Structural design of concrete 3D discontinuities in IDEA StatiCa Detail

1 Introduction to the 3D CSFM method

1.1 General introduction for the structural design of concrete 3D details
1.2 Main assumptions and limitations
1.3 Mohr-Coulomb plasticity theory implementation in 3D CSFM
1.4 General mechanics assumptions for 3D CSFM

2 Analysis model of IDEA StatiCa 3D Detail

2.1 Introduction to finite element implementation
2.2 General finite element types
2.3 Load transfer devices
2.4 Meshing in 3D CSFM
2.5 Solution method and load-control algorithm for 3D CSFM
2.6 Presentation of 3D results
2.7 Model imported from IDEA StatiCa Connection

3 Model verification

3.1 Limit states

4 Structural verifications according to EUROCODE

4.1 Material models in 3D CSFM (EN)
4.2 Partial safety factors
4.3 Ultimate limit state checks

5 Structural verifications according to ACI 318-19

5.1 Material models in 3D CSFM (ACI)
5.2 Strength reduction and load factors
5.3 Strength verifications

6 Structural verifications according to AASHTO

6.1 Material models in 3D CSFM (AASHTO)
6.2 Resistance and load factors
6.3 Strength limit state verifications

7 Structural verifications according to AS 3600

7.1 Material models in 3D CSFM (AUS)
7.2 Stress and strength reduction factors and load factors
7.3 Strength and anchorage verifications

1 Introduction to the 3D CSFM method

O introducere generală în proiectarea structurală a detaliilor 3D din beton

În practică, inginerii pot întâlni diferite tipuri de elemente finite (de la simple elemente de bară 1D până la elemente 3D de tip solid mai complexe) care sunt utilizate într-o varietate de aplicații pentru analiza și proiectarea elementelor structurale. O caracteristică comună a majorității calculelor din practică tinde să fie comportamentul liniar al modelelor, ale căror avantaje sunt, fără îndoială, viteza, claritatea și, pur și simplu, faptul că pentru o mare varietate de probleme, această soluție este suficientă.

Mai ales în lumea structurilor din beton, se întâmplă adesea că abordarea liniară nu este suficientă, pur și simplu pentru că după apariția primelor fisuri în elementul încărcat, tensiunile se redistribuie și problema devine semnificativ neliniară.

Pentru aceste cazuri, este necesar să se aleagă una dintre abordările mai sofisticate. Pentru cazurile 1D, se pot găsi adesea metode analitice definite direct în coduri. De exemplu, modelele populare Bielă-tiranți pot fi construite pentru elemente plane 2D și zone de discontinuitate (zona D), sau poate fi utilizată metoda mai sofisticată a câmpului de tensiuni implementată în IDEA StatiCa Detail, CSFM.

Cu toate acestea, dacă inginerul întâlnește o problemă care nu poate fi simplificată la un comportament plan, opțiunile sunt foarte limitate. Desigur, se poate construi un model Bielă-tiranți 3D sau se poate utiliza software semi-științific pentru o analiză precisă. Aceste proceduri sunt adesea consumatoare de timp, nu sunt conforme cu codurile și necesită un inginer cu cunoștințe avansate în metode de modelare.

Din acest motiv, IDEA StatiCa a dezvoltat și implementat CSFM 3D (Metoda Câmpului de Tensiuni Compatibil) în aplicația Detail. CSFM 3D extinde CSFM consacrat într-o a treia dimensiune, oferind o soluție rapidă și conformă cu codurile, aplicabilă în primul rând inginerului de zi cu zi, oferindu-i o nouă capacitate unică de a aborda în siguranță detaliile complexe ale structurilor din beton.

Ipoteze principale și limitări pentru CSFM în 3D

3D CSFM definește comportamentul betonului pe baza teoriei plasticității Mohr-Coulomb Modificat pentru încărcare monotonă. Metoda ia în considerare tensiunile principale ale betonului la compresiune și tensiunile din armătură (σ_sr) la fisuri, neglijând rezistența la întindere a betonului (limită de întindere), cu excepția participarea betonului întins asupra armăturii (Participarea betonului întins).

σ_c1r, σ_c2r, σ_c3r ≤ 0 MPa

Barele de armătură sunt legate de elementele finite volumice de beton prin elemente de aderență, permițând alunecarea între beton și armătură. Trebuie menționat că 3D CSFM nu este adecvat pentru simularea betonului simplu din cauza absenței întinderii, ceea ce poate duce la deformații înșelătoare și divergența modelului. În general, teoria Mohr-Coulomb include două proprietăți fundamentale care guvernează evoluția suprafeței de plasticitate la compresiune și parțial la întindere: unghiul de frecare internă φ și parametrul de coeziune c. 3D CSFM presupune un unghi de frecare internă egal cu zero (Fig. 1e), conducând la un calcul conservativ datorită suprafeței de plasticitate care seamănă cu modelul Tresca, independent de primul invariant al tensiunilor.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Basic assumptions of the 3D CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses; (d) stress-strain diagram of reinforcement}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{in terms of stresses at cracks and average strains; (e) Mohr's circles for concrete model in 3D CSFM; (f) bond shear stress-slip}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{relationship for anchorage length verifications.}}}\)

Beton 

Modelul de material prezentat este un model de plasticitate cu suprafețe multiple, dat de combinația modelelor Mohr-Coulomb și Rankine pentru încărcare monotonă. Este important de menționat că acest model nu abordează descărcarea, prin urmare variabilele de stare nu sunt stocate, așa cum ar fi în modelele clasice de plasticitate utilizate pentru încărcare ciclică.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Mohr-Coulomb multi-surface plasticity model for friction angle 0 degree}}}\]

Așa cum s-a menționat deja, modelul de material este destinat utilizării în aplicații care calculează răspunsul betonului armat (nu este adecvat pentru betonul simplu). Aceasta se datorează excluderii betonului la întindere. Prin urmare, modelul nu este adecvat nici pentru elementele structurale în care regulile de proiectare pentru betonul armat, cum ar fi procentul minim de armare, distanța maximă dintre bare etc., nu sunt îndeplinite. Trebuie adăugat, de asemenea, că, din motive de stabilitate numerică, o capacitate de întindere foarte mică este definită în model. Partea de întindere este limitată de planuri corespunzătoare modelului Rankine.

3D CSFM în IDEA StatiCa Detail nu consideră un criteriu explicit de cedare în termeni de deformații pentru betonul la compresiune (adică, consideră o ramură infinit plastică după atingerea tensiunii de vârf). Această simplificare nu permite verificarea capacității de deformare a structurilor care cedează la compresiune. Cu toate acestea, capacitatea lor ultimă este corect estimată atunci când creșterea fragilității betonului odată cu creșterea rezistenței este luată în considerare prin intermediul factorului de reducere 𝜂_𝑓𝑐 definit în fib Model Code 2010 după cum urmează:

\[f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

unde:

f_c este rezistența caracteristică pe cilindru a betonului (în MPa pentru definiția \( \eta_{fc} \)).

f_c,red este apoi comparată cu Tensiunea Principală Echivalentă σ_c,eq din beton, care va fi definită ulterior, desigur, cu luarea în considerare a tuturor factorilor de siguranță prescrisi de cod.

O descriere detaliată a modelului de beton poate fi găsită la următorul link:

• Modelul de Material pentru Beton pentru 3D Detail

Armătură

Diagrama bilineară efort-deformație pentru barele de armătură, așa cum este definită de codurile de proiectare (Fig. 1d), reprezintă un model idealizat. Acest model necesită cunoașterea proprietăților de bază ale armăturii în faza de proiectare, în special clasa de rezistență și ductilitate. Alternativ, utilizatorii au opțiunea de a defini o relație efort-deformație personalizată.

Participarea betonului întins este considerată prin modificarea relației efort-deformație a barei de armătură libere pentru a capta rigiditatea medie a barelor înglobate în beton (ε_m) (Fig 1b).

Ancoraj

Alunecarea dintre armătură și beton este introdusă în modelul cu elemente finite prin considerarea relației constitutive simplificate rigid-perfect plastice prezentate în (Fig. 1f), unde f_bd este valoarea de calcul (valoarea factorizată) a tensiunii ultime de aderență specificată de codul de proiectare pentru condițiile specifice de aderență.

Acesta este un model simplificat cu unicul scop de a verifica prescripțiile de aderență conform codurilor de proiectare (adică, lungimea de ancoraj a armăturii). Reducerea lungimii de ancoraj la utilizarea cârligelor, buclelor și a formelor similare de bare poate fi considerată prin definirea unei anumite capacități la capătul armăturii, după cum va fi descris ulterior.

Ancore

Elementul ancorei este definit ca fiind capabil să transfere forțe normale de întindere sau compresiune, precum și forțe de forfecare, luând în considerare rigiditatea la încovoiere. 

Sunt disponibile următoarele tipuri de ancore:

• Ancore turnate in situ
  • Armătură
  • Placă tip șaibă
  • Dorn cu cap
• Armătură turnată in situ
  • Armătură
  • Tije filetate

Turnat in situ - Armătură

Modelată ca armătură nervurată înglobată în beton. Rezistența de aderență este calculată conform regulilor codului selectat, în același mod ca pentru armătura standard. La capătul ancorei, poate fi definit un Tip de ancoraj, funcționând identic cu armătura - un arc de ancoraj este aplicat cu factorul β setat conform codului ales. Sunt disponibile trei forme geometrice: Dreaptă, Formă-L, Formă-U.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Cast-in reinforcement anchor - shapes}}}\]

Turnat in situ - Placă tip șaibă și Dorn cu cap

Placa tip șaibă și capul dornului cu cap sunt modelate ca element placă-coajă din materialul corespunzător, atașat direct la tija ancorei. Transferă încărcarea către beton prin contact numai la compresiune. Forme disponibile: circulară și pătrată (doar circulară pentru dornul cu cap), cu dimensiuni personalizabile. Modelul plăcii tip șaibă și al capului este elastic și nu este verificat la rezistență. 

La nivelul modelului cu elemente finite, smulgerea ancorei este verificată direct. Contactul la compresiune are criterii de oprire setate astfel încât să nu poată transfera o tensiune de contact mai mare decât cea prescrisă de standardul selectat. În termeni practici, aceasta înseamnă că dacă ancora ar fi încărcată cu o forță care nu respectă verificarea la smulgere, rezultatul ar fi terminarea prematură a calculului, deoarece acest criteriu de oprire ar fi depășit în timpul încărcării ulterioare.

Tija ancorei are rezistență de aderență zero – toată încărcarea este transferată betonului prin placă sau cap.

Post-instalate - Armătură și Tijă filetată

Proiectate ca bare instalate în găuri forate și fixate cu adeziv. Inginerul specifică rezistența de calcul la aderență direct din specificația tehnică a produsului adeziv.

Mai multe informații despre conectarea tipurilor individuale de ancore la placa de bază sau la placa înglobată pot fi găsite în capitolul Tipuri de elemente finite - Dispozitive de transfer al încărcărilor. 

Implementarea teoriei plasticității Mohr-Coulomb în CSFM 3D

În capitolul următor, vom analiza modul în care teoria Mohr-Coulomb este implementată în CSFM 3D. Vom explica cum este luat în considerare efectul de confinare (tensiune triaxială) și cum se calculează Tensiunea Principală Echivalentă σ_c,eq, care este utilizată pentru a determina capacitatea portantă din punctul de vedere al betonului.

Introducere în teorie

Teoria Mohr–Coulomb este un model matematic care descrie răspunsul materialelor fragile la forfecare și tensiune normală. Majoritatea materialelor clasice de inginerie respectă această regulă cel puțin într-o parte a anvelopei lor de cedare la forfecare. În general, teoria se aplică materialelor pentru care rezistența la compresiune depășește cu mult rezistența la întindere.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Mohr-Coulomb Plasticity Model }}}\]

În ingineria structurală, este utilizată pentru a determina sarcina de cedare, precum și unghiul de fisurare pentru deplasarea suprafeței de fisurare în beton și materiale similare. Ipoteza de frecare a lui Coulomb este utilizată pentru a determina combinația de forfecare și tensiune normală care va provoca fisurarea materialului. Cercul lui Mohr este utilizat pentru a determina care tensiuni principale vor produce această combinație de forfecare și tensiune normală și unghiul planului în care se va produce aceasta. Conform principiului normalității, tensiunea introdusă la cedare va fi perpendiculară pe linia care descrie condiția de fisurare. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Meridian plane and tension cut-off}}}\]

Se poate demonstra că un material care cedează conform ipotezei de frecare a lui Coulomb va prezenta o deplasare introdusă la cedare care formează un unghi față de linia de fisurare egal cu unghiul de frecare. Aceasta face ca rezistența materialului să poată fi determinată prin compararea lucrului mecanic extern introdus de deplasare și sarcina externă cu lucrul mecanic intern introdus de deformație și tensiunea de-a lungul liniei de cedare. Prin conservarea energiei, suma acestora trebuie să fie zero, ceea ce permite calculul sarcinii de cedare a construcției.

Implementare în CSFM 3D

În general, pentru un unghi dat de frecare internă a betonului, care este de aproximativ φ = 30-40° în Referința [1], [2], [3], [4], cercurile lui Mohr pentru rezistențele la întindere și compresiune ale betonului pot fi construite ca în Figura 6.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Mohr's circles for concrete}}}\]

Unde f_c este rezistența betonului la compresiune, f_ct este rezistența betonului la întindere, φ este unghiul de frecare internă, iar σ_c1, σ_c3 sunt tensiunile principale ale betonului sub compresiune triaxială.

