Ancoraj

Subcod: LRFD

Tip de îmbinare: Ancoraj

Sistem de unități: Metric

Proiectat conform: ACI 318-14

Investigat: Ancore solicitate la întindere și forfecare în apropierea unei margini

Material placă: A709, Gr. 50

Șuruburi: M12 A325M

Clasă beton: 4000 psi

Geometrie

Dispunerea ancorelor și secțiunea T a plăcii de bază–stâlp este nerealistă, dar servește ca verificare a majorității funcționalităților din proiectarea ancorelor. Decalajul blocului de beton față de placa de bază este de 200 mm în sus și spre stânga, 300 mm spre dreapta și 0 mm în jos. Înălțimea blocului de beton este de 600 mm. Ancorele din stânga și din dreapta sunt la 50 mm, respectiv 100 mm față de centrul stâlpului. Aceasta servește la obținerea excentricității forței de întindere și de forfecare. Toate plăcile sunt proiectate să rămână în domeniul elastic.

Încărcare aplicată

Stâlpul este încărcat cu o forță de întindere de 10 kN și forțe de forfecare în direcțiile y și z, –5 kN și 2 kN. Atât forțele de întindere, cât și cele de forfecare acționează cu excentricitate datorită poziției ancorelor.

Procedură

Ancorele sunt proiectate conform ACI 318-14 – Capitolul 17. În proiectare se presupune beton simplu fisurat. Toate încărcările sunt considerate statice. Ancorele sunt M12 A325M, turnate in situ cu cap și plăci tip șaibă circulare cu diametrul de 24 mm. Forțele de forfecare sunt preluate prin ancore. Rezistența plăcilor și a sudurilor este suficientă și nu este verificată aici.

Notă: Conversia unităților imperiale în unități metrice pentru formulele neomogene este prezentată în Anexa B a ACI 318-14. Formulele dau rezultate similare, dar nu identice. Pentru a evita grade de utilizare diferite pentru unitățile imperiale și metrice, se preferă unitățile imperiale, iar coeficienții din formulele neomogene sunt ușor modificați pentru unitățile metrice, de exemplu în Ecuația 17.4.4.1, în loc de coeficientul 13, se utilizează coeficientul mai precis 13,2855.

Calcul manual

Verificarea ancorelor este efectuată conform ACI 318-14 – Capitolul 17. Rezistența oțelului la întindere și forfecare și rezistența la smulgere sunt determinate pentru ancore individuale, iar rezistența la rupere a conului de beton la întindere și forfecare, rezistența la spargere laterală a betonului și rezistența la smulgere prin efect de pârghie sunt determinate pentru grupuri de ancore. Se presupune că betonul este simplu și în stare fisurată.

Distribuția forțelor

Forța de întindere este preluată de 2 ancore, una aflată la 50 mm față de originea vectorului forței, cealaltă la 100 mm. Se presupune că ancora mai apropiată preia 2/3 din forța de întindere, iar cea mai îndepărtată 1/3, adică ancora mai apropiată este solicitată de forța de întindere N_f1 = 6,67 kN, cea mai îndepărtată de N_f2 = 3,33 kN. Excentricitatea forței față de grupul de ancore este de 25 mm.

Forța de forfecare în direcția spre marginea cea mai apropiată este preluată de 2 ancore, una aflată la 50 mm față de originea vectorului forței, cealaltă la 100 mm. Se presupune că ancora mai apropiată preia 2/3 din forța de forfecare, iar cea mai îndepărtată 1/3, adică ancora mai apropiată este solicitată de forța de forfecare V_fx1 = 3,33 kN, cea mai îndepărtată de V_fx2 = 1,67 kN. Excentricitatea forței față de grupul de ancore este de 25 mm. Forța de forfecare în direcția paralelă cu marginea cea mai apropiată, 2 kN, este distribuită în mod egal între ambele ancore. Sumele vectoriale ale forțelor de forfecare sunt V_f1 = 3,48 kN, V_f2 = 1,94 kN, iar pentru grupul de ancore V_f = 5,39 kN.

