Afschuiving

Met betrekking tot bros bezwijken is de afschuivingscontrole een van de belangrijke controles van een gewapend betonnen doorsnede.

Berekeningsprocedure

De berekening van de afschuivingsweerstand is opgebouwd uit verschillende basisonderdelen. Eerst dient te worden nagegaan of er scheuren door buiging optreden of niet op de gecontroleerde locatie. Indien van toepassing, gebruik de berekening conform EN 1992-1-1 [2], Artikel 6.2.2 (1). Anders wordt bepaald of het ongewapend beton of licht gewapend beton betreft, waarna wordt voortgegaan conform EN 1992-1-1 Artikel 12.6.3. 

Voor gewapend ongescheurd beton (zonder afschuivingswapening) wordt gecontroleerd conform EN 1992-1-1 Artikel 6.2.2 (2). Voor staven, waarbij afschuivingswapening vereist is, wordt gecontroleerd conform Artikel 6.2.3 [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}\]

Afschuivingsweerstand van staven zonder afschuivingswapening

Afschuivingsweerstand van staven in gescheurde buigingszones (art. 6.2.2 (1) [2])

De afschuivingsweerstand van gewapend betonnen staven zonder afschuivingswapening onderworpen aan een buigend moment wordt gegeven door:

 \[{{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d\]

Deze formule is bepaald op basis van proeven uitgevoerd op een representatief aantal enkelvoudige liggers bij bezwijken door dwarskracht. Omdat de bovenstaande weerstand nul kan zijn voor staven zonder langswapening (r_l), zijn voor licht gewapende staven vergelijkingen afgeleid. Omdat de bovenstaande weerstand nul kan zijn voor staven zonder langswapening (r_l), is voor de licht gewapende staven de weerstand bepaald door de vergelijking

\[{{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d\]

Voor de afschuivingsweerstand met invloed van normaalkracht werd de vergelijking bepaald door

\[{{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d\]

De afschuivingsweerstand in zijn volledige uitdrukking, overeenkomend met EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (1)

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d\]

Met als minimum

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d\]

waarbij  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          hoogte-factor van de doorsnede 

\[k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0\]

ρ₁      wapeningsverhouding voor langswapening

\[{{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02\]

f_ck        karakteristieke cilinderdruksterkte van beton op 28 dagen

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  in MPa

b_w        kleinste breedte van de doorsnede in de trekzone

d          nuttige hoogte van een doorsnede

υ_min      minimale equivalente afschuivingssterkte υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

Afschuivingsweerstand van staven in ongescheurde buigingszones (art. 6.2.2 (2) [2])

De afschuivingsweerstand van staven in ongescheurde buigingszones kan worden bepaald uit de cirkel van Mohr. In de vergelijking

\[{{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}\]

Substitueren we σ_x = σ_cp en τ_z = V_Rd,c S / (I b_w) en leiden we V_Rd,c af, wat resulteert in een vergelijking overeenkomend met de formule in EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (2)

waarbij  

I           het tweede moment van oppervlak is,

b_w        de breedte van de doorsnede ter hoogte van de zwaartepuntsas is

S          het eerste moment van oppervlak boven en ten opzichte van de zwaartepuntsas is,

f_ctd        rekenwaarde van de axiale treksterkte van beton in MPa,

 s_cp       de drukspanning in het beton ter hoogte van de zwaartepuntsas ten gevolge van belasting en/of voorspanning is,

a_l         overdrachtslengtefactor, doorgaans 1,0.

