Con respecto al fallo frágil, la verificación del cortante es una de las verificaciones importantes de una sección de hormigón armado.
Procedimiento de cálculo
El cálculo de la resistencia a cortante se compone de varias partes básicas. En primer lugar, debemos analizar si se producen o no fisuras por flexión en la sección comprobada. En caso afirmativo, se utiliza el cálculo según EN 1992-1-1 [2], Artículo 6.2.2 (1). En caso contrario, determinamos si se trata de hormigón en masa o de hormigón con escasa armadura, y procedemos de acuerdo con EN 1992-1-1 Artículo 12.6.3.
Para el hormigón armado sin fisuras (sin armadura de cortante) se verifica según EN 1992-1-1 Artículo 6.2.2 (2). Para los elementos en los que se requiere armadura de cortante, se verifica según el Artículo 6.2.3 [2].
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}\]
Resistencia a cortante de elementos sin armadura de cortante
Resistencia a cortante de elementos en zonas de flexión fisuradas (art. 6.2.2 (1) [2])
La resistencia a cortante de elementos de hormigón armado sin armadura de cortante sometidos a momento flector viene dada por:
\[{{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d\]
Que fue definida sobre la base de ensayos realizados en un número representativo de vigas simples en caso de fallo por fuerza cortante. Dado que la resistencia anterior puede ser cero para elementos sin armadura longitudinal (rl), para elementos con escasa armadura se derivaron ecuaciones. Dado que la resistencia anterior puede ser cero para elementos sin armadura longitudinal (rl), para los elementos con escasa armadura se determinó mediante la ecuación
\[{{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d\]
Para la resistencia a cortante con influencia de la fuerza normal se determinó mediante la ecuación
\[{{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d\]
La resistencia a cortante en su expresión completa, que corresponde con EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (1)
\[{{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d\]
Con un mínimo de
\[{{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d\]
donde
CRd,c = 0,18 / γc,
k factor de altura de la sección transversal
\[k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0\]
ρ1 cuantía de armadura longitudinal
\[{{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02\]
fck resistencia característica a compresión en probeta cilíndrica del hormigón a 28 días
k1 = 0,15
σcp = NEd / Ac < 0,2 fcd en MPa
bw anchura mínima de la sección transversal en la zona traccionada
d canto útil de la sección transversal
υmin resistencia mínima equivalente a cortante υmin = 0.035 k3/2 fck1/2
Resistencia a cortante de elementos en zonas de flexión sin fisuras (art. 6.2.2 (2) [2])
La resistencia a cortante de elementos en zonas de flexión sin fisuras puede determinarse a partir del círculo de Mohr. En la ecuación
\[{{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}\]
Sustituimos σx = σcp y τz = VRd,c S / (I bw) y despejamos VRd,c, obteniendo la ecuación correspondiente a la fórmula dada en EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (2)
donde
I es el momento de inercia de segundo orden,
bw es el ancho de la sección transversal en el eje centroidal
S es el momento estático del área por encima y respecto al eje centroidal,
fctd resistencia de cálculo a tracción axial del hormigón en MPa,
scp es la tensión de compresión del hormigón en el eje centroidal debida a las cargas y/o al pretensado,
al factor de longitud de transmisión, normalmente 1,0.
En relación con lo anterior, debe señalarse que en zonas sin fisuras de flexión la resistencia VRd ,c puede ser significativamente mayor que en zonas fisuradas según el Artículo 6.2.2 (1) [2]. La figura siguiente muestra claramente que, aunque la fuerza cortante se verifica en su valor extremo (que no produce fisuras), no es necesariamente suficiente para garantizar que se transmitirá a lo largo de toda la longitud de la viga. Esto se debe a un cambio en el método de cálculo de la resistencia a cortante del hormigón. Del lado de la seguridad, por supuesto, la resistencia a cortante puede considerarse según el Artículo 6.2.2 (1) [2] también en los lugares donde no se producirán fisuras.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}\]
Respecto a la expresión de VRd, c según el Artículo 6.2.2 (2)[2], también debe señalarse que en el caso general debe basarse en la verificación en la fibra de máxima tensión principal de tracción del hormigón en la zona de tensión normal de compresión, pero no en el centro de gravedad de la sección. En este punto es necesario calcular las características de la sección transversal (S y bW). Para determinar la tensión principal máxima s1 en el programa IDEA RCS trazamos una línea a través del centro de gravedad en la dirección de la resultante de las fuerzas cortantes. Esta línea la dividimos en 20 sectores. En esta línea presentamos más puntos característicos (puntos del polígono de la sección transversal, centro de gravedad, eje neutro). Dentro de estos puntos calculamos S, bw, σx, τyz y σ1. En el punto de máxima tensión principal de tracción calculamos la resistencia a cortante.