Se poate observa că pe măsură ce tensiunea principală σ_c3 crește, diferența maximă posibilă dintre valorile σ_c3 și σ_c1, pe care o definim ca σ_c,eq maxim (a se vedea mai jos), crește de asemenea. Această diferență corespunde dublului tensiunii deviatorice definite în literatură ca raza cercurilor lui Mohr.

În CSFM 3D implementat în IDEA StatiCa Detail, unghiul de frecare internă este considerat φ = 0°, după cum se arată în Figura 7.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}\]

Consecința practică a acestei implementări este că diferența maximă dintre σ_c3 și σ_c1 este constantă pe măsură ce σ_c3 crește. 

Tensiunea Principală Echivalentă exprimă tensiunea uniaxială echivalentă pentru o stare generală de tensiune triaxială.

\[\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}\]

Valoarea σ_c,eq poate fi, prin urmare, comparată direct cu limitele de rezistență uniaxială conform codurilor.

\[\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} \le 1\]

Unde σ_c,lim este rezistența uniaxială de calcul (factorizată) a betonului f_c.

Comparând Figura 6, unde este utilizat unghiul real de frecare internă, cu Figura 7, care prezintă implementarea teoriei Mohr-Coulomb cu unghi de frecare internă zero, se poate observa că abordarea aleasă pentru calculele în Detail este foarte conservatoare pentru evaluarea stării de tensiune triaxială.

Pentru o mai bună înțelegere a zonelor afectate de tensiunea de compresiune triaxială, expresia creșterii rezistenței efective a materialului datorată compresiunii triaxiale a fost adăugată în aplicația IDEA StatiCa Detail ca raport σ_c3/σ_c,lim. Puteți găsi acest raport în verificarea conform codului a Rezistenței.

În Rezultatele auxiliare, utilizatorul poate găsi de asemenea factorul κ, care explică triaxialitatea într-un mod diferit. 

\[\kappa =   \frac{ \sigma_{c3}}{ \sigma_{c,eq}}\]

Verificarea rezistenței betonului poate fi rescrisă astfel:

\[\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} = \frac{\sigma_{c,3} }{ \kappa \cdot \sigma_{c,lim}} \le 1\]

Din cele anterioare rezultă că dacă elementul se află sub tensiune hidrostatică - σ_c3=σ_c2=σ_c1, Tensiunea Principală Echivalentă σ_c,eq va avea valoarea zero, iar factorul kappa va tinde la infinit.

Mai multe informații pot fi găsite aici: Tensiunea triaxială – efectul de confinare activă

Ipoteze generale de mecanică pentru CSFM 3D

Ecuații de echilibru

Teoria deformațiilor mici permite asamblarea ecuației de echilibru pe baza volumului nedeformat, utilizând o abordare de ordinul întâi. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Equilibrium equations and graphical representation on infinitesimal element}}}\]

Ecuații de compatibilitate

Un corp solid este alcătuit din volume infinitezimale sau puncte materiale, fiecare dintre acestea fiind interconectat fără goluri sau suprapuneri. Trebuie respectate condiții matematice pentru a preveni apariția golurilor sau suprapunerilor atunci când un corp continuu suferă deformații.

Ecuații constitutive

Ecuațiile constitutive care guvernează comportamentul elementelor 3D joacă un rol esențial în analiza comportamentului materialelor în mecanica structurală. Aceste ecuații sunt formulate pentru a descrie comportamentul izotrop neliniar, valabil pentru elementele de tip bloc solid în IDEA StatiCa Detail. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Linearly elastic isotropic compliance matrix}}}\]

2 Analysis model of IDEA StatiCa 3D Detail

O introducere în implementarea Metodei Elementelor Finite

CSFM 3D consideră câmpuri de tensiuni continue în beton (elemente finite 3D), completate de elemente discrete de tip „bară" care reprezintă armătura (elemente finite 1D). Prin urmare, armătura nu este înglobată difuz în elementele finite 3D de beton, ci este modelată explicit și conectată la acestea. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Rendering of the calculation model for concrete block and out-of-plane wall}}}\]

Tipuri generale de elemente finite

Modelul de analiză cu elemente finite neliniare (inelastice) este creat din mai multe tipuri de elemente finite utilizate pentru modelarea betonului, armăturii și a aderenței dintre acestea. Elementele de beton și de armătură sunt mai întâi discretizate independent, apoi interconectate prin constrângeri multi-punct (elemente MPC). Aceasta permite armăturii să ocupe orice poziție, fără a fi limitată la nodurile plasei tetraedrice. Pentru verificarea lungimii de ancoraj, a aderenței și a capătului de ancoraj, între armătură și elementele MPC sunt introduse elemente arc.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC and bond elements}}}\]

Beton

Betonul este analizat utilizând elemente tetraedrice mixte cu rotații nodale. Elementele tetraedrice permit discretizarea regiunilor cu orice topologie, iar formularea implementată garantează rezultate precise ale deformațiilor (fără tensiuni de forfecare parazite cunoscute sub denumirea de efect de blocare la forfecare) chiar și pentru plase grosiere, care nu ar fi adecvate pentru formularea elementelor tetraedrice liniare. 

Se utilizează integrarea completă. Aceasta înseamnă că fiecare element este dotat cu patru puncte de integrare situate în interiorul volumului. O astfel de integrare produce un câmp precis de deformații și tensiuni, permițând evaluarea și prezentarea suficientă a rezultatelor pe întreg volumul. Ulterior, criteriile de oprire sunt stabilite pe baza valorii din punctul de integrare.

Armătură

Barele de armătură sunt modelate prin elemente 1D cu două noduri de tip „bară" (CROD), care au doar rigiditate axială. Aceste elemente sunt conectate la elemente speciale de „aderență", dezvoltate pentru a modela comportamentul de alunecare dintre o bară de armătură și betonul înconjurător. Aceste elemente de aderență sunt ulterior conectate prin elemente MPC (constrângeri multi-punct) la plasa reprezentând betonul. Această abordare permite discretizarea independentă a armăturii și a betonului, interconectarea lor fiind asigurată ulterior.

Elemente de aderență

Lungimea de ancoraj este verificată prin implementarea tensiunilor de forfecare prin aderență între elementele de beton (3D) și elementele barelor de armătură (1D) în modelul cu elemente finite. În acest scop, a fost dezvoltat tipul de element finit de „aderență".

Elementul de aderență este definit ca un element finit de tip placă, conectat la elementele reprezentând armătura prin primul strat și prin al doilea strat la plasa de beton prin constrângeri multi-punct (elemente MPC). Trebuie menționat că elementul de aderență este întotdeauna afișat în acest articol cu o înălțime nenulă, care este însă definită ca infinitezimală în model.

Comportamentul acestui element este descris prin tensiunea de aderență, τ_b, ca funcție biliniară a alunecării dintre nodurile superioare și inferioare, δu, a se vedea (Fig. 12).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad (a) Conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) shear-deformation function}}}\]

Modulul de rigiditate elastică al relației aderență-alunecare, Gb, este definit astfel:

\[G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}\]

k_g            coeficient dependent de suprafața barei de armătură (implicit kg = 0,2)

E_c            modulul de elasticitate al betonului (luat ca Ecm în cazul EN)

Ø             diametrul barei de armătură

Valorile de calcul (valori factorizate) ale tensiunii ultime de forfecare prin aderență, f_bd, prevăzute în codurile de proiectare selectate EN 1992-1-1 sau ACI 318-19, sunt utilizate pentru verificarea lungimii de ancoraj. Consolidarea ramurii plastice este calculată implicit ca Gb/105.

Arc de ancoraj

Prevederea capetelor de ancoraj la barele de armătură (adică îndoiri, cârlige, bucle…), care îndeplinesc prescripțiile codurilor de proiectare, permite reducerea lungimii de ancoraj de bază a barelor (l_b,net) cu un anumit factor β (denumit în continuare „coeficient de ancoraj"). Valoarea de calcul a lungimii de ancoraj (lb) se calculează astfel:

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Model for the reduction of the anchorage length: a) Anchorage force along the anchorage length of }}}\] \[ \textsf{\textit{\footnotesize{the reinforcement bar, b) slip-anchorage force constitutive law}}}\]

Reducerea lungimii de ancoraj este inclusă în modelul cu elemente finite prin intermediul unui element arc la capătul barei (Fig. 13a), definit prin modelul constitutiv prezentat în (Fig. 13b). Forța maximă transmisă de acest arc (F_au) este:

\[F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}\]

unde:

β             coeficientul de ancoraj în funcție de tipul de ancoraj

A_s            secțiunea transversală a barei de armătură

f_yd           valoarea de calcul (valoarea factorizată) a limitei de curgere a armăturii

Dispozitive de transfer al încărcărilor

Placă de bază

Placa de bază este modelată ca un element de tip coajă elastic. Materialul de oțel utilizat pentru plăcile de bază este definit în fila Materiale. Singura proprietate fizică este modulul de elasticitate E.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad The base plate material definition}}}\]

Placa de bază poate fi încărcată printr-o forță concentrată (Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz) și un grup de forțe (Fx, Fy, Fz), utilizat în principal pentru încărcarea modelelor exportate din IDEA StatiCa Connection. Rețineți că forțele concentrate și momentele concentrate încarcă direct nodul corespunzător al plăcii de bază. Aceasta înseamnă că nu există redistribuire, ci doar prin rigiditatea plăcii de bază. 

Această implementare permite importul efectelor de încărcare din IDEA StatiCa Connection, care sunt aplicate plăcii de bază la locația elementelor finite individuale ale sudurii, cu valoarea și direcția determinate din tensiunea generală a acelui element finit de sudură. Mai multe informații pot fi citite în capitolul corespunzător al acestui document.

A doua opțiune de încărcare este Stub-ul — reprezentând o porțiune scurtă a stâlpului deasupra plăcii de bază. Tronsonul scurt este modelat ca o structură de elemente de tip coajă elastice și se comportă ca o interfață fizic precisă între forțele interioare și placă. Utilizatorul selectează o secțiune transversală pentru tronsonul scurt dintr-o bază de date standard de secțiuni. Setul de 6 componente de forțe interioare (forțe și momente) este aplicat într-un singur punct pe fața inferioară a tronsonului scurt — adică la baza stâlpului. Constrângerile transferă forțele pe fața superioară a tronsonului scurt, de unde sunt redistribuite în mod natural prin acesta în placa de bază, ancore și beton.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad The load transfer through the stub}}}\]

Mecanismul de transfer al forței tăietoare (de la placa de bază la blocul de beton)

Între placa de bază și beton este definit un contact de frecare numai la compresiune. Pentru transferul forței tăietoare, utilizatorul poate alege dintre trei opțiuni:

• Prin ancore
• Prin frecare
• Prin pivot de forfecare

Software-ul nu permite combinarea acestor mecanisme de transfer al forței tăietoare. 

Coeficientul de frecare trebuie introdus ca valoare de calcul (factorizată). În cazul în care forța tăietoare rezultantă F_xy depășește forța de presiune F_z înmulțită cu coeficientul de frecare μ, calculul se va opri și nu toate încărcările vor fi aplicate modelului. Condiția este scrisă astfel:

\[\frac {F_{xy}}{ \mu \cdot F_{z}}\le 1\]

Aceasta poate fi observată în exemplul următor, în care sunt considerate două cazuri de încărcare. 

• LC1 - Tip permanent - F_z = 100 kN
• LC2 - Tip variabil - F_x = 100 kN

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad Load input for example explaining shear transfer by friction}}}\]

În primul pas de calcul, întreaga încărcare permanentă este aplicată. Apoi, încărcarea variabilă este aplicată treptat până când atinge valoarea forței de presiune înmulțită cu coeficientul de frecare.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Results from example explaining shear transfer by friction}}}\]

Graficul din Figura 18 definește comportamentul contactului de frecare dintre placa de bază și beton.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 18\qquad Force-displacement graph describing the behavior of frictional contact}}}\]

Valoarea F_zμ diferă pentru fiecare increment al calculului, în timp ce valoarea deformației de forfecare maxime u_xy este constantă. 

Dacă forța normală de compresiune F_z și forța tăietoare F_xy sunt introduse într-un singur tip de caz de încărcare (de ex. numai permanent), iar condiția F_xy / (F_zμ) ≤ 1 nu este îndeplinită, nicio încărcare nu va fi aplicată modelului, deoarece condiția nu este îndeplinită în niciun increment al calculului.

Pivotul de forfecare este conectat cu plasa de beton prin constrângeri care permit doar transferul tensiunii normale de compresiune. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Shear lug transfer of shear mechanism}}}\]

Pivotul de forfecare este modelat din elemente de tip coajă elastice, unde modulul de elasticitate E definește materialul.

Rezultatele nu sunt evaluate și afișate nici pentru placa de bază, nici pentru pivotul de forfecare.

 Opțiuni placă de bază  (stand-off, grout)

Următorul set de opțiuni stand-off, pe deplin aliniat cu aplicația Connection, este disponibil.

• Direct
• Rost de mortar – piulițe din partea superioară
• Rost de mortar – piulițe din partea superioară și inferioară
• Spațiu liber

Stratul de mortar este modelat ca un element de tip coajă, luând în considerare rigiditatea acestuia. Rețineți că elementele de tip coajă sunt incompresibile în direcția grosimii lor. Aceasta ajută la redistribuirea forțelor locale către beton și este valabil pentru grosimile tipice de rezemare utilizate în practică - 25-50 mm.