In verband met het bovenstaande dient te worden opgemerkt dat in gebieden zonder buigscheuren de weerstand V_Rd ,c  aanzienlijk hoger kan zijn dan in gescheurde gebieden conform Artikel 6.2.2 (1) [2]. De onderstaande figuur toont duidelijk dat hoewel de dwarskracht wordt gecontroleerd op zijn extreme waarde (waarbij geen scheuren optreden), dit niet noodzakelijkerwijs garandeert dat deze over de gehele liggerlengte kan worden overgedragen. Dit is te wijten aan een verandering in de methode voor het berekenen van de afschuivingsweerstand van het beton. Aan de veilige kant kan de afschuivingsweerstand uiteraard worden beschouwd conform Artikel 6.2.2 (1) [2] ook op plaatsen waar geen scheuren zullen optreden.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}\]

Bij de uitdrukking van V_Rd, c  conform Artikel 6.2.2 (2)[2] dient ook te worden opgemerkt dat in het algemene geval de controle dient te worden gebaseerd op de vezel met de extreme hoofdtrekspanning in het beton in de zone met normale drukspanning, maar niet op het zwaartepunt van de doorsnede. Op dit punt is het noodzakelijk de doorsnede-eigenschappen (S en b_W) te berekenen. Om de maximale hoofdspanning s₁ in het programma IDEA RCS te bepalen, trekken we een lijn door het zwaartepunt in de richting van de resulterende dwarskrachten. Deze lijn verdelen we in 20 segmenten. Op deze lijn presenteren we meer karakteristieke punten (punten van het doorsnede-polygoon, zwaartepunt, de neutrale lijn). Binnen deze punten berekenen we S, b_w, σ_x, τ_yz en σ_1.  Op het punt van maximale hoofdtrekspanning berekenen we de afschuivingsweerstand.

De dwarskracht vóór toepassing van de reductiefactor b vereist door Artikel 6.2.2 (6) moet voldoen aan de aanvullende voorwaarde

\[ {{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}\]

waarbij 

 \[ {{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]\]  waarbij f_ck in MPa

Afschuivingsweerstand van staven zonder wapening of licht gewapend (art. 12.6.3 [2])

De afschuivingsweerstand voor ongewapend beton of licht gewapend beton kan worden bepaald uit de uitdrukking

\[ {{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}\]

Waarbij

τ_cp wordt vervangen door

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~\]

of

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~\]

De deelwaarden gebruikt in de bovenstaande formule worden gegeven door:

\[ {{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}\]

waarbij  

f_cd,pl     Rekenwaarde van de druksterkte  voor ongewapend beton of licht gewapend beton,

f_ctd,pl    Rekenwaarde van de axiale treksterkte van ongewapend beton of licht gewapend beton,

f_cvd       Rekenwaarde van de afschuivingsweerstand onder betondruk.

De weerstand van staven met afschuivingswapening (art. 6.2.3 [2])

De berekening van de weerstand van gewapend betonnen staven met afschuivingswapening is gebaseerd op de vakwerk analogiemethode met variabele hoek van de diagonalen. De basis van deze methode is het evenwicht van krachten in de driehoek bepaald door de drukdiagonaalkracht (diagonaal), de afschuivingswapeningskracht (beugel) en de langswapeningskracht.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}\]

Een doorsnede onder afschuivingsbelasting wordt gebroken door scheuren onder een hoek θ, om deze reden weerstaat de betonnen diagonaal met dezelfde hoek als de dwarskrachten de dwarskracht. De druk kracht van de diagonaal kan worden uitgedrukt als V_ed/sinθ. Deze kracht moet worden overgedragen door het betonoppervlak, loodrecht op de drukdiagonaal b_wzcosθ. De betondrukspanning in de drukdiagonaal is dan gelijk aan:

\[ {{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)\]

Door substitutie van \[{{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}\]  en \[{{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}\] en het uitdrukken van \[{{V}_{Rd,max}}\] verkrijgen we de vergelijking voor de afschuivingsweerstand van de diagonaal:

\[ {{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)\]

Om de verticale krachtcomponent in de drukdiagonaal te balanceren, wordt afschuivingswapening gebruikt. De grootte van de verticale kracht is gebaseerd op de diagonale drukspanning in het betonoppervlak dat overeenkomt met één enkele beugel - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. De grensbeugel kracht is gegeven als \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

Door σ_c in te vullen, te vergelijken met de grenskracht in de wapening, na bewerkingen verkrijgen we:

\[ \frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta\]

Door vervolgens V_ed uit te drukken als V_RDs verkrijgen we de weerstand van de doorsnede met verticale afschuivingswapening:

\[ {{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta\]

De langse dwarskracht wordt overgedragen door de langswapening en kan worden bepaald als V_edcotgθ. De afleiding van bovenstaande formules is te vinden in [4].

