Structural design of concrete 3D discontinuities in IDEA StatiCa Detail

1 Introduction to the 3D CSFM method

1.1 General introduction for the structural design of concrete 3D details
1.2 Main assumptions and limitations
1.3 Mohr-Coulomb plasticity theory implementation in 3D CSFM
1.4 General mechanics assumptions for 3D CSFM

2 Analysis model of IDEA StatiCa 3D Detail

2.1 Introduction to finite element implementation
2.2 General finite element types
2.3 Load transfer devices
2.4 Meshing in 3D CSFM
2.5 Solution method and load-control algorithm for 3D CSFM
2.6 Presentation of 3D results
2.7 Model imported from IDEA StatiCa Connection

3 Model verification

3.1 Limit states

4 Structural verifications according to EUROCODE

4.1 Material models in 3D CSFM (EN)
4.2 Partial safety factors
4.3 Ultimate limit state checks

5 Structural verifications according to ACI 318-19

5.1 Material models in 3D CSFM (ACI)
5.2 Strength reduction and load factors
5.3 Strength verifications

6 Structural verifications according to AASHTO

6.1 Material models in 3D CSFM (AASHTO)
6.2 Resistance and load factors
6.3 Strength limit state verifications

7 Structural verifications according to AS 3600

7.1 Material models in 3D CSFM (AUS)
7.2 Stress and strength reduction factors and load factors
7.3 Strength and anchorage verifications

1 Introduction to the 3D CSFM method

Un'introduzione generale alla progettazione strutturale di dettagli 3D in calcestruzzo

In pratica, gli ingegneri possono incontrare diversi tipi di elementi finiti (dai semplici elementi monodimensionali a barra ai più complessi elementi tridimensionali a solido) utilizzati in una varietà di applicazioni per l'analisi e la progettazione di elementi strutturali. Una caratteristica comune alla maggior parte dei calcoli nella pratica tende ad essere il comportamento lineare dei modelli, i cui vantaggi sono indubbiamente la velocità, la chiarezza e semplicemente il fatto che per un'ampia varietà di problemi questa soluzione è del tutto sufficiente.

Specialmente nel mondo delle strutture in calcestruzzo, accade spesso che l'approccio lineare non sia sufficiente, semplicemente perché dopo la comparsa delle prime fessure nell'elemento caricato le tensioni si ridistribuiscono e il problema diventa significativamente non lineare.

Per questi casi è necessario scegliere uno degli approcci più sofisticati. Per i casi monodimensionali si possono spesso trovare metodi analitici definiti direttamente nelle normative. Ad esempio, per gli elementi piani bidimensionali e le regioni di discontinuità (regioni D) si possono costruire i popolari modelli Puntone e tirante, oppure si può utilizzare il più sofisticato metodo del campo di tensioni compatibile implementato in IDEA StatiCa Detail, il CSFM.

Tuttavia, se l'ingegnere si trova di fronte a un problema che non può essere semplificato in un comportamento piano, le opzioni sono molto limitate. Naturalmente si può costruire un modello Puntone-e-tirante tridimensionale oppure utilizzare software semi-scientifico per un'analisi accurata. Queste procedure sono spesso dispendiose in termini di tempo, non conformi alle normative e richiedono un ingegnere esperto in metodi di modellazione avanzati.

Per questo motivo, IDEA StatiCa ha sviluppato e implementato il CSFM 3D (Metodo del Campo di Tensioni Compatibile) nell'applicazione Detail. Il CSFM 3D estende il consolidato CSFM in una terza dimensione, offrendo una soluzione rapida e conforme alle normative, applicabile principalmente all'ingegnere di tutti i giorni, conferendogli una nuova e unica capacità di affrontare in sicurezza i dettagli complessi delle strutture in calcestruzzo.

Ipotesi principali e limitazioni del CSFM in 3D

Il CSFM 3D definisce il comportamento del calcestruzzo sulla base della teoria della plasticità di Mohr-Coulomb Modificata per carichi monotoni. Il metodo considera le tensioni principali del calcestruzzo in compressione e le tensioni dell'armatura (σ_sr) alle fessure, trascurando la resistenza a trazione del calcestruzzo (taglio in trazione), ad eccezione del suo effetto di irrigidimento sull'armatura (Irrigidimento a trazione).

σ_c1r, σ_c2r, σ_c3r ≤ 0 MPa

Le barre di armatura sono collegate agli elementi finiti volumetrici in calcestruzzo tramite elementi di aderenza, che consentono lo scorrimento tra il calcestruzzo e l'armatura. È opportuno notare che il CSFM 3D non è adatto per simulare il calcestruzzo semplice a causa dell'assenza di trazione, il che può portare a deformazioni fuorvianti e alla divergenza del modello. In generale, la teoria di Mohr-Coulomb include due proprietà fondamentali che governano l'evoluzione della superficie di plasticità in compressione e parzialmente in trazione: l'angolo di attrito interno φ e il parametro di coesione c. Il CSFM 3D assume un angolo di attrito interno pari a zero (Fig. 1e), portando a un progetto conservativo poiché la superficie di plasticità è analoga al modello di Tresca, indipendente dal primo invariante di tensione.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Basic assumptions of the 3D CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses; (d) stress-strain diagram of reinforcement}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{in terms of stresses at cracks and average strains; (e) Mohr's circles for concrete model in 3D CSFM; (f) bond shear stress-slip}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{relationship for anchorage length verifications.}}}\)

Calcestruzzo 

Il modello di materiale presentato è un modello di plasticità a superfici multiple ottenuto dalla combinazione dei modelli di Mohr-Coulomb e Rankine per carichi monotoni. È importante notare che questo modello non considera lo scarico; pertanto, le variabili di stato non vengono memorizzate, come avverrebbe invece nei modelli di plasticità classici utilizzati per carichi ciclici.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Mohr-Coulomb multi-surface plasticity model for friction angle 0 degree}}}\]

Come già accennato, il modello di materiale è destinato all'uso in applicazioni che calcolano la risposta del calcestruzzo armato (non adatto al calcestruzzo semplice). Ciò è dovuto all'esclusione del calcestruzzo in trazione. Pertanto, il modello non è adatto nemmeno per elementi strutturali in cui le regole di progetto per il calcestruzzo armato, come il rapporto minimo di armatura, la spaziatura massima delle barre, ecc., non sono soddisfatte. Va inoltre aggiunto che, per ragioni di stabilità numerica, nel modello è definita una capacità a trazione molto ridotta. La parte a trazione è limitata da piani corrispondenti al modello di Rankine.

Il CSFM 3D in IDEA StatiCa Detail non considera un criterio di rottura esplicito in termini di deformazioni per il calcestruzzo in compressione (ovvero, considera un ramo infinitamente plastico dopo il raggiungimento della tensione di picco). Questa semplificazione non consente di verificare la capacità deformativa delle strutture che collassano in compressione. Tuttavia, la capacità ultima è correttamente prevista quando l'aumento della fragilità del calcestruzzo all'aumentare della resistenza è considerato tramite il fattore di riduzione 𝜂_𝑓𝑐 definito nel fib Model Code 2010 come segue:

\[f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

dove:

f_c è la resistenza caratteristica cilindrica del calcestruzzo (in MPa per la definizione di \( \eta_{fc} \)).

Il valore f_c,red viene quindi confrontato con la Tensione Principale Equivalente σ_c,eq nel calcestruzzo, che sarà definita più avanti, tenendo naturalmente conto di tutti i coefficienti di sicurezza prescritti dalla normativa.

Una descrizione dettagliata del modello di calcestruzzo è disponibile al seguente link:

• Modello di Materiale del Calcestruzzo per Detail 3D

Armatura

Il diagramma tensione-deformazione bilineare per le barre di armatura, come definito dalle normative di progetto (Fig. 1d), rappresenta un modello idealizzato. Questo modello richiede la conoscenza delle proprietà di base dell'armatura nella fase di progetto, in particolare la resistenza e la classe di duttilità. In alternativa, gli utenti hanno la possibilità di definire una relazione tensione-deformazione personalizzata.

L'irrigidimento a trazione è considerato modificando il diagramma tensione-deformazione della barra di armatura nuda per cogliere la rigidezza media delle barre inglobate nel calcestruzzo (ε_m) (Fig 1b).

Ancoraggio

Lo scorrimento di aderenza tra armatura e calcestruzzo è introdotto nel modello agli elementi finiti considerando la relazione costitutiva semplificata rigida-perfettamente plastica presentata in (Fig. 1f), dove f_bd è il valore di progetto (valore fattorizzato) della tensione di aderenza ultima specificata dalla normativa di progetto per le specifiche condizioni di aderenza.

Si tratta di un modello semplificato con il solo scopo di verificare le prescrizioni di aderenza secondo le normative di progetto (ovvero, l'ancoraggio dell'armatura). La riduzione della lunghezza di ancoraggio mediante l'uso di ganci, occhielli e forme simili delle barre può essere considerata definendo una certa capacità all'estremità dell'armatura, come verrà descritto più avanti.

Ancoraggi

L'elemento dell'ancoraggio è definito come in grado di trasferire forze normali di trazione o compressione, nonché forze di taglio, tenendo conto della rigidezza flessionale. 

Sono disponibili i seguenti tipi di ancoraggi:

• Ancoraggi gettati in opera
  • Armatura
  • Piastra rondella
  • Piolo con testa
• Armatura gettata in opera
  • Armatura
  • Barre filettate

Gettato in opera - Armatura

Modellata come armatura nervurata inglobata nel calcestruzzo. La resistenza di aderenza è calcolata secondo le regole della normativa selezionata, nello stesso modo dell'armatura standard. All'estremità dell'ancoraggio è possibile definire un Tipo di ancoraggio, che funziona in modo identico all'armatura: viene applicata una molla di ancoraggio con il fattore β impostato in base alla normativa scelta. Sono disponibili tre forme geometriche: Dritta, a L, a U.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Cast-in reinforcement anchor - shapes}}}\]

Gettato in opera - Piastra rondella e Piolo con testa

La piastra rondella e la testa del piolo con testa sono modellate come elementi a piastra-guscio del materiale corrispondente, collegati direttamente al gambo dell'ancoraggio. Il carico viene trasferito al calcestruzzo tramite contatto solo in compressione. Forme disponibili: circolare e quadrata (solo circolare per il piolo con testa), con dimensioni personalizzabili. Il modello della piastra rondella e della testa è elastico e non viene verificato per la resistenza. 

A livello del modello agli elementi finiti, lo sfilamento dell'ancoraggio viene verificato direttamente. Il contatto in compressione ha criteri di arresto impostati in modo da non poter trasferire al calcestruzzo una tensione di contatto superiore a quella prescritta dalla normativa selezionata. In termini pratici, ciò significa che se l'ancoraggio venisse caricato con una forza non conforme alla verifica di sfilamento, il risultato sarebbe l'interruzione prematura del calcolo, poiché questo criterio di arresto verrebbe superato durante l'ulteriore incremento del carico.

Il gambo dell'ancoraggio ha resistenza di aderenza nulla – tutto il carico viene trasferito al calcestruzzo attraverso la piastra o la testa.

Post-installati - Armatura e Barra filettata

Progettati come barre installate in fori trapanati e incollate con adesivo. L'ingegnere specifica la resistenza di aderenza di progetto direttamente dalla scheda tecnica del prodotto adesivo.

Ulteriori informazioni sul collegamento dei singoli tipi di ancoraggi alla piastra di base o alla piastra gettata in opera sono disponibili nel capitolo Tipi di elementi finiti - Dispositivi di trasferimento del carico. 

Implementazione della teoria della plasticità di Mohr-Coulomb nel CSFM 3D

Nel capitolo seguente, esamineremo come la teoria di Mohr-Coulomb è implementata nel CSFM 3D. Spiegheremo come viene considerato l'effetto di confinamento (tensione triassiale) e come viene calcolata la Tensione Principale Equivalente σ_c,eq, utilizzata per determinare la capacità portante dal punto di vista del calcestruzzo.

Introduzione alla teoria

La teoria di Mohr-Coulomb è un modello matematico che descrive la risposta dei materiali fragili alla tensione di taglio e alla tensione normale. La maggior parte dei materiali ingegneristici classici segue questa regola almeno in una parte della loro inviluppo di rottura a taglio. In generale, la teoria si applica a materiali per i quali la resistenza a compressione supera di gran lunga la resistenza a trazione.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Mohr-Coulomb Plasticity Model }}}\]

Nell'ingegneria strutturale, viene utilizzata per determinare il carico di rottura nonché l'angolo di frattura per lo spostamento della superficie di frattura nel calcestruzzo e in materiali simili. L'ipotesi di attrito di Coulomb viene utilizzata per determinare la combinazione di tensione di taglio e tensione normale che causerà la frattura del materiale. Il cerchio di Mohr viene utilizzato per determinare quali tensioni principali produrranno questa combinazione di tensione di taglio e tensione normale e l'angolo del piano in cui ciò si verificherà. Secondo il principio di normalità, la tensione introdotta alla rottura sarà perpendicolare alla linea che descrive la condizione di frattura. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Meridian plane and tension cut-off}}}\]

Si può dimostrare che un materiale che si rompe secondo l'ipotesi di attrito di Coulomb mostrerà uno spostamento introdotto alla rottura che forma un angolo con la linea di frattura pari all' angolo di attrito. Ciò rende determinabile la resistenza del materiale confrontando il lavoro meccanico esterno introdotto dallo spostamento e dal carico esterno con il lavoro meccanico interno introdotto dalla deformazione e dalla tensione lungo la linea di rottura. Per conservazione dell'energia, la somma di questi deve essere zero e ciò renderà possibile calcolare il carico di rottura della costruzione.

