: (i) bez snížení kotevní délky, (ii) snížení kotevní délky o 50 % v případě normalizovaného kotvení a (iii) dokonalá soudržnost.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 64\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) Standard cog; (c) Standard hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}\]

Kotvicí součinitel pro třmínky je vždy – β = 1,0.

Aby byl splněn požadavek normy AS 3600, musí být ve výpočtu použita kotvicí pružina. Kotvicí pružina je upravena součinitelem β, takže uživatel musí při definování podmínek začátku a konce vyztužení použít jeden z dostupných typů kotvení. 

Ověření a validace

• Ověření: Detail 3D

Reference

1. Wu, D.; Wang, Y.; Qiu, Y.; Zhang, J.; Wan, Y.-K. Determination of Mohr–Coulomb Parameters from Nonlinear Strength Criteria for 3D Slopes. Math. Probl. Eng. 2019, 6927654.
2. Lelovic, S.; Vasovic, D.; Stojic, D. Determination of the Mohr-Coulomb Material Parameters for Concrete under Indirect Tensile Test. Tech. Gaz. 2019, 26, 412–419.
3. Galic, M.; Marovic, P.; Nikolic, Ž. Modified Mohr-Coulomb—Rankine material model for concrete. Eng. Comput. 2011, 28, 853–887.
4. Fan, Q.; Gu, S.C.; Wang, B.N.; Huang, R.B. Two Parameter Parabolic Mohr Strength Criterion Applied to Analyze The Results of the Brazilian Test. Appl. Mech. Mater. 2014, 624, 630–634.