Cálculo del ancho de fisura y rigidización a tracción

Cálculo del ancho de fisura

Hay dos formas de calcular los anchos de fisura: fisuración estabilizada y no estabilizada. Según la cuantía geométrica de armadura en cada parte de la estructura se decide qué tipo de modelo de cálculo de fisuras se utilizará (TCM para fisuración estabilizada y POM para el modelo de fisuración no estabilizada).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)

Mientras que el CSFM proporciona un resultado directo para la mayoría de las verificaciones (p. ej., capacidad del elemento, flechas…), los resultados del ancho de fisura se calculan a partir de los resultados de deformación de la armadura proporcionados directamente por el análisis de elementos finitos siguiendo la metodología descrita en la Fig. 20. Se considera una cinemática de fisura sin deslizamiento (apertura pura de fisura) (Fig. 20a), lo cual es coherente con las hipótesis principales del modelo. Las direcciones principales de tensiones y deformaciones definen la inclinación de las fisuras (θ_r = θ_s= θ_e). Según la (Fig. 20b), el ancho de fisura (w) puede proyectarse en la dirección de la barra de armadura (w_b), dando lugar a:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]

donde θ_b es la inclinación de la barra.

Tenga en cuenta que el programa muestra valores de θ_r y θ_b < π/2. Esto significa que la ecuación anterior es válida para los casos en que la armadura y la fisura atraviesan cuadrantes diferentes del sistema de coordenadas cartesiano, como se muestra en la Fig. 20, donde la armadura atraviesa los cuadrantes I y III y la fisura los cuadrantes II y IV. Para los casos en que la armadura y la fisura atraviesan los mismos cuadrantes, la ecuación debe modificarse de la siguiente manera:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}\]

La componente w_b se calcula de forma coherente a partir de los modelos de rigidización a tracción integrando las deformaciones de la armadura. Para las regiones con patrones de fisuración completamente desarrollados, las deformaciones medias calculadas (e_m) a lo largo de las barras de armadura se integran directamente a lo largo de la separación entre fisuras (s_r), como se indica en la (Fig. 20c). Aunque este enfoque para calcular las direcciones de las fisuras no corresponde a la posición real de las fisuras, proporciona valores representativos que conducen a resultados de ancho de fisura comparables con los valores de ancho de fisura requeridos por la normativa en la posición de la barra de armadura.

Se observan situaciones especiales en las esquinas cóncavas de la estructura calculada. En este caso, la esquina predefine la posición de una fisura única que se comporta de forma no estabilizada antes de que se desarrollen fisuras adyacentes adicionales. Estas fisuras adicionales generalmente se desarrollan después del rango de servicio (Mata-Falcón 2015), lo que justifica calcular los anchos de fisura en dicha región como si fueran no estabilizadas (Fig. 21).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]

Rigidización a tracción

La implementación de la rigidización a tracción distingue entre casos de patrones de fisuración estabilizada y no estabilizada. En ambos casos, el hormigón se considera completamente fisurado antes de la carga por defecto.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)

Fisuración estabilizada

En patrones de fisuración completamente desarrollados, la rigidización a tracción se introduce utilizando el Modelo de Cordón en Tracción (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a – que ha demostrado proporcionar excelentes predicciones de respuesta a pesar de su simplicidad (Burns 2012). El TCM asume una relación tensión tangencial de adherencia-deslizamiento escalonada, rígida y perfectamente plástica con τ_b = τ_b0 =2 f_ctm para σ_s ≤ f_y y τ_b =τ_b1 = f_ctm para σ_s > f_y. Tratando cada barra de armadura como un cordón en tracción ­– Fig. 22b y Fig. 22a – se puede determinar la distribución de la tensión tangencial de adherencia, las tensiones en el acero y en el hormigón y, por tanto, la distribución de deformaciones entre dos fisuras para cualquier valor dado de las tensiones máximas en el acero (o deformaciones) en las fisuras.