Implementazione nel CSFM 3D

In generale, per un dato angolo di attrito interno del calcestruzzo, che è circa φ = 30-40° nei Riferimenti [1], [2], [3], [4], i cerchi di Mohr per le resistenze a trazione e a compressione del calcestruzzo possono essere costruiti come in Figura 6.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Mohr's circles for concrete}}}\]

Dove f_c è la resistenza a compressione del calcestruzzo, f_ct è la resistenza a trazione del calcestruzzo, φ è l'angolo di attrito interno, e σ_c1, σ_c3 sono le tensioni principali del calcestruzzo in compressione triassiale.

Si può notare che all'aumentare della tensione principale σ_c3, aumenta anche la massima differenza possibile tra i valori di σ_c3 e σ_c1, che definiamo come σ_c,eq massima (vedi sotto). Questa differenza corrisponde al doppio della tensione deviatorica definita in letteratura come raggio dei cerchi di Mohr.

Nel CSFM 3D implementato in IDEA StatiCa Detail, l'angolo di attrito interno è considerato pari a φ = 0°, come mostrato in Figura 7.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}\]

La conseguenza pratica di questa implementazione è che la differenza massima tra σ_c3 e σ_c1 è costante all'aumentare di σ_c3. 

La Tensione Principale Equivalente esprime la tensione uniassiale equivalente per uno stato di tensione triassiale generale.

\[\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}\]

Il valore σ_c,eq può quindi essere direttamente confrontato con i limiti di resistenza uniassiale secondo le normative.

\[\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} \le 1\]

Dove σ_c,lim è la resistenza uniassiale di progetto (fattorizzata) del calcestruzzo f_c.

Confrontando la Figura 6, in cui viene utilizzato il reale angolo di attrito interno, e la Figura 7, che mostra l'implementazione della teoria di Mohr-Coulomb con angolo di attrito interno nullo, si può osservare che l'approccio scelto per i calcoli in Detail è molto conservativo per la valutazione dello stato di tensione triassiale.

Per una migliore comprensione delle zone interessate dalla tensione di compressione triassiale, nell'applicazione IDEA StatiCa Detail è stato aggiunto il rapporto σ_c3/σ_c,lim, che esprime l'incremento della resistenza effettiva del materiale dovuto alla compressione triassiale. Questo rapporto è disponibile nella verifica normativa della Resistenza.

Nei Risultati ausiliari, l'utente può trovare anche il fattore κ, che descrive la triassialità in modo diverso. 

\[\kappa =   \frac{ \sigma_{c3}}{ \sigma_{c,eq}}\]

La verifica della resistenza del calcestruzzo può quindi essere riscritta come:

\[\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} = \frac{\sigma_{c,3} }{ \kappa \cdot \sigma_{c,lim}} \le 1\]

Da quanto precede, se l'elemento è soggetto a tensione idrostatica - σ_c3=σ_c2=σ_c1, la Tensione Principale Equivalente σ_c,eq avrà valore zero e il fattore kappa tenderà all'infinito.

Ulteriori informazioni sono disponibili qui: Tensione triassiale – l'effetto di confinamento attivo

Ipotesi generali di meccanica per il CSFM 3D

Equazioni di equilibrio

La teoria delle piccole deformazioni consente di assemblare l'equazione di equilibrio basata sul volume indeformato utilizzando un approccio del primo ordine. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Equilibrium equations and graphical representation on infinitesimal element}}}\]

Equazioni di compatibilità

Un corpo solido è composto da volumi infinitesimi o punti materiali, ciascuno dei quali è interconnesso senza lacune o sovrapposizioni. Devono essere rispettate condizioni matematiche per evitare il verificarsi di lacune o sovrapposizioni quando un corpo continuo subisce una deformazione.

Equazioni costitutive

Le equazioni costitutive che governano il comportamento degli elementi 3D svolgono un ruolo fondamentale nell'analisi del comportamento dei materiali nella meccanica strutturale. Queste equazioni sono formulate per accogliere il comportamento isotropo non lineare, valido per gli elementi a blocco solido in IDEA StatiCa Detail. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Linearly elastic isotropic compliance matrix}}}\]

2 Analysis model of IDEA StatiCa 3D Detail

Un'introduzione all'implementazione del Metodo degli Elementi Finiti

Il CSFM 3D considera campi di tensione continui nel calcestruzzo (elementi finiti 3D), integrati da elementi discreti "a barra" che rappresentano l'armatura (elementi finiti 1D). Pertanto, l'armatura non è diffusamente incorporata negli elementi finiti 3D del calcestruzzo, ma è modellata esplicitamente e collegata ad essi. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Rendering of the calculation model for concrete block and out-of-plane wall}}}\]

Tipi generali di elementi finiti

Il modello di analisi agli elementi finiti non lineare (inelastico) è composto da diversi tipi di elementi finiti utilizzati per modellare il calcestruzzo, l'armatura e l'aderenza tra di essi. Gli elementi di calcestruzzo e di armatura vengono prima discretizzati indipendentemente e poi interconnessi tramite vincoli multi-punto (elementi MPC). Ciò consente all'armatura di occupare qualsiasi posizione, non limitata ai nodi della rete tetraedrica. Per verificare la lunghezza di ancoraggio, l'aderenza e l'estremità di ancoraggio, vengono inseriti elementi a molla tra l'armatura e gli elementi MPC.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC and bond elements}}}\]

Calcestruzzo

Il calcestruzzo è analizzato mediante elementi tetraedrici misti con rotazioni nodali. Gli elementi tetraedrici consentono di discretizzare regioni di qualsiasi topologia, mentre la formulazione implementata garantisce risultati di deformazione accurati (senza tensioni di taglio spurie note come effetto di blocco a taglio) anche per reti grossolane che non sarebbero adatte alla formulazione con elementi tetraedrici lineari. 

Viene utilizzata l'integrazione completa. Ciò significa che ogni elemento è dotato di quattro punti di integrazione situati all'interno del volume. Tale integrazione fornisce un campo di deformazioni e tensioni preciso, consentendo una valutazione e una presentazione sufficienti dei risultati sull'intero volume. Di conseguenza, i criteri di arresto sono stabiliti in base al valore nel punto di integrazione.

Armatura

Le barre di armatura sono modellate da elementi 1D "asta" a due nodi (CROD), che hanno solo rigidezza assiale. Questi elementi sono collegati a speciali elementi di "aderenza" sviluppati per modellare il comportamento di scorrimento tra una barra di armatura e il calcestruzzo circostante. Questi elementi di aderenza sono successivamente collegati tramite elementi MPC (vincolo multi-punto) alla rete che rappresenta il calcestruzzo. Questo approccio consente la discretizzazione indipendente dell'armatura e del calcestruzzo, mentre la loro interconnessione è garantita in un secondo momento.

Elementi di aderenza

La lunghezza di ancoraggio è verificata implementando le tensioni tangenziali di aderenza tra gli elementi di calcestruzzo (3D) e gli elementi di barra di armatura (1D) nel modello agli elementi finiti. A tale scopo è stato sviluppato il tipo di elemento finito di "aderenza".

L'elemento di aderenza è definito come un elemento finito shell collegato agli elementi che rappresentano l'armatura tramite il primo strato e tramite il secondo strato alla rete di calcestruzzo mediante vincoli multi-punto (elementi MPC). Va notato che l'elemento di aderenza è sempre visualizzato in questo articolo con un'altezza non nulla, che è tuttavia definita come infinitesimale nel modello.

Il comportamento di questo elemento è descritto dalla tensione di aderenza, τ_b, come funzione bilineare dello scorrimento tra i nodi superiori e inferiori, δu, vedere (Fig. 12).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad (a) Conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) shear-deformation function}}}\]

Il modulo di rigidezza elastica della relazione aderenza-scorrimento, Gb, è definito come segue:

\[G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}\]

k_g            coefficiente dipendente dalla superficie della barra di armatura (per impostazione predefinita kg = 0,2)

E_c            modulo di elasticità del calcestruzzo (assunto come Ecm nel caso dell'EN)

Ø             il diametro della barra di armatura

I valori di progetto (valori fattorizzati) della tensione tangenziale di aderenza ultima, f_bd, forniti nei rispettivi codici di progettazione selezionati EN 1992-1-1 o ACI 318-19 sono utilizzati per verificare la lunghezza di ancoraggio. L'incrudimento del ramo plastico è calcolato per impostazione predefinita come Gb/105.

Molla di ancoraggio

La presenza di estremità di ancoraggio alle barre di armatura (ovvero piegature, ganci, occhielli…), che soddisfa le prescrizioni dei codici di progettazione, consente la riduzione della lunghezza di ancoraggio di base delle barre (l_b,net) di un certo fattore β (di seguito denominato "coefficiente di ancoraggio"). Il valore di progetto della lunghezza di ancoraggio (lb) è quindi calcolato come segue:

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Model for the reduction of the anchorage length: a) Anchorage force along the anchorage length of }}}\] \[ \textsf{\textit{\footnotesize{the reinforcement bar, b) slip-anchorage force constitutive law}}}\]

La riduzione della lunghezza di ancoraggio è inclusa nel modello agli elementi finiti mediante un elemento a molla all'estremità della barra (Fig. 13a), definito dal modello costitutivo mostrato in (Fig. 13b). La forza massima trasmessa da questa molla (F_au) è:

\[F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}\]

dove:

β             il coefficiente di ancoraggio basato sul tipo di ancoraggio

A_s            la sezione trasversale della barra di armatura

f_yd           il valore di progetto (valore fattorizzato) della resistenza allo snervamento dell'armatura

Dispositivi di trasferimento del carico

Piastra di base

La piastra di base è modellata come elemento shell elastico. Il materiale in acciaio utilizzato per le piastre di base è definito nella scheda Materiali. L'unica proprietà fisica è il modulo di elasticità E.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad The base plate material definition}}}\]

La piastra di base può essere caricata da un carico concentrato (Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz) e da un gruppo di forze (Fx, Fy, Fz), utilizzato principalmente per il caricamento di modelli esportati da IDEA StatiCa Connection. Si noti che i carichi concentrati e i momenti concentrati caricano direttamente il nodo corrispondente della piastra di base. Ciò significa che non vi è ridistribuzione, se non attraverso la rigidezza della piastra di base. 

Questa implementazione consente di importare gli effetti del carico da IDEA StatiCa Connection, applicati alla piastra di base nella posizione dei singoli elementi finiti di saldatura, con valore e direzione determinati dalla tensione generale di quell'elemento finito di saldatura. Ulteriori informazioni sono disponibili nel capitolo corrispondente di questo documento.

La seconda opzione di carico è il Troncone corto — che rappresenta una breve porzione del pilastro sopra la piastra di base. Il troncone corto è modellato come una struttura di elementi shell elastici e si comporta come un'interfaccia fisicamente accurata tra le forze interne e la piastra. L'utente seleziona una sezione trasversale per il troncone corto da un database di sezioni standard. Il set di forze interne a 6 componenti (forze e momenti) è applicato in un punto singolo sulla faccia inferiore del troncone corto — ovvero la base del pilastro. I vincoli trasferiscono le forze alla faccia superiore del troncone corto, da dove vengono naturalmente ridistribuite attraverso il troncone corto nella piastra di base, negli ancoraggi e nel calcestruzzo.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad The load transfer through the stub}}}\]

Meccanismo di trasferimento del taglio (dalla piastra di base al blocco di calcestruzzo)

Tra la piastra di base e il calcestruzzo è definito un contatto attritivo solo a compressione. Per il trasferimento del taglio l'utente può scegliere tra tre opzioni:

• Tramite ancoraggi
• Per attrito
• Tramite chiavetta a taglio

Il software non consente la combinazione di questi meccanismi di trasferimento del taglio. 

Il coefficiente di attrito deve essere inserito come valore di progetto (fattorizzato). Nel caso in cui la forza di taglio risultante F_xy superi la forza di compressione F_z moltiplicata per il coefficiente di attrito μ, il calcolo si interromperà e non tutti i carichi verranno applicati al modello. La condizione è espressa come segue:

\[\frac {F_{xy}}{ \mu \cdot F_{z}}\le 1\]

Ciò può essere osservato nel seguente esempio, in cui si considerano due combinazioni di carico. 

• LC1 - Tipo permanente - F_z = 100 kN
• LC2 - Tipo variabile - F_x = 100 kN

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad Load input for example explaining shear transfer by friction}}}\]

Nel primo passo di calcolo viene applicato tutto il carico permanente. Successivamente il carico variabile viene applicato gradualmente fino a raggiungere il valore del carico di compressione moltiplicato per il coefficiente di attrito.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Results from example explaining shear transfer by friction}}}\]

Il grafico in Figura 18 definisce il comportamento del contatto attritivo tra la piastra di base e il calcestruzzo.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 18\qquad Force-displacement graph describing the behavior of frictional contact}}}\]

Il valore di F_zμ varia per ogni incremento del calcolo, mentre il valore della deformazione di taglio massima u_xy è costante. 

Se la forza normale di compressione F_z e la forza di taglio F_xy sono inserite in un unico tipo di combinazione di carico (ad es. solo permanente), e la condizione F_xy / (F_zμ) ≤ 1 non è soddisfatta, nessun carico verrà applicato al modello poiché la condizione non è soddisfatta in nessun incremento del calcolo.

La chiavetta a taglio è collegata alla rete di calcestruzzo tramite vincoli che consentono solo il trasferimento di tensione normale a compressione. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Shear lug transfer of shear mechanism}}}\]

La chiavetta a taglio è modellata con elementi shell elastici, dove il modulo di elasticità E definisce il materiale.

I risultati non vengono valutati né visualizzati né per la piastra di base né per la chiavetta a taglio.

 Opzioni della piastra di base  (distanziamento, malta di livellamento)

È disponibile il seguente set di opzioni di distanziamento, completamente allineato con l'applicazione Connection.

