Metoda bezpośredniej sztywności

Motywacja

Dogłębne zrozumienie Metody Elementów Skończonych (MES) jest kluczowe zarówno dla zapewnienia prawidłowych danych wejściowych, jak i właściwej prezentacji wyników. Głównym celem niniejszego artykułu jest wyjaśnienie, w jaki sposób macierz jest składana w tle każdego oprogramowania MES oraz jak sztywność obrotowa może wpływać na globalne zachowanie konstrukcji. Artykuł ten stanowi wprowadzenie do nadchodzącego artykułu, w którym wszystkie ustalenia zostaną zastosowane do konstrukcji przy użyciu IDEA StatiCa Connection.

Metoda bezpośredniej sztywności – połączenia sztywne

Przyjrzyjmy się prostemu przykładowi konstrukcji pokazanej na rysunku 1. Konstrukcja składa się ze słupa i belki o identycznych właściwościach przekroju HEA 200. Każdy węzeł ma trzy stopnie swobody, w tym dwa przesunięcia (X i Z) oraz jeden obrót (Ry). Przestrzeń robocza jest dwuwymiarowa. Materiał to stal o module sprężystości 200 000 MPa.

01) Model sprężynowy – GCS, geometria, aksonometria + przekroje HEA 200

Lokalna macierz sztywności

Macierz sztywności określa zależność między zmianą przemieszczeń (i obrotów) na końcach belki a odpowiadającymi im siłami (reakcjami). Warto zauważyć, że każdy węzeł w przestrzeni 2D ma trzy stopnie swobody (dwa przesunięcia i jeden obrót), co skutkuje lokalną macierzą o wymiarach 6x6. Macierz ta reprezentuje sztywność normalną, sztywność na ścinanie oraz sztywność na zginanie elementu.

02) Lokalna macierz sztywności wszystkich elementów

Macierz transformacji

W 90% konstrukcji lokalna macierz sztywności elementów nie jest zgodna z globalnym układem współrzędnych. Tylko proste belki ułożone w linii prostej mają taki sam Lokalny Układ Współrzędnych (LCS) i Globalny Układ Współrzędnych (GCS). W naszym przypadku trzeci element jest obrócony o 90 stopni wokół węzła drugiego. Transformacja ta jest niezbędna do dalszych obliczeń.

03) Macierz transformacji elementu 1, 2; Macierz transformacji elementu 3

Transformacja do globalnego układu współrzędnych

Dla dokładnego obliczenia przemieszczeń niezbędne jest ujednolicenie układów współrzędnych wszystkich zaangażowanych elementów. Jednym ze sposobów osiągnięcia tego celu jest zastosowanie macierzy transformacji, która upraszcza ten proces i umożliwia płynne przejście do obliczeń przemieszczeń. Transformacja nie modyfikuje macierzy dla elementów pierwszego i drugiego, ponieważ ich lokalny układ współrzędnych jest taki sam jak globalny. Można jednak zaobserwować zmianę w elemencie trzecim, który jest obrócony o około 90 stopni. Wpisy dla przesunięć X i Z ulegają zmianie. Można zauważyć małe niezerowe liczby w macierzy. Wynikają one z procesu numerycznego, ale ponieważ są stosunkowo małe w odniesieniu do ogólnej sztywności, nie wpływają w żaden istotny sposób na wyniki.

04) Macierz globalna elementu 1, 2; Macierz globalna elementu 3

Macierz globalna – sumowanie

Mamy cztery węzły, a każdy węzeł ma trzy stopnie swobody. Oznacza to, że wynikowa macierz ma wymiary 12x12. Kluczowym etapem procesu jest sumowanie wartości w kolumnach i wierszach z poszczególnych macierzy do macierzy globalnej.

05) Globalna macierz sztywności całego układu

Warunki brzegowe i wektor obciążeń

Bez warunków brzegowych układ jest nieoznaczony (i można uzyskać jedynie rozwiązanie trywialne). W tym scenariuszu przyjęto utwierdzenia w węzłach pierwszym i trzecim. Zerowe przemieszczenia brzegowe (i obroty) można uwzględnić poprzez usunięcie odpowiednich wierszy i kolumn. Rozwiązanie jest trywialne, jeśli nie są przyłożone żadne siły (zerowe przemieszczenia). W naszym przykładzie węzeł czwarty jest obciążony pionową siłą 50 kN.

06) Zredukowana macierz, wektor obciążeń i zastosowane warunki brzegowe

Rozwiązanie

Uwzględniając małe odkształcenia i liniowo sprężysty materiał, możemy bez trudu wyznaczyć wektor nieznanych przemieszczeń w jednym kroku. Podejście to jest szybkie i wysoce efektywne, co czyni je wygodną metodą rozwiązywania zagadnień związanych z przemieszczeniami.