La fuerza cortante antes de aplicar el factor de reducción b requerido por el Artículo 6.2.2 (6) debe satisfacer la condición adicional
\[ {{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}\]
donde
\[ {{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]\] donde fck está en MPa
Resistencia a cortante de elementos sin armadura o con escasa armadura (art. 12.6.3 [2])
La resistencia a cortante para hormigón en masa o con escasa armadura puede determinarse a partir de la expresión
\[ {{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}\]
Donde
τcp se sustituye por
\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~\]
o
\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~\]
Los valores parciales utilizados en la fórmula anterior vienen dados por:
\[ {{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}\]
donde
fcd,pl Resistencia de cálculo a compresión para hormigón en masa o con escasa armadura,
fctd,pl Resistencia de cálculo a tracción axial del hormigón en masa o con escasa armadura,
fcvd Resistencia de cálculo a cortante bajo compresión del hormigón.
La resistencia de elementos con armadura de cortante (art. 6.2.3 [2])
El cálculo de la resistencia de elementos de hormigón armado con armadura de cortante se basa en el método de la analogía de la celosía con diagonales de ángulo variable. La base de este método es el equilibrio de fuerzas en el triángulo determinado por la fuerza de la biela comprimida (diagonal), la fuerza de la armadura de cortante (estribo) y la fuerza de la armadura longitudinal.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}\]
La sección transversal sometida a carga cortante se fisura con un ángulo θ, por esta razón la diagonal de hormigón con el mismo ángulo que las fuerzas cortantes resiste la fuerza cortante. La fuerza de compresión de la diagonal puede expresarse como Ved/sinθ. Esta fuerza debe ser transmitida por la superficie de hormigón, perpendicular a la diagonal comprimida bwzcosθ. La tensión de compresión del hormigón en la diagonal comprimida es entonces igual a:
\[ {{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta \right)\]
Sustituyendo \[{{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}\] y \[{{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}\] y expresando \[{{V}_{Rd,max}}\] obtenemos la ecuación para la resistencia a cortante de la diagonal:
\[ {{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta \right)\]
Para equilibrar la componente vertical de la fuerza en la diagonal comprimida, se utilizará la armadura de cortante. El valor de la fuerza vertical se basa en la tensión de compresión diagonal en el área de hormigón correspondiente a un solo estribo - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. La fuerza límite del estribo viene dada como \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\].
Insertando σc, comparando con la fuerza límite en la armadura, tras las modificaciones obtenemos:
\[ \frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta\]
Expresando entonces Ved como VRDs obtenemos la resistencia de la sección transversal con armadura de cortante vertical:
\[ {{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta\]
La fuerza cortante longitudinal es transmitida por la armadura longitudinal y puede determinarse como Vedcotgθ. La derivación de las fórmulas anteriores puede encontrarse en [4].
Usando el programa IDEA RCS es posible verificar únicamente elementos con armadura de cortante vertical. En general pueden utilizarse las siguientes ecuaciones:
\[{{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha \right)\sin \alpha\]
\[{{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta \right)\]
Donde
Asw es el área de la sección transversal de la armadura de cortante,
s es la separación de los estribos,
fywd es la resistencia de cálculo a fluencia de la armadura de cortante,
bw es el ancho mínimo entre los cordones de tracción y compresión. Para calcular la resistencia VRd,max , el valor del ancho de la sección debe reducirse al denominado ancho nominal de la sección transversal en caso de que la sección transversal esté debilitada por conductos de cables
bw,nom=bw-0,5ΣΦ para conductos metálicos inyectados
bw,nom=bw-1,2ΣΦ para conductos metálicos no inyectados
υ = 0,6 para fck ≤ 60MPa o para fck > 60MPa,
αcw es un coeficiente que tiene en cuenta el estado de tensión en el cordón comprimido.
| Carga | σcp = 0 | 0 < σcp≤0,25 fcd | 0,25 fcd < σcp≤0,5 fcd | 0,5 fcd < σcp≤1,0 fcd |
| Coeficiente acw | 1,0 | 1+σcp/fcd | 1,25 | 2,5(1 - σcp/fcd) |
Tab. 1‑1 Determinación del coeficiente αcw
El ángulo θ es el ángulo entre la biela comprimida de hormigón y el eje de la viga perpendicular a la fuerza cortante. Los valores límite de cotθ para su uso en cada país pueden encontrarse en su Anejo Nacional. Los límites recomendados vienen dados por la expresión:
\[1~\le ~\cot \theta \le 2,5\]
La elección del valor del ángulo θ puede afectar al valor de las resistencias. La dependencia de las resistencias es visible en la Figura 1.15. La figura muestra que con el aumento del ángulo θ la resistencia VRd,max aumenta, y la resistencia VRd,s disminuye. La resistencia VRd,c es constante, ya que se basa en el método de la analogía de la celosía.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}\]
Cálculo de las características de la sección transversal para cortante
Para calcular el cortante es importante calcular las variables de la sección transversal que afectan a la resistencia a cortante. Estas variables incluyen principalmente el ancho de la sección resistente al cortante bw, el canto útil d y el brazo mecánico z. La norma [2] proporciona estos valores que se correlacionan directamente con la tensión de flexión real. Pero el problema es determinar estos valores cuando la dirección de los momentos flectores resultantes (o más exactamente la dirección de la resultante de la resistencia de la sección) es significativamente diferente de la dirección de las fuerzas cortantes resultantes. En este caso, la norma EC2 no proporciona ninguna recomendación.