• Diretto
• Giunto di malta – dadi dall'alto
• Giunto di malta – dadi dall'alto e dal basso
• Giunto

Lo strato di malta è modellato come un elemento shell, tenendo conto della sua rigidezza. Si noti che gli elementi shell sono incomprimibili nella direzione del loro spessore. Ciò contribuisce a ridistribuire le forze locali al calcestruzzo ed è valido per gli spessori di allettamento tipici utilizzati nella pratica - 25-50 mm.

La distinzione tra dadi solo dall'alto (interconnessione cernierata tra ancoraggio e piastra di base) rispetto a dadi dall'alto e dal basso (interconnessione fissa tra ancoraggio e piastra di base) influenza fortemente la capacità a taglio dal punto di vista della pressione sul calcestruzzo.

Ancoraggi

Gli elementi finiti che rappresentano gli ancoraggi sono modellati in modo da poter trasferire forze normali e di taglio al calcestruzzo, tenendo conto anche della rigidezza flessionale degli ancoraggi. Per modellare lo scorrimento tra l'ancoraggio e il calcestruzzo circostante, vengono utilizzati gli stessi elementi di aderenza e MPC impiegati per l'armatura. Con la differenza che:

• Per gli ancoraggi post-installati (adesivi), è necessario specificare la resistenza di aderenza di progetto.
• Per le piastre rondella e i pioli con testa, l'aderenza lungo il gambo dell'ancoraggio viene trascurata. Tutto il carico assiale viene quindi trasferito al calcestruzzo attraverso la piastra rondella o la testa dell'ancoraggio.

Gli ancoraggi possono essere interconnessi con le piastre di base. Per questa interconnessione, viene utilizzato un vincolo completamente non lineare per collegare l'estremità dell'ancoraggio a un nodo della piastra di base. Questo vincolo consente di controllare tutti i gradi di libertà per garantire, ad esempio, che gli ancoraggi non trasferiscano forze di compressione dalla piastra di base, o che nessun taglio venga trasferito dall'ancoraggio durante la modellazione di una chiavetta a taglio, ecc.

Le proprietà di Interconnessione con la piastra di base per gli ancoraggi consentono all'utente di controllare se l'ancoraggio sarà collegato alla piastra di base tramite il vincolo precedentemente menzionato e in che modo. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20\qquad Interconnection with base plate settings}}}\]

La casella di controllo Trasferimento del taglio può essere utilizzata per controllare se l'ancoraggio e la piastra di base saranno collegati o meno in termini di taglio. Si noti che non è supportata la combinazione di meccanismi di trasferimento del taglio, pertanto per il trasferimento per attrito e tramite chiavetta a taglio questa casella di controllo non è rilevante. D'altra parte, per il trasferimento del taglio tramite ancoraggi, questo campo offre la possibilità di escludere alcuni ancoraggi dal trasferimento del taglio.

La casella di controllo Trasferimento delle forze assiali può essere utilizzata per controllare se l'ancoraggio e la piastra di base saranno collegati o meno in direzione assiale. Viene utilizzata principalmente per l'esportazione dalla funzione Connection (vedere il capitolo corrispondente). Per la modellazione manuale, è opportuno che questa casella di controllo sia sempre selezionata.

Quando la casella di controllo è deselezionata, l'ancoraggio è disconnesso sia in trazione che in compressione (nel caso di un modello esportato dall'applicazione Connection, il collegamento è sostituito da una coppia di forze). Se la casella di controllo è selezionata, l'ancoraggio è sempre collegato alla piastra in trazione, ma il collegamento in compressione è controllato dal tipo di ancoraggio e dal tipo di distanziamento. Per ulteriori informazioni, vedere la Figura 23.

Filettatura

Controllata da una casella di controllo nelle proprietà dell'ancoraggio e ha 2 scopi:

1. Definisce come l'ancoraggio si collega alla piastra di base:

• Per i pioli con testa e l'armatura gettata in opera collegata alla piastra di base (non per le piastre gettate in opera), distingue tra un collegamento bullonato (cernierato) e un collegamento saldato (fisso) — visibile nella scena 3D.
• Si noti che il modo di collegamento ancoraggio-piastra ha un'influenza significativa sulla resistenza a taglio dal punto di vista della pressione sul calcestruzzo.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Cut threads options}}}\]

2. Per l'Eurocodice, la resistenza dell'ancoraggio con filettatura tagliata è ridotta secondo EN 1993-1-8 3.6.1 (3). Può essere impostata nelle impostazioni del progetto. Per le barre filettate e le piastre rondella, si raccomanda di mantenere questa impostazione sempre attiva.

Interconnessione assiale e rotazionale tra ancoraggio e piastra di base

Come già menzionato in questo capitolo, a seconda del tipo di ancoraggio, dell'impostazione di distanziamento e del fatto che la filettatura tagliata sia o meno considerata, gli ancoraggi sono collegati alla piastra di base in modi diversi. In termini di collegamento rotazionale, questo può essere Cernierato / Fisso. In termini di collegamento assiale, questo può essere Trazione / Trazione + Compressione. I tipi di collegamento rotazionale influenzano fortemente la capacità a taglio dal punto di vista della pressione sul calcestruzzo. In una scena 3D, è facile distinguere se un ancoraggio è collegato come fisso o cernierato in base alla presenza di dadi, vedere la Figura 22.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Rotational constraints}}}\]

La tabella seguente mostra tutte le possibili combinazioni di collegamenti della piastra di base con gli ancoraggi e i corrispondenti collegamenti rotazionali e assiali.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}\]

Piastre gettate in opera

La piastra gettata in opera è un caso speciale di piastra di base. È modellata in modo analogo con le seguenti differenze:

Poiché la piastra è incorporata all'interno di un blocco di calcestruzzo, non è possibile specificare alcun tipo di distanziamento. La profondità di incorporamento della soletta viene trascurata. La piastra, modellata con elementi shell, è posizionata direttamente sulla superficie del calcestruzzo. Pertanto, le superfici laterali della soletta non sono considerate supportate dal calcestruzzo.

È possibile utilizzare solo armatura e pioli con testa, che, come gli ancoraggi classici, possono essere impostati per essere collegati alla soletta nelle direzioni assiale e di taglio. L'esperienza pratica e alcuni documenti nazionali indicano la necessità di progettare i pioli con testa solo per il taglio e l'armatura per il carico assiale. Dal punto di vista dei vincoli assiali e rotazionali, gli ancoraggi sono sempre collegati come Fisso e Trazione + Compressione.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}\]

Rete in calcestruzzo nel CSFM 3D

Gli elementi finiti sono implementati internamente e il modello di analisi viene generato automaticamente senza necessità di un'interazione esperta da parte dell'utente. Una parte importante di questo processo è la rete.

Calcestruzzo

Tutti gli elementi in calcestruzzo vengono discretizzati insieme. Una dimensione degli elementi consigliata viene calcolata automaticamente dall'applicazione in base alle dimensioni e alla forma della struttura, tenendo conto del diametro della barra di armatura più grande. Inoltre, la dimensione degli elementi consigliata garantisce che vengano generati almeno quattro elementi nelle parti sottili della struttura, come colonne snelle o pareti sottili, per assicurare risultati affidabili in queste zone. I progettisti possono sempre selezionare una dimensione degli elementi in calcestruzzo definita dall'utente modificando il moltiplicatore della dimensione predefinita della rete.

Armatura

L'armatura è suddivisa in elementi con lunghezza approssimativamente uguale alla dimensione degli elementi in calcestruzzo. Una volta generate le reti dell'armatura e del calcestruzzo, esse vengono interconnesse con elementi di aderenza, come mostrato in Fig. 9.

Raffinamento

La rete del calcestruzzo viene automaticamente raffinata attorno agli ancoraggi, attorno alle chiavette a taglio e sotto il troncone corto per il carico. La dimensione della rete raffinata è circa due volte più piccola della rete di calcestruzzo di base. Il raggio dell'area raffinata è definito approssimativamente come la dimensione dell'elemento moltiplicata per due.

Il metodo di soluzione e l'algoritmo di controllo del carico per il CSFM 3D

Per trovare la soluzione a un problema FEM non lineare viene utilizzato un algoritmo standard di Newton-Raphson (NR) completo. 

In generale, l'algoritmo NR non converge spesso quando il carico completo viene applicato in un unico passo. Un approccio comune, utilizzato anche in questo caso, consiste nell'applicare il carico in modo sequenziale in più incrementi, utilizzando il risultato dell'incremento di carico precedente come punto di partenza per la soluzione di Newton dell'incremento successivo. A tale scopo, è stato implementato un algoritmo di controllo del carico in aggiunta al Newton-Raphson. Nel caso in cui le iterazioni NR non convergano, l'incremento di carico corrente viene ridotto alla metà del suo valore e le iterazioni NR vengono ripetute.

Un secondo scopo dell'algoritmo di controllo del carico è trovare il carico critico, che corrisponde a determinati "criteri di arresto" – in particolare la deformazione massima nel calcestruzzo, lo scorrimento massimo negli elementi di aderenza, lo spostamento massimo negli elementi di ancoraggio e la deformazione massima nelle barre di armatura. Il carico critico viene trovato con il metodo della bisezione. Nel caso in cui il criterio di arresto venga superato in qualsiasi punto del modello, i risultati dell'ultimo incremento di carico vengono scartati e viene calcolato un nuovo incremento pari alla metà di quello precedente. Questo processo viene ripetuto fino a quando il carico critico non viene trovato con una certa tolleranza di errore.

Per il calcestruzzo, il criterio di arresto è stato impostato a una deformazione del 5% in compressione (ovvero circa un ordine di grandezza superiore alla deformazione di rottura effettiva del calcestruzzo) e del 7% in trazione nei punti di integrazione degli elementi shell. In trazione, il valore è stato impostato per consentire che venga raggiunta prima la deformazione limite nell'armatura, che di solito è intorno al 5% senza tener conto dell'irrigidimento a trazione. In compressione, il valore è stato scelto tra diverse alternative come quello sufficientemente grande da rendere visibili gli effetti dello schiacciamento nei risultati, ma sufficientemente piccolo da non causare troppi problemi di stabilità numerica.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig 25\qquad Constitutive law of bond and anchorage elements used for anchorage length verification: a) Bond shear stress}}}\] \[ \textsf{\textit{\footnotesize{slip response of bond element, b) force-displacement response of an anchorage element}}}\]

Per l'armatura, il criterio di arresto è definito in termini di tensioni. Poiché vengono modellate le tensioni alla fessura, il criterio in trazione corrisponde alla resistenza a trazione dell'armatura tenendo conto del coefficiente di sicurezza. Lo stesso valore viene utilizzato per il criterio in compressione.

Il criterio di arresto negli elementi di aderenza e nelle molle di ancoraggio è α·δ_umax, dove δ_umax è lo scorrimento massimo utilizzato nelle verifiche normative e α = 10.

Altri criteri di arresto per l'ancoraggio:

• Sfilamento degli ancoraggi con testa (tensione di contatto massima a compressione sulla faccia superiore della testa dell'ancorante). 
• Forza di taglio massima trasferibile dall'ancorante dal punto di vista della resistenza al rifollamento del calcestruzzo.

Questi due criteri dipendono dalla normativa selezionata. Ulteriori informazioni sono disponibili nelle sezioni che illustrano le parti dipendenti dalla normativa dell'analisi strutturale nell'applicazione.

Presentazione dei risultati 3D

I risultati sono presentati in modo indipendente per il calcestruzzo e per gli elementi di armatura. I valori di tensione e deformazione nel calcestruzzo sono calcolati nei punti di integrazione degli elementi volumetrici. Tuttavia, poiché non è pratico presentare i dati in tale forma, i risultati sono presentati per impostazione predefinita nei nodi, come il valore massimo della tensione di compressione dai punti di integrazione di Gauss adiacenti negli elementi connessi. È opportuno notare che questa rappresentazione potrebbe localmente sottostimare i risultati ai bordi compressi degli elementi nei casi in cui la dimensione dell'elemento finito sia simile alla profondità della zona compressa.

I risultati per gli elementi finiti di armatura sono costanti per ciascun elemento (un valore – ad es., per le tensioni nell'acciaio) oppure lineari (due valori – per i risultati di aderenza). Per gli elementi ausiliari, come gli elementi delle piastre di appoggio, vengono presentate solo le deformazioni.

Modello importato da IDEA StatiCa Connection

Il modello di IDEA StatiCa Detail non deve essere sempre modellato da zero o a partire da un modello. Esiste anche la possibilità di importare il modello, inclusi gli effetti del carico, da IDEA StatiCa Connection. In Connection, la sovrastruttura in acciaio sopra il blocco di calcestruzzo viene analizzata mediante un modello 3D non lineare, mentre il blocco di calcestruzzo stesso è rappresentato in modo semplificato da una fondazione di Winkler. In Detail, invece, il blocco in calcestruzzo armato è modellato esplicitamente e verificato in dettaglio.

Durante il trasferimento del modello, in Detail vengono importati solo la piastra di base, gli ancoraggi e il blocco di calcestruzzo – l'elemento in acciaio stesso (e la sua rigidezza globale) non viene importato. Nel modello Connection, questo elemento in acciaio è collegato alla piastra di base tramite una saldatura. Le tensioni negli elementi finiti della saldatura vengono integrate e convertite in un insieme di forze equivalenti che caricano la piastra di base in Detail. In questo modo, l'effetto dell'elemento in acciaio mancante è rappresentato dalle forze di saldatura applicate direttamente alla piastra di base.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Loads imported from IDEA StatiCa Connection}}}\]

A causa della diversa definizione della rigidezza tra Connection e Detail (elemento in acciaio mancante, diversi modelli di materiale e rappresentazione del calcestruzzo), un collegamento diretto tra la piastra di base e gli ancoraggi in Detail porterebbe in generale a una diversa ridistribuzione dei carichi e, di conseguenza, a diverse forze di trazione negli ancoraggi. Per evitare ciò, gli ancoraggi vengono importati assialmente disconnessi dalla piastra di base. Invece di trasferire le forze assiali attraverso il contatto fisico, le tensioni degli ancoraggi ottenute da Connection vengono applicate direttamente agli ancoraggi in Detail. Allo stesso tempo, una forza uguale e opposta viene applicata alla piastra di base in corrispondenza di ciascun ancoraggio, in modo da preservare l'equilibrio globale del modello. Questa coppia di forze (una agente sull'ancoraggio, l'altra sulla piastra di base) rappresenta l'interazione tra la piastra di base e l'ancoraggio senza consentire un'ulteriore ridistribuzione delle forze assiali in Detail. Queste due forze opposte sono illustrate nella Figura 26.