Para s_r = s_r0, puede o no formarse una nueva fisura porque en el centro entre dos fisuras σ_c1 = f_ct. En consecuencia, la separación entre fisuras puede variar en un factor de dos, es decir, s_r = λs_r0, con l = 0,5…1,0. Asumiendo un cierto valor para λ, la deformación media del cordón (ε_m) puede expresarse como función de las tensiones máximas en la armadura (es decir, tensiones en las fisuras, σ_sr). Para el diagrama tensión-deformación bilineal idealizado de las barras de armadura desnudas considerado por defecto en el CSFM, se obtienen las siguientes expresiones analíticas en forma cerrada (Marti et al. 1998):

\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]

\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]

\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]

donde:
E_sh           el módulo de endurecimiento del acero E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            módulo de elasticidad de la armadura,

Ø            diámetro de la barra de armadura,

s_r                separación entre fisuras,

σ_sr           tensiones de la armadura en las fisuras,

σ_s            tensiones reales de la armadura,

f_y                límite elástico de la armadura.

La implementación del CSFM en IDEA StatiCa Detail considera la separación media entre fisuras por defecto al realizar el análisis del campo de tensiones asistido por ordenador. La separación media entre fisuras se considera igual a 2/3 de la separación máxima entre fisuras (λ = 0,67), lo que sigue las recomendaciones realizadas sobre la base de ensayos de flexión y tracción (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Cabe señalar que los cálculos del ancho de fisura consideran una separación máxima entre fisuras (λ = 1,0) con el fin de obtener valores conservadores.

La aplicación del TCM depende de la cuantía de armadura y, por tanto, la asignación de un área de hormigón apropiada que trabaje a tracción entre las fisuras a cada barra de armadura es crucial. Se ha desarrollado un procedimiento numérico automático para definir la cuantía de armadura efectiva correspondiente (ρ_eff = A_s/A_c,eff) para cualquier configuración, incluida la armadura inclinada (Fig. 23).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)

Fisuración no estabilizada

Las fisuras existentes en regiones con cuantías geométricas de armadura inferiores a ρ_cr, es decir, la cuantía mínima de armadura para la cual la armadura es capaz de soportar la carga de fisuración sin plastificar, son generadas por acciones no mecánicas (p. ej., retracción) o por la propagación de fisuras controladas por otras armaduras. El valor de esta armadura mínima se obtiene de la siguiente manera:

\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]

donde:

f_y              límite elástico de la armadura,

f_ct             resistencia a tracción del hormigón,

n              relación modular, n = E_s / E_c .

Para hormigón y acero de armadura convencionales, ρ_cr es aproximadamente del 0,6%.

Para estribos con cuantías de armadura inferiores a ρ_cr, la fisuración se considera no estabilizada y la rigidización a tracción se implementa mediante el Modelo de Arrancamiento (POM) descrito en la Fig. 22b. Este modelo analiza el comportamiento de una fisura única sin considerar interacción mecánica entre fisuras separadas, despreciando la deformabilidad del hormigón a tracción y asumiendo la misma relación escalonada, rígida y perfectamente plástica de tensión tangencial de adherencia-deslizamiento utilizada por el TCM. Esto permite obtener la distribución de deformaciones de la armadura (ε_s) en las proximidades de la fisura para cualquier tensión máxima del acero en la fisura (σ_sr) directamente a partir del equilibrio. Dado que la separación entre fisuras es desconocida para un patrón de fisuración no completamente desarrollado, la deformación media (ε_m) se calcula para cualquier nivel de carga sobre la distancia entre puntos con deslizamiento nulo cuando la barra de armadura alcanza su resistencia a tracción (f_t) en la fisura (l_ε,avg en la Fig. 22b), dando lugar a las siguientes relaciones:

Los modelos propuestos permiten calcular el comportamiento de la armadura adherida, que finalmente se considera en el análisis. Este comportamiento (incluida la rigidización a tracción) para el acero de armadura europeo más común (B500B, con f_t / f_y = 1,08 y ε_u = 5%) se ilustra en la Fig. 22c-d.