Met het programma IDEA RCS is het alleen mogelijk staven met verticale afschuivingswapening te controleren. In het algemeen kunnen de volgende vergelijkingen worden gebruikt:

\[{{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha\]

\[{{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)\]

Waarbij  

A_sw      is de doorsnede-oppervlakte van de afschuivingswapening,

s           is de hartafstand van de beugelwapening,

f_ywd      is de rekenwaarde van de vloeispanning van de afschuivingswapening,

b_w        is de minimale breedte tussen de trek- en drukflens. Voor de berekening van de weerstand V_Rd,max moet de waarde van de doorsnedebreedte worden gereduceerd tot de zogenaamde nominale breedte van de doorsnede indien de doorsnede is verzwakt door kabelkanalen

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ voor injecteerbare metalen kabelkanalen

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ voor niet-injecteerbare metalen kabelkanalen           

υ          = 0,6 voor f_ck ≤ 60MPa of  voor f_ck > 60MPa,

α_cw       is een coëfficiënt die rekening houdt met de spanningstoestand in de drukflens.

Tab. 1‑1 Bepaling van coëfficiënt α_cw

Hoek θ is de hoek tussen de betonnen drukdiagonaal en de liggeraas loodrecht op de dwarskracht. De grenswaarden van cotθ voor gebruik in een land kunnen worden gevonden in de nationale bijlage. De aanbevolen grenzen worden gegeven door de uitdrukking:

\[1~\le ~\cot \theta \le 2,5\]

De keuze van de grootte van de hoek θ kan de waarde van de weerstanden beïnvloeden. De afhankelijkheid van de weerstanden is zichtbaar in Figuur 1.15. De figuur toont dat bij toenemende hoek θ de weerstand V_Rd,max  toeneemt, en de weerstand V_Rd,s afneemt. Weerstand V_Rd,c is constant, omdat deze is gebaseerd op de vakwerkanalogiemethod.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}\]

Berekening van doorsnede-eigenschappen voor afschuiving

Voor de berekening van de afschuiving is het belangrijk de doorsnede-variabelen te berekenen die de afschuivingsweerstand beïnvloeden. Deze variabelen omvatten voornamelijk de afschuivingsweerstandbiedende doorsnedebreedte b_w, de nuttige hoogte d en de inwendige momentarm z. De norm [2] geeft deze waarden die direct correleren met de werkelijke buigspanning. Het probleem is echter het bepalen van deze waarden wanneer de richting van het resulterende buigend moment (of nauwkeuriger de richting van de resultante van de doorsnedeweerstand) aanzienlijk afwijkt van de richting van de resulterende dwarskrachten. In dit geval geeft de EC2-norm geen aanbevelingen.

Doorsnedebreedte die weerstand biedt aan afschuiving b_w

Het IDEA RCS programma berekent de doorsnedebreedte die weerstand biedt aan afschuiving in de richting loodrecht op de resultante van de dwarskrachten. Afhankelijk van het artikel in de Eurocode wordt deze breedte berekend als:
-  De kleinste breedte van de doorsnede tussen de resultante van het gedrukte beton en de getrokken wapening in de richting loodrecht op de resultante van de dwarskrachten voor artikel 6.2.2 (a) en 6.2.3 (1)
- De doorsnedebreedte in een richting loodrecht op de resultante van de dwarskrachten in het gecontroleerde punt conform artikel 6.2.2 (2)

Nuttige hoogte van een doorsnede

De nuttige hoogte wordt doorgaans gedefinieerd als de afstand van de meest gedrukte betonvezel tot het zwaartepunt van de wapening. Omdat deze direct gerelateerd is aan de buiging, wordt de afstand gegeven als de loodrechte projectie op de zwaartekrachtlijn van het vlak van de vlakke doorsnede. 