Ancho de la sección transversal resistente al cortante bw
El programa IDEA RCS calcula el ancho de la sección transversal resistente al cortante en la dirección perpendicular a la resultante de las fuerzas cortantes. Dependiendo del artículo del Eurocódigo, este ancho se calcula como:
- El ancho mínimo de la sección entre la resultante del hormigón comprimido y la armadura traccionada en la dirección perpendicular a la resultante de las fuerzas cortantes para el artículo 6.2.2 (a) y 6.2.3 (1)
- El ancho de la sección en una dirección perpendicular a la resultante de las fuerzas cortantes en el punto verificado según el artículo 6.2.2 (2)
Canto útil de la sección transversal
El canto útil se define habitualmente como la distancia desde la fibra de hormigón más comprimida hasta el centro de gravedad de la armadura. Dado que está directamente relacionado con la flexión, la distancia se da como proyección perpendicular a la línea de gravedad del plano de deformación.
Esta definición puede precisarse de modo que, en lugar del centro de gravedad de la armadura traccionada, se utilice la posición de la resultante de fuerzas de la armadura. Durante el desarrollo del programa IDEA RCS se resolvió el problema: cómo definir el canto útil de la sección transversal cuando el plano de las cargas de flexión no coincide con la dirección de la resultante de las fuerzas cortantes. Por tanto, el canto útil se define como la distancia desde la fibra de hormigón más comprimida hasta la resultante de fuerzas en la armadura traccionada (basada en la tensión de flexión) y en la dirección de la resultante de las fuerzas cortantes, véase la Figura 1.17.
Se producirán casos excepcionales si no es posible determinar la fibra comprimida o la resultante en la armadura traccionada. En este caso, se recomienda utilizar el valor 0,9 h (90% del canto de la sección en la dirección de la resultante de las fuerzas cortantes). Este valor puede definirlo el usuario en el programa IDEA RCS mediante la configuración de las variables normativas.
Brazo mecánico de las fuerzas internas
El brazo mecánico de las fuerzas internas se recoge en 6.2.3 (3) [2] y se define como la "distancia entre los cordones de tracción y compresión". La norma no define cómo proceder cuando el plano del momento flector actuante es diferente de la dirección de la resultante de las fuerzas cortantes. Por tanto, al igual que en el caso del canto útil, definimos la distancia en la dirección de la resultante de las fuerzas cortantes. También aquí pueden presentarse casos excepcionales similares, por ejemplo, cuando toda la sección está bajo compresión, etc. En este caso, se toma el valor 0,9 d (90% del canto útil de la sección). Este valor puede configurarlo el usuario en el programa IDEA RCS mediante la configuración de las variables normativas.
La dependencia entre la inclinación del plano de flexión y la resultante de la fuerza cortante es claramente visible en la Figura 1.18 y la Figura 1.19. Con el aumento de la inclinación, los valores del canto útil, los brazos mecánicos y las resistencias relacionadas disminuyen. El estado límite es 90°. Para esta inclinación no puede calcularse el brazo mecánico de las fuerzas internas, por lo que el brazo mecánico es igual a cero. En este caso, se considera el valor especificado en la configuración de las variables normativas. Con ello, se produce un salto al final del gráfico. Este estudio demuestra que la inclinación máxima recomendada es de aproximadamente 20°.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}\]
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}\]
Como parte de las pruebas de la aplicación RCS, se realizó un estudio sobre la dependencia de la resistencia a cortante respecto a la variación de la fuerza normal. La resistencia VRd,max se ve afectada únicamente por el coeficiente αcw, véase la Fig. 1.20. La Fig. 1.21 muestra un valor constante de la resistencia VRds. Para la resistencia VRdc, las disminuciones son causadas por el aumento de la fuerza normal. La curva azul de la Fig. 1.21 muestra la resistencia VRdc sin tener en cuenta la influencia de las fisuras y fue calculada utilizando la fórmula del apartado 6.2.2 (1) [2]. El salto en la transición entre compresión y tracción es causado por la armadura traccionada contribuyente. La curva roja se calcula utilizando la fórmula del apartado 6.2.2 (2) [2]. Tras la aparición de la primera fisura, la curva de dependencia es la misma que para 6.2.2 (1) [2].
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}\]
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}\]