Rysy

Powstawanie rys

Charakterystyczną cechą żelbetowych konstrukcji poddanych zginaniu lub rozciąganiu jest występowanie zarysowania w miejscach, gdzie naprężenie rozciągające w betonie przekracza jego wytrzymałość na rozciąganie. Dla trwałości konstrukcji, a także ze względów estetycznych, ważne jest zapewnienie, aby powstające rysy były jak najmniejsze. Obliczanie szerokości rys oraz maksymalne dopuszczalne szerokości dla różnych klas ekspozycji podano w EN 1992-1-1, rozdział 7.3.

W pierwszym kroku obliczeń określa się, czy przekrój jest zarysowany, czy nie. Szerokość rysy jest zawsze obliczana na podstawie quasi-stałej lub częstej kombinacji obciążeń (w zależności od załącznika krajowego), natomiast powstawanie rys należy sprawdzać dla wszystkich określonych kombinacji SGU. Mogą zatem wystąpić dwa przypadki:

• Maksymalne naprężenie rozciągające we włóknach betonowych nie przekroczy wytrzymałości betonu na rozciąganie dla żadnej kombinacji obciążeń (quasi-stałej M_E,qp, częstej M_E,fr ani charakterystycznej M_E,k), a zatem przekrój traktujemy jako niezarysowany.

\[{{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

• Jeśli rysy powstają dla którejkolwiek z kombinacji (quasi-stałej, częstej lub charakterystycznej), tzn. moment gnący wyznaczony z rozpatrywanej kombinacji obciążeń jest większy od momentu krytycznego M_cr, przekrój jest zarysowany dla tej kombinacji obciążeń i należy obliczyć charakterystyki zarysowanego przekroju oraz szerokość rysy.

\[{{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

M_E,i   .   .   moment gnący uzyskany z pewnej kombinacji obciążeń SGU. Może to być zatem M_E,qp, M_E,fr lub M_E,k. 

f_ct,ef   .   .  wytrzymałość betonu na rozciąganie w rozpatrywanym czasie. Jeśli beton ma więcej niż 28 dni, przyjmuje się wytrzymałość równą f_ctm.

Obliczanie szerokości rys

W elemencie obciążonym zginaniem powstawanie rys dzieli się na 2 zjawiska:

• Faza powstawania rys (etap nr 2 na rys. 1)
• Ustabilizowany rozwój rys (etap nr 3 na rys. 1)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}\]

Etap powstawania rys

Jest to początkowy etap procesu, w którym poszczególne rysy stopniowo pojawiają się, aż cała rozciągana część elementu zostaje objęta rysami rozmieszczonymi w przybliżeniu równomiernie na długości elementu. Pierwsza rysa powstaje, gdy siła w rozciąganym pasku przekroczy wartość siły krytycznej N_r (krytyczna siła rozciągająca, patrz niżej), a kolejne rysy rozwijają się aż do poziomu obciążenia wywołującego siłę w rozciąganym pasku równą około 1,3N_cr (etap nr 2 na rys. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}\]

Powstające rysy dzielą się na 2 rodzaje – pierwotne i wtórne. Rysy pierwotne pojawiają się we włóknach rozciąganych po osiągnięciu efektywnej wytrzymałości betonu na rozciąganie (f_ct,eff). Rysy pierwotne stanowią pierwszy schemat zarysowania (rys. 2). Następnie między rysami pierwotnymi tworzą się krótsze rysy wtórne (rys. 3). Przy naprężeniach odpowiadających około 1,2 do 1,5 σ_sr (zwykle przyjmuje się wartość średnią 1,3 σ_sr, gdzie σ_sr jest naprężeniem w zbrojeniu przy powstawaniu rys pierwotnych w strefie rozciąganej betonu), rozwój rys wtórnych jest również zakończony.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}\]

Szerokość rysy w fazie powstawania rys można obliczyć następująco:

\[{{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}\]

