Cisaillement

En ce qui concerne la rupture fragile, la vérification du cisaillement est l'une des vérifications importantes d'une section en béton armé.

Procédure de calcul

Le calcul de la résistance au cisaillement est composé de plusieurs parties fondamentales. Dans un premier temps, il convient d'analyser si des fissures dues à la flexion se produisent ou non à l'emplacement vérifié. Le cas échéant, utiliser le calcul conformément à EN 1992-1-1 [2], Article 6.2.2 (1). Dans le cas contraire, on détermine s'il s'agit de béton non armé ou de béton faiblement ferraillé, puis on procède conformément à EN 1992-1-1 Article 12.6.3.

Pour le béton armé non fissuré (sans ferraillage de cisaillement), on vérifie conformément à EN 1992-1-1 Article 6.2.2 (2). Pour les éléments nécessitant un ferraillage de cisaillement, on vérifie conformément à l'Article 6.2.3 [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}\]

Résistance au cisaillement des éléments sans ferraillage de cisaillement

Résistance au cisaillement des éléments en zones fissurées en flexion (art. 6.2.2 (1) [2])

La résistance au cisaillement des éléments en béton armé sans ferraillage de cisaillement soumis à un moment fléchissant est donnée par :

 \[{{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d\]

Cette expression a été définie sur la base d'essais réalisés sur un nombre représentatif de poutres simples en cas de rupture par effort tranchant. Étant donné que la résistance ci-dessus peut être nulle pour les éléments sans ferraillage longitudinal (r_l), des équations ont été dérivées pour les éléments faiblement ferraillés. Étant donné que la résistance ci-dessus peut être nulle pour les éléments sans ferraillage longitudinal (r_l), pour les éléments faiblement ferraillés, elle est déterminée par l'équation

\[{{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d\]

Pour la résistance au cisaillement avec influence de l'effort normal, elle est déterminée par l'équation

\[{{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d\]

La résistance au cisaillement dans son expression complète, correspondant à EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (1)

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d\]

Avec un minimum de

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d\]

où  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          facteur de hauteur de la section transversale 

\[k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0\]

ρ₁      taux de ferraillage longitudinal

\[{{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02\]

f_ck        résistance caractéristique à la compression sur cylindre du béton à 28 jours

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  en MPa

b_w        plus petite largeur de la section transversale dans la zone tendue

d          hauteur utile de la section transversale

υ_min      résistance minimale équivalente au cisaillement υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

Résistance au cisaillement des éléments en zones non fissurées en flexion (art. 6.2.2 (2) [2])

La résistance au cisaillement des éléments en zones non fissurées en flexion peut être déterminée à partir du cercle de Mohr. Dans l'équation

\[{{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}\]

On substitue σ_x = σ_cp et τ_z = V_Rd,c S / (I b_w) et on détermine V_Rd,c, ce qui donne l'équation correspondant à la formule de EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (2)

où  

I           est le moment quadratique de la section,

b_w        est la largeur de la section transversale à l'axe centroïdal

S          est le moment statique de la section au-dessus et par rapport à l'axe centroïdal,

f_ctd        résistance de calcul à la traction axiale du béton en MPa,

 s_cp       est la contrainte de compression du béton à l'axe centroïdal due aux charges et/ou à la précontrainte,

a_l         facteur de longueur de transmission, généralement 1,0.

En relation avec ce qui précède, il convient de noter que dans les zones sans fissures de flexion, la résistance V_Rd ,c peut être significativement plus élevée que dans les zones fissurées conformément à l'Article 6.2.2 (1) [2]. La figure ci-dessous montre clairement que, bien que l'effort tranchant soit vérifié à son extremum (qui ne produit pas de fissures), cela ne garantit pas nécessairement qu'il sera repris sur toute la longueur de la poutre. Cela est dû à un changement de méthode de calcul de la résistance au cisaillement du béton. Par sécurité, la résistance au cisaillement peut bien entendu être considérée conformément à l'Article 6.2.2 (1) [2] également dans les zones où des fissures ne se produiront pas.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}\]

Concernant l'expression de V_Rd, c conformément à l'Article 6.2.2 (2)[2], il convient également de noter que dans le cas général, la vérification doit être basée sur la fibre de contrainte principale de traction extrême du béton dans la zone de contrainte normale de compression, et non au centre de gravité de la section. À ce point, il est nécessaire de calculer les caractéristiques de la section transversale (S et b_W). Pour déterminer la contrainte principale maximale s₁ dans le programme IDEA RCS, on trace une ligne passant par le centre de gravité dans la direction de la résultante des efforts tranchants. Cette ligne est divisée en 20 secteurs. Sur cette ligne, on présente davantage de points caractéristiques (points du polygone de la section transversale, centre de gravité, axe neutre). Entre ces points, on calcule S, b_w, σ_x, τ_yz et σ_1.  Au point de contrainte principale de traction maximale, on calcule la résistance au cisaillement.

