Obliczanie szerokości rys i tension stiffening

Obliczanie szerokości rys

Istnieją dwa sposoby obliczania szerokości rys – zarysowanie ustabilizowane i nieustabilizowane. Na podstawie geometrycznego współczynnika zbrojenia w każdej części konstrukcji decyduje się, który model obliczeniowy zostanie zastosowany (TCM dla zarysowania ustabilizowanego i POM dla modelu zarysowania nieustabilizowanego).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)

Podczas gdy CSFM daje bezpośredni wynik dla większości weryfikacji (np. nośność elementu, ugięcia…), wyniki szerokości rys są obliczane z wyników odkształceń zbrojenia bezpośrednio dostarczanych przez analizę MES zgodnie z metodologią opisaną na Rys. 20. Przyjmuje się kinematykę rysy bez poślizgu (czyste otwieranie rysy) (Rys. 20a), co jest zgodne z głównymi założeniami modelu. Kierunki główne naprężeń i odkształceń definiują nachylenie rys (θ_r = θ_s= θ_e). Zgodnie z (Rys. 20b), szerokość rysy (w) może być rzutowana w kierunku pręta zbrojeniowego (w_b), co prowadzi do:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]

gdzie θ_b jest nachyleniem pręta.

Należy zauważyć, że program wyświetla wartości θ_r i θ_b < π/2. Oznacza to, że poprzednie równanie działa dla przypadków, w których zbrojenie i rysa przechodzą przez różne ćwiartki kartezjańskiego układu współrzędnych, jak pokazano na Rys. 20, gdzie zbrojenie przechodzi przez I. i III. ćwiartkę, a rysa przez II. i IV. Dla przypadków, w których zbrojenie i rysa przechodzą przez te same ćwiartki, równanie należy zmodyfikować w następujący sposób:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}\]

Składowa w_b jest konsekwentnie obliczana na podstawie modeli tension stiffening poprzez całkowanie odkształceń zbrojenia. Dla obszarów z w pełni rozwiniętym schematem zarysowania, obliczone średnie odkształcenia (e_m) wzdłuż prętów zbrojeniowych są bezpośrednio całkowane wzdłuż rozstawu rys (s_r), jak wskazano na (Rys. 20c). Chociaż to podejście do obliczania kierunków rys nie odpowiada rzeczywistemu położeniu rys, nadal dostarcza reprezentatywnych wartości prowadzących do wyników szerokości rys, które można porównać z wartościami szerokości rys wymaganymi przez normy w miejscu pręta zbrojeniowego.

Szczególne sytuacje obserwuje się w wklęsłych narożnikach obliczanej konstrukcji. W tym przypadku narożnik predefiniuje położenie pojedynczej rysy, która zachowuje się w sposób nieustabilizowany, zanim rozwiną się dodatkowe sąsiednie rysy. Te dodatkowe rysy rozwijają się zazwyczaj po przekroczeniu zakresu użytkowalności (Mata-Falcón 2015), co uzasadnia obliczanie szerokości rys w takim obszarze tak, jakby były nieustabilizowane (Rys. 21).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]

Tension stiffening

Implementacja tension stiffening rozróżnia przypadki ustabilizowanego i nieustabilizowanego schematu zarysowania. W obu przypadkach beton jest domyślnie traktowany jako w pełni zarysowany przed obciążeniem.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)

Zarysowanie ustabilizowane

W w pełni rozwiniętych schematach zarysowania, tension stiffening jest wprowadzane przy użyciu modelu Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Rys. 22a – który wykazano, że daje doskonałe prognozy odpowiedzi pomimo swojej prostoty (Burns 2012). TCM zakłada stopniową, sztywno-idealnie plastyczną zależność naprężeń stycznych przyczepności od poślizgu z τ_b = τ_b0 =2 f_ctm dla σ_s ≤ f_y i τ_b =τ_b1 = f_ctm dla σ_s > f_y. Traktując każdy pręt zbrojeniowy jako cięgno rozciągane ­– Rys. 22b i Rys. 22a – rozkład naprężeń stycznych przyczepności, naprężeń w stali i betonie, a tym samym rozkład odkształceń między dwiema rysami może być wyznaczony dla dowolnej wartości maksymalnych naprężeń w stali (lub odkształceń) w rysach.