Deze definitie kan worden verduidelijkt zodat in plaats van het zwaartepunt van de getrokken wapening de positie van de resultante van de wapeningskrachten wordt gebruikt. Tijdens de ontwikkeling van het IDEA RCS programma werd het probleem opgelost: hoe de nuttige hoogte van de doorsnede te definiëren, waarbij het vlak van de buigbelastingen niet overeenkomt met de richting van de resulterende dwarskrachten. Daarom wordt de nuttige hoogte gedefinieerd als de afstand van de meest gedrukte betonvezel  tot de resultante van de krachten in de getrokken wapening  (gebaseerd op buigspanning) en in de richting van de resulterende dwarskrachten, zie Figuur 1.17.

Uitzonderlijke gevallen doen zich voor als we niet in staat zijn de gedrukte vezel of de resultante in de getrokken wapening te bepalen. In dit geval adviseren we de waarde 0,9 h te gebruiken (90% van de doorsnedehoogte in de richting van de resulterende dwarskrachten). Deze waarde kan de gebruiker instellen in het IDEA RCS programma via de instelling van de norm-variabelen.

Inwendige momentarm

De inwendige momentarm is opgenomen in 6.2.3 (3) [2] en wordt gedefinieerd als de "afstand tussen de trek- en drukflens".  De norm definieert niet hoe te handelen wanneer  het vlak van het werkende buigend moment verschilt van de richting van de resulterende dwarskrachten. Daarom, zoals bij de nuttige hoogte, definiëren we de afstand in de richting van de resulterende dwarskrachten. Ook hier kunnen zich vergelijkbare uitzonderingsgevallen voordoen, bijvoorbeeld wanneer de gehele doorsnede onder druk staat, enz. In dit geval nemen we de waarde 0,9 d (90% van de nuttige doorsnedehoogte). Deze waarde kan de gebruiker instellen in het IDEA RCS programma via de instelling van de norm-variabelen.

De afhankelijkheid tussen de hellingshoek van het buigvlak en de resultante van de dwarskracht is duidelijk zichtbaar in Figuur 1.18 en Figuur 1.19. Bij toenemende hellingshoek nemen de waarden van de nuttige hoogte, de momentarmen en de bijbehorende weerstanden af. De grenstoestand is 90°. Voor deze hellingshoek kan de inwendige momentarm niet worden berekend, waardoor de momentarm gelijk is aan nul. In dit geval wordt de waarde gespecificeerd in de instelling van de norm-variabelen gehanteerd. Hierdoor ontstaat een sprong aan het einde van de grafiek. Deze studie bevestigt dat de aanbevolen maximale hellingshoek circa 20° bedraagt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}\]

Als onderdeel van het testen van de RCS applicatie werd een studie uitgevoerd naar de afhankelijkheid van de afschuivingsweerstand bij verandering van de normaalkracht. Weerstand V_Rd,max wordt beïnvloed alleen door de coëfficiënt α_cw, zie Fig. 1.20. Fig. 1.21 toont een constante waarde van weerstand V_Rds. Voor V_Rdc weerstand veroorzaakt de toename van de normaalkracht een afname. De blauwe curve in Fig. 1.21 toont de weerstand V_Rdc waarbij de invloed van scheuren wordt verwaarloosd en deze werd berekend met de formule in paragraaf 6.2.2 (1) [2]. De sprong bij de overgang tussen druk en trek wordt veroorzaakt door de bijdragende getrokken wapening. De rode curve wordt berekend met de formule in paragraaf 6.2.2 (2) [2]. Na het optreden van de eerste scheur is de afhankelijkheidscurve gelijk aan die voor 6.2.2 (1) [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}\]