Distincția dintre piulițe numai din partea superioară (interconectare articulată între ancoră și placa de bază) față de cea superioară și inferioară (interconectare rigidă între ancoră și placa de bază) influențează puternic capacitatea la forță tăietoare din punctul de vedere al presiunii pe beton.

Ancore

Elementele finite care reprezintă ancorele sunt modelate astfel încât să poată transfera forțe normale și tăietoare către beton, luând în considerare și rigiditatea la încovoiere a ancorelor. Pentru a modela alunecarea dintre ancoră și betonul înconjurător, se utilizează aceleași elemente de aderență și MPC ca și pentru armătură. Cu diferența că:

• Pentru ancorele post-instalate (adezive), este necesar să se specifice rezistența de calcul la aderență.
• Pentru plăcile tip șaibă și dornurile cu cap, aderența este neglijată de-a lungul tijei ancorei. Toată forța axială este apoi transferată betonului prin placa tip șaibă sau capul ancorei.

Ancorele pot fi interconectate cu plăcile de bază. Pentru această interconectare, se utilizează o constrângere complet neliniară pentru a conecta capătul ancorei cu un nod al plăcii de bază. Această constrângere ne permite să controlăm toți gradele de libertate pentru a asigura, de exemplu, că ancorele nu transferă nicio forță de compresiune de la placa de bază sau că nicio forță tăietoare nu este transferată de ancoră atunci când se modelează un pivot de forfecare etc.

Proprietățile Interconectării cu placa de bază pentru ancore permit utilizatorului să controleze dacă ancora va fi conectată cu placa de bază prin constrângerea menționată anterior și cum. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20\qquad Interconnection with base plate settings}}}\]

Caseta de selectare Transfer de forță tăietoare poate fi utilizată pentru a controla dacă ancora și placa de bază vor fi conectate sau nu în ceea ce privește forța tăietoare. Rețineți că nu este acceptată combinarea mecanismelor de transfer al forței tăietoare, astfel că pentru transferul prin frecare și pivot de forfecare, această casetă de selectare este irelevantă. Pe de altă parte, pentru transferul forței tăietoare prin ancore, acest câmp oferă opțiunea de a exclude unele ancore din transferul forței tăietoare.

Caseta de selectare Transfer de forțe axiale poate fi utilizată pentru a controla dacă ancora și placa de bază vor fi conectate sau nu în ceea ce privește direcția axială. Aceasta este utilizată în principal pentru exportul din funcția Connection (a se vedea capitolul corespunzător). Pentru modelarea manuală, are sens ca această casetă de selectare să fie întotdeauna bifată.

Când caseta de selectare este debifată, ancora este deconectată atât la întindere, cât și la compresiune (în cazul unui model exportat din aplicația Connection, conexiunea este înlocuită de o pereche de forțe). Dacă caseta de selectare este bifată, ancora este întotdeauna conectată la placă la întindere, dar conexiunea la compresiune este controlată de tipul ancorei și tipul de stand-off. Pentru mai multe informații, consultați Figura 23.

Filete tăiate

Controlată printr-o casetă de selectare în proprietățile ancorei și are 2 scopuri:

1. Definește modul în care ancora se conectează la placa de bază:

• Pentru dornurile cu cap și armătura turnată in situ conectată la placa de bază (nu pentru plăcile turnate in situ), se face distincția între o îmbinare cu șurub (articulată) și o îmbinare sudată (rigidă) — vizibilă în scena 3D.
• Rețineți că modul de conectare a ancorei la placă are o influență semnificativă asupra rezistenței la forță tăietoare din punctul de vedere al presiunii pe beton.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Cut threads options}}}\]

2. Pentru Eurocode, rezistența ancorei cu filete tăiate este redusă conform EN 1993-1-8 3.6.1 (3). Aceasta poate fi setată în Setările proiectului. Pentru tijele filetate și plăcile tip șaibă, se recomandă păstrarea acestei setări active în permanență.

Interconectarea axială și rotațională între ancoră și placa de bază

Așa cum s-a menționat deja în acest capitol, în funcție de tipul ancorei, setarea stand-off și dacă filetele tăiate sunt sau nu luate în considerare, ancorele sunt conectate la placa de bază în moduri diferite. În ceea ce privește conexiunea rotațională, aceasta poate fi Articulată / Rigidă. În ceea ce privește conexiunea axială, aceasta poate fi Întindere / Întindere + Compresiune. Tipurile de conexiune rotațională influențează puternic capacitatea la forță tăietoare din punctul de vedere al presiunii pe beton. Într-o scenă 3D, este ușor de determinat dacă o ancoră este conectată rigid sau articulat pe baza prezenței piulițelor, a se vedea Figura 22.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Rotational constraints}}}\]

Tabelul următor prezintă toate combinațiile posibile de conexiuni ale plăcii de bază cu ancorele și conexiunile rotaționale și axiale corespunzătoare.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}\]

Plăci turnate in situ

Placa turnată in situ este un caz special al plăcii de bază. Este modelată în mod analog cu următoarele diferențe:

Deoarece placa este înglobată în interiorul unui bloc de beton, nu poate fi specificat niciun tip de stand-off. Adâncimea de înglobare a plăcii este neglijată. Placa, modelată prin elemente de tip coajă, este plasată direct pe suprafața betonului. Prin urmare, suprafețele laterale ale plăcii nu sunt considerate a fi rezemate pe beton.

Este posibil să se utilizeze doar Armătură și Dornuri cu cap, care, la fel ca ancorele clasice, pot fi setate să fie conectate la placă în direcțiile axiale și de forfecare. Experiența practică și unele documente naționale indică necesitatea de a proiecta Dornurile cu cap numai pentru forță tăietoare și Armătura pentru încărcare axială. Din perspectiva constrângerilor axiale și rotaționale, ancorele sunt întotdeauna conectate ca Rigide și Întindere + Compresiune.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}\]

Plasarea plaselor de beton în CSFM 3D

Elementele finite sunt implementate intern, iar modelul de analiză este generat automat, fără a fi necesară o interacțiune specializată din partea utilizatorului. O parte importantă a acestui proces o reprezintă generarea plasei.

Beton

Toate elementele de beton sunt plasate în plasă împreună. O dimensiune recomandată a elementului este calculată automat de aplicație pe baza dimensiunii și formei structurii, luând în considerare diametrul celei mai mari bare de armătură. Mai mult, dimensiunea recomandată a elementului garantează că un minim de patru elemente sunt generate în părțile subțiri ale structurii, cum ar fi stâlpii zvelți sau pereții subțiri, pentru a asigura rezultate fiabile în aceste zone. Proiectanții pot selecta întotdeauna o dimensiune definită de utilizator pentru elementul de beton, modificând multiplicatorul dimensiunii implicite a plasei.

Armătură

Armătura este împărțită în elemente cu aproximativ aceeași lungime ca dimensiunea elementului de beton. Odată ce plasele de armătură și beton sunt generate, acestea sunt interconectate cu elemente de aderență, după cum se arată în Fig. 9.

Rafinare

Plasa de beton este rafinată automat în jurul ancorelor, în jurul pivoților de forfecare și sub tronsonul scurt de încărcare. Dimensiunea plasei rafinate este de aproximativ două ori mai mică decât plasa de beton de bază. Raza zonei rafinate este definită aproximativ ca dimensiunea elementului înmulțită cu doi.

Metoda de soluție și algoritmul de control al încărcării pentru CSFM 3D

Un algoritm standard Newton-Raphson (NR) complet este utilizat pentru a găsi soluția unei probleme FEM neliniare. 

În general, algoritmul NR nu converge frecvent atunci când încărcarea completă este aplicată într-un singur pas. O abordare uzuală, utilizată și aici, este aplicarea încărcării secvențial în mai multe incremente și utilizarea rezultatului din incrementul de încărcare anterior pentru a iniția soluția Newton pentru cel următor. În acest scop, un algoritm de control al încărcării a fost implementat peste Newton-Raphson. În cazul în care iterațiile NR nu converg, incrementul de încărcare curent este redus la jumătate din valoarea sa, iar iterațiile NR sunt reluate.

Un al doilea scop al algoritmului de control al încărcării este de a găsi încărcarea critică, care corespunde anumitor „criterii de oprire" – în mod specific deformația maximă în beton, alunecarea maximă în elementele de aderență, deplasarea maximă în elementele de ancoraj și deformația maximă în barele de armătură. Încărcarea critică este determinată prin metoda bisecției. În cazul în care criteriul de oprire este depășit oriunde în model, rezultatele ultimului increment de încărcare sunt eliminate și se calculează un nou increment de jumătate din mărimea celui anterior. Acest proces se repetă până când încărcarea critică este găsită cu o anumită toleranță de eroare.

Pentru beton, criteriul de oprire a fost stabilit la o deformație de 5% la compresiune (adică, aproximativ un ordin de mărime mai mare decât deformația reală de cedare a betonului) și 7% la întindere în punctele de integrare ale elementelor de tip placă. La întindere, valoarea a fost stabilită pentru a permite atingerea mai întâi a deformației limită în armătură, care este de obicei în jur de 5% fără a lua în considerare participarea betonului întins. La compresiune, valoarea a fost aleasă dintre mai multe alternative ca una suficient de mare pentru ca efectele strivirii să fie vizibile în rezultate, dar suficient de mică pentru a nu cauza prea multe probleme de stabilitate numerică.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig 25\qquad Constitutive law of bond and anchorage elements used for anchorage length verification: a) Bond shear stress}}}\] \[ \textsf{\textit{\footnotesize{slip response of bond element, b) force-displacement response of an anchorage element}}}\]

Pentru armătură, criteriul de oprire este definit în termeni de tensiuni. Deoarece tensiunile la fisură sunt modelate, criteriul la întindere corespunde rezistenței la întindere a armăturii ținând cont de coeficientul de siguranță. Aceeași valoare este utilizată pentru criteriul la compresiune.

Criteriul de oprire în elementele de aderență și arcurile de ancoraj este α·δ_umax, unde δ_umax este alunecarea maximă utilizată în verificările conform codului și α = 10.

Alte criterii de oprire pentru ancorare:

• Smulgerea ancorelor cu cap (tensiunea maximă de contact la compresiune pe fața superioară a capului ancorei). 
• Forța tăietoare maximă care poate fi transferată de ancoră din punctul de vedere al rezistenței la presiune a betonului.

Aceste două criterii depind de codul selectat. Puteți găsi mai multe informații despre acestea în secțiunile care explică părțile dependente de cod ale analizei structurale în aplicație.

Prezentarea rezultatelor 3D

Rezultatele sunt prezentate independent pentru beton și pentru elementele de armătură. Valorile tensiunilor și deformațiilor în beton sunt calculate la punctele de integrare ale elementelor volumetrice. Cu toate acestea, deoarece nu este practic să se prezinte datele în acest mod, rezultatele sunt prezentate implicit în noduri, cum ar fi valoarea maximă a tensiunii de compresiune din punctele de integrare Gauss adiacente în elementele conectate. Trebuie remarcat că această reprezentare poate subestima local rezultatele la marginile comprimate ale elementelor în cazul în care dimensiunea elementului finit este similară cu adâncimea zonei comprimate.

Rezultatele pentru elementele finite de armătură sunt fie constante pentru fiecare element (o singură valoare – de ex., pentru tensiunile din oțel), fie liniare (două valori – pentru rezultatele de aderență). Pentru elementele auxiliare, cum ar fi elementele plăcilor de reazem, sunt prezentate doar deformațiile.

Model importat din IDEA StatiCa Connection

Modelul IDEA StatiCa Detail nu trebuie întotdeauna modelat de la zero sau dintr-un șablon. Există și opțiunea de a importa modelul, inclusiv efectele încărcărilor, din IDEA StatiCa Connection. În Connection, suprastructura metalică de deasupra blocului de beton este analizată cu un model 3D neliniar, în timp ce blocul de beton în sine este reprezentat în mod simplificat printr-o fundație Winkler. În Detail, în schimb, blocul de beton armat este modelat explicit și verificat în detaliu.

La transferul modelului, în Detail se importă doar placa de bază, ancorele și blocul de beton – elementul metalic în sine (și rigiditatea sa globală) nu este importat. În modelul Connection, acest element metalic este conectat la placa de bază printr-o sudură. Tensiunile din elementele finite ale sudurii sunt integrate și convertite într-un set de forțe echivalente care încarcă placa de bază în Detail. În acest fel, efectul elementului metalic lipsă este reprezentat prin forțele din sudură aplicate direct pe placa de bază.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Loads imported from IDEA StatiCa Connection}}}\]

Datorită definiției diferite a rigidității între Connection și Detail (element metalic lipsă, modele de material diferite și reprezentarea betonului), o conexiune directă între placa de bază și ancore în Detail ar conduce în general la o redistribuire diferită a încărcărilor și, prin urmare, la forțe de întindere diferite în ancore. Pentru a evita acest lucru, ancorele sunt importate deconectate axial față de placa de bază. În loc să se transfere forțele axiale prin contactul fizic, forțele de întindere din ancore obținute din Connection sunt aplicate direct pe ancore în Detail. În același timp, o forță egală și de sens opus este aplicată pe placa de bază la fiecare poziție a ancorei, astfel încât echilibrul global al modelului este păstrat. Această pereche de forțe (una acționând asupra ancorei, cealaltă asupra plăcii de bază) reprezintă interacțiunea dintre placa de bază și ancoră fără a permite o redistribuire suplimentară a forțelor axiale în Detail. Aceste două forțe opuse sunt ilustrate în Figura 26.

