Siły w kotwach, w tym siły podważające, są wyznaczane metodą elementów skończonych, natomiast nośności są sprawdzane zgodnie z postanowieniami normy IS 1946:2025.
Sprawdzenie normowe kotew jest przeprowadzane zgodnie z IS 1946:2025. Mimo że norma nie podaje wprost wzorów dla kotew wylewanych na miejscu budowy, te same wzory są stosowane również dla kotew wylewanych na miejscu budowy. Podejście to uznaje się za zachowawcze, ponieważ we wszystkich innych normach, takich jak ACI 318 czy EN 1992-4, kotwy wylewane na miejscu budowy mają nieco wyższą nośność niż kotwy montowane po betonowaniu.
W ustawieniach projektu można wybrać beton zarysowany lub niezarysowany. Domyślnie przyjmuje się zachowawczo beton zarysowany. Sprawdzenie wyrwania stożka betonowego przy rozciąganiu i ścinaniu może zostać pominięte w ustawieniach projektu, co oznacza, że siła jest przenoszona przez zbrojenie. Użytkownik otrzymuje informację o wartości tej siły. Ze względu na zastosowanie nośności stożka betonowego w formule sprawdzenia zniszczenia przez wypchnięcie betonu, sprawdzenie to jest również pomijane.
Następujące sprawdzenia kotew obciążonych rozciąganiem nie są wykonywane i powinny być weryfikowane na podstawie informacji zawartych w odpowiedniej Technicznej Specyfikacji Produktu:
- Wyrwanie łącznika (dla wszystkich kotew),
- Zniszczenie przez rozsadzenie (dla kotew z łbem),
- Kombinowane wyrwanie i zniszczenie stożka betonowego (dla kotew montowanych po betonowaniu na zaprawie),
- Zniszczenie przez rozłupanie betonu.
Zniszczenie przez wypchnięcie betonu przy ścinaniu również nie jest sprawdzane i powinno być weryfikowane na podstawie informacji zawartych w odpowiedniej Technicznej Specyfikacji Produktu.
Zniszczenie stali przy rozciąganiu
Zniszczenie stali przy rozciąganiu jest sprawdzane zgodnie z IS 1946:2025 – 9.2.2.2:
\[N_{Rd,s} = \frac{N_{Rk,s}}{\gamma_{Ms}} \]
gdzie:
- \( N_{Rk,s} = A_s \cdot f_u \) – charakterystyczna nośność łącznika przy zniszczeniu stali
- \( A_s \) – pole przekroju czynnego trzpienia kotwy
- \( f_u \) – wytrzymałość na rozciąganie trzpienia kotwy
- \(\gamma_{Ms} = \frac{1.2 \, f_y}{f_u} \geq 1.4 \) – częściowy współczynnik bezpieczeństwa dla zniszczenia stali przy rozciąganiu
- \( f_y \) – granica plastyczności trzpienia kotwy
- \( f_u \) – wytrzymałość na rozciąganie trzpienia kotwy
Nośność betonu na wyrwanie stożka przy rozciąganiu
Nośność betonu na wyrwanie stożka przy rozciąganiu jest sprawdzana zgodnie z IS 1946:2025 – 9.2.2.3 i jest wyznaczana dla grupy kotew (jeśli dotyczy). Obliczeniowa nośność rozciąganych łączników w grupie lub pojedynczego łącznika wynosi:
\[N_{Rd,c} = \frac{N_{Rk,c}}{\gamma_{Mc}}\]
\[N_{Rk,c} = N^{0}_{Rk,c} \cdot \frac{A_{c,N}}{A^{0}_{c,N}} \cdot \psi_{s,N} \cdot \psi_{re,N} \cdot \psi_{ec,N} \cdot \psi_{M,N}\]
gdzie:
- \( N^{0}_{Rk,c} = 7.2 \, \sqrt{f_{ck}} \, h_{ef}^{1.5} \) dla betonu zarysowanego, \( N^{0}_{Rk,c} = 10.1 \, \sqrt{f_{ck}} \, h_{ef}^{1.5} \) dla betonu niezarysowanego – charakterystyczna nośność łącznika, bez wpływu sąsiednich łączników lub krawędzi elementu betonowego; stan betonu można ustawić w ustawieniach projektu