L'effort tranchant avant application du facteur de réduction b requis par l'Article 6.2.2 (6) doit satisfaire la condition supplémentaire

\[ {{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}\]

où 

 \[ {{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]\]  où f_ck est en MPa

Résistance au cisaillement des éléments sans ferraillage ou faiblement ferraillés (art. 12.6.3 [2])

La résistance au cisaillement pour le béton non armé ou faiblement ferraillé peut être déterminée à partir de l'expression

\[ {{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}\]

Où

τ_cp est substitué par

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~\]

ou

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~\]

Les valeurs partielles utilisées dans la formule ci-dessus sont données par :

\[ {{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}\]

où  

f_cd,pl     Résistance de calcul à la compression pour le béton non armé ou faiblement ferraillé,

f_ctd,pl    Résistance de calcul à la traction axiale du béton non armé ou faiblement ferraillé,

f_cvd       Résistance de calcul au cisaillement sous compression du béton.

Résistance des éléments avec ferraillage de cisaillement (art. 6.2.3 [2])

Le calcul de la résistance des éléments en béton armé avec ferraillage de cisaillement est basé sur la méthode de l'analogie du treillis à diagonales d'angle variable. Le principe de cette méthode repose sur l'équilibre des forces dans le triangle déterminé par la force de la bielle (diagonale), la force du ferraillage de cisaillement (étrier) et la force du ferraillage longitudinal.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}\]

La section transversale soumise à un effort tranchant est traversée par des fissures à un angle θ ; pour cette raison, la bielle comprimée en béton, de même angle que les efforts tranchants, résiste à l'effort tranchant. L'effort de compression de la diagonale peut être exprimé comme V_ed/sinθ. Cet effort doit être transmis par la surface de béton perpendiculaire à la diagonale comprimée b_wzcosθ. La contrainte de compression du béton dans la diagonale comprimée est alors égale à :

\[ {{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)\]

En substituant \[{{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}\]  et \[{{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}\] et en exprimant \[{{V}_{Rd,max}}\] on obtient l'équation de la résistance au cisaillement de la diagonale :

\[ {{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)\]

Pour équilibrer la composante verticale de la force dans la diagonale comprimée, le ferraillage de cisaillement est utilisé. La valeur de la force verticale est basée sur la contrainte de compression de la diagonale dans la zone de béton correspondant à un seul étrier - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. La force limite de l'étrier est donnée par \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

En insérant σ_c, en comparant avec la force limite dans le ferraillage, après modifications on obtient :

\[ \frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta\]

En exprimant ensuite V_ed comme V_RDs on obtient la résistance de la section transversale avec ferraillage de cisaillement vertical :

\[ {{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta\]

L'effort tranchant longitudinal est repris par le ferraillage longitudinal et peut être déterminé comme V_edcotgθ. La dérivation des formules ci-dessus peut être trouvée dans [4].

En utilisant le programme IDEA RCS, il est possible de vérifier uniquement les éléments avec ferraillage de cisaillement vertical. En général, les équations suivantes peuvent être utilisées :

\[{{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha\]

\[{{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)\]

Où  

A_sw      est la section transversale du ferraillage de cisaillement,

s           est l'espacement des étriers,

f_ywd      est la résistance de calcul à la limite d'élasticité du ferraillage de cisaillement,

b_w        est la largeur minimale entre les membrures tendue et comprimée. Pour calculer la résistance V_Rd,max , la valeur de la largeur de la section doit être réduite à la largeur nominale de la section transversale dans le cas où la section transversale est affaiblie par des gaines de câbles

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ pour les gaines métalliques injectées

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ pour les gaines métalliques non injectées           

υ          = 0,6 pour f_ck ≤ 60MPa ou pour f_ck > 60MPa,

α_cw       est un coefficient tenant compte de l'état de contrainte dans la membrure comprimée.

Tab. 1‑1 Détermination du coefficient α_cw

L'angle θ est l'angle entre la bielle comprimée en béton et l'axe de la poutre perpendiculaire à l'effort tranchant. Les valeurs limites de cotθ applicables dans un pays peuvent être trouvées dans son Annexe Nationale. Les limites recommandées sont données par l'expression :

\[1~\le ~\cot \theta \le 2,5\]

Le choix de la valeur de l'angle θ peut influencer la valeur des résistances. La dépendance des résistances est visible sur la Figure 1.15. La figure montre qu'avec l'augmentation de l'angle θ, la résistance V_Rd,max  augmente, et la résistance V_Rd,s diminue. La résistance V_Rd,c est constante, car elle est basée sur la méthode de l'analogie du treillis.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}\]

Calcul des caractéristiques de la section transversale pour le cisaillement

Pour calculer le cisaillement, il est important de déterminer les variables de la section transversale influençant la résistance au cisaillement. Ces variables comprennent principalement la largeur de la section résistant au cisaillement b_w, la hauteur utile d et le bras de levier z. La norme [2] donne ces valeurs qui sont directement corrélées avec la contrainte de flexion réelle. Mais le problème est de déterminer ces valeurs lorsque la direction de la résultante des moments fléchissants (ou plus précisément la direction de la résultante de la résistance de la section) est significativement différente de la direction de la résultante des efforts tranchants. Dans ce cas, la norme EC2 ne fournit aucune recommandation.