Cu toate acestea, forțele de forfecare sunt în continuare transferate prin îmbinarea dintre placa de bază și ancore (sau pivotul de forfecare, sau frecarea). Acest lucru este posibil deoarece se utilizează o constrângere pentru a conecta placa de bază și ancorele la forfecare, permițând controlul gradelor de libertate relevante ale acestei interconexiuni. În Detail, utilizatorul poate astfel modifica traseul de transfer al forței de forfecare – de exemplu, eliberând forfecarea în două din patru ancore și menținând doar ancorele de margine active la forfecare – în timp ce forțele axiale rămân cele importate din Connection.

Pentru plăcile înglobate în beton turnat in situ, am adoptat o abordare diferită. Mai multe recomandări europene de proiectare impun ca doar barele de armătură să fie considerate pentru preluarea forțelor axiale, în timp ce dornurile cu cap sunt presupuse a transfera doar forțele de forfecare. Deoarece IDEA StatiCa Connection nu poate separa intern forțele axiale din ancorele de armătură de cele din dornurile cu cap în timpul exportului, ancorele plăcilor înglobate sunt importate în Detail complet conectate, inclusiv în direcția axială. Aceasta permite utilizatorului să activeze o opțiune de proiectare în Detail în care ancorele de armătură preiau doar întinderea axială, iar dornurile cu cap preiau doar forfecarea. În acest flux de lucru, forța axială care a fost inițial atribuită dornurilor cu cap trebuie redistribuită pe ancorele de armătură în cadrul modelului Detail. O astfel de redistribuire nu ar fi posibilă dacă s-ar utiliza abordarea cu pereche de forțe opuse descrisă mai sus, motiv pentru care plăcile înglobate sunt tratate diferit.

3 Model verification

Stări limită

Starea limită ultimă

Diferitele verificări impuse de codurile de proiectare specifice sunt evaluate pe baza rezultatelor directe furnizate de model. Verificările SLU sunt efectuate pentru rezistența betonului, rezistența armăturii și ancoraj (tensiuni de forfecare prin aderență).

Pentru a asigura un proiect eficient al unui element structural, se recomandă cu tărie efectuarea unei analize preliminare care să țină cont de următorii pași:

• Alegeți o selecție a celor mai critice combinații de încărcări.
• Calculați doar combinațiile de încărcări pentru Starea Limită Ultimă (SLU).
• Pentru a reduce timpul de calcul și a rezolva eventualele probleme, luați în considerare utilizarea unei plase grosiere prin creșterea multiplicatorului dimensiunii implicite a plasei în Configurare (Fig. 27). Dacă modelul funcționează bine, reveniți multiplicatorul la valoarea 1.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig 27\qquad Mesh multiplier}}}\]

Un astfel de model va calcula foarte rapid, permițând proiectanților să revizuiască detaliile elementului structural în mod eficient și să reexecute analiza până când toate cerințele de verificare sunt îndeplinite pentru cele mai critice combinații de încărcări. Odată ce toate cerințele de verificare ale acestei analize preliminare sunt îndeplinite, se sugerează includerea tuturor combinațiilor de încărcări ultime complete și utilizarea unei plase fine (dimensiunea plasei recomandate de program). Utilizatorii pot modifica dimensiunea plasei prin multiplicator, care poate lua valori de la 0,5 la 5 (Fig. 27).

Rezultatele de bază și verificările (tensiune, deformație și grad de utilizare (adică valoarea calculată/valoarea limită din cod)), precum și direcția tensiunilor principale în cazul elementelor din beton) sunt afișate prin intermediul diferitelor diagrame, unde compresiunea este prezentată în general în roșu și întinderea în albastru. Valorile minime și maxime globale pentru întreaga structură pot fi evidențiate, precum și valorile minime și maxime pentru fiecare parte definită de utilizator. Într-o filă separată a programului, pot fi afișate rezultate avansate, cum ar fi valorile tensoriale, deformațiile structurii și procentele de armare (efective și geometrice) utilizate pentru calculul participarea betonului întins al barelor de armătură. De asemenea, pot fi prezentate încărcările și reacțiunile pentru combinațiile sau cazurile de încărcare selectate.

4 Structural verifications according to EUROCODE

Modele de material în 3D CSFM (EN)

Beton - SLU

Modelul de beton implementat în 3D CSFM se bazează pe legile constitutive uniaxiale la compresiune prescrise de EN 1992-1-1 pentru calculul secțiunilor transversale, care depind exclusiv de rezistența la compresiune. Diagrama parabolă-dreptunghi specificată în EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1) (Fig. 28a) este utilizată implicit în 3D CSFM, dar proiectanții pot alege și o relație elastic-perfect plastică mai simplificată conform EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (2) (Fig. 28b). Rezistența la întindere este neglijată, la fel ca în calculul clasic al betonului armat.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig 28\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram}}}\]

Implementarea 3D CSFM în IDEA StatiCa Detail nu consideră un criteriu explicit de cedare în termeni de deformații pentru betonul comprimat (adică, după atingerea tensiunii de vârf, se consideră o ramură plastică cu ε_cu2 (ε_cu3) la o valoare de 5%, în timp ce EN 1992-1-1 presupune o deformație ultimă mai mică de 0,35%). Această simplificare nu permite verificarea capacității de deformare a structurilor care cedează prin compresiune. Cu toate acestea, capacitatea ultimă f_cd conform EN 1992-1-1 3.1.3 este corect estimată atunci când creșterea fragilității betonului odată cu creșterea rezistenței este luată în considerare prin intermediul factorului de reducere \(\eta_{fc}\) definit în fib Model Code 2010 după cum urmează:

\[f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot f_{ck}}{γ_c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

unde:

α_cc este coeficientul care ține seama de efectele pe termen lung asupra rezistenței la compresiune și de efectele nefavorabile rezultate din modul de aplicare a încărcării. Se stabilește conform EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (1). Valoarea implicită este 1,0.

f_ck este rezistența caracteristică pe cilindru a betonului (în MPa pentru definiția \( \eta_{fc} \)).

Armătură

Implicit, se consideră diagrama bilineară idealizată efort-deformație pentru bare de armătură neîncorporate în beton, definită în EN 1992-1-1, secțiunea 3.2.7 (Fig. 29). Definirea acestei diagrame necesită cunoașterea doar a proprietăților de bază ale armăturii în faza de proiectare (rezistență și clasă de ductilitate). Ori de câte ori este cunoscută, poate fi luată în considerare relația reală efort-deformație a armăturii (laminată la cald, prelucrată la rece, călită și autotemperată, …). Diagrama efort-deformație a armăturii poate fi definită de utilizator, dar în acest caz nu este posibil să se presupună efectul de participarea betonului întins (nu este posibil să se calculeze deschiderea fisurilor). Utilizarea diagramei efort-deformație cu ramura superioară orizontală nu permite verificarea durabilității structurale. Prin urmare, este necesară verificarea manuală a cerințelor standard de ductilitate.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}\] \[ \textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}\]

Participarea betonului întins (Fig. 30) este luată în considerare automat prin modificarea relației efort-deformație de intrare a barei de armătură neîncorporate în beton, pentru a surprinde rigiditatea medie a barelor înglobate în beton (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

Factori parțiali de siguranță

Metoda Câmpului de Tensiuni Compatibil este conformă cu codurile de proiectare moderne. Deoarece modelele de calcul utilizează doar proprietăți standard ale materialelor, formatul factorilor parțiali de siguranță prescris în codurile de proiectare poate fi aplicat fără nicio adaptare. În acest fel, încărcările de intrare sunt majorate, iar proprietățile caracteristice ale materialelor sunt reduse folosind coeficienții de siguranță respectivi prescriși în codurile de proiectare, exact ca în analiza convențională a betonului. Valorile factorilor parțiali de siguranță ai materialelor prescriși în EN 1992-1-1 cap. 2.4.2.4 și factorii pentru ancore prescriși în EN 1992-4, EN 1993-1-8 și EN 1994-1-1 sunt setați implicit, dar utilizatorul poate modifica factorii de siguranță în setările Codului și ale calculului (Fig. 31).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Factorii parțiali de siguranță ai încărcărilor trebuie definiți de utilizator în regulile de combinare pentru fiecare combinație neliniară de cazuri de încărcare (Fig. 32). Pentru toate șabloanele implementate în Idea StatiCa Detail, factorii parțiali de siguranță sunt deja predefiniti.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Prin utilizarea unor combinații adecvate de factori parțiali de siguranță definite de utilizator, aceștia pot calcula și cu CSFM 3D folosind metoda factorului global de rezistență (Navrátil et al. 2017), însă această abordare este rar utilizată în practica de proiectare. Unele ghiduri recomandă utilizarea metodei factorului global de rezistență pentru analiza neliniară. Cu toate acestea, în analizele neliniare simplificate (cum ar fi CSFM 3D), care necesită doar acele proprietăți ale materialelor utilizate în calculele manuale convenționale, este în continuare mai indicat să se utilizeze formatul factorilor parțiali de siguranță.

Ultimate limit state checks

The different verifications required by EN 1992-1-1 are assessed based on the direct results provided by the model. ULS verifications are carried out for concrete strength, reinforcement strength, and anchorage (bond shear stresses).

Strength - Concrete

The concrete strength in compression is evaluated as the ratio between the maximum Equivalent principal stress σ_c,eq obtained from FE analysis and the limit value σ_c,lim = f_cd.

Equivalent Principal Stress expresses the equivalent uni-axial stress for a general tri-axial stress state.

\[\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}\]

The σ_c,eq value can, therefore, be directly compared with uniaxial strength limits according to 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1).

This expression is derived from the implementation of the Mohr-Coulomb plasticity theory, conservatively assuming the angle of internal friction φ = 0°.

Strength - Reinforcement

The strength of the reinforcement is evaluated in both tension and compression as the ratio between the stress in the reinforcement at the cracks σ_sr and the specified limit value σ_s,lim:

\(σ_{s,lim} = \dfrac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}\)

\(σ_{s,lim} = \dfrac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}\)

where:

f_yk        is the yield strength of the reinforcement according to EN 1992-1-1 Cl. 3.2.3,

k          is the ratio of tensile strength f_tk to the yield stress,
            \(k = \dfrac{f_{tk}}{f_{yk}}\)

γ_s             is the partial safety factor for reinforcement.

Strength - Anchors

Anchors are checked for normal stresses in a similar way to reinforcement, where the limit value σ_s,lim is determined.

In addition, the N_Ed and V_Ed values are specified for anchors, which are checked against N_Rd,s and V_Rd,s according to the selected code. The code is chosen depending on the type of anchor used in Project settings.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Anchor check - Design code selection}}}\]

Since different approaches are chosen for checking anchors in different standards, the user can choose the following standards for individual anchor types:

• Anchors made of bolt material in tension and/or shear - EN 1992-4, EN 1993-1-8
• Headed studs in tension and/or shear - EN 1992-4, EN 1994-1-1
• Anchors made in tension and/or shear - EN 1992-4, EN 1992-1-1
• Anchors in compression and/or bending - EN 1993-1-1

Tension check according to EN 1992-4 - 7.2.1.3

\[N_{Rd,s} = \frac{c \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}\]

where:

• c – reduction for cut threads  
• f_uk – minimum tensile strength of the bolt
• A_s – anchor bolt tensile stress area (reduced by the thread in the case of bolt material)
• \(\gamma_{Ms} = 1.2 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.4\) – partial safety factor for stee 
• f_yk – minimum yield strength of the bolt

Tension check according to EN 1993-1-8 - 3.6.1

\[N_{Rd,s} = F_{t.Rd} = \frac{c \cdot k_2 \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}\] 

where:

• c – decrease in tensile resistance of bolts with cut thread according to EN 1993-1-8 – Cl. 3.6.1. (3) 
• k₂ = 0.9 – factor for non-countersunk anchors 
• f_ub – anchor bolt ultimate tensile strength 
• A_s – anchor bolt tensile stress area (reduced by the thread in the case of bolt material)
• γ_M2 =1.25 – partial safety factor for bolts (EN 1993-1-8, Table 2.1) 

Tension check according to EN 1992-1-1 - 3.2.7

\[N_{Rd,s} = \frac{kf_{yk}}{\gamma_{S}}\]

where:

• \(k=(f_{t}/f_{y})\) is given in Annex C
• f_yk - characteristic yield strength
• γ_M2 =1.15 – partial safety factor for reinforcement

Compression check according to EN 1993-1-1 - 6.3

Used for all anchors subjected to a normal compression force, regardless of their material or stand-off type. 

\[F_{c,Rd}=\frac{\chi\,A_s f_y}{\gamma_{M2}}\]

Where:

• \(\chi=\dfrac{1}{\Phi+\sqrt{\Phi^2-\bar{\lambda}^2}}\le 1\) – buckling reduction factor
• \(\Phi=0.5\left[1+\alpha\left(\bar{\lambda}-0.2\right)+\bar{\lambda}^2\right]\) – value to determine buckling reduction factor χ
• \(\alpha=0.49\) – imperfection factor for buckling curve c (belonging to the full circle)
• \(\bar{\lambda}=\sqrt{\dfrac{A_s f_y}{N_{cr}}}\) – relative slenderness
  • A_s – the anchor area reduced by threads
• \(N_{cr}=\dfrac{\pi^2 E I}{L_{cr}^2}\)  – Euler's critical force
• \(I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}\) – moment of inertia of the bolt
  • d_s – anchor diameter reduced by threads
• \(L_{cr}=2\,l\)  – buckling length; it is assumed on the safe side that the bolt is fixed in the concrete and able to rotate at the base plate freely 
• \(l=l_{a}\) – length of the bolt element equal to half the base plate thickness + gap + half the bolt diameter; it is assumed on the safe side that the washer and a nut are not clamped to the concrete surface (ETAG 001 – Annex C – Cl. 4.2.2.4), see Figure 34.