07) Przemieszczenia węzłowe w GCS

Weryfikacja MES

Biorąc pod uwagę, że podane wartości dla węzłów są dokładne, wyniki analizy metodą elementów skończonych (MES) muszą dokładnie odpowiadać wynikom metody bezpośredniej sztywności (DSA). Wymóg ten zapewnia spójność wyników analitycznych z rzeczywistym zachowaniem badanego układu. Dlatego kluczowe jest zapewnienie zgodności wyników MES i DSA w granicach dopuszczalnej tolerancji.

08) Weryfikacja i porównanie przemieszczeń węzłowych między DSA a MES

Metoda bezpośredniej sztywności – połączenia podatne

Kluczowe jest zrozumienie, że połączenia są zazwyczaj podatne, a nie w pełni sztywne lub przegubowe. Pominięcie sztywności połączenia może skutkować rozbieżnością między zachowaniem konstrukcji w modelu a zachowaniem rzeczywistej konstrukcji. Przyjrzyjmy się, w jaki sposób sztywność jest uwzględniana w obliczeniach i jak wpływa na zachowanie samej konstrukcji.

Sprężyna obrotowa a konstrukcje inżynierskie

Stalowe konstrukcje inżynierskie, takie jak hale i ramy, są projektowane tak, aby efektywnie przenosić obciążenia zginające za pośrednictwem belek. Gdy belka jest obciążona, a konstrukcja jest hiperstatyczna, sztywność obrotowa złącza odgrywa kluczową rolę w zapewnieniu prawidłowej redystrybucji obciążeń i dokładnych odkształceń. Dlatego ważne jest zachowanie integralności konstrukcyjnej złącza, aby zapobiec ewentualnym uszkodzeniom konstrukcji.

09) Sprężyna obrotowa – macierz lokalna

Aby zapewnić zgodność w złączu, ważne jest sprzężenie odkształceń. Sprzężenie to powinno być uwzględnione w globalnej macierzy sztywności w celu obliczenia odkształceń. Gdy zastosowana jest sztywność obrotowa, pozostałe stopnie swobody muszą być uwzględnione jako dodatkowy wiersz i kolumna w globalnej macierzy sztywności. Ostateczna macierz dla tego typu złącza będzie miała wymiar 13x13, podczas gdy macierz dla połączenia sztywnego będzie miała wymiar 12x12.

Wpływ sztywności obrotowej

Sztywność obrotowa konstrukcji ma istotny wpływ na rozkład sił i występowanie odkształceń. Oznacza to, że konstrukcja ze sztywnością obrotową będzie zachowywać się inaczej niż konstrukcja z połączeniami sztywnymi lub przegubowymi. Jeśli sztywność zostanie zwiększona nieproporcjonalnie, może to prowadzić do dalszych zmian w zachowaniu konstrukcji. W tym scenariuszu zbadamy skutki zwiększonej sztywności obrotowej. Model, z którym pracujemy, pochodzi z poprzedniego rozdziału, a sprężyna obrotowa jest dołączona do końca (j) elementu pierwszego.

 10) Odkształcenia dla różnych wartości sztywności obrotowej

Wykres wskazuje, że w pewnych zakresach sztywności odkształcenie zmienia się w sposób wieloliniowy dla połączenia podatnego. W przypadku połączeń podatnych niedoszacowanie lub przeszacowanie sztywności prowadzi do znacznych różnic w ugięciach i redystrybucji sił wewnętrznych. 

 11) Wykres sztywność – odkształcenie 

 12) Strefy sztywności dla połączeń

Wnioski i nadchodzące tematy

Aby zapewnić powodzenie nadchodzącego opracowania, należy najpierw dogłębnie zrozumieć analizowany problem. Dopiero wtedy można przystąpić do dalszych działań z pewnością i celem. Nasze opracowanie poświęcone jest badaniu szeregu ważnych zagadnień istotnych dla analizowanego problemu. Poprzez staranne badania i analizę mamy nadzieję rzucić nowe światło na ten złożony i wymagający problem, a ostatecznie przyczynić się do lepszego zrozumienia tej ważnej dziedziny.

• Jak sztywność obrotowa jest obliczana w IDEA StatiCa
• Jak używać sztywności dla wielu elementów w narzędziu MES
• Weryfikacja sztywności obrotowej między IDEA StatiCa a ABAQUS dla połączenia płyta-płyta