- \( f_{ck} \) – charakterystyczna wytrzymałość betonu na ściskanie (próbka sześcienna)
- \( h_{ef} = \min \left[ h_{emb}, \max\left( \frac{c_{max}}{1.5}, \frac{s_{max}}{3} \right) \right] \) – efektywna głębokość zakotwienia
- \(c_{\max}\) – maksymalna odległość od osi kotwy do krawędzi elementu betonowego
- \(s_{\max}\) – maksymalna odległość między osiami kotew
- \( A_{c,N} \) – pole powierzchni stożka wyrwania betonu dla grupy kotew
- \( A^{0}_{c,N} = (3.0 \, h_{ef})^2 \) – pole powierzchni stożka wyrwania betonu dla pojedynczej kotwy bez wpływu krawędzi
- \(\psi_{s,N} = 0.7 + 0.3 \, \frac{c'}{c_{cr,N}} \leq 1\) – parametr uwzględniający rozkład naprężeń w betonie ze względu na bliskość łącznika do krawędzi elementu betonowego
- \( c' \) – minimalna odległość od kotwy do krawędzi
- \( c'_{cr,N} = 1.5 \, h_{ef} \) – charakterystyczna odległość od krawędzi zapewniająca przeniesienie charakterystycznej nośności kotwy przy wyrwaniu stożka betonowego pod obciążeniem rozciągającym
- \(\psi_{re,N} = 0.5 + \frac{h_{emb}}{200} \leq 1\) – parametr uwzględniający łuszczenie otuliny
- \( h_{emb} \) – głębokość zakotwienia
- \(\psi_{ec,N} = \psi_{ec,N,x} \cdot \psi_{ec,N,y}\) – współczynnik modyfikacyjny dla grup kotew obciążonych mimośrodowo przy rozciąganiu
- \(\psi_{ec,N,x} = \frac{1}{1 + \frac{2 e_{N,x}}{s_{cr,N}}}\), \(\psi_{ec,N,y} = \frac{1}{1 + \frac{2 e_{N,y}}{s_{cr,N}}}\) – współczynniki modyfikacyjne w kierunkach x i y
- \( e_{N,x}, e_{N,y} \) – mimośrody obciążenia
- \( s'_{cr,N} = 3.0 \, h_{ef} \) – charakterystyczny rozstaw kotew zapewniający charakterystyczną nośność kotew przy zniszczeniu stożka betonowego pod obciążeniem rozciągającym
- \(\psi_{M,N}\) – parametr uwzględniający wpływ siły ściskającej między płytą a betonem; \(\psi_{M,N}=1.0\) jeśli spełnione jest którekolwiek z poniższych kryteriów:
- \(c' < 1.5 \cdot h_{ef}\) – kotwa jest zlokalizowana blisko krawędzi
- \( \frac{N_c^n}{N_{Ld}} < 0.8\)
- \(\frac{z}{h_{ef}} \ge 1.5\)
- \(N_c^n\) – siła ściskająca w płycie podstawy
- \(N_{Ld} \) – suma sił rozciągających kotew o wspólnym obszarze stożka wyrwania betonu
- \(\psi_{M,N} = 2- \frac{z}{h_{ef}} \ge 1 \) – w pozostałych przypadkach
- \(z\) – wewnętrzne ramię sił
- \(\gamma_{Mc} = \gamma_c \cdot \gamma_{inst}\)
- \( \gamma_c \) – częściowy współczynnik bezpieczeństwa dla betonu, edytowalny w ustawieniach projektu
- \( \gamma_{inst} \) – współczynnik bezpieczeństwa montażu, edytowalny w ustawieniach projektu
Pole powierzchni stożka wyrwania betonu dla grupy kotew obciążonych rozciąganiem, tworzących wspólny stożek betonowy, Ac,N, zaznaczono czerwoną linią przerywaną.
Zniszczenie stali przy ścinaniu
Zniszczenie stali przy ścinaniu jest wyznaczane zgodnie z pkt 9.2.3. Przyjmuje się, że kotwa jest wykonana z pręta gwintowanego o takich samych właściwościach materiałowych jak śruby.