Etap ustabilizowanego zarysowania

Po przekroczeniu około 1,3-krotności siły krytycznej w strefie rozciąganej nie tworzą się nowe rysy, liczba rys w elemencie stabilizuje się, a przy dalszym obciążaniu wzrasta jedynie szerokość istniejących rys (etap nr 3 na rys. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}\]

Szerokość rysy w fazie ustabilizowanego rozwoju można obliczyć jako:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}\]

Krytyczna siła rozciągająca

Obliczenia opierają się na modelu paska rozciąganego (Tension Chord Model, TCM). Podstawowym założeniem jest obliczenie nośności granicznej żelbetowego paska złożonego z pręta zbrojeniowego o polu przekroju A_s,eff otoczonego efektywnym polem rozciąganego betonu A_c,eff, który jest w stanie przenosić naprężenia rozciągające do momentu przekroczenia wytrzymałości na rozciąganie f_ct,eff (zwykle przyjmuje się f_ctm). Zakładając doskonałą przyczepność między zbrojeniem a betonem, można przyjąć, że do chwili powstania pierwszej rysy odkształcenia zbrojenia i otaczającego betonu są identyczne. Wówczas maksymalną siłę w rozciąganym pasku tuż przed powstaniem pierwszej rysy N_r można wyznaczyć:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}\]

Wprowadzając podstawienie

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

otrzymujemy:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Tuż po powstaniu pierwszej rysy cała siła N_r jest przenoszona przez zbrojenie, a zatem naprężenie w zbrojeniu przechodzącym przez świeżo powstałą rysę można obliczyć jako:

\[{{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Obliczanie szerokości rys według EC 1992-1-1

Do obliczania szerokości rys w elementach żelbetowych stosuje się następujące równanie:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

s_r,max   .   .   .   maksymalny rozstaw rys

ε_sm  .   .   .   .   średnie odkształcenie zbrojenia od kombinacji obciążeń, uwzględniające efekty tension stiffening.

ε_cm  .   .   .   .   średnie odkształcenie betonu między rysami

Obliczanie różnicy odkształceń

Różnicę odkształceń zbrojenia i betonu między rysami można uzyskać z równania:

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

σ_s      .   .   .   .   naprężenie w zbrojeniu w rysie od rozpatrywanej kombinacji obciążeń

k_t      .   .   .   .   empiryczny współczynnik uwzględniający średnie odkształcenie, zależny od czasu trwania obciążenia. Może przyjmować wartość 0,6 dla analizy krótkotrwałej. Dla analizy długotrwałej uwzględnia się redukcję sztywności kompozytu do około 70%, dlatego jego wartość wynosi 0,4, co obejmuje tempo degradacji przyczepności między zbrojeniem a betonem w czasie.

α_e     .   .   .   . efektywny stosunek modułów sprężystości

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}\]

ς_p,_eff  .   .   .   .   efektywny stopień zbrojenia

\[{{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

A_c,_eff .   .   .   .   efektywne pole przekroju betonu rozciąganego otaczającego zbrojenie (wyznaczanie A_c,eff poniżej)

A_s,_eff .   .   .   .   pole przekroju zbrojenia z przyczepnością znajdującego się w obszarze A_c,_eff

A_p´    .   .   .   .   pole przekroju cięgien sprężających (pre- lub post-tensioned) w obszarze A_c,_eff

ξ₁  .   .   .   .   .   skorygowany stosunek wytrzymałości na przyczepność, uwzględniający różne średnice stali sprężającej i zbrojeniowej:

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}\]

ξ  .   .   . stosunek wytrzymałości na przyczepność stali sprężającej i zbrojeniowej (Tabela 6.2)

ϕ_s   .   .  największa średnica pręta zbrojeniowego

ϕ_p   .   .  średnica lub równoważna średnica stali sprężającej

Dla wiązek, A_p jest polem przekroju zbrojenia w cięgnie

\[{{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}\]