Tuttavia, le forze di taglio vengono ancora trasferite dal collegamento tra la piastra di base e gli ancoraggi (o la chiavetta a taglio, o l'attrito). Ciò è possibile perché viene utilizzato un vincolo per collegare la piastra di base e gli ancoraggi a taglio, consentendo di controllare i gradi di libertà rilevanti di questa interconnessione. In Detail, l'utente può quindi modificare il percorso del carico di taglio – ad esempio, rilasciando il taglio in due dei quattro ancoraggi e mantenendo solo gli ancoraggi di bordo impegnati a taglio – mentre le forze assiali rimangono come importate da Connection.

Per le piastre gettate in opera, è stato adottato un approccio diverso. Diverse raccomandazioni di progettazione europee richiedono che solo le barre di armatura siano considerate per resistere alle forze assiali, mentre si assume che i pioli con testa trasferiscano solo il taglio. Poiché IDEA StatiCa Connection non è in grado di separare internamente le forze assiali nelle armature di ancoraggio da quelle nei pioli con testa durante l'esportazione, gli ancoraggi delle piastre gettate in opera vengono importati in Detail completamente collegati, anche nella direzione assiale. Ciò consente all'utente di attivare un'opzione di progettazione in Detail in cui le armature di ancoraggio resistono solo alla trazione assiale e i pioli con testa resistono solo al taglio. In questo flusso di lavoro, la forza assiale originariamente assegnata ai pioli con testa deve essere ridistribuita sulle armature di ancoraggio all'interno del modello Detail. Tale ridistribuzione non sarebbe possibile se si utilizzasse l'approccio della coppia di forze opposte descritto in precedenza, motivo per cui le piastre gettate in opera vengono gestite in modo diverso.

3 Model verification

Stati limite

Stato limite ultimo

Le diverse verifiche richieste dai codici di progettazione specifici vengono valutate sulla base dei risultati diretti forniti dal modello. Le verifiche allo SLU vengono eseguite per la resistenza del calcestruzzo, la resistenza dell'armatura e l'ancoraggio (tensioni tangenziali di aderenza).

Per garantire che un elemento strutturale abbia una progettazione efficiente, si raccomanda vivamente di eseguire un'analisi preliminare che tenga conto dei seguenti passaggi:

• Scegliere una selezione delle combinazioni di carico più critiche.
• Calcolare solo le combinazioni di carico allo Stato Limite Ultimo (SLU).
• Per accelerare il tempo di calcolo e affrontare eventuali problemi, considerare l'utilizzo di una rete grossolana aumentando il moltiplicatore della dimensione predefinita della rete nelle Impostazioni (Fig. 27). Se il modello funziona correttamente, riportare il moltiplicatore a un fattore pari a 1.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig 27\qquad Mesh multiplier}}}\]

Un tale modello verrà calcolato molto rapidamente, consentendo ai progettisti di esaminare in modo efficiente i dettagli dell'elemento strutturale e di rieseguire l'analisi fino a quando tutti i requisiti di verifica sono soddisfatti per le combinazioni di carico più critiche. Una volta soddisfatti tutti i requisiti di verifica di questa analisi preliminare, si suggerisce di includere le combinazioni di carico ultime complete e di utilizzare una dimensione della rete fine (la dimensione della rete raccomandata dal programma). Gli utenti possono modificare la dimensione della rete tramite il moltiplicatore, che può assumere valori da 0,5 a 5 (Fig. 27).

I risultati e le verifiche di base (tensione, deformazione e sfruttamento (ovvero il valore calcolato/valore limite dal codice)), nonché la direzione delle tensioni principali nel caso di elementi in calcestruzzo) vengono visualizzati tramite diversi diagrammi in cui la compressione è generalmente presentata in rosso e la trazione in blu. I valori minimi e massimi globali per l'intera struttura possono essere evidenziati, così come i valori minimi e massimi per ogni parte definita dall'utente. In una scheda separata del programma, è possibile visualizzare risultati avanzati come i valori tensoriali, le deformazioni della struttura e i rapporti di armatura (effettivi e geometrici) utilizzati per il calcolo dell'irrigidimento a trazione delle barre di armatura. Inoltre, possono essere presentati i carichi e le reazioni per le combinazioni o i casi di carico selezionati.

4 Structural verifications according to EUROCODE

Modelli di materiale nel CSFM 3D (EN)

Calcestruzzo - SLU

Il modello di calcestruzzo implementato nel CSFM 3D si basa sulle leggi costitutive di compressione uniassiale prescritte dalla EN 1992-1-1 per la progettazione delle sezioni trasversali, che dipendono esclusivamente dalla resistenza a compressione. Il diagramma parabola-rettangolo specificato nella EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1) (Fig. 28a) è utilizzato per impostazione predefinita nel CSFM 3D, ma i progettisti possono anche scegliere una relazione elastica-perfettamente plastica più semplificata secondo la EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (2) (Fig. 28b). La resistenza a trazione viene trascurata, come avviene nella progettazione classica del calcestruzzo armato.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig 28\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram}}}\]

L'implementazione del CSFM 3D in IDEA StatiCa Detail non considera un criterio di rottura esplicito in termini di deformazioni per il calcestruzzo in compressione (ovvero, dopo il raggiungimento della tensione di picco, considera un ramo plastico con ε_cu2 (ε_cu3) pari al 5%, mentre la EN 1992-1-1 assume una deformazione ultima inferiore allo 0,35%). Questa semplificazione non consente di verificare la capacità deformativa delle strutture che collassano per compressione. Tuttavia, la capacità ultima f_cd secondo la EN 1992-1-1 3.1.3 è correttamente prevista quando l'aumento della fragilità del calcestruzzo all'aumentare della resistenza viene considerato tramite il fattore di riduzione \(\eta_{fc}\) definito nel fib Model Code 2010 come segue:

\[f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot f_{ck}}{γ_c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

dove:

α_cc è il coefficiente che tiene conto degli effetti a lungo termine sulla resistenza a compressione e degli effetti sfavorevoli derivanti dal modo in cui il carico viene applicato. È definito secondo la EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (1). Il valore predefinito è 1,0.

f_ck è la resistenza caratteristica cilindrica del calcestruzzo (in MPa per la definizione di \( \eta_{fc} \)).

Armatura

Per impostazione predefinita, viene considerato il diagramma tensione-deformazione bilineare idealizzato per le barre di armatura nude definito nella EN 1992-1-1, sezione 3.2.7 (Fig. 29). La definizione di questo diagramma richiede solo la conoscenza delle proprietà di base dell'armatura durante la fase di progettazione (resistenza e classe di duttilità). Quando note, è possibile considerare la relazione tensione-deformazione reale dell'armatura (laminata a caldo, trafilata a freddo, temprata e autotemperata, …). Il diagramma tensione-deformazione dell'armatura può essere definito dall'utente, ma in questo caso non è possibile assumere l'effetto di irrigidimento a trazione (non è possibile calcolare l'ampiezza delle fessure). L'utilizzo del diagramma tensione-deformazione con ramo superiore orizzontale non consente la verifica della durabilità strutturale. Pertanto, è necessaria la verifica manuale dei requisiti di duttilità normativi.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}\] \[ \textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}\]

L'irrigidimento a trazione (Fig. 30) viene considerato automaticamente modificando la relazione tensione-deformazione di input della barra di armatura nuda al fine di cogliere la rigidezza media delle barre inglobate nel calcestruzzo (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

Fattori parziali di sicurezza

Il Metodo del Campo di Tensioni Compatibile è conforme ai moderni codici di progettazione. Poiché i modelli di calcolo utilizzano solo proprietà dei materiali standard, il formato dei fattori parziali di sicurezza prescritto nei codici di progettazione può essere applicato senza alcun adattamento. In questo modo, i carichi di input sono amplificati e le proprietà caratteristiche dei materiali sono ridotte utilizzando i rispettivi coefficienti di sicurezza prescritti nei codici di progettazione, esattamente come nell'analisi convenzionale del calcestruzzo. I valori dei fattori di sicurezza dei materiali prescritti in EN 1992-1-1 cap. 2.4.2.4 e i fattori per gli ancoraggi prescritti in EN 1992-4, EN 1993-1-8 e EN 1994-1-1 sono impostati per default, ma l'utente può modificare i fattori di sicurezza nelle impostazioni del Codice e di calcolo (Fig. 31).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

I fattori di sicurezza dei carichi devono essere definiti dall'utente nelle regole di combinazione per ciascuna combinazione non lineare di casi di carico (Fig. 32). Per tutti i modelli implementati in Idea StatiCa Detail, i fattori parziali di sicurezza sono già predefiniti.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Utilizzando appropriate combinazioni di fattori parziali di sicurezza definite dall'utente, è possibile eseguire calcoli con il CSFM 3D anche mediante il metodo del fattore di resistenza globale (Navrátil, et al. 2017), ma questo approccio è raramente utilizzato nella pratica progettuale. Alcune linee guida raccomandano l'uso del metodo del fattore di resistenza globale per l'analisi non lineare. Tuttavia, nelle analisi non lineari semplificate (come il CSFM 3D), che richiedono solo le proprietà dei materiali utilizzate nei calcoli manuali convenzionali, è ancora più opportuno utilizzare il formato dei fattori parziali di sicurezza.

Ultimate limit state checks

The different verifications required by EN 1992-1-1 are assessed based on the direct results provided by the model. ULS verifications are carried out for concrete strength, reinforcement strength, and anchorage (bond shear stresses).

Strength - Concrete

The concrete strength in compression is evaluated as the ratio between the maximum Equivalent principal stress σ_c,eq obtained from FE analysis and the limit value σ_c,lim = f_cd.

Equivalent Principal Stress expresses the equivalent uni-axial stress for a general tri-axial stress state.

\[\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}\]

The σ_c,eq value can, therefore, be directly compared with uniaxial strength limits according to 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1).

This expression is derived from the implementation of the Mohr-Coulomb plasticity theory, conservatively assuming the angle of internal friction φ = 0°.

Strength - Reinforcement

The strength of the reinforcement is evaluated in both tension and compression as the ratio between the stress in the reinforcement at the cracks σ_sr and the specified limit value σ_s,lim:

\(σ_{s,lim} = \dfrac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}\)

\(σ_{s,lim} = \dfrac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}\)

where:

f_yk        is the yield strength of the reinforcement according to EN 1992-1-1 Cl. 3.2.3,

k          is the ratio of tensile strength f_tk to the yield stress,
            \(k = \dfrac{f_{tk}}{f_{yk}}\)

γ_s             is the partial safety factor for reinforcement.

Strength - Anchors

Anchors are checked for normal stresses in a similar way to reinforcement, where the limit value σ_s,lim is determined.

In addition, the N_Ed and V_Ed values are specified for anchors, which are checked against N_Rd,s and V_Rd,s according to the selected code. The code is chosen depending on the type of anchor used in Project settings.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Anchor check - Design code selection}}}\]

Since different approaches are chosen for checking anchors in different standards, the user can choose the following standards for individual anchor types:

• Anchors made of bolt material in tension and/or shear - EN 1992-4, EN 1993-1-8
• Headed studs in tension and/or shear - EN 1992-4, EN 1994-1-1
• Anchors made in tension and/or shear - EN 1992-4, EN 1992-1-1
• Anchors in compression and/or bending - EN 1993-1-1

Tension check according to EN 1992-4 - 7.2.1.3

\[N_{Rd,s} = \frac{c \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}\]

where:

• c – reduction for cut threads  
• f_uk – minimum tensile strength of the bolt
• A_s – anchor bolt tensile stress area (reduced by the thread in the case of bolt material)
• \(\gamma_{Ms} = 1.2 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.4\) – partial safety factor for stee 
• f_yk – minimum yield strength of the bolt

Tension check according to EN 1993-1-8 - 3.6.1

\[N_{Rd,s} = F_{t.Rd} = \frac{c \cdot k_2 \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}\] 

where:

• c – decrease in tensile resistance of bolts with cut thread according to EN 1993-1-8 – Cl. 3.6.1. (3) 
• k₂ = 0.9 – factor for non-countersunk anchors 
• f_ub – anchor bolt ultimate tensile strength 
• A_s – anchor bolt tensile stress area (reduced by the thread in the case of bolt material)
• γ_M2 =1.25 – partial safety factor for bolts (EN 1993-1-8, Table 2.1) 

Tension check according to EN 1992-1-1 - 3.2.7

\[N_{Rd,s} = \frac{kf_{yk}}{\gamma_{S}}\]

where:

• \(k=(f_{t}/f_{y})\) is given in Annex C
• f_yk - characteristic yield strength
• γ_M2 =1.15 – partial safety factor for reinforcement

Compression check according to EN 1993-1-1 - 6.3

Used for all anchors subjected to a normal compression force, regardless of their material or stand-off type. 

\[F_{c,Rd}=\frac{\chi\,A_s f_y}{\gamma_{M2}}\]

Where:

• \(\chi=\dfrac{1}{\Phi+\sqrt{\Phi^2-\bar{\lambda}^2}}\le 1\) – buckling reduction factor
• \(\Phi=0.5\left[1+\alpha\left(\bar{\lambda}-0.2\right)+\bar{\lambda}^2\right]\) – value to determine buckling reduction factor χ
• \(\alpha=0.49\) – imperfection factor for buckling curve c (belonging to the full circle)
• \(\bar{\lambda}=\sqrt{\dfrac{A_s f_y}{N_{cr}}}\) – relative slenderness
  • A_s – the anchor area reduced by threads
• \(N_{cr}=\dfrac{\pi^2 E I}{L_{cr}^2}\)  – Euler's critical force
• \(I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}\) – moment of inertia of the bolt
  • d_s – anchor diameter reduced by threads
• \(L_{cr}=2\,l\)  – buckling length; it is assumed on the safe side that the bolt is fixed in the concrete and able to rotate at the base plate freely 
• \(l=l_{a}\) – length of the bolt element equal to half the base plate thickness + gap + half the bolt diameter; it is assumed on the safe side that the washer and a nut are not clamped to the concrete surface (ETAG 001 – Annex C – Cl. 4.2.2.4), see Figure 34.