Siła ścinająca bez ramienia dźwigni
Nośność na ścinanie jest sprawdzana zgodnie z IS 1946:2025 – 9.2.3.1:
\[V_{Rd,s} = \frac{V_{Rk,s}}{\gamma_{Ms}}\]
\[V_{Rk,s} = k_1 \cdot V^{0}_{Rk,s}\]
\[V^{0}_{Rk,s} = 0.5 \cdot A_s \cdot f_u\]
gdzie:
- \( V_{Rk,s} \) – charakterystyczna nośność łącznika przy zniszczeniu stali
- \( k_1 \) – współczynnik zależny od produktu, przyjmowany jako \( k_1 = 1\)
- \( V^{0}_{Rk,s} \) – charakterystyczna nośność na ścinanie
- \( A_s \) – pole przekroju czynnego
- \( f_u \) – wytrzymałość na rozciąganie trzpienia kotwy
- \( \gamma_{Ms} \) – częściowy współczynnik bezpieczeństwa dla zniszczenia stali przy ścinaniu
- \( \gamma_{Ms} = \frac{1.0 \, f_y}{f_u} \geq 1.25 \) dla \(f_u \le 800\) MPa i \(f_y/f_u \le 0.8\)
- \( \gamma_{Ms} = 1.5\) dla \(f_u > 800\) MPa lub \(f_y/f_u > 0.8\)
- \( f_y \) – granica plastyczności trzpienia kotwy
Siła ścinająca z ramieniem dźwigni
Nośność na ścinanie jest sprawdzana zgodnie z IS 1946:2025 – 9.2.3.2:
\[V_{Rd,s} = \frac{V_{Rk,s}}{\gamma_{Ms}}\]
\[V_{Rk,s} = \frac{\alpha_M \cdot M_{Rk,s}}{l}\]
gdzie:
- \( V_{Rk,s} \) – charakterystyczna nośność łącznika przy zniszczeniu stali z ramieniem dźwigni
- \( \alpha_M \) – współczynnik uwzględniający stopień utwierdzenia łącznika, przyjmowany jako \( \alpha_M = 2\), ponieważ kotwa jest zamocowana dwiema nakrętkami, a płyta podstawy jest sztywniejsza niż kotwa
- \( M_{Rk,s} = M^{0}_{Rk,s} \cdot \left( 1 - \frac{N_{Ld}}{N_{Rd,s}} \right) \) – charakterystyczna nośność na zginanie łącznika z uwzględnieniem wpływu siły osiowej
- \( N_{Ld} \) – obliczeniowa siła rozciągająca
- \( N_{Rd,s} \) – nośność łącznika na rozciąganie przy zniszczeniu stali
- \(M^{0}_{Rk,s} = 1.2 \cdot Z_{el} \cdot f_u\) – charakterystyczna nośność na zginanie łącznika
- \( Z_{el} = \frac{\pi \, d_{a,r}^3}{32} \) – sprężysty wskaźnik wytrzymałości przekroju łącznika
- \( d_{a,r} \) – średnica kotwy zredukowana przez gwint
- \( f_u \) – wytrzymałość na rozciąganie trzpienia kotwy
- \(l = 0.5 \cdot d_a + t_g + \frac{t_p}{2}\) – długość ramienia dźwigni
- \( d_a \) – średnica kotwy
- \( t_g \) – grubość warstwy podlewki
- \( t_p \) – grubość płyty podstawy
- \( \gamma_{Ms} \) – częściowy współczynnik bezpieczeństwa dla zniszczenia stali przy ścinaniu
- \( \gamma_{Ms} = \frac{1.0 \, f_y}{f_u} \geq 1.25 \) dla \(f_u \le 800\) MPa i \(f_y/f_u \le 0.8\)
- \( \gamma_{Ms} = 1.5\) dla \(f_u > 800\) MPa lub \(f_y/f_u > 0.8\)
- \( f_y \) – granica plastyczności trzpienia kotwy
Zniszczenie betonu przy krawędzi
Nośność betonu przy krawędzi jest sprawdzana zgodnie z IS 1946:2025 – 9.2.3.4. Jeśli stożki betonowe łączników nachodzą na siebie, są sprawdzane jako grupa. Sprawdzane są krawędzie w kierunku obciążenia ścinającego. Przyjmuje się, że całe obciążenie na płycie podstawy jest przenoszone przez łącznik przy sprawdzanej krawędzi.