Dla pojedynczych splotów siedmiodrutowych, gdzie φ_wire jest średnicą drutu

\[{{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Dla pojedynczych splotów trzydrutowych, gdzie φ_wire jest średnicą drutu

\[{{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Jeśli do zapobiegania zarysowaniu stosuje się wyłącznie zbrojenie sprężające, należy przyjąć:

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}\]

W elementach sprężonych minimalne pole zbrojenia z przyczepnością nie jest wymagane, o ile przy charakterystycznej kombinacji obciążeń i charakterystycznej wartości siły sprężającej naprężenie rozciągające w żadnym włóknie nie przekracza wytrzymałości betonu na rozciąganie f_ct,eff. (szczegóły – patrz EN 1992-1-1 rozdz. 7.3.2)

Efektywne pole betonu rozciąganego

Ważnym, a zarazem najbardziej złożonym krokiem obliczeń jest wyznaczenie efektywnego pola rozciąganego betonu otaczającego zbrojenie. Zarówno Eurokod, jak i Model Code rozpatrują proste przypadki obciążeń, w których element żelbetowy jest obciążony jednoosiowym zginaniem lub rozciąganiem. Wartość efektywnej wysokości wyznacza się jako:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}\]

Zazwyczaj miarodajna jest wartość h_c,eff = 2,5(h-d). Dla elementów rozciąganych górną granicą jest h/2, natomiast dla elementów zginanych – (h-x)/3. Pole A_c,eff jest jednak również ograniczone szerokością wyznaczoną ze wzoru 5(c+ϕ/2). Jeśli rozstaw zbrojenia jest większy niż 5(c+ϕ/2), dla poszczególnych prętów przyjmuje się efektywne pole rozciąganego betonu o szerokości 5(c+ϕ/2).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}\]

Maksymalny rozstaw rys

Przy obliczaniu maksymalnego rozstawu rys s_r,max mogą wystąpić dwa przypadki:

• Osiowy rozstaw zbrojenia z przyczepnością nie przekracza odległości 5(c+ϕ/2) – rys. 9a
• Osiowy rozstaw zbrojenia z przyczepnością jest większy niż 5(c+ϕ/2) – rys. 9b

Obliczanie maksymalnego rozstawu rys s_r,max dla przypadku, gdy osiowe rozstawy zbrojenia nie przekraczają wartości 5(c+ϕ/2), definiuje się następująco:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

c  .    .   .   .   .   wartość otuliny betonowej w mm. Ponieważ wartość otuliny może być różna dla zbrojenia skrajnego przy krawędziach poziomych i pionowych, zaleca się przyjęcie maksymalnej wartości otuliny znalezionej dla rozpatrywanego zbrojenia.

ϕ     .   .   .   .   średnica zbrojenia z przyczepnością. W przypadku różnych średnic zbrojenia należy obliczyć średnicę zastępczą zgodnie z równaniem 7.12 EN 1992-1-1.

\[{{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}\]

k₁ .   .   .   . współczynnik uwzględniający właściwości przyczepności zbrojenia z przyczepnością

• k₁ = 0,8 dla prętów o wysokiej przyczepności
• k₁ = 1,6 dla prętów o efektywnie gładkiej powierzchni (np. cięgna sprężające)

k₂ .   .   .   . współczynnik uwzględniający rozkład odkształceń

• k₂ = 1,0 dla zginania
• k₂ = 0,5 dla czystego rozciągania

W przypadkach mimośrodowego rozciągania lub obszarów lokalnych należy stosować pośrednie wartości k₂, które można obliczyć ze wzoru:

\[{{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}\]

k₃      .   .   .   .  współczynnik wyrażający długość obszaru w pobliżu rysy, w którym przyczepność między betonem a zbrojeniem jest naruszona. Zalecana wartość podstawowa EC k₃ = 3,4 może być modyfikowana przez załącznik krajowy. 

k₄      .   .   .   .   współczynnik wyrażający zależność między przyczepnością a wytrzymałością betonu na rozciąganie. Zalecana wartość podstawowa EC k4 = 0,425 może być korygowana przez załącznik krajowy.