Shear check according to EN 1992-4 - 7.2.2.3

For stand-off = direct, the shear without lever arm is assumed (EN 1992-4 – Cl. 7.2.2.3.1):

\[V_{Rd,s} = \frac{k_6 \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}\]

For stand-off = mortar joint, the shear with lever arm is assumed (EN 1992-4 – Cl. 7.2.2.3.2):

\[V_{Rd,s} = \frac{\alpha_M \cdot M_{Rk,s}}{\gamma_{Ms} \cdot l_a}\]

where:

• k₆ = 0.6 for anchors with fuk ≤ 500 MPa; k₆ = 0.5 otherwise
• A_s – shear area of anchor reduced by threads
• f_uk – anchor bolt ultimate strength
• α_M = 2 – full restraint is assumed (EN 1992-4 – Cl. 6.2.2.3)
• \(M_{Rk,s} = M^{0}_{Rk,s} \left(1 - \dfrac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)\) – characteristic bending resistance of the anchor decreased by the tensile force in the anchor
•  \(M^{0}_{Rk,s} = 1.2 \cdot W_{el} \cdot f_{ub}\) – characteristic bending resistance of the anchor (ETAG 001, Annex C – Equation (5.5b))
• \(W_{el} = \dfrac{\pi d^{3}}{32}\) – section modulus of the anchor
• d – anchor bolt diameter; if the shear plane in a thread is selected (which always is for threaded rod), the diameter reduced by threads is used; otherwise, nominal diameter, d_nom, is used
• N_Ed – tensile force in the anchor
• N_Rd,s – tensile resistance of the anchor
• \(l_{a} = 0.5\, d_{\mathrm{nom}} + t_{\mathrm{mortar}} + 0.5\, t_{\mathrm{bp}}\) – lever arm
• t_mortar – thickness of mortar (grout)
• t_bp – thickness of the base plate
• \(\gamma_{Ms} = 1.0 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.25\) for \(f_{uk} \le 800 \text{ MPa}\) and  \(\dfrac{f_{yk}}{f_{uk}} \le 0.8\); γ_Ms = 1.5 otherwise – partial safety factor for steel failure (EN 1992-4 – Table 4.1)

Shear check according to EN 1993-1-8 - 6.2.2

Anchor shear steel resistance is determined according to EN 1993-1-8 – 6.2.2 (7) regardless of direct or mortar joint stand-off. The grout strength and thickness should be according to Cl. 6.2.5 (7).

\[V_{Rd,s} = F_{v,b,Rd} = \min \left\{ F_{1v,b,Rd} ,\, F_{2v,b,Rd} \right\}\]

where:

\[F_{1v,b,Rd} = \frac{\alpha_v \cdot f_{ub} \cdot A}{\gamma_{M2}}\]

• α_v = 0.6 for grades 4.6, 5.6, 8.8, and 0.5 for grades 4.8, 5.8, 6.8, 10.9
• f_ub – ultimate tensile strength of the bolt material
• A – tensile stress area of the bolt, A = A_s, where As is the tensile stress area of the bolt (reduced by the thread)
• γ_M2 – safety factor - EN 1993-1-8 – Table 2.1

\[F_{2v,b,Rd} = \frac{\alpha_b \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}\]

• ​ \(\alpha_b = 0.44 - 0.0003\, f_{yb}\)
• α_b is a coefficient depending on the yield strength of the anchor bolt
• f_yb – anchor yield strength; 235 MPa ≤ f_yb ​≤ 640 MPa
• f_ub – anchor tensile strength 
• A_s – tensile stress area (reduced by the thread)

Shear check according to EN 1993-1-1 - 6.2.6

These code checks are applied to anchors that are connected to the base plate with a gap or a directly loaded anchor with a projected length more than 0.5 times their diameter.

\[V_{pl,Rd}=\frac{A_v f_y/\sqrt{3}}{\gamma_{M2}}\]

where:

• A_V = 0.844 A_s – shear area
• A_s – bolt area reduced by threads
• f_y – bolt yield strength
• γ_M2 – partial safety factor (defined in the Project settings)

Shear check according to EN 1994-1-1 - 6.6.3.1

\[V_{Rd,s} = P_{Rd} = \frac{0.8 \, f_u \, \pi \, d^2}{4 \, \gamma_v}\]

where:

• γ_v is the partial factor for shear connection per EN 1994-1-1 chap. 2.4.1.2. The recommended value for γ_v is 1.25
• d is the diameter of the shank of the stud, 16 mm ≤ d ≤ 25 mm;
• f_u is the specified ultimate tensile strength of the material of the stud, but not greater than 500 MPa.

In EN 1994-1-1, clause 6.6.3.1 also provides Equation (6.19), which limits the shear resistance of a stud by the punching (bearing) capacity of the concrete. In IDEA StatiCa Detail, this failure mode is not checked by a separate code formula in the post-processing. Instead, it is built directly into the nonlinear finite element analysis as a stop criterion: the analysis is terminated before the shear force in an anchor reaches the corresponding P_Rd
from Equation (6.19). This approach is used because Equation (6.19) is valid only for headed studs welded to the steel plate and for stud diameters in the range 16 mm ≤ d ≤ 25 mm, as specified in 6.6.3.1.

To cover a wider range of practical cases, we created a series of 3D reference models in Abaqus with anchor diameters from 8 mm to 50 mm and concrete strengths from C16/20 to C50/60. The studs were modeled either welded rigidly to the base plate or connected by a pinned (hinged) joint. The material models and contact parameters in Detail were then calibrated against these Abaqus simulations, which were themselves verified against Equation (6.19) within its validity range. This stop criterion is valid for all anchor types and all EN codes.

Bending check according to EN 1993-1-1 - 6.2.5

\[M_{pl,Rd}=\frac{W_{pl} f_y}{\gamma_{M2}}\]

Where:

• \(W_{pl}=\dfrac{d_s^{3}}{6}\) – section modulus of the bolt
  • d_s – anchor diameter reduced by threads
• f_y – material yield strength
• γ_M2 – partial safety factor (defined in the Project settings)

Acting design bending moment M_Ed - If the shear load acts with a lever arm, a bending moment acting on the fastener shall be accounted for. The design bending moment acting on the fastener is calculated according to EN 1993-1-1 Formula (6.1):

\[M_{Ed}=V_{Ed}\cdot\frac{l_a}{\alpha_M}\]

where:

• V_Ed - is the shear load acting on the fastener under consideration
• l_a = a₃ + e₁
  • a₃ = 0.5d_nom, where d_nom is the anchor diameter
  • e₁ - is the distance between the shear load and the concrete surface, neglecting the thickness of any levelling grout
• α_M = 2 – full restraint is assumed (EN 1992-4 – Cl. 6.2.2.3)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Buckling length}}}\]

Interaction of tension and shear in anchor steel

The interaction of tension and shear per EN 1993-1-8 is implicitly included in the anchor shear check.

The interaction of tension and shear per EN 1992-4 is determined separately for steel and concrete failure modes according to Table 7.3. The interaction in steel is checked for each anchor separately.

\[\left( \frac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)^{2}+\left( \frac{V_{Ed}}{V_{Rd,s}} \right)^{2}\le 1\]

EN 1994-1-1 states in Article 6.6.3.2 that if the anchor tensile force is greater than 0.1P_Rd, the check is not covered by this standard. In such a case, the interaction is assessed in accordance with EN 1992-4 in the application. In such a case, the shear check should not be considered according to EN 1994-1-1.

Interaction of tension or compression and bending in anchor steel EN 1993-1-1 - 6.2.1

\[\frac{N_{Ed}}{N_{Rd}}+\frac{M_{Ed}}{M_{Rd}}\le 1\]

where:

• N_Ed – tensile (positive) or compressive (negative sign) design force
• N_Rd – tensile (positive, F_t,Rd) or compressive (negative sign, F_c,Rd) design resistance
• M_Ed – design bending moment
• M_Rd = M_pl,Rd – design bending resistance

Pull-out check for headed anchors (Washer plates and Headed studs)

For headed anchors, an additional stop criterion is implemented to check the concrete bearing (crushing) above the anchor head - pull-out. During the analysis, the compressive force transferred through the head-to-concrete contact is monitored and compared with the limit value given by EN 1992-4, Clause 7.2.1.5 (pull-out failure of headed fastenings).

\[N_{Rd,p} = k_2 \cdot A_h \cdot f_{ck} / \gamma_{Mp}\]

where:

• A_h is the load bearing area of the head of the fastener (without the shank area). 
• f_ck is the characteristic compressive strength of concrete - EN 1992-1-1 Cl. 3.1.2
• γ_Mp is taken in the application as γ_Mp = γ_c with the default value of 1.5
•  k₂​ is always taken as 7.5, i.e. the value for cracked concrete. This is consistent with the CSFM approach used in Detail, where the tensile strength of concrete is neglected and the concrete is assumed to be cracked in tension. 

Once the contact force reaches this code-based limit, the stop criterion is triggered and the analysis is terminated before the design pull-out resistance is exceeded.

Anchorage -  Bond stress

The bond shear stress is evaluated independently as the ratio between the bond stress τ_b calculated by FE analysis and the ultimate bond strength f_bd, according to EN 1992-1-1 chap. 8.4.2:

\[\frac{τ_{b}}{f_{bd}}\le 1\]

\[f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}\]

where:

• f_ctd      is the design value of concrete tensile strength according to EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (2). Due to the increasing brittleness of higher-strength concrete, f_ctk,0.05 is limited to the value for C60/75 according to EN 1992-1-1 Cl. 8.4.2 (2)
• η₁       is a coefficient related to the quality of the bond condition and the position of the bar during concreting (Fig. 34).
• η₁ = 1.0 when ‘good’ conditions are obtained and
• η₁ = 0.7 for all other cases and for bars in structural elements built with slip-forms, unless it can be shown that ‘good’ bond conditions exist
• η₂        is related to the bar diameter:
  η₂ = 1.0 for Ø ≤ 32 mm
  η₂ = (132 - Ø)/100 for Ø > 32 mm

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}\]

In IDEA StatiCa Detail, the bond conditions are taken into account according to Fig. 34 c) and d). The direction of concreting can be set in the application for each project item as follows:

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Direction of concreting}}}\]

These verifications are carried out with respect to the appropriate limit values for the respective parts of the structure (i.e., in spite of having a single grade both for concrete and reinforcement material, the final stress-strain diagrams will differ in each part of the structure due to tension stiffening and compression softening effects).

Anchorage - Total force

Total force F_tot and Limit force F_lim

The total force F_tot is a result of the finite element analysis and can be defined in two ways.

\[F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}\]

where A_s is the area of the reinforcement bar and σ_s is the stress in the bar.

Or as a sum of the anchorage force F_a and the bond force F_bond.

\[F_{tot}=F_{a}+F_{bond}\]

where F_a is the actual force in the anchorage spring and F_bond is the bond force that can be obtained by integrating the bond stress τ_b along the length of reinforcement bar l.

\[F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx\]

C_s is the circumference of the reinforcement bar.

The limit force F_lim is the maximum force in the element of the rebar considering the ultimate strength of the rebar and also anchoring conditions (bond between concrete and reinforcement and anchorage hooks, loops, etc.).

\[F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)\]

\[F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}\]

\[F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}\]

\[F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}\]

where C_s is the circumference of the reinforcement bar, and l is the length from the beginning of the rebar to the point of interest.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Definition of the limit force Flim}}}\]

\[F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}\]

where F_lim,add is the additional force calculated from the magnitude of the angle between neighboring elements. F_lim,2 must always be lower than F_u.

Anchorage types at the end of Reinforcement (Anchors and Rebars)

The available anchorage types in 3D CSFM include a straight bar (i.e., no anchor end reduction), bend, hook, loop, welded transverse bar, perfect bond, and continuous bar. All these types, along with the respective anchorage coefficients β, are shown in Fig. 36 for longitudinal reinforcement and in Fig. 37 for stirrups. The values of the adopted anchorage coefficients are in accordance with EN 1992-1-1 section 8.4.4 Tab. 8.2. It should be noted that in spite of the different available options, 3D CSFM distinguishes three types of anchorage ends: (i) no reduction in the anchorage length, (ii) a reduction of 30% of the anchorage length in the case of a normalized anchorage, and (iii) perfect bond.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the 3D CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}\]

In order to comply with EN 1992-1-1, the anchorage spring should be used in the calculation, the anchorage spring is modified by the β coefficient, so the user must use one of the available anchorage types when defining the reinforcement start and end conditions. 

5 Structural verifications according to ACI 318-19

3D CSFM is in accordance with ACI 318-19, chapter 6.8.1.1. In order for the 3D CSFM to meet the requirements from ACI 318-19 Section 6.8.1.2, a lot of verification testing was done at various universities. Individual articles summarizing the results of verification and validation can be found at the following link.

