Çatlak genişliği hesabı ve Gerilme sertleşmesi

Çatlak genişliği hesabı

Çatlak genişliklerini hesaplamanın iki yolu vardır: kararlı ve kararsız çatlama. Yapının her bölümündeki geometrik donatı oranına göre hangi çatlak hesabı modelinin kullanılacağına karar verilir (kararlı çatlama için TCM ve kararsız çatlama için POM modeli).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)

CSFM, çoğu doğrulama için doğrudan sonuç verirken (örn. eleman kapasitesi, sehimler…), çatlak genişliği sonuçları, Şekil 20'de açıklanan metodoloji izlenerek sonlu elemanlar analizinden elde edilen donatı gerinim sonuçlarından doğrudan hesaplanır. Kayma olmaksızın bir çatlak kinematiği (saf çatlak açılması) dikkate alınmaktadır (Şekil 20a); bu durum modelin temel varsayımlarıyla tutarlıdır. Gerilme ve gerinim asal yönleri, çatlakların eğimini tanımlar (θ_r = θ_s= θ_e). (Şekil 20b)'ye göre çatlak genişliği (w), donatı çubuğu yönüne (w_b) yansıtılabilir ve şu ifade elde edilir:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]

burada θ_b çubuğun eğim açısıdır.

Programın θ_r ve θ_b < π/2 değerlerini gösterdiğine dikkat edilmelidir. Bu, önceki denklemin, donatı ve çatlağın Kartezyen koordinat sisteminin farklı çeyreklerinden geçtiği durumlar için geçerli olduğu anlamına gelir; Şekil 20'de gösterildiği gibi donatı I. ve III. çeyreklerden, çatlak ise II. ve IV. çeyreklerden geçmektedir. Donatı ve çatlağın aynı çeyreklerden geçtiği durumlarda denklem aşağıdaki şekilde değiştirilmelidir:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}\]

w_b bileşeni, donatı gerinimlerinin entegrasyonu yoluyla gerilme sertleşmesi modelleri esas alınarak tutarlı biçimde hesaplanır. Tamamen gelişmiş çatlak düzenine sahip bölgelerde, donatı çubukları boyunca hesaplanan ortalama gerinimler (e_m), (Şekil 20c)'de gösterildiği gibi doğrudan çatlak aralığı (s_r) boyunca entegre edilir. Çatlak yönlerini hesaplamaya yönelik bu yaklaşım, çatlakların gerçek konumuna karşılık gelmese de, donatı çubuğu konumunda yönetmeliklerin öngördüğü çatlak genişliği değerleriyle karşılaştırılabilecek çatlak genişliği sonuçlarına yol açan temsili değerler sağlamaktadır.

Hesaplanan yapının içbükey köşelerinde özel durumlar gözlemlenmektedir. Bu durumda köşe, komşu ek çatlaklar gelişmeden önce kararsız biçimde davranan tek bir çatlağın konumunu önceden belirler. Bu ek çatlaklar genellikle kullanılabilirlik sınırı ötesinde gelişir (Mata-Falcón 2015); bu durum, söz konusu bölgedeki çatlak genişliklerinin kararsız çatlama varmış gibi hesaplanmasını haklı kılar (Şekil 21).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]

Gerilme sertleşmesi

Gerilme sertleşmesinin uygulanması, kararlı ve kararsız çatlak düzeni durumlarını birbirinden ayırt eder. Her iki durumda da beton, varsayılan olarak yükleme öncesinde tamamen çatlamış kabul edilir.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)

Kararlı çatlama

Tamamen gelişmiş çatlak düzenlerinde gerilme sertleşmesi, Gerilme Kirişi Modeli (TCM) (Marti ve diğ. 1998; Alvarez 1998) kullanılarak uygulanır – Şekil 22a – bu modelin basitliğine karşın mükemmel davranış tahminleri verdiği gösterilmiştir (Burns 2012). TCM, σ_s ≤ f_y için τ_b = τ_b0 =2 f_ctm ve σ_s > f_y için τ_b =τ_b1 = f_ctm olmak üzere kademeli, rijit-tam plastik bir aderans kayma gerilmesi-kayma ilişkisi varsayar. Her donatı çubuğu bir gerilme kirişi olarak ele alındığında – Şekil 22b ve Şekil 22a – herhangi bir maksimum çelik gerilmesi (veya gerinimi) değeri için aderans kayması, çelik ve beton gerilmelerinin dağılımı ve dolayısıyla iki çatlak arasındaki gerinim dağılımı belirlenebilir.

