Skręcanie

Założenia obliczeniowe

Zachowanie przekroju żelbetowego poddanego skręcaniu można podzielić na dwie kategorie – przed i po chwili, gdy można spodziewać się pierwszych zarysowań. Przed zarysowaniem przekrój zachowuje się jak materiał sprężysty. Naprężenie skręcające można wyrazić wzorem   

 \[\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}\] 

gdzie W_t jest wskaźnikiem przekrojowym przy skręcaniu.

Zarysowania w elemencie niezbrojonym spowodowane głównym naprężeniem rozciągającym od skręcania stanowią również stan graniczny nośności. Zachowanie przekroju żelbetowego poddanego skręcaniu można opisać na podstawie cienkościennego przekroju zamkniętego, patrz rys. poniżej. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}\]

Procedura obliczeniowa

Proces sprawdzenia normowego przekroju żelbetowego na skręcanie jest bardzo podobny do sprawdzenia na ścinanie. Przede wszystkim sprawdzamy nośność betonu. Jeśli sprawdzenie betonu jest spełnione, zbrojenie można zaprojektować zgodnie z zasadami konstruowania. W przeciwnym razie należy zweryfikować zbrojenie oraz nośność ściskanych krzyżulców ukośnych w drodze obliczeń.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}\]

Nośność

Przepływ ścinający w ścianie cienkościennego przekroju poddanego skręcaniu można wyrazić jako:

\[ {{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

Siłę ścinającą w ścianie cienkościennego przekroju można wyrazić jako:

\[ V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z\]

Gdzie 

τ          Przepływ ścinający w ścianie,

t_ef         jest efektywną grubością ściany,

z           jest długością boku ściany,

T_Ed       jest momentem skręcającym,

A_k        jest polem powierzchni ograniczonej osiami środkowymi łączących ścian, łącznie z wewnętrznymi obszarami pustymi.

Moment zarysowania od skręcania, który można wyznaczyć podstawiając f_ctd do poprzedniego wyrażenia. W ten sposób otrzymujemy wyrażenie na nośność przy skręcaniu bez zbrojenia na skręcanie.

\[ {{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}\]

gdzie  f_ctd       obliczeniowa wytrzymałość osiowa betonu na rozciąganie

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}\]

Nośność elementu ze zbrojeniem na skręcanie składa się z nośności ściskanych krzyżulców betonowych, która opiera się na metodzie analogii kratownicowej. Naprężenie ściskające w krzyżulcu można wyrazić za pomocą siły ścinającej w ścianie cienkościennego przekroju na rozpatrywanej powierzchni ściany, tj.

\[{{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }\]

Podstawiając σ_c=σ_cwf_cd oraz T_Ed=T_Rd,max i wyznaczając T_Rd,max otrzymujemy równanie na nośność ściskanego krzyżulca

\[{{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}\]

gdzie  

ν          = 0,6 dla f_ck ≤ 60MPa lub dla f_ck > 60MPa

α_cw       współczynnik uwzględniający stan naprężeń ściskających w pasie ściskanym

f_cd        wartość obliczeniowa wytrzymałości betonu na ściskanie

nośność zbrojenia na ścinanie poddanego skręcaniu opiera się ponownie na naprężeniu w ściskanym krzyżulcu. Siła w strzemionach jest równa naprężeniu w ściskanym krzyżulcu na obszarze odpowiadającym danemu rzędowi strzemion, tj.

\[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~\]

Podstawiając T_Ed=T_Rd,s i wyznaczając T_Rd,s  otrzymujemy równanie:

 \[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta\] 

Jeśli znana jest ilość zbrojenia podłużnego i poprzecznego, kąt θ można wyznaczyć z wyrażenia

\[{{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}\] 

Podstawiając do T_Rd,s otrzymujemy

\[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}\]  

Gdzie

A_sw      pole zbrojenia na ścinanie

s           jest rozstawem strzemion zbrojenia na ścinanie

f_ywd      jest efektywną obliczeniową wytrzymałością zbrojenia na ścinanie

A_sl       pole zbrojenia podłużnego

u_k         jest zewnętrznym obwodem przekroju

f_ywd      jest efektywną obliczeniową wytrzymałością zbrojenia podłużnego

Siłę w zbrojeniu podłużnym można wyprowadzić z siły ścinającej w ścianie przekroju poddanego czystemu momentowi skręcającemu, która jest dana jako:

\[V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}\]

Siła ta jest przenoszona w kierunku podłużnym i otrzymujemy:

\[{{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }\]

Dopuszczalny zakres wartości kąta θ jest podobny jak przy sprawdzeniu na ścinanie, tj. 1 < cot θ < 2,5. Zależność między nośnościami przedstawiono na rys. poniżej. Diagram pokazuje, że wraz ze wzrostem kąta θ nośność T_Rd,max rośnie, nośność T_Rd.s maleje, a nośność T_Rd,c jest stała, ponieważ nie opiera się na metodzie analogii kratownicowej.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}\]

Obliczanie charakterystyk przekroju przy skręcaniu

Do sprawdzenia przekroju na skręcanie konieczne jest wyznaczenie tzw. zastępczego cienkościennego przekroju zamkniętego. Przy wyznaczaniu wymiarów zastępczego cienkościennego przekroju przyjmuje się kształt prostokątny. Dla rzeczywistego pola prostokąta przyjmuje się A = b×h, a dla obwodu prostokąta u =2 (b +h). Korzystając z tych dwóch równań można wyznaczyć zastępcze wymiary prostokąta oraz obwód oryginalnego przekroju. Rozwiązując układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi otrzymujemy:

\[b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}\]

Grubość ściany efektywnego przekroju można wyznaczyć z obwodu i pola przekroju jako:

\[t=\text{A}/\text{u}\]

Następnie pole i obwód wyznaczone przez oś środkową efektywnego przekroju:

\[{{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[{{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)\]

Problem z tą metodą pojawia się w przypadku przekrojów teowych z szeroką płytą, gdy do obliczenia wymiarów przyjmowane jest całkowite pole i obwód (łącznie z tą płytą). W przyszłych wersjach programu IDEA RCS zostanie umożliwiony wybór najbardziej masywnej części przekroju, która będzie używana do sprawdzenia skręcania.