Dla s_r = s_r0, nowa rysa może lub nie może się pojawić, ponieważ w środku między dwiema rysami σ_c1 = f_ct. W konsekwencji rozstaw rys może się zmieniać o współczynnik dwa, tj. s_r = λs_r0, z l = 0,5…1,0. Przyjmując określoną wartość λ, średnie odkształcenie cięgna (ε_m) można wyrazić jako funkcję maksymalnych naprężeń zbrojenia (tj. naprężeń w rysach, σ_sr). Dla idealizowanego bilinearnego wykresu naprężenie-odkształcenie dla gołych prętów zbrojeniowych przyjętego domyślnie w CSFM, uzyskuje się następujące analityczne wyrażenia w postaci zamkniętej (Marti et al. 1998):

\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]

\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]

\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]

gdzie:
E_sh           moduł wzmocnienia stali E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            moduł sprężystości zbrojenia,

Ø            średnica pręta zbrojeniowego,

s_r                rozstaw rys,

σ_sr           naprężenia zbrojenia w rysach,

σ_s            rzeczywiste naprężenia zbrojenia,

f_y                granica plastyczności zbrojenia.

Implementacja CSFM w IDEA StatiCa Detail domyślnie uwzględnia średni rozstaw rys podczas komputerowej analizy pola naprężeń. Średni rozstaw rys przyjmuje się jako 2/3 maksymalnego rozstawu rys (λ = 0,67), co wynika z zaleceń opartych na badaniach zginania i rozciągania (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Należy zauważyć, że obliczenia szerokości rys uwzględniają maksymalny rozstaw rys (λ = 1,0) w celu uzyskania wartości po stronie bezpiecznej.

Zastosowanie TCM zależy od współczynnika zbrojenia, dlatego kluczowe jest przypisanie odpowiedniego obszaru betonu pracującego na rozciąganie między rysami do każdego pręta zbrojeniowego. Opracowano automatyczną procedurę numeryczną do wyznaczania odpowiedniego efektywnego współczynnika zbrojenia (ρ_eff = A_s/A_c,eff) dla dowolnej konfiguracji, w tym zbrojenia skośnego (Rys. 23).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)

Zarysowanie nieustabilizowane

Rysy występujące w obszarach o geometrycznym współczynniku zbrojenia niższym niż ρ_cr, tj. minimalnej ilości zbrojenia, przy której zbrojenie jest w stanie przenieść obciążenie zarysowujące bez uplastycznienia, są generowane przez działania niemechaniczne (np. skurcz) lub postęp rys kontrolowanych przez inne zbrojenie. Wartość tego minimalnego zbrojenia jest wyznaczana w następujący sposób:

\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]

gdzie:

f_y              granica plastyczności zbrojenia,

f_ct             wytrzymałość betonu na rozciąganie,

n              współczynnik modularny, n = E_s / E_c .

Dla typowego betonu i stali zbrojeniowej, ρ_cr wynosi około 0,6%.

Dla strzemion o współczynniku zbrojenia poniżej ρ_cr, zarysowanie jest traktowane jako nieustabilizowane, a tension stiffening jest implementowane za pomocą modelu Pull-Out Model (POM) opisanego na Rys. 22b. Model ten analizuje zachowanie pojedynczej rysy bez uwzględnienia mechanicznej interakcji między oddzielnymi rysami, pomijając odkształcalność betonu na rozciąganie i przyjmując tę samą stopniową, sztywno-idealnie plastyczną zależność naprężeń stycznych przyczepności od poślizgu stosowaną przez TCM. Pozwala to na wyznaczenie rozkładu odkształceń zbrojenia (ε_s) w pobliżu rysy dla dowolnego maksymalnego naprężenia stali w rysie (σ_sr) bezpośrednio z równowagi. Biorąc pod uwagę fakt, że rozstaw rys jest nieznany dla nie w pełni rozwiniętego schematu zarysowania, średnie odkształcenie (ε_m) jest obliczane dla dowolnego poziomu obciążenia na odległości między punktami zerowego poślizgu, gdy pręt zbrojeniowy osiąga swoją wytrzymałość na rozciąganie (f_t) w rysie (l_ε,avg na Rys. 22b), co prowadzi do następujących zależności:

Proponowane modele umożliwiają obliczenie zachowania zakotwionego zbrojenia, które jest ostatecznie uwzględniane w analizie. To zachowanie (w tym tension stiffening) dla najczęściej stosowanej europejskiej stali zbrojeniowej (B500B, z f_t / f_y = 1,08 i ε_u = 5%) jest zilustrowane na Rys. 22c-d.