Shear check according to EN 1992-4 - 7.2.2.3

For stand-off = direct, the shear without lever arm is assumed (EN 1992-4 – Cl. 7.2.2.3.1):

\[V_{Rd,s} = \frac{k_6 \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}\]

For stand-off = mortar joint, the shear with lever arm is assumed (EN 1992-4 – Cl. 7.2.2.3.2):

\[V_{Rd,s} = \frac{\alpha_M \cdot M_{Rk,s}}{\gamma_{Ms} \cdot l_a}\]

where:

• k₆ = 0.6 for anchors with fuk ≤ 500 MPa; k₆ = 0.5 otherwise
• A_s – shear area of anchor reduced by threads
• f_uk – anchor bolt ultimate strength
• α_M = 2 – full restraint is assumed (EN 1992-4 – Cl. 6.2.2.3)
• \(M_{Rk,s} = M^{0}_{Rk,s} \left(1 - \dfrac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)\) – characteristic bending resistance of the anchor decreased by the tensile force in the anchor
•  \(M^{0}_{Rk,s} = 1.2 \cdot W_{el} \cdot f_{ub}\) – characteristic bending resistance of the anchor (ETAG 001, Annex C – Equation (5.5b))
• \(W_{el} = \dfrac{\pi d^{3}}{32}\) – section modulus of the anchor
• d – anchor bolt diameter; if the shear plane in a thread is selected (which always is for threaded rod), the diameter reduced by threads is used; otherwise, nominal diameter, d_nom, is used
• N_Ed – tensile force in the anchor
• N_Rd,s – tensile resistance of the anchor
• \(l_{a} = 0.5\, d_{\mathrm{nom}} + t_{\mathrm{mortar}} + 0.5\, t_{\mathrm{bp}}\) – lever arm
• t_mortar – thickness of mortar (grout)
• t_bp – thickness of the base plate
• \(\gamma_{Ms} = 1.0 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.25\) for \(f_{uk} \le 800 \text{ MPa}\) and  \(\dfrac{f_{yk}}{f_{uk}} \le 0.8\); γ_Ms = 1.5 otherwise – partial safety factor for steel failure (EN 1992-4 – Table 4.1)

Shear check according to EN 1993-1-8 - 6.2.2

Anchor shear steel resistance is determined according to EN 1993-1-8 – 6.2.2 (7) regardless of direct or mortar joint stand-off. The grout strength and thickness should be according to Cl. 6.2.5 (7).

\[V_{Rd,s} = F_{v,b,Rd} = \min \left\{ F_{1v,b,Rd} ,\, F_{2v,b,Rd} \right\}\]

where:

\[F_{1v,b,Rd} = \frac{\alpha_v \cdot f_{ub} \cdot A}{\gamma_{M2}}\]

• α_v = 0.6 for grades 4.6, 5.6, 8.8, and 0.5 for grades 4.8, 5.8, 6.8, 10.9
• f_ub – ultimate tensile strength of the bolt material
• A – tensile stress area of the bolt, A = A_s, where As is the tensile stress area of the bolt (reduced by the thread)
• γ_M2 – safety factor - EN 1993-1-8 – Table 2.1

\[F_{2v,b,Rd} = \frac{\alpha_b \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}\]

• ​ \(\alpha_b = 0.44 - 0.0003\, f_{yb}\)
• α_b is a coefficient depending on the yield strength of the anchor bolt
• f_yb – anchor yield strength; 235 MPa ≤ f_yb ​≤ 640 MPa
• f_ub – anchor tensile strength 
• A_s – tensile stress area (reduced by the thread)

Shear check according to EN 1993-1-1 - 6.2.6

These code checks are applied to anchors that are connected to the base plate with a gap or a directly loaded anchor with a projected length more than 0.5 times their diameter.

\[V_{pl,Rd}=\frac{A_v f_y/\sqrt{3}}{\gamma_{M2}}\]

where:

• A_V = 0.844 A_s – shear area
• A_s – bolt area reduced by threads
• f_y – bolt yield strength
• γ_M2 – partial safety factor (defined in the Project settings)

Shear check according to EN 1994-1-1 - 6.6.3.1

\[V_{Rd,s} = P_{Rd} = \frac{0.8 \, f_u \, \pi \, d^2}{4 \, \gamma_v}\]

where:

• γ_v is the partial factor for shear connection per EN 1994-1-1 chap. 2.4.1.2. The recommended value for γ_v is 1.25
• d is the diameter of the shank of the stud, 16 mm ≤ d ≤ 25 mm;
• f_u is the specified ultimate tensile strength of the material of the stud, but not greater than 500 MPa.

In EN 1994-1-1, clause 6.6.3.1 also provides Equation (6.19), which limits the shear resistance of a stud by the punching (bearing) capacity of the concrete. In IDEA StatiCa Detail, this failure mode is not checked by a separate code formula in the post-processing. Instead, it is built directly into the nonlinear finite element analysis as a stop criterion: the analysis is terminated before the shear force in an anchor reaches the corresponding P_Rd
from Equation (6.19). This approach is used because Equation (6.19) is valid only for headed studs welded to the steel plate and for stud diameters in the range 16 mm ≤ d ≤ 25 mm, as specified in 6.6.3.1.

To cover a wider range of practical cases, we created a series of 3D reference models in Abaqus with anchor diameters from 8 mm to 50 mm and concrete strengths from C16/20 to C50/60. The studs were modeled either welded rigidly to the base plate or connected by a pinned (hinged) joint. The material models and contact parameters in Detail were then calibrated against these Abaqus simulations, which were themselves verified against Equation (6.19) within its validity range. This stop criterion is valid for all anchor types and all EN codes.

Bending check according to EN 1993-1-1 - 6.2.5

\[M_{pl,Rd}=\frac{W_{pl} f_y}{\gamma_{M2}}\]

Where:

• \(W_{pl}=\dfrac{d_s^{3}}{6}\) – section modulus of the bolt
  • d_s – anchor diameter reduced by threads
• f_y – material yield strength
• γ_M2 – partial safety factor (defined in the Project settings)

Acting design bending moment M_Ed - If the shear load acts with a lever arm, a bending moment acting on the fastener shall be accounted for. The design bending moment acting on the fastener is calculated according to EN 1993-1-1 Formula (6.1):

\[M_{Ed}=V_{Ed}\cdot\frac{l_a}{\alpha_M}\]

where:

• V_Ed - is the shear load acting on the fastener under consideration
• l_a = a₃ + e₁
  • a₃ = 0.5d_nom, where d_nom is the anchor diameter
  • e₁ - is the distance between the shear load and the concrete surface, neglecting the thickness of any levelling grout
• α_M = 2 – full restraint is assumed (EN 1992-4 – Cl. 6.2.2.3)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Buckling length}}}\]

Interaction of tension and shear in anchor steel

The interaction of tension and shear per EN 1993-1-8 is implicitly included in the anchor shear check.

The interaction of tension and shear per EN 1992-4 is determined separately for steel and concrete failure modes according to Table 7.3. The interaction in steel is checked for each anchor separately.

\[\left( \frac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)^{2}+\left( \frac{V_{Ed}}{V_{Rd,s}} \right)^{2}\le 1\]

EN 1994-1-1 states in Article 6.6.3.2 that if the anchor tensile force is greater than 0.1P_Rd, the check is not covered by this standard. In such a case, the interaction is assessed in accordance with EN 1992-4 in the application. In such a case, the shear check should not be considered according to EN 1994-1-1.

Interaction of tension or compression and bending in anchor steel EN 1993-1-1 - 6.2.1

\[\frac{N_{Ed}}{N_{Rd}}+\frac{M_{Ed}}{M_{Rd}}\le 1\]

where:

• N_Ed – tensile (positive) or compressive (negative sign) design force
• N_Rd – tensile (positive, F_t,Rd) or compressive (negative sign, F_c,Rd) design resistance
• M_Ed – design bending moment
• M_Rd = M_pl,Rd – design bending resistance

Pull-out check for headed anchors (Washer plates and Headed studs)

For headed anchors, an additional stop criterion is implemented to check the concrete bearing (crushing) above the anchor head - pull-out. During the analysis, the compressive force transferred through the head-to-concrete contact is monitored and compared with the limit value given by EN 1992-4, Clause 7.2.1.5 (pull-out failure of headed fastenings).

\[N_{Rd,p} = k_2 \cdot A_h \cdot f_{ck} / \gamma_{Mp}\]

where:

• A_h is the load bearing area of the head of the fastener (without the shank area). 
• f_ck is the characteristic compressive strength of concrete - EN 1992-1-1 Cl. 3.1.2
• γ_Mp is taken in the application as γ_Mp = γ_c with the default value of 1.5
•  k₂​ is always taken as 7.5, i.e. the value for cracked concrete. This is consistent with the CSFM approach used in Detail, where the tensile strength of concrete is neglected and the concrete is assumed to be cracked in tension. 

Once the contact force reaches this code-based limit, the stop criterion is triggered and the analysis is terminated before the design pull-out resistance is exceeded.

Anchorage -  Bond stress

The bond shear stress is evaluated independently as the ratio between the bond stress τ_b calculated by FE analysis and the ultimate bond strength f_bd, according to EN 1992-1-1 chap. 8.4.2:

\[\frac{τ_{b}}{f_{bd}}\le 1\]

\[f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}\]

where:

• f_ctd      is the design value of concrete tensile strength according to EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (2). Due to the increasing brittleness of higher-strength concrete, f_ctk,0.05 is limited to the value for C60/75 according to EN 1992-1-1 Cl. 8.4.2 (2)
• η₁       is a coefficient related to the quality of the bond condition and the position of the bar during concreting (Fig. 34).
• η₁ = 1.0 when ‘good’ conditions are obtained and
• η₁ = 0.7 for all other cases and for bars in structural elements built with slip-forms, unless it can be shown that ‘good’ bond conditions exist
• η₂        is related to the bar diameter:
  η₂ = 1.0 for Ø ≤ 32 mm
  η₂ = (132 - Ø)/100 for Ø > 32 mm

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}\]

In IDEA StatiCa Detail, the bond conditions are taken into account according to Fig. 34 c) and d). The direction of concreting can be set in the application for each project item as follows:

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Direction of concreting}}}\]

These verifications are carried out with respect to the appropriate limit values for the respective parts of the structure (i.e., in spite of having a single grade both for concrete and reinforcement material, the final stress-strain diagrams will differ in each part of the structure due to tension stiffening and compression softening effects).

Anchorage - Total force

Total force F_tot and Limit force F_lim

The total force F_tot is a result of the finite element analysis and can be defined in two ways.

\[F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}\]

where A_s is the area of the reinforcement bar and σ_s is the stress in the bar.

Or as a sum of the anchorage force F_a and the bond force F_bond.

\[F_{tot}=F_{a}+F_{bond}\]

where F_a is the actual force in the anchorage spring and F_bond is the bond force that can be obtained by integrating the bond stress τ_b along the length of reinforcement bar l.

\[F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx\]

C_s is the circumference of the reinforcement bar.

The limit force F_lim is the maximum force in the element of the rebar considering the ultimate strength of the rebar and also anchoring conditions (bond between concrete and reinforcement and anchorage hooks, loops, etc.).

\[F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)\]

\[F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}\]

\[F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}\]

\[F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}\]

where C_s is the circumference of the reinforcement bar, and l is the length from the beginning of the rebar to the point of interest.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Definition of the limit force Flim}}}\]

\[F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}\]

where F_lim,add is the additional force calculated from the magnitude of the angle between neighboring elements. F_lim,2 must always be lower than F_u.

Anchorage types at the end of Reinforcement (Anchors and Rebars)

The available anchorage types in 3D CSFM include a straight bar (i.e., no anchor end reduction), bend, hook, loop, welded transverse bar, perfect bond, and continuous bar. All these types, along with the respective anchorage coefficients β, are shown in Fig. 36 for longitudinal reinforcement and in Fig. 37 for stirrups. The values of the adopted anchorage coefficients are in accordance with EN 1992-1-1 section 8.4.4 Tab. 8.2. It should be noted that in spite of the different available options, 3D CSFM distinguishes three types of anchorage ends: (i) no reduction in the anchorage length, (ii) a reduction of 30% of the anchorage length in the case of a normalized anchorage, and (iii) perfect bond.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the 3D CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}\]

In order to comply with EN 1992-1-1, the anchorage spring should be used in the calculation, the anchorage spring is modified by the β coefficient, so the user must use one of the available anchorage types when defining the reinforcement start and end conditions. 

5 Structural verifications according to ACI 318-19

3D CSFM is in accordance with ACI 318-19, chapter 6.8.1.1. In order for the 3D CSFM to meet the requirements from ACI 318-19 Section 6.8.1.2, a lot of verification testing was done at various universities. Individual articles summarizing the results of verification and validation can be found at the following link.