Largeur de la section transversale résistant au cisaillement b_w

Le programme IDEA RCS calcule la largeur de la section transversale résistant au cisaillement dans la direction perpendiculaire à la résultante des efforts tranchants. Selon l'article de l'Eurocode, cette largeur est calculée comme suit :
-  La plus petite largeur de la section entre la résultante du béton comprimé et le ferraillage tendu dans la direction perpendiculaire à la résultante des efforts tranchants pour l'article 6.2.2 (a) et 6.2.3 (1)
- La largeur de la section dans une direction perpendiculaire à la résultante des efforts tranchants au point vérifié conformément à l'article 6.2.2 (2)

Hauteur utile de la section transversale

La hauteur utile est généralement définie comme la distance entre la fibre de béton la plus comprimée et le centre de gravité du ferraillage. Étant donné qu'elle est directement liée à la flexion, la distance est donnée comme la projection perpendiculaire sur la ligne de gravité du plan de déformation.

Cette définition peut être précisée de sorte qu'au lieu du centre de gravité du ferraillage tendu, on utilise la position de la résultante des forces dans le ferraillage. Lors du développement du programme IDEA RCS, le problème suivant a été résolu : comment définir la hauteur utile de la section transversale pour laquelle le plan des charges de flexion ne correspond pas à la direction de la résultante des efforts tranchants. Par conséquent, la hauteur utile est définie comme la distance entre la fibre de béton la plus comprimée et la résultante des forces dans le ferraillage tendu (basée sur la contrainte de flexion) dans la direction de la résultante des efforts tranchants, voir Figure 1.17.

Des cas exceptionnels se produiront si nous ne sommes pas en mesure de déterminer la fibre comprimée ou la résultante dans le ferraillage tendu. Dans ce cas, nous recommandons d'utiliser la valeur 0,9 h (90% de la hauteur de la section dans la direction de la résultante des efforts tranchants). Cette valeur peut être définie par l'utilisateur dans le programme IDEA RCS via le paramétrage des variables normatives.

Bras de levier des forces intérieures

Le bras de levier des forces intérieures est défini en 6.2.3 (3) [2] comme la « distance entre les membrures tendue et comprimée ». La norme ne définit pas comment procéder lorsque le plan du moment fléchissant agissant est différent de la direction de la résultante des efforts tranchants. Par conséquent, comme pour le cas de la hauteur utile, nous définissons la distance dans la direction de la résultante des efforts tranchants. Ici également, nous pouvons rencontrer des cas d'exception similaires, par exemple, toute la section est en compression, etc. Dans ce cas, on prend la valeur 0,9 d (90% de la hauteur utile de la section). Cette valeur peut être définie par l'utilisateur dans le programme IDEA RCS via le paramétrage des variables normatives.

La dépendance entre l'inclinaison du plan de flexion et la résultante de l'effort tranchant est clairement visible sur les Figures 1.18 et 1.19. Avec l'augmentation de l'inclinaison, les valeurs de la hauteur utile, des bras de levier et des résistances associées diminuent. L'état limite est à 90°. Pour cette inclinaison, le bras de levier des forces intérieures ne peut pas être calculé, par conséquent le bras de levier est égal à zéro. Dans ce cas, la valeur spécifiée dans le paramétrage des variables normatives est prise en compte. Cela provoque un saut à la fin du graphique. Cette étude confirme que l'inclinaison maximale recommandée est d'environ 20°.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}\]

Dans le cadre des tests de l'application RCS, une étude sur la dépendance de la résistance au cisaillement en fonction de la variation de l'effort normal a été réalisée. La résistance V_Rd,max est affectée uniquement par le coefficient α_cw, voir Fig. 1.20. La Fig. 1.21 montre une valeur constante de la résistance V_Rds. Pour la résistance V_Rdc, les diminutions sont causées par l'augmentation de l'effort normal. La courbe bleue de la Fig. 1.21 montre la résistance V_Rdc en négligeant l'influence des fissures et a été calculée à l'aide de la formule de la section 6.2.2 (1) [2]. Le saut dans la transition entre la compression et la traction est causé par le ferraillage tendu contributif. La courbe rouge est calculée à l'aide de la formule de la section 6.2.2 (2) [2]. Après l'apparition de la première fissure, la courbe de dépendance est identique à celle de 6.2.2 (1) [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}\]