• Verifications: Detail 3D

Modelli di materiale nel CSFM 3D (ACI)

Calcestruzzo - Resistenza

Il modello di calcestruzzo implementato per i calcoli di resistenza nel CSFM è basato sulla curva tensione-deformazione parabolico-plastica per il calcestruzzo, derivata dalla curva parabolica tensione-deformazione della Portland Cement Association descritta nelle Note PCA sui requisiti del codice edilizio ACI 318-99 per il calcestruzzo strutturale, Figura 6-8. La resistenza a trazione è trascurata, come avviene nel classico progetto di calcestruzzo armato.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}\]

L'implementazione del CSFM in IDEA StatiCa Detail non considera un criterio di rottura esplicito in termini di deformazioni per il calcestruzzo in compressione (ovvero, dopo il raggiungimento della tensione di picco, considera un ramo plastico con ε_c0 con valore massimo del 5%, mentre ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 assume una deformazione ultima inferiore allo 0,3%). Questa semplificazione non consente di verificare la capacità deformativa delle strutture che collassano per compressione. Tuttavia, la resistenza è correttamente prevista quando l'aumento della fragilità del calcestruzzo all'aumentare della sua resistenza è considerato tramite il fattore di riduzione \(\eta_{fc}\) definito nel fib Model Code 2010 come segue:

\[f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

dove:

α₁ è il fattore di riduzione della resistenza a compressione del calcestruzzo definito in ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Quando si utilizza un diagramma tensione-deformazione a parabola-rettangolo, è necessario ridurre la tensione massima di compressione di questo fattore. Ciò media la distribuzione delle tensioni nella zona compressa in modo tale che la resistenza a compressione risultante sia inferiore o uguale alla resistenza a compressione calcolata utilizzando un diagramma tensione-deformazione con ramo plastico decrescente.

Φ_c è il fattore di riduzione della resistenza per il calcestruzzo. Il valore predefinito è impostato secondo ACI 318-19 Tabella 24.2.1 (b)(f).

f'_c è la resistenza cilindrica del calcestruzzo (in MPa per la definizione di \( \eta_{fc} \)).

Armatura

Si considera un diagramma tensione-deformazione perfettamente elasto-plastico con un punto di snervamento definito per l'armatura non precompressa. Vedere ACI 319-19 Cl. 20.2.1. La definizione di questo diagramma richiede solo la conoscenza delle proprietà di base dell'armatura - resistenza e modulo di elasticità.

Il diagramma tensione-deformazione dell'armatura può essere definito anche dall'utente, ma in questo caso non è possibile considerare l'effetto di irrigidimento a trazione. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}\]

dove:

Φ_s è il fattore di riduzione della resistenza per l'armatura. Il valore predefinito è impostato secondo ACI 318-19 Tabella 24.2.1.

f_y è la tensione di snervamento dell'armatura

E_s è il modulo di elasticità dell'armatura

Il 10% è selezionato come deformazione limite alla quale il calcolo viene interrotto. Ciò è considerato sicuro in base all'articolo 7 di ASTM A955/A955M-20c.

L'irrigidimento a trazione (Fig. 42)  è considerato automaticamente modificando la relazione tensione-deformazione di input della barra di armatura nuda, al fine di cogliere la rigidezza media delle barre inglobate nel calcestruzzo (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

Fattori di riduzione della resistenza e fattori di carico

Il Metodo del Campo di Tensioni Compatibile è conforme ai moderni codici di progettazione. Poiché i modelli di calcolo utilizzano solo proprietà dei materiali standard, il formato del coefficiente di sicurezza parziale prescritto nei codici di progettazione può essere applicato senza alcun adattamento. In questo modo, i carichi di input sono amplificati e le proprietà caratteristiche dei materiali sono ridotte utilizzando i rispettivi fattori di riduzione della resistenza, esattamente come nell'analisi convenzionale del calcestruzzo.

I valori dei fattori di riduzione della resistenza sono prescritti nel capitolo 21 di ACI 318-19 e per gli ancoraggi nel capitolo 17 di ACI 318-19 e nei capitoli D, E, F, G di AISC 360-16. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}\]

I fattori di carico per le combinazioni di resistenza devono essere definiti secondo la Tabella 5.3.1 di ACI 318-19.

Salvo quanto indicato nel Capitolo 34, le combinazioni di carico a livello di esercizio non sono definite in ACI 318-19. Si raccomanda di utilizzare le regole di combinazione basate sull'Appendice C di ASCE/SEI 7-16. Per tutti i modelli, i fattori di carico sono già predefiniti.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of load factors in IDEA StatiCa Detail.}}}\]

Verifiche di resistenza in Detail 3D

Le diverse verifiche richieste da ACI 318-19 sono valutate sulla base dei risultati diretti forniti dal modello. Le verifiche vengono eseguite per la resistenza del calcestruzzo, la resistenza dell'armatura e l'ancoraggio (tensioni tangenziali di aderenza).

Resistenza - Calcestruzzo

La resistenza del calcestruzzo a compressione è valutata come il rapporto tra la massima tensione principale equivalente f_c,eq (anche σ_c,eq nel testo precedente) ottenuta dall'analisi FE e il valore limite f'_c,lim.

La tensione principale equivalente esprime la tensione uni-assiale equivalente per uno stato di tensione tri-assiale generale.

\[f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}\]

Il valore f_c,eq può quindi essere direttamente confrontato con i limiti di resistenza uni-assiale. Questa espressione deriva dall'implementazione della teoria della plasticità di Mohr-Coulomb, assumendo in modo conservativo l'angolo di attrito interno φ = 0°.

Resistenza - Armatura

La resistenza dell'armatura è valutata sia a trazione che a compressione come il rapporto tra la tensione nell'armatura alle fessure f_s e il valore limite specificato f_y,lim.

\[f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}\]

Resistenza - Ancoraggi

Gli ancoraggi sono verificati per le tensioni normali in modo analogo all'armatura, dove viene determinato il valore limite f_y,lim. 

Per facilitare la navigazione nel testo seguente, divideremo prima gli ancoraggi in tre gruppi in termini di verifica normativa secondo ACI o AISC.

Gruppo 1

• Tipi di ancoraggio
  • Piastra gettata in opera
  • Piastra di base - Stand-off = diretto 
  • Piastra di base - Stand-off = Giunto di malta - spessore della malta inferiore a 0,5 volte il diametro dell'ancorante
  • Ancorante singolo con lunghezza sporgente inferiore a 0,5 volte il diametro dell'ancorante
• Verifiche normative degli ancoraggi (ACI / AISC)
  • Trazione/compressione
    • Tutti i tipi di ancorante a trazione – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2  
    • Tutti i tipi di ancorante a compressione – AISC 360-16 cap. E
  • Taglio senza braccio di leva
    • Materiale bullone – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)
    • Pioli con testa – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a)
    • Armatura – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)
  • Interazione trazione e taglio - ACI 318-19 cap. 17.8

Gruppo 2

• Tipi di ancoraggio
  • Piastra di base - Stand-off = Giunto di malta - spessore della malta superiore a 0,5 volte il diametro dell'ancorante
• Verifiche normative degli ancoraggi (ACI / AISC)
  • Trazione/compressione
    • Tutti i tipi di ancorante a trazione – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2  
    • Tutti i tipi di ancorante a compressione – AISC 360-16 cap. E
  • Taglio con braccio di leva
    • Materiale bullone – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b) + cap. 17.7.1.2.1.
    • Pioli con testa – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a) + cap. 17.7.1.2.1.
    • Armatura – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b) + cap. 17.7.1.2.1.
  • Interazione trazione e taglio - ACI 318-19 cap. 17.8

Gruppo 3

• Tipi di ancoraggio
  • Piastra di base - Stand-off = giunto aperto
  • Ancorante singolo con lunghezza sporgente superiore a 0,5 volte il diametro dell'ancorante
• Verifiche normative degli ancoraggi (ACI / AISC)
  • Trazione/compressione (con instabilità)
    • Tutti i tipi di ancorante a trazione – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2
    • Tutti i tipi di ancorante a compressione – AISC 360-16 cap. E3
  • Flessione
    • Per tutti i tipi di ancorante – AISC 360-16 cap. F11
  • Taglio
    • Per tutti i tipi di ancorante – AISC 360-16 cap. G
  • Interazione forza assiale e flessione
    • \(\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1\) 

Resistenza a trazione dell'ancorante secondo ACI 318-19 cap. 17.6.1.2

\[\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}\]

dove:

• ϕ_a,t  – fattore di riduzione della resistenza per ancoraggi a trazione secondo ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
• A_se,N – area della sezione resistente a trazione (ridotta dal filetto)
• f_uta – resistenza a trazione specificata dell'acciaio dell'ancorante e non deve essere superiore a 1,9 f_ya e 860 MPa

Resistenza a taglio dell'ancorante secondo ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a)

La resistenza dell'acciaio a taglio per i pioli con testa è determinata come:

\[\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}\]

dove:
ϕ_a,v – fattore di riduzione della resistenza per ancoraggi a trazione secondo ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
A_se,V – area della sezione resistente a trazione (ridotta dal filetto)
f_uta – resistenza a trazione specificata dell'acciaio dell'ancorante e non deve essere superiore a 1,9 f_ya e 860 MPa

Resistenza a taglio dell'ancorante secondo ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)

La resistenza dell'acciaio a taglio per gli ancoraggi in materiale bullone e armatura è determinata come:

\[\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}\]

dove:

• ϕ_a,v  – fattore di riduzione della resistenza per ancoraggi a trazione secondo ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
• A_se,V – area della sezione resistente a trazione (ridotta dal filetto)
• f_uta – resistenza a trazione specificata dell'acciaio dell'ancorante e non deve essere superiore a 1,9 f_ya e 860 MPa

Resistenza a taglio dell'ancorante collegato a una base con malta - ACI 318-19 cap. 17.7.1.2.1

Se gli ancoraggi sono utilizzati con letti di malta costruiti in opera (Gruppo 2), la resistenza di progetto calcolata in conformità al cap. 17.7.1.2 deve essere moltiplicata per 0,80.

Interazione trazione e taglio secondo ACI 318-19 cap. 17.8

È consentito trascurare l'interazione tra trazione e taglio se è soddisfatta la condizione (a) o (b).
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Se N_ua/(ϕN_n) > 0,2 per la resistenza determinante a trazione e V_ua/(ϕV_n) > 0,2 per la resistenza determinante a taglio, allora deve essere soddisfatta l'Eq. (17.8.3).

\[\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2\]

Resistenza a compressione dell'ancorante secondo AISC 360-16 cap. E3

\[P_n =\phi_{a,c}\, F_{cr}\, A_{g}\]

dove:

• ϕ_a,t  – fattore di riduzione della resistenza per ancoraggi a compressione secondo AISC 360-16 cap. E1
  
• (a) Quando: \(\dfrac{L_c}{r} \le 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad\)  o     \(\dfrac{F_y}{F_e}\le 2.25\)
  • \(F_{cr}=\left(0.658^{\,F_y/F_e}\right)F_y\)
    
• (b) Quando: \(\dfrac{L_c}{r} > 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad\)  o     \(\dfrac{F_y}{F_e}> 2.25\)
  • \(F_{cr}=0.877F_e\)
    
• A_g​ – area della sezione lorda dell'elemento
• E – modulo di elasticità dell'acciaio
• \(F_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{L_c}{r}\right)^2}\) - tensione critica di instabilità elastica
• F_y – tensione di snervamento minima specificata per il tipo di acciaio utilizzato
• \(r=\sqrt{\dfrac{I}{A_s}}\) – raggio di inerzia
• \(I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}\) – momento di inerzia del bullone 

Resistenza a flessione dell'ancorante secondo AISC 360-16 cap. F11

\[M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y\]

dove:

• \(Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}\) – modulo di resistenza plastico del bullone
• \(S_x=\dfrac{2I}{d_s}\) – modulo di resistenza elastico del bullone

Resistenza a taglio dell'ancorante secondo AISC 360-16 cap. G

\[V_n=\phi_{a,v}\,0.6\,A_v\,F_y\]

dove:

• A_V = 0.844As – l'area a taglio
• A_s – l'area del bullone ridotta dai filetti

Schiacciamento del calcestruzzo all'interfaccia ancorante–calcestruzzo

La resistenza a taglio dell'ancorante è limitata anche dal punto di vista dello schiacciamento del calcestruzzo all'interfaccia ancorante–calcestruzzo. I valori limite e il metodo per determinarli sono descritti in dettaglio nell'articolo - Comportamento a taglio degli ancoraggi nel calcestruzzo armato. Una volta che la forza di contatto raggiunge questo limite, viene attivato il criterio di arresto e l'analisi viene terminata prima che la resistenza venga superata.​ 

Verifica di sfilamento per ancoraggi con testa (Piastre rondella e Pioli con testa)

Per gli ancoraggi con testa, viene implementato un ulteriore criterio di arresto per verificare la pressione sul calcestruzzo (schiacciamento) sopra la testa dell'ancorante - sfilamento. Durante l'analisi, la forza di compressione trasferita attraverso il contatto testa-calcestruzzo viene monitorata e confrontata con il valore limite fornito da ACI 318-19, Clausola 17.6.3.2.2a (rottura per sfilamento di elementi di fissaggio con testa).

\[N_{pn} = \Phi \cdot \Psi_{c,p} \cdot 8 \cdot A_{brg} \cdot f'_c\]
​

dove:

• \( \Phi\) è il fattore di riduzione della resistenza - Tabella 17.5.3(c)
• A_brg area netta di appoggio della testa del piolo, del bullone di ancoraggio o della barra deformata con testa (senza l'area del gambo). 
• f'_c è la resistenza a compressione specificata del calcestruzzo
• \(\Psi_{c,p}\) è il fattore di fessurazione per sfilamento secondo 17.6.3.3, ed è sempre assunto pari a 1,0, ovvero il valore per calcestruzzo fessurato. Ciò è coerente con l'approccio CSFM utilizzato in Detail, dove la resistenza a trazione del calcestruzzo è trascurata e si assume che il calcestruzzo sia fessurato a trazione.