• Verifications: Detail 3D

Modele de material în 3D CSFM (ACI)

Beton - Rezistență

Modelul de beton implementat pentru calculele de rezistență în CSFM se bazează pe curba parabolică-plastică efort-deformație pentru beton, conform curbei parabolice efort-deformație descrise de Portland Cement Association în PCA's Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Figura 6-8. Rezistența la întindere este neglijată, ca în proiectarea clasică a betonului armat.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}\]

Implementarea CSFM în IDEA StatiCa Detail nu consideră un criteriu explicit de cedare în termeni de deformații pentru betonul comprimat (adică, după atingerea tensiunii maxime, se consideră o ramură plastică cu ε_c0 la valoarea maximă de 5%, în timp ce ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 presupune o deformație ultimă mai mică de 0,3%). Această simplificare nu permite verificarea capacității de deformare a structurilor care cedează prin compresiune. Cu toate acestea, rezistența este corect estimată atunci când creșterea fragilității betonului odată cu creșterea rezistenței sale este luată în considerare prin intermediul factorului de reducere \(\eta_{fc}\) definit în fib Model Code 2010 după cum urmează:

\[f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

unde:

α₁ este factorul de reducere a rezistenței la compresiune a betonului definit în ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. La utilizarea unei diagrame efort-deformație parabolă-dreptunghi, este necesar să se reducă tensiunea maximă de compresiune cu acest factor. Aceasta mediază distribuția tensiunilor în zona comprimată astfel încât rezistența la compresiune rezultantă să fie mai mică sau egală cu rezistența la compresiune calculată folosind o diagramă efort-deformație cu ramură plastică descrescătoare.

Φ_c este factorul de reducere a rezistenței pentru beton. Valoarea implicită este stabilită conform ACI 318-19 Tabelul 24.2.1 (b)(f).

f'_c este rezistența betonului pe cilindru (în MPa pentru definiția \( \eta_{fc} \)).

Armătură

Se consideră o diagramă efort-deformație perfect elasto-plastică cu un punct de curgere definit pentru armătura nepretensionată. A se vedea ACI 319-19 Cl. 20.2.1. Definirea acestei diagrame necesită cunoașterea doar a proprietăților de bază ale armăturii - rezistența și modulul de elasticitate.

Diagrama efort-deformație a armăturii poate fi definită și de utilizator, dar în acest caz nu este posibil să se considere efectul de participarea betonului întins. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}\]

unde:

Φ_s este factorul de reducere a rezistenței pentru armătură. Valoarea implicită este stabilită conform ACI 318-19 Tabelul 24.2.1.

f_y este rezistența la curgere a armăturii

E_s modulul de elasticitate al armăturii

10% este selectat ca deformație limită la care calculul este oprit. Aceasta este considerată sigură pe baza ASTM A955/A955M-20c Articolul 7.

Participarea betonului întins (Fig. 42)  este luată în considerare automat prin modificarea relației efort-deformație de intrare a barei de armătură neînglobate, pentru a surprinde rigiditatea medie a barelor înglobate în beton (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

Factori de reducere a rezistenței și factori de încărcare

Metoda Câmpului de Tensiuni Compatibil este conformă cu codurile de proiectare moderne. Deoarece modelele de calcul utilizează doar proprietăți standard ale materialelor, formatul factorilor parțiali de siguranță prescris în codurile de proiectare poate fi aplicat fără nicio adaptare. În acest fel, încărcările de intrare sunt factorizate, iar proprietățile caracteristice ale materialelor sunt reduse folosind factorii de reducere a rezistenței corespunzători, exact ca în analiza convențională a betonului.

Valorile factorilor de reducere a rezistenței sunt prescrise în ACI 318-19 capitolul 21 și pentru ancore în ACI 318-19 capitolul 17 și AISC 360-16 capitolele D, E, F, G. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}\]

Factorii de încărcare pentru combinațiile de rezistență trebuie definiți conform ACI 318-19 Tabelul 5.3.1.

Cu excepția celor prevăzute în Capitolul 34, combinațiile de încărcări la nivel de exploatare nu sunt definite în ACI 318-19. Se recomandă utilizarea regulilor de combinare bazate pe Anexa C a ASCE/SEI 7-16. Pentru toate șabloanele, factorii de încărcare sunt deja predefiniti.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of load factors in IDEA StatiCa Detail.}}}\]

Verificări de rezistență în Detail 3D

Diferitele verificări cerute de ACI 318-19 sunt evaluate pe baza rezultatelor directe furnizate de model. Verificările sunt efectuate pentru rezistența betonului, rezistența armăturii și ancoraj (tensiuni de forfecare de aderență).

Rezistență - Beton

Rezistența betonului la compresiune este evaluată ca raportul dintre tensiunea principală echivalentă maximă f_c,eq (de asemenea σ_c,eq în textul anterior) obținută din analiza MEF și valoarea limită f'_c,lim.

Tensiunea principală echivalentă exprimă tensiunea uni-axială echivalentă pentru o stare generală de tensiuni tri-axiale.

\[f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}\]

Valoarea f_c,eq poate fi, prin urmare, comparată direct cu limitele de rezistență uni-axială. Această expresie este derivată din implementarea teoriei plasticității Mohr-Coulomb, presupunând în mod conservativ unghiul de frecare internă φ = 0°.

Rezistență - Armătură

Rezistența armăturii este evaluată atât la întindere cât și la compresiune ca raportul dintre tensiunea din armătură la fisuri f_s și valoarea limită specificată f_y,lim.

\[f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}\]

Rezistență - Ancore

Ancorele sunt verificate pentru tensiuni normale într-un mod similar cu armătura, unde se determină valoarea limită f_y,lim. 

Pentru a facilita navigarea în textul următor, vom împărți mai întâi ancorarea în trei grupe din punct de vedere al verificării conform codului ACI sau AISC.

Grupa 1

• Tipuri de ancoraj
  • Placă turnată în situ
  • Placă de bază - Stand-off = direct 
  • Placă de bază - Stand-off = Rost de mortar - grosimea mortarului mai mică de 0,5 ori diametrul ancorului
  • Ancoră singulară cu lungime proiectată mai mică de 0,5 ori diametrul ancorului
• Verificări conform codului pentru ancore (ACI / AISC)
  • Întindere/compresiune
    • Toate tipurile de ancore la întindere – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2  
    • Toate tipurile de ancore la compresiune – AISC 360-16 cap. E
  • Forfecare fără braț de pârghie
    • Material șurub – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)
    • Dornuri cu cap – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a)
    • Armătură – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)
  • Interacțiunea întindere și forfecare - ACI 318-19 cap. 17.8

Grupa 2

• Tipuri de ancoraj
  • Placă de bază - Stand-off = Rost de mortar - grosimea mortarului mai mare de 0,5 ori diametrul ancorului
• Verificări conform codului pentru ancore (ACI / AISC)
  • Întindere/compresiune
    • Toate tipurile de ancore la întindere – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2  
    • Toate tipurile de ancore la compresiune – AISC 360-16 cap. E
  • Forfecare cu braț de pârghie
    • Material șurub – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b) + cap. 17.7.1.2.1.
    • Dornuri cu cap – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a) + cap. 17.7.1.2.1.
    • Armătură – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b) + cap. 17.7.1.2.1.
  • Interacțiunea întindere și forfecare - ACI 318-19 cap. 17.8

Grupa 3

• Tipuri de ancoraj
  • Placă de bază - Stand-off = joc
  • Ancoră singulară cu lungime proiectată mai mare de 0,5 ori diametrul ancorului
• Verificări conform codului pentru ancore (ACI / AISC)
  • Întindere/compresiune (cu flambaj)
    • Toate tipurile de ancore la întindere – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2
    • Toate tipurile de ancore la compresiune – AISC 360-16 cap. E3
  • Încovoiere
    • Pentru toate tipurile de ancore – AISC 360-16 cap. F11
  • Forfecare
    • Pentru toate tipurile de ancore – AISC 360-16 cap. G
  • Interacțiunea forței axiale și încovoierii
    • \(\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1\) 

Rezistența la întindere a ancorului conform ACI 318-19 cap. 17.6.1.2

\[\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}\]

unde:

• ϕ_a,t  – factorul de reducere a rezistenței pentru ancore la întindere conform ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
• A_se,N – aria secțiunii transversale la întindere (redusă de filet)
• f_uta – rezistența la întindere specificată a oțelului ancorului și nu trebuie să depășească 1,9 f_ya și 860 MPa

Rezistența la forfecare a ancorului conform ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a)

Rezistența oțelului la forfecare pentru dornuri cu cap se determină astfel:

\[\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}\]

unde:
ϕ_a,v – factorul de reducere a rezistenței pentru ancore la întindere conform ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
A_se,V – aria secțiunii transversale la întindere (redusă de filet)
f_uta – rezistența la întindere specificată a oțelului ancorului și nu trebuie să depășească 1,9 f_ya și 860 MPa

Rezistența la forfecare a ancorului conform ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)

Rezistența oțelului la forfecare pentru ancore din material șurub și armătură se determină astfel:

\[\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}\]

unde:

• ϕ_a,v  – factorul de reducere a rezistenței pentru ancore la întindere conform ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
• A_se,V – aria secțiunii transversale la întindere (redusă de filet)
• f_uta – rezistența la întindere specificată a oțelului ancorului și nu trebuie să depășească 1,9 f_ya și 860 MPa

Rezistența la forfecare a ancorului conectat la o bază cu mortar - ACI 318-19 cap. 17.7.1.2.1

Dacă ancorele sunt utilizate cu plăci de mortar (Grupa 2), rezistența de calcul calculată conform 17.7.1.2 se înmulțește cu 0,80.

Interacțiunea la întindere și forfecare conform ACI 318-19 cap. 17.8

Este permis să se neglijeze interacțiunea dintre întindere și forfecare dacă este satisfăcută condiția (a) sau (b).
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0.2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0.2 

Dacă N_ua/(ϕN_n) > 0.2 pentru rezistența determinantă la întindere și V_ua/(ϕV_n) > 0.2 pentru rezistența determinantă la forfecare, atunci trebuie satisfăcută Ec. (17.8.3).

\[\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2\]

Rezistența la compresiune a ancorului conform AISC 360-16 cap. E3

\[P_n =\phi_{a,c}\, F_{cr}\, A_{g}\]

unde:

• ϕ_a,t  – factorul de reducere a rezistenței pentru ancore la compresiune conform AISC 360-16 cap. E1
  
• (a) Când: \(\dfrac{L_c}{r} \le 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad\)  sau     \(\dfrac{F_y}{F_e}\le 2.25\)
  • \(F_{cr}=\left(0.658^{\,F_y/F_e}\right)F_y\)
    
• (b) Când: \(\dfrac{L_c}{r} > 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad\)  sau     \(\dfrac{F_y}{F_e}> 2.25\)
  • \(F_{cr}=0.877F_e\)
    
• A_g​ – aria brută a secțiunii transversale a elementului
• E – modulul de elasticitate al oțelului
• \(F_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{L_c}{r}\right)^2}\) - tensiunea de flambaj elastic
• F_y – limita de curgere minimă specificată pentru tipul de oțel utilizat
• \(r=\sqrt{\dfrac{I}{A_s}}\) – raza de girație
• \(I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}\) – momentul de inerție al șurubului 

Rezistența la încovoiere a ancorului conform AISC 360-16 cap. F11

\[M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y\]

unde:

• \(Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}\) – modulul de rezistență plastic al șurubului
• \(S_x=\dfrac{2I}{d_s}\) – modulul de rezistență elastic al șurubului

Rezistența la forfecare a ancorului conform AISC 360-16 cap. G

\[V_n=\phi_{a,v}\,0.6\,A_v\,F_y\]

unde:

• A_V = 0.844As – aria de forfecare
• A_s – aria șurubului redusă de filet

Strivirea betonului la interfața ancoră–beton

Rezistența la forfecare a ancorului este de asemenea limitată din punct de vedere al striviri betonului la interfața ancoră–beton. Valorile limită și metoda de determinare a acestora sunt descrise în detaliu în articolul - Comportamentul la forfecare al ancorelor în beton armat. Odată ce forța de contact atinge această limită, criteriul de oprire este declanșat, iar analiza este terminată înainte ca rezistența să fie depășită.​ 

Verificarea la smulgere pentru ancore cu cap (Plăci tip șaibă și Dornuri cu cap)

Pentru ancorele cu cap, este implementat un criteriu suplimentar de oprire pentru verificarea presiunii de contact a betonului (strivire) deasupra capului ancorului - smulgere. În timpul analizei, forța de compresiune transferată prin contactul cap-beton este monitorizată și comparată cu valoarea limită dată de ACI 318-19, Clauza 17.6.3.2.2a (cedare prin smulgere a dispozitivelor de fixare cu cap).

\[N_{pn} = \Phi \cdot \Psi_{c,p} \cdot 8 \cdot A_{brg} \cdot f'_c\]
​

unde:

• \( \Phi\) este factorul de reducere a rezistenței - Tabelul 17.5.3(c)
• A_brg aria netă de rezemare a capului dornului, șurubului de ancoraj sau barei deformate cu cap (fără aria tijei). 
• f'_c este rezistența la compresiune specificată a betonului
• \(\Psi_{c,p}\) este factorul de fisurare la smulgere conform 17.6.3.3 și este întotdeauna luat ca 1,0, adică valoarea pentru beton fisurat. Aceasta este consecventă cu abordarea CSFM utilizată în Detail, unde rezistența la întindere a betonului este neglijată și se presupune că betonul este fisurat la întindere.

Odată ce forța de contact atinge această limită bazată pe cod, criteriul de oprire este declanșat, iar analiza este terminată înainte ca rezistența la smulgere să fie depășită.​ 

Ancoraj -  Tensiune de aderență

Tensiunea de forfecare de aderență este evaluată independent ca raportul dintre tensiunea de aderență τ_b calculată prin analiza MEF și rezistența de aderență f_bu.