Obliczanie maksymalnego rozstawu rys s_r,max dla przypadku, gdy osiowe rozstawy zbrojenia przekraczają wartość 5(c+ϕ/2), definiuje się następująco:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

Wartości maksymalnego rozstawu rys według równania

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

powinny być zawsze większe od wartości wyznaczonych ze wzoru

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;\]

w przeciwnym razie zaleca się przyjęcie większego rozstawu uzyskanego z powyższych równań. Równanie na odkształcenie betonu/zbrojenia nie jest modyfikowane dla przypadku dużego osiowego rozstawu zbrojenia. W obszarach z kontrolowaną szerokością rys osiowy rozstaw poszczególnych prętów zbrojeniowych nie powinien być większy niż 5(c+ϕ/2).

Obliczanie szerokości rys zaimplementowane w RCS

Wyznaczanie efektywnego pola A_c,eff

Ponieważ nie jest oczywiste, które zbrojenie można uznać za podłużne zbrojenie przeciwrysowe, A_c,eff wyznacza się za pomocą następującego procesu iteracyjnego.

• Dla całego zbrojenia pracującego na rozciąganie wyznacza się środek ciężkości sił rozciągających C_g,s,1. Efektywna głębokość zbrojenia d jest odległością między C_g,s a najbardziej ściskanym włóknem betonowym, obliczoną w kierunku wypadkowego momentu gnącego. Jednocześnie wyznacza się położenie osi obojętnej oraz wysokość strefy ściskanej x dla zarysowanego przekroju. Umożliwia to wyznaczenie efektywnej wysokości h_c,eff:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

• Wykluczając całe zbrojenie leżące poza A_c,eff,1, wyznacza się nowy środek ciężkości zbrojenia C_g,s,2 wraz z nową efektywną głębokością zbrojenia d; efektywna wysokość h_c,eff jest wyznaczana w taki sam sposób jak w poprzednim kroku, lecz ze zmienionymi wartościami wejściowymi.

Ponownie sprawdza się, czy całe rozpatrywane zbrojenie rozciągane leży w obszarze A_c,eff,2. Jeśli warunek ten jest spełniony, iterację można zakończyć, a wartości h_c,eff,2, A_c,eff,2 i A_s,eff,2 są wyświetlane jako wartości wynikowe w IDEA StatiCa RCS.

Możliwe przypadki obliczania szerokości rys

Ogólnie przy obliczaniu szerokości rys mogą wystąpić trzy przypadki:

• Zbrojenie rozciągane leży w obszarze A_c,eff, przy czym osiowy rozstaw poszczególnych prętów jest mniejszy niż 5(c+ϕ/2). Wówczas do obliczeń stosuje się następujące definicje:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• Zbrojenie rozciągane leży w obszarze A_c,eff, przy czym osiowy rozstaw poszczególnych prętów przekracza odległość 5(c+ϕ/2). Wówczas do obliczeń stosuje się następujące definicje:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• Zbrojenie rozciągane nie leży w obszarze A_c,eff (może to być spowodowane np. dużą grubością otuliny). 

W takim przypadku obliczenie szerokości rys nie byłoby możliwe. Dlatego obliczanie efektywnej wysokości h_c,eff jest modyfikowane w następujący sposób:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}\]

Jednocześnie wyświetlana jest następująca niezgodność:

Efektywne pole betonu rozciąganego otaczającego zbrojenie lub cięgna sprężające o głębokości h_c,eff, gdzie h_c,eff jest mniejszą z wartości 2,5(h – d) lub h/2. Przy przyjęciu wartości (h – x)/3 zbrojenie znajduje się poza efektywnym polem betonu rozciąganego, dlatego obliczenie szerokości rysy zgodnie z punktem 7.3.4 nie byłoby możliwe.