\[V_{Rd,c} = \frac{V_{Rk,c}}{\gamma_{Mc}}\]
\[V_{Rk,c} = V^{0}_{Rk,c} \cdot \frac{A_{c,V}}{A^{0}_{c,V}} \cdot \psi_{s,V} \cdot \psi_{re,V} \cdot \psi_{ec,V} \cdot \psi_{h,V} \cdot \psi_{\alpha,V}\]
gdzie
- \( V^{0}_{Rk,c} \) – wartość początkowa charakterystycznej nośności na ścinanie łącznika
- \( V^{0}_{Rk,c} = 1.55 \cdot d_a^{\alpha} \cdot h_{ef}^{\beta} \cdot \sqrt{f_{ck}} \cdot (c'_1)^{1.5} \) dla betonu zarysowanego
- \( V^{0}_{Rk,c} = 2.18 \cdot d_a^{\alpha} \cdot h_{ef}^{\beta} \cdot \sqrt{f_{ck}} \cdot (c'_1)^{1.5} \) dla betonu niezarysowanego
- \( d_a \) – średnica kotwy
- \( \alpha = 0.1 \cdot \left( \frac{h_{ef}}{c'_1} \right)^{0.5} \) – współczynnik
- \( h_{ef} = \min(h_{emb}, 20 \cdot d_a) \) – parametr związany z długością łącznika
- \( h_{emb} \) – głębokość zakotwienia
- \( \beta = 0.1 \cdot \left( \frac{d_a}{c'_1} \right)^{0.2} \) – współczynnik
- \( f_{ck} \) – charakterystyczna wytrzymałość betonu na ściskanie (próbka sześcienna)
- \( c'_1 \leq \max \left( \frac{c_{2,max}}{1.5}, \frac{D}{1.5}, \frac{s_{2,max}}{3} \right) \) – odległość łącznika od krawędzi w kierunku 1, w kierunku obciążenia
- \( D \) – grubość elementu betonowego
- \( c_{2,max} \) – większa z dwóch odległości do krawędzi równoległych do kierunku obciążenia
- \( s_{2,max} \) – maksymalny rozstaw w kierunku 2 między łącznikami w grupie
- \(A^{0}_{c,V} = 4.5 \cdot (c'_1)^2\) – referencyjna rzutowana powierzchnia stożka zniszczenia
- \( A_{c,V} \) – rzeczywista powierzchnia idealizowanego stożka wyrwania betonu
- \(\psi_{s,V} = 0.7 + 0.3 \cdot \frac{c'_2}{1.5 \cdot c'_1} \leq 1\) – parametr uwzględniający rozkład naprężeń w betonie ze względu na bliskość łącznika do krawędzi elementu betonowego
- \( c'_1 \) – odległość łącznika od krawędzi w kierunku 1, w kierunku obciążenia
- \( c'_2 \) – odległość od krawędzi prostopadle do kierunku 1, będąca najmniejszą odległością od krawędzi w wąskim elemencie z wieloma odległościami od krawędzi
- \(\psi_{re,V} = 1.0\) – parametr uwzględniający efekt łuszczenia otuliny; przyjmuje się brak zbrojenia przy krawędzi lub strzemion
- \(\psi_{ec,V} = \frac{1}{1 + \frac{2 e_V}{3 \cdot c'_1}} \leq 1\) – współczynnik modyfikacyjny dla grup kotew obciążonych mimośrodowo przy ścinaniu
- \( e_V \) – mimośród obciążenia ścinającego
- \( \psi_{h,V} = \left( \frac{1.5 \cdot c'_1}{D} \right)^{0.5} \geq 1 \) – współczynnik modyfikacyjny dla kotew zlokalizowanych w płytkim elemencie betonowym