Deși rezistența de aderență nu este definită explicit în ACI 318-19, calculul lungimii de ancoraj poate fi găsit în Secțiunea 25.4.2. Cu toate acestea, deoarece rezistența de aderență este intrarea de bază pentru determinarea lungimii de ancoraj, a se vedea R25.4.1.1 și ACI Committee 408 1966, rezistența de aderență poate fi calculată după cum urmează:

Să presupunem că dacă ancorăm bara de armătură într-un bloc de beton pe lungimea de ancoraj l_d sau mai mult, smulgerea armăturii va duce la ruperea armăturii și nu la smulgerea betonului. Aceasta poate fi scrisă cu următoarea formulă.

\[\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}\]

unde:

d_b este diametrul barei de armătură, _ld este lungimea de ancoraj, f_bu este rezistența de aderență, f_y este limita de curgere a armăturii, iar A_s este aria secțiunii transversale a barei de armătură.

Din cele de mai sus, formula pentru calculul rezistenței de aderență poate fi ușor derivată:

\[f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }\]

Lungimea de ancoraj l_d este determinată conform ACI 318-19 Tabelul 25.4.2.3 după cum urmează:

\[l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}\]

unde:

C = 25 (2,1 pentru metric) pentru bare nr. 6 și mai mici și sârme deformate, C = 20 (1,7 pentru metric) pentru bare nr. 7 și mai mari, λ = 1,0 pentru beton de greutate normală, ψ_t, ψ_e, ψ_g sunt determinate conform ACI 318-19 Tabelul 25.4.2.3. 

Este suportată doar armătura neacoperită sau acoperită cu zinc (galvanizată), deci ψ_e = 1,0. ψ_g este determinat automat din clasa armăturii, iar ψ_t este derivat automat din poziția armăturii în model și din direcția de betonare care poate fi setată în aplicație pentru fiecare element de proiect după cum urmează.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad Direction of concreting}}}\]

Aceste verificări sunt efectuate în raport cu valorile limită corespunzătoare pentru părțile respective ale structurii (adică, în ciuda faptului că există o singură clasă atât pentru beton cât și pentru materialul armăturii, diagramele finale efort-deformație vor diferi în fiecare parte a structurii datorită efectelor de participarea betonului întins și rezistența redusă a betonului comprimat).

Ancoraj -  Forță totală

Forța totală F_tot și forța limită F_lim

Forța totală F_tot este un rezultat al analizei cu elemente finite și poate fi definită în două moduri.

\[F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}\]

unde A_s este aria barei de armătură și f_s este tensiunea din bară.

Sau ca sumă a forței de ancoraj F_a și a forței de aderență F_bond.

\[F_{tot}=F_{a}+F_{bond}\]

unde F_a este forța reală în arcul de ancoraj și F_bond este forța de aderență care poate fi obținută prin integrarea tensiunii de aderență τ_b de-a lungul lungimii barei de armătură l.

\[F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx\]

C_s este circumferința barei de armătură.

Forța limită F_lim este forța maximă în elementul barei de armătură luând în considerare rezistența barei și de asemenea condițiile de ancorare (aderența dintre beton și armătură și cârlige de ancoraj, bucle etc.).

\[F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)\]

\[F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}\]

unde C_s este circumferința barei de armătură, iar l este lungimea de la începutul barei până la punctul de interes.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Definition of the limit force Flim}}}\]

\[F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}\]

unde F_lim,add este forța suplimentară calculată din mărimea unghiului dintre elementele vecine. F_lim,2 trebuie să fie întotdeauna mai mică decât F_u.

Tipurile de ancoraj disponibile în CSFM includ o bară dreaptă (adică fără reducere la capătul de ancoraj), cârlig la 90 de grade, cârlig la 180 de grade, aderență perfectă și bară continuă. Toate aceste tipuri, împreună cu coeficienții de ancoraj β respectivi, sunt prezentate în Fig. 47 pentru armătura longitudinală. Valorile coeficienților de ancoraj adoptați sunt derivate din compararea ecuației din secțiunea ACI 318-19 25.4.3.1 și a ecuațiilor preluate din secțiunea ACI 318-19 25.4.2.3. Trebuie remarcat că, în ciuda diferitelor opțiuni disponibile, CSFM distinge trei tipuri de capete de ancoraj: (i) fără reducere a lungimii de ancoraj, (ii) o reducere de 30% a lungimii de ancoraj în cazul unui ancoraj normalizat și (iii) aderență perfectă.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}\]

Coeficientul de ancoraj pentru etrieri este întotdeauna - β = 1,0.

Pentru a respecta ACI, arcul de ancoraj trebuie utilizat în calcul; arcul de ancoraj este modificat prin coeficientul β, astfel încât utilizatorul trebuie să folosească unul dintre tipurile de ancoraj disponibile la definirea condițiilor de început și sfârșit ale armăturii. 

6 Structural verifications according to AASHTO

7 Structural verifications according to Australian standard AS 3600

The CSFM is a structural analysis method that satisfies the general rules in Chapters 6.1.1 and 6.1.2 and is defined as (f) non-linear stress analysis in Chapter 6.1.3 - further in Chapter 6.6. 

In order to satisfy the requirements in Sections 6.6.4 and 6.6.5 - more can be found in AS3600:2018 Sup 1:2022 Section C6.6 - verification and validations of the method were done. Individual articles summarizing the results of verification and validation can be found at the following link.

• Verifications: Detail 3D

Since IDEA StatiCa Detail is a practical design program, factored characteristic compressive cylinder strength at 28 days f'c is used for calculations, as is described in the next chapter.

Modele de material în 3D CSFM (AS 3600)

Beton - Rezistență

Modelul de beton implementat pentru calculele de rezistență în CSFM se bazează pe curba efort-deformație parabolică-plastică. Rezistența la întindere este neglijată, ca în proiectarea clasică a betonului armat.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}\]

Implementarea CSFM în IDEA StatiCa Detail nu consideră un criteriu explicit de cedare în termeni de deformații pentru betonul comprimat (adică, după atingerea tensiunii de vârf, se consideră o ramură plastică cu ε_cp la valoarea maximă de 5%, în timp ce AS 3600 Cl. 8.3.1 presupune o deformație ultimă mai mică de 0,3%). Această simplificare nu permite verificarea capacității de deformare a structurilor care cedează prin compresiune. Cu toate acestea, rezistența este corect estimată atunci când creșterea fragilității betonului odată cu creșterea rezistenței sale este luată în considerare prin intermediul factorului de reducere \(\eta_{fc}\) definit în fib Model Code 2010 după cum urmează:

\[f'_{c,lim}=\alpha_{2}\cdot\phi_{s} \cdot \eta_{fc}\cdot f'_{c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

unde:

α₂ este factorul de reducere a rezistenței la compresiune a betonului definit în AS 3600 Cl. 8.3.1
La utilizarea diagramei efort-deformație parabolă-dreptunghi, este necesar să se reducă tensiunea maximă de compresiune cu acest factor. Aceasta mediază distribuția tensiunilor în zona comprimată astfel încât rezistența la compresiune rezultantă să fie mai mică sau egală cu rezistența la compresiune calculată folosind o diagramă efort-deformație cu ramură plastică descrescătoare. O abordare analogă este definită pentru blocul de tensiuni dreptunghiular în Capitolul 8.1.3.

Φ_s este factorul de reducere a tensiunii pentru beton. Valoarea implicită este stabilită conform AS 3600 Tabelul 2.2.3.

f'_c este rezistența cilindrică a betonului (în MPa pentru definiția \( \eta_{fc} \)).

Armătură

Se consideră o diagramă efort-deformație perfect elasto-plastică cu un punct de curgere definit pentru armătura nepretensionată, conform AS 3600 Secțiunea 3.2. Definirea acestei diagrame necesită cunoașterea doar a proprietăților de bază ale armăturii – rezistența și modulul de elasticitate.

Diagrama efort-deformație a armăturii poate fi definită și de utilizator, dar în acest caz este imposibil să se considere efectul de participarea betonului întins (este imposibil să se calculeze deschiderea fisurilor). 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}\]

unde:

Φ_s este factorul de reducere a rezistenței pentru armătură. Valoarea implicită este stabilită conform AS 3600 Tabelul 2.2.3.

f_y este limita de curgere a armăturii

E_s modulul de elasticitate al armăturii

Participarea betonului întins (Fig. 50)  este luată în considerare automat prin modificarea relației efort-deformație de intrare a barei de armătură neînglobate, pentru a surprinde rigiditatea medie a barelor înglobate în beton (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

Factori de reducere a tensiunilor și rezistenței și factori de încărcare

Metoda Câmpului de Tensiuni Compatibil este conformă cu codurile de proiectare moderne. Deoarece modelele de calcul utilizează doar proprietăți standard ale materialelor, formatul factorilor parțiali de siguranță prescris în codurile de proiectare poate fi aplicat fără nicio adaptare. În acest fel, încărcările de intrare sunt majorate cu factori, iar proprietățile caracteristice ale materialelor sunt reduse folosind factorii de reducere a tensiunilor corespunzători, exact ca în analiza convențională a betonului.

Valorile factorilor de reducere a tensiunilor sunt prescrise în AUS 3600 Cl. 2.2.3 și în alte secțiuni prezentate în figura următoare.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad The setting of stress reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}\]

Factorii de încărcare pentru combinațiile de Rezistență trebuie definiți conform AS 3600 Cl. 4.2.2. Factorii de încărcare pentru combinațiile de Serviciu trebuie determinați conform Tabelului 4.1. Pentru toate șabloanele, factorii de încărcare sunt deja predefiniti.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Strength and anchorage verifications in Detail 3D

The different verifications required by AS 3600 are assessed based on the direct results provided by the model. Verifications are carried out for concrete strength, reinforcement strength, and anchorage (bond shear stresses).

Strength - Concrete

The concrete strength in compression is evaluated as the ratio between the maximum Equivalent principal stress f_c,eq (also σ_c,eq in previous text) obtained from FE analysis and the limit value f'_c,lim.

Equivalent Principal Stress expresses the equivalent uni-axial stress for a general tri-axial stress state.

\[f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}\]

The f_c,eq value can, therefore, be directly compared with uniaxial strength limits. This expression is derived from the implementation of the Mohr-Coulomb plasticity theory, conservatively assuming the angle of internal friction φ = 0°.

Strength - Reinforcement

The strength of the reinforcement is evaluated in both tension and compression as the ratio between the stress in the reinforcement at the cracks f_s and the specified limit value f_sy,lim.

\[f_{sy,lim} = \phi_{s} \cdot f_{sy}\]

Strength - Anchors

Anchors are checked for normal stresses in a similar way to reinforcement, where the limit value f_sy,lim is determined. 

To make it easier to navigate the following text, we will first divide anchoring into three groups in terms of code-checking according to AS 5216 and AS 4100.

Group 1

• Anchorage Types
  • Cast-in plate
  • Base plate - Stand-off = direct 
  • Base plate - Stand-off = Mortar joint - thickness of mortar less than 0.5 times the anchor diameter
  • Single anchor with projected length less than 0.5 times anchor diameter
• Anchor code-checks
  • Tension/compression
    • All materials in tension – AS 5216 chap. 6.2.2
    • All anchor types in compression – AS 4100 chap. 6.3.3
  • Shear without lever arm
    • All materials – AS 5216 chap. 7.2.2.2
  • Interaction of tension and shear - AS 5216 chap. 8.1.1

Group 2

• Anchorage Types
  • Base plate - Stand-off = Mortar joint - thickness of mortar more than 0.5 times the anchor diameter
• Anchor code-checks
  • Tension/compression
    • All materials in tension – AS 5216 chap. 6.2.2
    • All anchor types in compression – AS 4100 chap. 6.3.3
  • Shear with lever arm
    • All materials – AS 5216 chap. 7.2.2.3

Interaction verification according to AS 5216 shall not be required for post-installed fasteners or anchor channel bolts subjected to shear load that has a lever arm since this interaction is accounted for in Equation 7.2.2.3(2).

Group 3

• Anchorage types
  • Base plate - Stand-off = gap
  • Single anchor with projected length more than 0.5 times the anchor diameter
• Anchor code-checks (ACI / AISC)
  • Tension/compression (with buckling)
    • All materials in tension – AS 5216 chap. 6.2.2 or AS 4100 chap. 9.2.2.2 (can be selected in settings)
    • All anchor types in compression – AS 4100 chap. 6.3.3
  • Bending
    • For all anchor types – AS 4100 chap. 5.1
  • Shear
    • For all anchor types – AS 4100 chap. 5.11
• Interaction described further

Tensile resistance of anchor according to AS 5216 chap. 6.2.2

\[\phi N_{tf}=\phi_{Ms}\,A_s\,f_{uf}\]

where:

• ϕN_tf – design resistance of anchor in tension
• \(\phi_{Ms}=\dfrac{5 f_{yf}}{6 f_{uf}}\le \dfrac{1}{1.4}\) – strength reduction factor for anchors in tension according to AS 5216 Table 3.2.4
• A_s – tensile stress area (reduced by thread)
• f_uf – specified tensile strength of anchor steel 

Shear resistance of anchor according to AS 5216 chap. 7.2.2.2

The steel strength in shear without lever arm is determined as:

\[\phi V_{Rk,s}=\phi_{Ms}\,0.62\,f_{uf}\,A\]

where:

• ϕV_tf – design resistance of anchor in shear
• A_s  – tensile stress area (reduced by thread)
• f_uf – specified tensile strength of anchor steel 
• \(\phi_{Ms}=\begin{cases}\dfrac{f_{yf}}{f_{uf}} \le 0.8, & \text{when } f_{uf}\le 800~\text{MPa and } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}\le 0.8 \\[8pt] \dfrac{2}{3}, & \text{when } f_{uf}> 800~\text{MPa or } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}> 0.8 \end{cases}\)

The design resistance of a single fastener in case of steel failure, or fasteners with a ratio h_ef / d_nom < 5 and a concrete compressive strength class < 20 MPa, the design resistance ϕV_tf should be multiplied by a factor of 0.8.