s_r = s_r0 için, iki çatlak arasındaki merkezde σ_c1 = f_ct olduğundan yeni bir çatlak oluşabilir ya da oluşmayabilir. Sonuç olarak çatlak aralığı iki katına kadar değişebilir; yani s_r = λs_r0, l = 0,5…1,0. λ için belirli bir değer varsayıldığında, kirişin ortalama gerinimini (ε_m) maksimum donatı gerilmelerinin (yani çatlaklardaki gerilmeler, σ_sr) bir fonksiyonu olarak ifade etmek mümkündür. CSFM'de varsayılan olarak dikkate alınan idealize bilineer gerilme-gerinim diyagramı için aşağıdaki kapalı form analitik ifadeler elde edilir (Marti ve diğ. 1998):

\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]

\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]

\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]

burada:
E_sh           çelik pekleşme modülü E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            donatının elastisite modülü,

Ø            donatı çubuğu çapı,

s_r                çatlak aralığı,

σ_sr           çatlaklardaki donatı gerilmeleri,

σ_s            gerçek donatı gerilmeleri,

f_y                donatının akma dayanımı.

IDEA StatiCa Detail'in CSFM uygulaması, bilgisayar destekli gerilme alanı analizi gerçekleştirirken varsayılan olarak ortalama çatlak aralığını dikkate alır. Ortalama çatlak aralığı, maksimum çatlak aralığının 2/3'ü olarak kabul edilir (λ = 0,67); bu durum, eğilme ve çekme deneylerine dayalı önerileri izlemektedir (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Çatlak genişliği hesaplamalarının, muhafazakâr değerler elde etmek amacıyla maksimum çatlak aralığını (λ = 1,0) dikkate aldığı belirtilmelidir.

TCM'nin uygulanması donatı oranına bağlıdır; bu nedenle her donatı çubuğuna çatlaklar arasında çekmeye çalışan uygun beton alanının atanması kritik öneme sahiptir. Karşılık gelen etkin donatı oranını (ρ_eff = A_s/A_c,eff) herhangi bir konfigürasyon için, eğik donatı dahil (Şekil 23).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)

Kararsız çatlama

Geometrik donatı oranının ρ_cr'den düşük olduğu bölgelerdeki çatlaklar, yani donatının akma olmaksızın çatlama yükünü taşıyabildiği minimum donatı miktarının altındaki bölgeler, ya mekanik olmayan etkilerden (örn. rötre) ya da diğer donatılar tarafından kontrol edilen çatlakların ilerlemesinden kaynaklanır. Bu minimum donatı değeri aşağıdaki şekilde elde edilir:

\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]

burada:

f_y              donatının akma dayanımı,

f_ct             betonun çekme dayanımı,

n              modüler oran, n = E_s / E_c .

Geleneksel beton ve donatı çeliği için ρ_cr yaklaşık olarak %0,6'ya karşılık gelir.

Donatı oranı ρ_cr'nin altında kalan etriyeler için çatlama kararsız olarak kabul edilir ve gerilme sertleşmesi, Şekil 22b'de açıklanan Sıyrılma Modeli (POM) aracılığıyla uygulanır. Bu model, ayrı çatlaklar arasındaki mekanik etkileşimi göz ardı ederek, betonun çekme deformasyonunu ihmal ederek ve TCM tarafından kullanılan aynı kademeli, rijit-tam plastik aderans kayma gerilmesi-kayma ilişkisini varsayarak tek bir çatlağın davranışını analiz eder. Bu sayede çatlak çevresindeki donatı gerinim dağılımı (ε_s), herhangi bir maksimum çelik gerilmesi (σ_sr) için doğrudan denge koşulundan elde edilebilir. Tamamen gelişmemiş çatlak düzeninde çatlak aralığı bilinmediğinden, ortalama gerinim (ε_m), donatı çubuğunun çatlakta çekme dayanımına (f_t) ulaştığı andaki sıfır kayma noktaları arasındaki mesafe üzerinden her yük düzeyi için hesaplanır (Şekil 22b'de l_ε,avg), ve aşağıdaki bağıntılar elde edilir:

Önerilen modeller, analizde nihai olarak dikkate alınan yapışık donatının davranışının hesaplanmasına olanak tanır. En yaygın Avrupa donatı çeliği (B500B, f_t / f_y = 1,08 ve ε_u = %5) için bu davranış (gerilme sertleşmesi dahil) Şekil 22c-d'de gösterilmektedir.