- \(\psi_{\alpha,V} = \sqrt{\frac{1}{(\cos \alpha_V)^2 + (0.5 \cdot \sin \alpha_V)^2}} \geq 1\) – współczynnik modyfikacyjny dla kotew obciążonych pod kątem do krawędzi betonu
- \( \alpha_V \) – kąt między obciążeniem przyłożonym do łącznika lub grupy łączników a kierunkiem prostopadłym do rozpatrywanej wolnej krawędzi
- \(\gamma_{Mc} = \gamma_c \cdot \gamma_{inst}\) – częściowy współczynnik bezpieczeństwa dla zniszczenia betonu
- \( \gamma_c \) – częściowy współczynnik bezpieczeństwa dla betonu
- \( \gamma_{inst} \) – współczynnik bezpieczeństwa montażu systemu kotwiącego przy ścinaniu
Interakcja sił rozciągających i ścinających w stali
Interakcja sił rozciągających i ścinających w stali jest sprawdzana dla kotew ze szczeliną: bezpośrednio zgodnie z IS 1946:2025 – 9.2.4:
\[\left( \frac{N_{Ld}}{N_{Rd,s}} \right)^2 + \left( \frac{V_{Ld}}{V_{Rd,s}} \right)^2 \leq 1.0\]
gdzie:
- \( N_{Ld} \) – obliczeniowa siła rozciągająca
- \( N_{Rd,s} \) – nośność łącznika na rozciąganie
- \( V_{Ld} \) – obliczeniowa siła ścinająca
- \( V_{Rd,s} \) – nośność łącznika na ścinanie
Sprawdzenie interakcji w stali nie jest wymagane w przypadku siły ścinającej z ramieniem dźwigni. Jest ono uwzględnione w równaniu dla siły ścinającej z ramieniem dźwigni.
Interakcja sił rozciągających i ścinających w betonie
Interakcja sił rozciągających i ścinających w betonie jest sprawdzana zgodnie z IS 1946:2025 – 9.2.4:
\[\left( \frac{N_{Ld}}{N_{Rd,i}} \right)^{1.5} + \left( \frac{V_{Ld}}{V_{Rd,i}} \right)^{1.5} \leq 1.0\]
gdzie:
- \( \frac{N_{Ld}}{N_{Rd,i}} \) – największy stopień wykorzystania dla trybów zniszczenia przy rozciąganiu
- \( \frac{V_{Ld}}{V_{Rd,i}} \) – największy stopień wykorzystania dla trybów zniszczenia przy ścinaniu
- \( \frac{N_{Ld,g}}{N_{Rd,c}} \) – zniszczenie stożka betonowego kotwy przy rozciąganiu
- \( \frac{V_{Ld,g}}{V_{Rd,c}} \) – zniszczenie betonu przy krawędzi
Kotwy ze szczeliną: Szczelina
Kotwy ze szczeliną obciążone rozciąganiem są projektowane zgodnie z IS 1946:2025, natomiast kotwy ściskane są projektowane jako element prętowy zgodnie z IS 800: 2007 z częściowym współczynnikiem bezpieczeństwa kotew. Przyjmowana długość elementu jest sumą wysokości szczeliny, połowy grubości nominalnej średnicy i połowy grubości płyty podstawy. Kotwy ze szczeliną są zazwyczaj sprawdzane na etapie budowy przed wykonaniem podlewki.