Una volta che la forza di contatto raggiunge questo limite normativo, viene attivato il criterio di arresto e l'analisi viene terminata prima che la resistenza allo sfilamento venga superata.​ 

Ancoraggio -  Tensione di aderenza

La tensione tangenziale di aderenza è valutata indipendentemente come il rapporto tra la tensione di aderenza τ_b calcolata dall'analisi FE e la resistenza di aderenza f_bu.

Sebbene la resistenza di aderenza non sia esplicitamente definita in ACI 318-19, il calcolo della lunghezza di ancoraggio può essere trovato nella Sezione 25.4.2. Tuttavia, poiché la resistenza di aderenza è il dato di base per determinare la lunghezza di ancoraggio, vedere R25.4.1.1 e ACI Committee 408 1966, la resistenza di aderenza può essere calcolata come segue:

Si assume che se si ancora la barra di armatura in un blocco di calcestruzzo fino alla lunghezza di ancoraggio l_d o superiore, lo sfilamento dell'armatura porterà alla rottura dell'armatura e non allo sfilamento del calcestruzzo. Ciò può essere espresso con la seguente formula.

\[\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}\]

dove:

d_b è il diametro della barra di armatura, _ld è la lunghezza di ancoraggio, f_bu è la resistenza di aderenza, f_y è la tensione di snervamento dell'armatura, e A_s è l'area della barra di armatura.

Da quanto precede, la formula per il calcolo della resistenza di aderenza può essere facilmente derivata:

\[f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }\]

La lunghezza di ancoraggio l_d è quindi determinata secondo ACI 318-19 Tabella 25.4.2.3 come segue:

\[l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}\]

dove:

C = 25 (2,1 per il sistema metrico) per barre n. 6 e inferiori e fili deformati, C = 20 (1,7 per il sistema metrico) per barre n. 7 e superiori, λ = 1,0 per calcestruzzo a peso normale, ψ_t, ψ_e, ψ_g sono determinati secondo ACI 318-19 Tabella 25.4.2.3. 

È supportata solo l'armatura non rivestita o zincata (galvanizzata), quindi ψ_e = 1,0. ψ_g è determinato automaticamente dal grado dell'armatura, e ψ_t è derivato automaticamente dalla posizione dell'armatura nel modello e dalla direzione del getto che può essere impostata nell'applicazione per ciascun elemento di progetto come segue.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad Direction of concreting}}}\]

Queste verifiche sono eseguite rispetto ai valori limite appropriati per le rispettive parti della struttura (ovvero, nonostante si utilizzi un unico grado sia per il calcestruzzo che per il materiale dell'armatura, i diagrammi tensione-deformazione finali differiranno in ciascuna parte della struttura a causa degli effetti di irrigidimento a trazione e ammorbidimento a compressione).

Ancoraggio -  Forza totale

Forza totale F_tot e forza limite F_lim

La forza totale F_tot è un risultato dell'analisi agli elementi finiti e può essere definita in due modi.

\[F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}\]

dove A_s è l'area della barra di armatura e f_s è la tensione nella barra.

Oppure come somma della forza di ancoraggio F_a e della forza di aderenza F_bond.

\[F_{tot}=F_{a}+F_{bond}\]

dove F_a è la forza effettiva nella molla di ancoraggio e F_bond è la forza di aderenza che può essere ottenuta integrando la tensione di aderenza τ_b lungo la lunghezza della barra di armatura l.

\[F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx\]

C_s è la circonferenza della barra di armatura.

La forza limite F_lim è la forza massima nell'elemento della barra considerando la resistenza della barra e anche le condizioni di ancoraggio (aderenza tra calcestruzzo e armatura e ganci di ancoraggio, anelli, ecc.).

\[F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)\]

\[F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}\]

dove C_s è la circonferenza della barra di armatura e l è la lunghezza dall'inizio della barra al punto di interesse.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Definition of the limit force Flim}}}\]

\[F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}\]

dove F_lim,add è la forza aggiuntiva calcolata dall'entità dell'angolo tra elementi adiacenti. F_lim,2 deve essere sempre inferiore a F_u.

I tipi di ancoraggio disponibili nel CSFM includono una barra diritta (ovvero senza riduzione dell'estremità di ancoraggio), gancio a 90 gradi, gancio a 180 gradi, aderenza perfetta e barra continua. Tutti questi tipi, insieme ai rispettivi coefficienti di ancoraggio β, sono mostrati nella Fig. 47 per l'armatura longitudinale. I valori dei coefficienti di ancoraggio adottati sono derivati dal confronto dell'equazione della sezione ACI 318-19 25.4.3.1 e delle equazioni della sezione ACI 318-19 25.4.2.3. Va notato che, nonostante le diverse opzioni disponibili, il CSFM distingue tre tipi di estremità di ancoraggio: (i) nessuna riduzione della lunghezza di ancoraggio, (ii) una riduzione del 30% della lunghezza di ancoraggio nel caso di un ancoraggio normalizzato, e (iii) aderenza perfetta.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}\]

Il coefficiente di ancoraggio per le staffe è sempre - β = 1,0.

Per conformarsi ad ACI, nella calcolo deve essere utilizzata la molla di ancoraggio; la molla di ancoraggio è modificata dal coefficiente β, pertanto l'utente deve utilizzare uno dei tipi di ancoraggio disponibili quando definisce le condizioni di inizio e fine dell'armatura. 

6 Structural verifications according to AASHTO

7 Structural verifications according to Australian standard AS 3600

The CSFM is a structural analysis method that satisfies the general rules in Chapters 6.1.1 and 6.1.2 and is defined as (f) non-linear stress analysis in Chapter 6.1.3 - further in Chapter 6.6. 

In order to satisfy the requirements in Sections 6.6.4 and 6.6.5 - more can be found in AS3600:2018 Sup 1:2022 Section C6.6 - verification and validations of the method were done. Individual articles summarizing the results of verification and validation can be found at the following link.

• Verifications: Detail 3D

Since IDEA StatiCa Detail is a practical design program, factored characteristic compressive cylinder strength at 28 days f'c is used for calculations, as is described in the next chapter.

Modelli di materiale nel CSFM 3D (AS 3600)

Calcestruzzo - Resistenza

Il modello di calcestruzzo implementato per i calcoli di resistenza nel CSFM è basato sulla curva tensione-deformazione parabolico-plastica. La resistenza a trazione è trascurata, come avviene nel classico progetto di calcestruzzo armato.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}\]

L'implementazione del CSFM in IDEA StatiCa Detail non considera un criterio di rottura esplicito in termini di deformazioni per il calcestruzzo compresso (ovvero, dopo il raggiungimento della tensione di picco, considera un ramo plastico con ε_cp con valore massimo del 5%, mentre AS 3600 Cl. 8.3.1 assume una deformazione ultima inferiore allo 0,3%). Questa semplificazione non consente di verificare la capacità deformativa delle strutture che collassano per compressione. Tuttavia, la resistenza è correttamente prevista quando l'aumento della fragilità del calcestruzzo all'aumentare della resistenza è considerato tramite il fattore di riduzione \(\eta_{fc}\) definito nel fib Model Code 2010 come segue:

\[f'_{c,lim}=\alpha_{2}\cdot\phi_{s} \cdot \eta_{fc}\cdot f'_{c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

dove:

α₂ è il fattore di riduzione della resistenza a compressione del calcestruzzo definito in AS 3600 Cl. 8.3.1
Quando si utilizza un diagramma tensione-deformazione a parabola-rettangolo, è necessario ridurre la tensione massima di compressione di questo fattore. Ciò media la distribuzione delle tensioni nella zona compressa in modo tale che la resistenza a compressione risultante sia inferiore o uguale alla resistenza a compressione calcolata utilizzando un diagramma tensione-deformazione con un ramo plastico decrescente. Un approccio analogo è definito per il blocco rettangolare di tensioni nel Capitolo 8.1.3.

Φ_s è il fattore di riduzione della tensione per il calcestruzzo. Il valore predefinito è impostato secondo AS 3600 Tabella 2.2.3.

f'_c è la resistenza cilindrica del calcestruzzo (in MPa per la definizione di \( \eta_{fc} \)).

Armatura

Si considera un diagramma tensione-deformazione perfettamente elasto-plastico con un punto di snervamento definito per l'armatura non precompressa, vedere AS 3600 Sezione 3.2. La definizione di questo diagramma richiede solo la conoscenza delle proprietà di base dell'armatura – la resistenza e il modulo di elasticità.

Il diagramma tensione-deformazione dell'armatura può essere definito anche dall'utente, ma in questo caso è impossibile assumere l'effetto di irrigidimento a trazione (è impossibile calcolare l'ampiezza delle fessure). 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}\]

dove:

Φ_s è il fattore di riduzione della resistenza per l'armatura. Il valore predefinito è impostato secondo AS 3600 Tabella 2.2.3.

f_y è la tensione di snervamento dell'armatura

E_s modulo di elasticità dell'armatura

L'irrigidimento a trazione (Fig. 50)  è considerato automaticamente modificando la relazione tensione-deformazione di input della barra di armatura nuda al fine di cogliere la rigidezza media delle barre inglobate nel calcestruzzo (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

Fattori di riduzione delle tensioni e della resistenza e fattori di carico

Il Metodo del Campo di Tensioni Compatibile è conforme ai moderni codici di progettazione. Poiché i modelli di calcolo utilizzano solo proprietà dei materiali standard, il formato del coefficiente di sicurezza parziale prescritto nei codici di progettazione può essere applicato senza alcun adattamento. In questo modo, i carichi di input sono amplificati e le proprietà caratteristiche dei materiali sono ridotte utilizzando i rispettivi fattori di riduzione delle tensioni, esattamente come nell'analisi convenzionale del calcestruzzo.

I valori dei fattori di riduzione delle tensioni sono prescritti in AUS 3600 Cl. 2.2.3 e in altre sezioni illustrate nella figura seguente.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad The setting of stress reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}\]

I fattori di carico per le combinazioni allo Stato Limite Ultimo devono essere definiti secondo AS 3600 Cl. 4.2.2. I fattori di carico per le combinazioni di Esercizio devono essere determinati secondo la Tabella 4.1. Per tutti i modelli, i fattori di carico sono già predefiniti.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Strength and anchorage verifications in Detail 3D

The different verifications required by AS 3600 are assessed based on the direct results provided by the model. Verifications are carried out for concrete strength, reinforcement strength, and anchorage (bond shear stresses).

Strength - Concrete

The concrete strength in compression is evaluated as the ratio between the maximum Equivalent principal stress f_c,eq (also σ_c,eq in previous text) obtained from FE analysis and the limit value f'_c,lim.

Equivalent Principal Stress expresses the equivalent uni-axial stress for a general tri-axial stress state.

\[f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}\]

The f_c,eq value can, therefore, be directly compared with uniaxial strength limits. This expression is derived from the implementation of the Mohr-Coulomb plasticity theory, conservatively assuming the angle of internal friction φ = 0°.

Strength - Reinforcement

The strength of the reinforcement is evaluated in both tension and compression as the ratio between the stress in the reinforcement at the cracks f_s and the specified limit value f_sy,lim.

\[f_{sy,lim} = \phi_{s} \cdot f_{sy}\]

Strength - Anchors

Anchors are checked for normal stresses in a similar way to reinforcement, where the limit value f_sy,lim is determined. 

To make it easier to navigate the following text, we will first divide anchoring into three groups in terms of code-checking according to AS 5216 and AS 4100.

Group 1

• Anchorage Types
  • Cast-in plate
  • Base plate - Stand-off = direct 
  • Base plate - Stand-off = Mortar joint - thickness of mortar less than 0.5 times the anchor diameter
  • Single anchor with projected length less than 0.5 times anchor diameter
• Anchor code-checks
  • Tension/compression
    • All materials in tension – AS 5216 chap. 6.2.2
    • All anchor types in compression – AS 4100 chap. 6.3.3
  • Shear without lever arm
    • All materials – AS 5216 chap. 7.2.2.2
  • Interaction of tension and shear - AS 5216 chap. 8.1.1

Group 2

• Anchorage Types
  • Base plate - Stand-off = Mortar joint - thickness of mortar more than 0.5 times the anchor diameter
• Anchor code-checks
  • Tension/compression
    • All materials in tension – AS 5216 chap. 6.2.2
    • All anchor types in compression – AS 4100 chap. 6.3.3
  • Shear with lever arm
    • All materials – AS 5216 chap. 7.2.2.3

Interaction verification according to AS 5216 shall not be required for post-installed fasteners or anchor channel bolts subjected to shear load that has a lever arm since this interaction is accounted for in Equation 7.2.2.3(2).