Shear resistance of anchor according to AS 5216 chap. 7.2.2.3

The steel strength in shear with lever arm is determined as:

\[\phi V_{Rk,s,M}=\phi_{Ms}\,\frac{\alpha_M\,M_{Rk,s}}{l_a}\]

where:

• α_M = 2 – parameter accounting for the degree of restraint, fixture is assumed to be prevented from rotating – Cl. 4.2.2.4
• \(M_{Rk,s}=M_{Rk,s}^{0}\left(1-\dfrac{N^{*}}{\phi_{Ms}\,N_{Rk,s}}\right)\) – characteristic flexural strength of the fastener influenced by the axial load
• \(l_a = a_3 + e_1 - l_e\) – length of the lever arm
• \(a_3 = 0.5\,d \) – distance between the assumed point of restraint of the fastener loaded in shear and the surface of the concrete
• \(e_1 = t_g + \dfrac{t_{fix}}{2}\) – eccentricity of the applied shear load relative to the concrete surface, neglecting the thickness of a levelling grout or mortar
• t_g – thickness of grout layer
• t_fix – thickness of base plate
• d – nominal diameter of the fastener
• N* – design tension load
• ϕ_Ms N_Rk,s – tensile strength of a fastener to steel failure
• \(M_{Rk,s}^{0}=1.2\,W_{el}\,f_{uf}\) – characteristic flexural strength of the fastener – ETAG 001 – Annex C
• \(W_{el}=\dfrac{\pi d_s^{3}}{32}\) – elastic section modulus of the fastener, the diameter reduced by threads
• \(d_s=\sqrt{\dfrac{4A_s}{\pi}}\) – is used instead of nominal diameter d for threaded rods and washer plates
• \(\phi_{Ms}=\begin{cases}\dfrac{f_{yf}}{f_{uf}} \le 0.8, & \text{when } f_{uf}\le 800~\text{MPa and } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}\le 0.8 \\[8pt] \dfrac{2}{3}, & \text{when } f_{uf}> 800~\text{MPa or } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}> 0.8 \end{cases}\)

Interaction in tension and shear according to AS 5216 chap. 8.1.1

\[\left(\frac{N^{*}}{\phi N_{Rk,s}}\right)^{2}+\left(\frac{V^{*}}{\phi V_{Rk,s}}\right)^{2}\le 1.0\]

Where:

• N* – design tension force applied to a single fastener
• V* – design shear force applied to a single fastener 
• ϕN_Rk,s – design tensile strength of a single fastener
• ϕV_Rk,s – design shear strength of a single fastener

Tensile resistance of anchor according to AS 4100 chap. 9.2.2.2

\[N_{tf}^{*}\le \phi_{a,t} A_s f_{uf}\]

where:

• A_s – tensile stress area (reduced by thread) as specified in AS 1275
• ϕ_a,t – capacity factor for bolts according to AS 4100 Table 3.4

Compressive resistance of anchor according to AS 4100 chap. 6.3.3

\[\phi N_c=\phi\,\alpha_c\,N_s=\phi\,\alpha_c\,k_f\,A_s\,f_y \le \phi N_s\]

where:

• ϕ_a,c – capacity factor for bolts according to AS 4100 Table 3.4
• \(N_c=\alpha_c\,N_s \le N_s\) – nominal member capacity – Cl. 6.3.3
• \(N_s=k_f\,A_s\,f_y\) – nominal section capacity – Cl. 6.2
• f_y – anchor yield strength
• \(l_e=k_e\,l\) – effective length – Cl. 6.3.2
• k_e = 2 – member effective length factor, it is assumed conservatively that the anchor is fixed and the bottom and pinned at the top as a sway member
• \(l = l_{gap}+\dfrac{d}{2}+\dfrac{t_p}{2}\) – assumed length of the member
• l_gap – gap height
• d – nominal bolt diameter
• t_p – base plate thickness
• \(\alpha_c=\xi\left[\,1-\sqrt{\,1-\left(\dfrac{90}{\xi\,\lambda}\right)^2}\,\right]\) – member slenderness reduction factor
• \(\xi=\frac{\left(\dfrac{\lambda}{90}\right)^2+1+\eta}{2\left(\dfrac{\lambda}{90}\right)^2}\)
• \(\lambda=\lambda_n+\alpha_a\alpha_b\)
• \(\eta=0.00326(\lambda-13.5)\ge 0\)
• \(\lambda_n=\left(\frac{l_e}{r}\right)\sqrt{k_f}\,\sqrt{\dfrac{f_y}{250}}\)
• \(\alpha_a=\dfrac{2100(\lambda_n-13.5)}{\lambda_n^2-15.3\lambda_n+2050}\)
• α_b = 0.5 – compression member section constant - Table 6.3.3
• k_f = 1 – form factor – Cl. 6.2.2
• \(r=\sqrt{\dfrac{I_s}{A_s}}\) – radius of gyration
• \(I_s=\dfrac{1}{64}\,\pi d_s^{4}\) – moment of inertia
• A_s – tensile stress area of a bolt as defined in AS 1275
• \(d_s=\sqrt{\dfrac{4A_s}{\pi}}\) – diameter reduced by threads

Bending resistance of anchor according to AS 4100 chap. 5.1

\[\phi M_s=\phi\,f_y\,Z_e\]

where:

• ϕ_a,b – capacity factor for bolts according to AS 4100 Table 3.4
• f_y – anchor yield strength
• \(Z_e=\min\left(S,\,1.5\,Z\right)\) – effective section modulus – Cl. 5.2.3
• \(S=\dfrac{d^{3}}{6}\) – plastic section modulus; if a thread exists, nominal diameter d is replaced by diameter reduced by threads, d_s
• \(Z=\dfrac{1}{32}\,\pi d^{3}\) – elastic section modulus; if a thread exists, nominal diameter d is replaced by diameter reduced by threads, d_s

Shear resistance of anchor according to AS 4100 chap. 5.11

\[\phi V_w = 0.6\,f_y\,A_w\]

where:

• ϕ – capacity factor for bolts according to AS 4100 Table 3.4
• f_y – anchor yield strength
• A_w = 0.844 A_s – shear area
• A_s – tensile stress area (reduced by thread)

Interaction in tension and bending 

\[\frac{N_{tf}^{*}}{\phi N_t}+\frac{M^{*}}{\phi M_s}\le 1\]

where:

• N^*_tf   – design tensile force
• ϕN_t – design tensile resistance of anchor
• M^*   – design bending moment due to shear on a lever arm
• ϕ_Ms – design bending resistance of anchor

Interaction in compression and bending

\[\frac{N^{*}}{\phi N_c}+\frac{M^{*}}{\phi M_s}\le 1\]

where:

• N^*   – design compressive force
• ϕN_c – design compressive resistance of anchor
• M^*   – design bending moment due to shear on a lever arm
• ϕ_Ms – design bending resistance of anchor

Concrete crushing at the anchor–concrete interface

The anchor shear resistance is also limited from the point of view of concrete crushing at the anchor–concrete interface. The limit values and the method for determining them are described in detail in the article - Shear behaviour of anchors in reinforced concrete. Once the contact force reaches this limit, the stop criterion is triggered, and the analysis is terminated before the resistance is exceeded.​ 

Pull-out check for headed anchors (Washer plates and Headed studs)

For headed anchors, an additional stop criterion is implemented to check the concrete bearing (crushing) above the anchor head - pull-out. During the analysis, the compressive force transferred through the head-to-concrete contact is monitored and compared with the limit value given by AS 5216:2021 Cl. 6.3.4 (pull-out failure of headed fastenings).

\[N_{Rd,p} = \Phi_{Mp} \cdot k_{2} \cdot A_{h} \cdot f'_{c}\]
​

where:

• \( \Phi_{Mp}\) is the strength reduction factor - Table 3.2.4
• A_h is the load bearing area of the head of the fastener (without the shank area). 
• f'_c is the specified compressive strength of concrete
• k₂ is always taken as 7.5, i.e. the value for cracked concrete. This is consistent with the CSFM approach used in Detail, where the tensile strength of concrete is neglected and the concrete is assumed to be cracked in tension.

Once the contact force reaches this code-based limit, the stop criterion is triggered and the analysis is terminated before the design pull-out resistance is exceeded.​ 

Anchorage -  Bond stress

The bond shear stress is evaluated independently as the ratio between the bond stress τ_b calculated by FE analysis and the design ultimate bond stress f_bu.

For the determination of the design ultimate bond stress f_bu, the formula C13.1.2.2 defined in AS3600:2018 Sup 1:2022 is considered in the application.

\[f_{bu}=\frac{k_{2}}{k_{1} \cdot k_{3}} \cdot (0.5 \cdot \sqrt{f'_{c}})\]

Where f'_c ≤ 65 MPa (in the formula is in MPa), and k factors are determined from AS 3600 Cl. 13.1.2.2 as follows:

k₃ = 0.7                                 (conservative value for all reinforcement)
k₂ = (132 - d_b) / 100             (d_b is diameret of rebar in millimeters)
= 1.3 for a horizontal bar with more than 300 mm of concrete cast below the bar, or 1.0 otherwise

k₁ is automatically derived from the position of the reinforcement in the model and from the direction of concreting that can be set in the application for each project item as follows.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 53\qquad Direction of concreting}}}\]

The basic development length L_sy,tb is calculated according to formula 13.1.2.2 in AS 3600 as follows:

\[L_{sy,tb}=\frac{0.5\cdot k_{1}\cdot k_{3}\cdot f_{sy}\cdot d_{b}}{k_{2}\cdot \sqrt{f'_{c}}}\ge 29 \cdot k_{1}\cdot d_{b}\]

As can be seen in the formula, the basic development length L_sy,tb is limited from below, and therefore the design ultimate bond stress f_bu must be limited in the same way in the application, so the following applies:

\[f_{bu}\le \frac{f_{sy}}{116 \cdot k_{1}} \]

Where f_sy is in MPa.

The derivation of the f_bu limitation is as follows:

\[f_{bu}= \frac{f_{sy}\cdot A_{s}}{ \pi \cdot d_{b} \cdot L_{sy,tb}}=\frac{f_{sy}\cdot \pi \cdot d_{b}^{2}}{4 \cdot \pi \cdot d_{b} \cdot 29 \cdot k{1} \cdot d_{b}} =\frac{f_{sy}}{116 \cdot k_{1}} \]

Total force F_tot and limit force F_lim

The total force F_tot is a result of the finite element analysis and can be defined in two ways.

\[F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}\]

where A_s is the area of the reinforcement bar and f_s is the stress in the bar.

Or as a sum of the anchorage force F_a and the bond force F_bond.

\[F_{tot}=F_{a}+F_{bond}\]

where F_a is the actual force in the anchorage spring and F_bond is the bond force that can be obtained by integrating the bond stress τ_b along the length of reinforcement bar l.

\[F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx\]

C_s is the circumference of the reinforcement bar.

The limit force F_lim is the maximum force in the element of the rebar considering the strength of the rebar and also anchoring conditions (bond between concrete and reinforcement and anchorage hooks, loops, etc.).

\[F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)\]

\[F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}\]

where C_s is the circumference of the reinforcement bar, and l is the length from the beginning of the rebar to the point of interest.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 54\qquad Definition of the limit force Flim}}}\]

\[F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}\]

where F_lim,add is the additional force calculated from the magnitude of the angle between neighboring elements. F_lim,2 must always be lower than F_u.

The available anchorage types in CSFM include a straight bar (i.e., no anchor end reduction), Standard cog, Standard hook, perfect bond, and continuous bar. All these types, along with the respective anchorage coefficients β, are shown in Fig. 55 for longitudinal reinforcement. The values of the adopted anchorage coefficients are derived from AS 3600 Cl. 13.1.2. It should be noted that CSFM distinguishes three types of anchorage ends: (i) no reduction in the anchorage length, (ii) a reduction of 50% of the anchorage length in the case of a normalized anchorage, and (iii) perfect bond.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 55\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) Standard cog; (c) Standard hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}\]

The anchorage coefficient for stirrups is always - β = 1.0.

In order to comply with AS 3600, the anchorage spring should be used in the calculation. The anchorage spring is modified by the β coefficient, so the user must use one of the available anchorage types when defining the reinforcement start and end conditions. 

Verifications and validations

• Verifications: Detail 3D

References

1. Wu, D.; Wang, Y.; Qiu, Y.; Zhang, J.; Wan, Y.-K. Determination of Mohr–Coulomb Parameters from Nonlinear Strength Criteria for 3D Slopes. Math. Probl. Eng. 2019, 6927654.
2. Lelovic, S.; Vasovic, D.; Stojic, D. Determination of the Mohr-Coulomb Material Parameters for Concrete under Indirect Tensile Test. Tech. Gaz. 2019, 26, 412–419.
3. Galic, M.; Marovic, P.; Nikolic, Ž. Modified Mohr-Coulomb—Rankine material model for concrete. Eng. Comput. 2011, 28, 853–887.
4. Fan, Q.; Gu, S.C.; Wang, B.N.; Huang, R.B. Two Parameter Parabolic Mohr Strength Criterion Applied to Analyze The Results of the Brazilian Test. Appl. Mech. Mater. 2014, 624, 630–634.