Zniszczenie stali przy rozciąganiu jest sprawdzane zgodnie z IS 1946:2025 – 9.2.2.2:
\[N_{Rd,s} = \frac{N_{Rk,s}}{\gamma_{Ms}} \]
Zniszczenie stali przy ściskaniu jest sprawdzane zgodnie z IS 800:2007 – 7.1:
\[P_d = A_s \cdot f_{cd}\]
gdzie:
- \( A_s \) – pole przekroju kotwy zredukowane przez gwint
- \( f_{cd} = \frac{\chi \cdot f_u}{\gamma_{Ms}} \) – obliczeniowe naprężenie ściskające
- \(\chi = \min \left( \frac{1}{\phi + \sqrt{\phi^2 - \lambda^2}}, 1 \right)\) – współczynnik redukcyjny przy wyboczeniu
- \(\phi = 0.5 \cdot \left[ 1 + \alpha \cdot (\lambda - 0.2) + \lambda^2 \right]\) – wartość do wyznaczenia współczynnika redukcyjnego przy wyboczeniu
- \( \alpha \) – współczynnik imperfekcji
- \(\lambda = \sqrt{\frac{f_u}{f_{cc}}}\) – smukłość względna
- \(f_{cc} = \frac{\pi^2 \cdot E}{\left( \frac{K L}{r} \right)^2}\) – naprężenie krytyczne Eulera
- \( E \) – moduł sprężystości
- \(K L = 2 \cdot l\) – długość wyboczeniowa
- \( l = 0.5 \cdot d_a + t_g + \frac{t_p}{2} \) – długość ramienia dźwigni
- \( d_a \) – średnica kotwy
- \( t_g \) – grubość warstwy podlewki
- \( t_p \) – grubość płyty podstawy
- \(r = \sqrt{\frac{I}{A_s}}\) – promień bezwładności trzpienia kotwy
- \( I = \frac{\pi \cdot d_{a,r}^4}{64} \) – moment bezwładności śruby
- \( d_{a,r} \) – średnica kotwy zredukowana przez gwint
- \(\gamma_{Ms} = \frac{1.2 \, f_y}{f_u} \geq 1.4 \) – częściowy współczynnik bezpieczeństwa dla zniszczenia stali przy rozciąganiu
- \( f_y \) – granica plastyczności trzpienia kotwy
- \( f_u \) – wytrzymałość na rozciąganie trzpienia kotwy
Nośność na ścinanie jest sprawdzana zgodnie z IS 1946:2025 – 9.2.3.1:
\[V_{Rd,s} = \frac{V_{Rk,s}}{\gamma_{Ms}}\]
\[V_{Rk,s} = k_1 \cdot V^{0}_{Rk,s}\]
\[V^{0}_{Rk,s} = 0.5 \cdot A_s \cdot f_u\]
Nośność na zginanie jest sprawdzana zgodnie z IS 1946:2025 – 9.2.3.2:
\[M_{Rd,s} = \frac{M_{Rk,s}}{\gamma_{Ms}}\]
gdzie:
- \( M^{0}_{Rk,s} = 1.2 \cdot Z_{el} \cdot f_u \) – charakterystyczna nośność na zginanie łącznika
- \( Z_{el} = \frac{\pi \cdot d_{a,r}^3}{32} \) – sprężysty wskaźnik wytrzymałości przekroju łącznika
- \( d_{a,r} \) – średnica kotwy zredukowana przez gwint
- \(\gamma_{Ms} = \frac{1.0 \, f_y}{f_u} \geq 1.25\)
- \( f_y \) – granica plastyczności trzpienia kotwy
- \( f_u \) – wytrzymałość na rozciąganie trzpienia kotwy
Interakcja obciążeń dla kotew rozciąganych (IS 1946:2025 – 9.2.4):
\[\frac{N_{Ld}}{N_{Rd,s}} + \frac{M_{Ld}}{M_{Rd,s}} \leq 1.0\]
gdzie:
- \( N_{Ld} \) – obliczeniowa siła rozciągająca
- \( N_{Rd,s} \) – obliczeniowa nośność na rozciąganie
- \( M_{Ld} \) – obliczeniowy moment zginający
- \( M_{Rd,s} \) – obliczeniowa nośność na zginanie
Interakcja obciążeń dla kotew ściskanych (IS 1946:2025 – 9.2.4):
\[\frac{P}{P_d} + \frac{M_{Ld}}{M_{Rd,s}} \leq 1.0\]
gdzie:
- \( P \) – obliczeniowa siła ściskająca
- \( P_d \) – obliczeniowa nośność na ściskanie
- \( M_{Ld} \) – obliczeniowy moment zginający
- \( M_{Rd,s} \) – obliczeniowa nośność na zginanie
Tryby zniszczenia związane z betonem, w tym ich interakcja, są sprawdzane jak dla standardowych kotew zgodnie z IS 1946:2025.
Detale
Jeśli stosowane są kotwy z \(f_u \ge 1000\) MPa, nośność stali na ścinanie może być niedokładna; należy wówczas użyć nośności stali z AR.