Group 3

• Anchorage types
  • Base plate - Stand-off = gap
  • Single anchor with projected length more than 0.5 times the anchor diameter
• Anchor code-checks (ACI / AISC)
  • Tension/compression (with buckling)
    • All materials in tension – AS 5216 chap. 6.2.2 or AS 4100 chap. 9.2.2.2 (can be selected in settings)
    • All anchor types in compression – AS 4100 chap. 6.3.3
  • Bending
    • For all anchor types – AS 4100 chap. 5.1
  • Shear
    • For all anchor types – AS 4100 chap. 5.11
• Interaction described further

Tensile resistance of anchor according to AS 5216 chap. 6.2.2

\[\phi N_{tf}=\phi_{Ms}\,A_s\,f_{uf}\]

where:

• ϕN_tf – design resistance of anchor in tension
• \(\phi_{Ms}=\dfrac{5 f_{yf}}{6 f_{uf}}\le \dfrac{1}{1.4}\) – strength reduction factor for anchors in tension according to AS 5216 Table 3.2.4
• A_s – tensile stress area (reduced by thread)
• f_uf – specified tensile strength of anchor steel 

Shear resistance of anchor according to AS 5216 chap. 7.2.2.2

The steel strength in shear without lever arm is determined as:

\[\phi V_{Rk,s}=\phi_{Ms}\,0.62\,f_{uf}\,A\]

where:

• ϕV_tf – design resistance of anchor in shear
• A_s  – tensile stress area (reduced by thread)
• f_uf – specified tensile strength of anchor steel 
• \(\phi_{Ms}=\begin{cases}\dfrac{f_{yf}}{f_{uf}} \le 0.8, & \text{when } f_{uf}\le 800~\text{MPa and } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}\le 0.8 \\[8pt] \dfrac{2}{3}, & \text{when } f_{uf}> 800~\text{MPa or } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}> 0.8 \end{cases}\)

The design resistance of a single fastener in case of steel failure, or fasteners with a ratio h_ef / d_nom < 5 and a concrete compressive strength class < 20 MPa, the design resistance ϕV_tf should be multiplied by a factor of 0.8.

Shear resistance of anchor according to AS 5216 chap. 7.2.2.3

The steel strength in shear with lever arm is determined as:

\[\phi V_{Rk,s,M}=\phi_{Ms}\,\frac{\alpha_M\,M_{Rk,s}}{l_a}\]

where:

• α_M = 2 – parameter accounting for the degree of restraint, fixture is assumed to be prevented from rotating – Cl. 4.2.2.4
• \(M_{Rk,s}=M_{Rk,s}^{0}\left(1-\dfrac{N^{*}}{\phi_{Ms}\,N_{Rk,s}}\right)\) – characteristic flexural strength of the fastener influenced by the axial load
• \(l_a = a_3 + e_1 - l_e\) – length of the lever arm
• \(a_3 = 0.5\,d \) – distance between the assumed point of restraint of the fastener loaded in shear and the surface of the concrete
• \(e_1 = t_g + \dfrac{t_{fix}}{2}\) – eccentricity of the applied shear load relative to the concrete surface, neglecting the thickness of a levelling grout or mortar
• t_g – thickness of grout layer
• t_fix – thickness of base plate
• d – nominal diameter of the fastener
• N* – design tension load
• ϕ_Ms N_Rk,s – tensile strength of a fastener to steel failure
• \(M_{Rk,s}^{0}=1.2\,W_{el}\,f_{uf}\) – characteristic flexural strength of the fastener – ETAG 001 – Annex C
• \(W_{el}=\dfrac{\pi d_s^{3}}{32}\) – elastic section modulus of the fastener, the diameter reduced by threads
• \(d_s=\sqrt{\dfrac{4A_s}{\pi}}\) – is used instead of nominal diameter d for threaded rods and washer plates
• \(\phi_{Ms}=\begin{cases}\dfrac{f_{yf}}{f_{uf}} \le 0.8, & \text{when } f_{uf}\le 800~\text{MPa and } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}\le 0.8 \\[8pt] \dfrac{2}{3}, & \text{when } f_{uf}> 800~\text{MPa or } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}> 0.8 \end{cases}\)

Interaction in tension and shear according to AS 5216 chap. 8.1.1

\[\left(\frac{N^{*}}{\phi N_{Rk,s}}\right)^{2}+\left(\frac{V^{*}}{\phi V_{Rk,s}}\right)^{2}\le 1.0\]

Where:

• N* – design tension force applied to a single fastener
• V* – design shear force applied to a single fastener 
• ϕN_Rk,s – design tensile strength of a single fastener
• ϕV_Rk,s – design shear strength of a single fastener

Tensile resistance of anchor according to AS 4100 chap. 9.2.2.2

\[N_{tf}^{*}\le \phi_{a,t} A_s f_{uf}\]

where:

• A_s – tensile stress area (reduced by thread) as specified in AS 1275
• ϕ_a,t – capacity factor for bolts according to AS 4100 Table 3.4

Compressive resistance of anchor according to AS 4100 chap. 6.3.3

\[\phi N_c=\phi\,\alpha_c\,N_s=\phi\,\alpha_c\,k_f\,A_s\,f_y \le \phi N_s\]

where:

• ϕ_a,c – capacity factor for bolts according to AS 4100 Table 3.4
• \(N_c=\alpha_c\,N_s \le N_s\) – nominal member capacity – Cl. 6.3.3
• \(N_s=k_f\,A_s\,f_y\) – nominal section capacity – Cl. 6.2
• f_y – anchor yield strength
• \(l_e=k_e\,l\) – effective length – Cl. 6.3.2
• k_e = 2 – member effective length factor, it is assumed conservatively that the anchor is fixed and the bottom and pinned at the top as a sway member
• \(l = l_{gap}+\dfrac{d}{2}+\dfrac{t_p}{2}\) – assumed length of the member
• l_gap – gap height
• d – nominal bolt diameter
• t_p – base plate thickness
• \(\alpha_c=\xi\left[\,1-\sqrt{\,1-\left(\dfrac{90}{\xi\,\lambda}\right)^2}\,\right]\) – member slenderness reduction factor
• \(\xi=\frac{\left(\dfrac{\lambda}{90}\right)^2+1+\eta}{2\left(\dfrac{\lambda}{90}\right)^2}\)
• \(\lambda=\lambda_n+\alpha_a\alpha_b\)
• \(\eta=0.00326(\lambda-13.5)\ge 0\)
• \(\lambda_n=\left(\frac{l_e}{r}\right)\sqrt{k_f}\,\sqrt{\dfrac{f_y}{250}}\)
• \(\alpha_a=\dfrac{2100(\lambda_n-13.5)}{\lambda_n^2-15.3\lambda_n+2050}\)
• α_b = 0.5 – compression member section constant - Table 6.3.3
• k_f = 1 – form factor – Cl. 6.2.2
• \(r=\sqrt{\dfrac{I_s}{A_s}}\) – radius of gyration
• \(I_s=\dfrac{1}{64}\,\pi d_s^{4}\) – moment of inertia
• A_s – tensile stress area of a bolt as defined in AS 1275
• \(d_s=\sqrt{\dfrac{4A_s}{\pi}}\) – diameter reduced by threads

Bending resistance of anchor according to AS 4100 chap. 5.1

\[\phi M_s=\phi\,f_y\,Z_e\]

where:

• ϕ_a,b – capacity factor for bolts according to AS 4100 Table 3.4
• f_y – anchor yield strength
• \(Z_e=\min\left(S,\,1.5\,Z\right)\) – effective section modulus – Cl. 5.2.3
• \(S=\dfrac{d^{3}}{6}\) – plastic section modulus; if a thread exists, nominal diameter d is replaced by diameter reduced by threads, d_s
• \(Z=\dfrac{1}{32}\,\pi d^{3}\) – elastic section modulus; if a thread exists, nominal diameter d is replaced by diameter reduced by threads, d_s

Shear resistance of anchor according to AS 4100 chap. 5.11

\[\phi V_w = 0.6\,f_y\,A_w\]

where:

• ϕ – capacity factor for bolts according to AS 4100 Table 3.4
• f_y – anchor yield strength
• A_w = 0.844 A_s – shear area
• A_s – tensile stress area (reduced by thread)

Interaction in tension and bending 

\[\frac{N_{tf}^{*}}{\phi N_t}+\frac{M^{*}}{\phi M_s}\le 1\]

where:

• N^*_tf   – design tensile force
• ϕN_t – design tensile resistance of anchor
• M^*   – design bending moment due to shear on a lever arm
• ϕ_Ms – design bending resistance of anchor

Interaction in compression and bending

\[\frac{N^{*}}{\phi N_c}+\frac{M^{*}}{\phi M_s}\le 1\]

where:

• N^*   – design compressive force
• ϕN_c – design compressive resistance of anchor
• M^*   – design bending moment due to shear on a lever arm
• ϕ_Ms – design bending resistance of anchor

Concrete crushing at the anchor–concrete interface

The anchor shear resistance is also limited from the point of view of concrete crushing at the anchor–concrete interface. The limit values and the method for determining them are described in detail in the article - Shear behaviour of anchors in reinforced concrete. Once the contact force reaches this limit, the stop criterion is triggered, and the analysis is terminated before the resistance is exceeded.​ 

Pull-out check for headed anchors (Washer plates and Headed studs)

For headed anchors, an additional stop criterion is implemented to check the concrete bearing (crushing) above the anchor head - pull-out. During the analysis, the compressive force transferred through the head-to-concrete contact is monitored and compared with the limit value given by AS 5216:2021 Cl. 6.3.4 (pull-out failure of headed fastenings).

\[N_{Rd,p} = \Phi_{Mp} \cdot k_{2} \cdot A_{h} \cdot f'_{c}\]
​

where:

• \( \Phi_{Mp}\) is the strength reduction factor - Table 3.2.4
• A_h is the load bearing area of the head of the fastener (without the shank area). 
• f'_c is the specified compressive strength of concrete
• k₂ is always taken as 7.5, i.e. the value for cracked concrete. This is consistent with the CSFM approach used in Detail, where the tensile strength of concrete is neglected and the concrete is assumed to be cracked in tension.

Once the contact force reaches this code-based limit, the stop criterion is triggered and the analysis is terminated before the design pull-out resistance is exceeded.​ 

Anchorage -  Bond stress

The bond shear stress is evaluated independently as the ratio between the bond stress τ_b calculated by FE analysis and the design ultimate bond stress f_bu.

For the determination of the design ultimate bond stress f_bu, the formula C13.1.2.2 defined in AS3600:2018 Sup 1:2022 is considered in the application.

\[f_{bu}=\frac{k_{2}}{k_{1} \cdot k_{3}} \cdot (0.5 \cdot \sqrt{f'_{c}})\]

Where f'_c ≤ 65 MPa (in the formula is in MPa), and k factors are determined from AS 3600 Cl. 13.1.2.2 as follows:

k₃ = 0.7                                 (conservative value for all reinforcement)
k₂ = (132 - d_b) / 100             (d_b is diameret of rebar in millimeters)
= 1.3 for a horizontal bar with more than 300 mm of concrete cast below the bar, or 1.0 otherwise

k₁ is automatically derived from the position of the reinforcement in the model and from the direction of concreting that can be set in the application for each project item as follows.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 53\qquad Direction of concreting}}}\]

The basic development length L_sy,tb is calculated according to formula 13.1.2.2 in AS 3600 as follows:

\[L_{sy,tb}=\frac{0.5\cdot k_{1}\cdot k_{3}\cdot f_{sy}\cdot d_{b}}{k_{2}\cdot \sqrt{f'_{c}}}\ge 29 \cdot k_{1}\cdot d_{b}\]

As can be seen in the formula, the basic development length L_sy,tb is limited from below, and therefore the design ultimate bond stress f_bu must be limited in the same way in the application, so the following applies:

\[f_{bu}\le \frac{f_{sy}}{116 \cdot k_{1}} \]

Where f_sy is in MPa.

The derivation of the f_bu limitation is as follows:

\[f_{bu}= \frac{f_{sy}\cdot A_{s}}{ \pi \cdot d_{b} \cdot L_{sy,tb}}=\frac{f_{sy}\cdot \pi \cdot d_{b}^{2}}{4 \cdot \pi \cdot d_{b} \cdot 29 \cdot k{1} \cdot d_{b}} =\frac{f_{sy}}{116 \cdot k_{1}} \]

Total force F_tot and limit force F_lim

The total force F_tot is a result of the finite element analysis and can be defined in two ways.

\[F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}\]

where A_s is the area of the reinforcement bar and f_s is the stress in the bar.

Or as a sum of the anchorage force F_a and the bond force F_bond.

\[F_{tot}=F_{a}+F_{bond}\]

where F_a is the actual force in the anchorage spring and F_bond is the bond force that can be obtained by integrating the bond stress τ_b along the length of reinforcement bar l.

\[F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx\]

C_s is the circumference of the reinforcement bar.

The limit force F_lim is the maximum force in the element of the rebar considering the strength of the rebar and also anchoring conditions (bond between concrete and reinforcement and anchorage hooks, loops, etc.).

\[F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)\]

\[F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}\]

where C_s is the circumference of the reinforcement bar, and l is the length from the beginning of the rebar to the point of interest.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 54\qquad Definition of the limit force Flim}}}\]

\[F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}\]

where F_lim,add is the additional force calculated from the magnitude of the angle between neighboring elements. F_lim,2 must always be lower than F_u.

The available anchorage types in CSFM include a straight bar (i.e., no anchor end reduction), Standard cog, Standard hook, perfect bond, and continuous bar. All these types, along with the respective anchorage coefficients β, are shown in Fig. 55 for longitudinal reinforcement. The values of the adopted anchorage coefficients are derived from AS 3600 Cl. 13.1.2. It should be noted that CSFM distinguishes three types of anchorage ends: (i) no reduction in the anchorage length, (ii) a reduction of 50% of the anchorage length in the case of a normalized anchorage, and (iii) perfect bond.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 55\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) Standard cog; (c) Standard hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}\]

The anchorage coefficient for stirrups is always - β = 1.0.

In order to comply with AS 3600, the anchorage spring should be used in the calculation. The anchorage spring is modified by the β coefficient, so the user must use one of the available anchorage types when defining the reinforcement start and end conditions. 

Verifications and validations

• Verifications: Detail 3D

References

1. Wu, D.; Wang, Y.; Qiu, Y.; Zhang, J.; Wan, Y.-K. Determination of Mohr–Coulomb Parameters from Nonlinear Strength Criteria for 3D Slopes. Math. Probl. Eng. 2019, 6927654.
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4. Fan, Q.; Gu, S.C.; Wang, B.N.; Huang, R.B. Two Parameter Parabolic Mohr Strength Criterion Applied to Analyze The Results of the Brazilian Test. Appl. Mech. Mater. 2014, 624, 630–634.