Rezistența oțelului ancorului la întindere

Rezistența oțelului ancorului la întindere este determinată conform ACI 318-14 – 17.4.1 ca

ϕN_sa = ϕ A_se,Nf_uta = 0,7 ⋅ 84 ⋅ 827,4 = 48,7 kN ≥ N_f1 = 6,67 kN

unde:

• ϕ = 0,7 – factor de reducere a rezistenței pentru ancore solicitate la întindere conform ACI 318-14 – 17.3.3
• A_se,N = 84 mm² – aria secțiunii transversale la întindere
• f_uta = 827,4 MPa – rezistența la întindere specificată a oțelului ancorului și nu trebuie să depășească 1,9 f_ya și 120 ksi

Grad de utilizare: N_f1 / ϕN_sa = 6,67 / 48,7 = 13,7 %

Rezistența la rupere a conului de beton la întindere

Rezistența la rupere a conului de beton este proiectată conform metodei Concrete Capacity Design (CCD) din ACI 318-14 – Capitolul 17.4.2. Ancorele sunt tratate ca grup deoarece sunt apropiate între ele, distanța s = 150 mm ≤ 3 ⋅ h_ef = 3 ⋅ 100 = 300 mm.

\[ \phi N_{cbg} = \phi \frac{A_{Nc}}{A_{Nco}} \psi_{ec,N} \psi_{ed,N} \psi_{c,N} \psi_{cp,N} N_b \]

unde:

• ϕ = 0,7 – factor de reducere a rezistenței pentru ancore solicitate la întindere conform ACI 318-14 – 17.3.3
• A_Nc = (50 + 150 + 12) ⋅ (150 + 12 + 150 + 12 + 150) = 100 488 mm² – aria reală a conului de rupere a betonului pentru un grup de ancore care formează un con comun de beton. Conform Cl. 17.4.2.8, aria proiectată a suprafeței de rupere se obține prin proiectarea suprafeței de rupere în afara perimetrului efectiv al plăcii tip șaibă.
• A_Nco = 9 h_ef² = 9 ⋅ 100² = 90 000 mm² – aria conului de rupere a betonului pentru o ancoră singulară neinfluențată de margini
• \( \psi_{ec,N} = \frac{1}{1+\frac{2 e'_N}{3 h_{ef}}} = \frac{1}{1+\frac{2 \cdot 25}{3 \cdot 100}}=0.857 \) – factor de modificare pentru grupuri de ancore solicitate excentric la întindere
• \( \psi_{ed,N} = \min \left ( 0.7 + \frac{0.3 c_{a,min}}{1.5 h_{ef}}, 1 \right ) = \min \left ( 0.7 + \frac{0.3 \cdot 50}{1.5 \cdot 100}, 1 \right ) = 0.8 \) – factor de modificare pentru distanța față de margine
• c_a,min = 50 mm – cea mai mică distanță de la ancoră la margine
• Ψ_c,N = 1 – factor de modificare pentru condițiile betonului
• Ψ_cp,N = 1 pentru ancoră turnată in situ
• \( N_b = k_c \lambda_a \sqrt{f'_c} h_{ef}^{1.5} = 10 \cdot 1 \cdot  \sqrt{27.6} \cdot 100^{1.5} = 52.7 \,\textrm{kN} \)– rezistența de bază la rupere a conului de beton pentru o ancoră singulară la întindere în beton fisurat; h_ef ≤ 280 mm (11 in)
• k_c = 10 pentru ancore turnate in situ și unități metrice
• h_ef = 100 mm – adâncimea de înglobare; conform Capitolului 17.4.2.3 din ACI 318-14, adâncimea efectivă de înglobare h_ef se reduce la \( h_{ef} = \max \left ( \frac{c_{a,max}}{1.5}, \frac{s}{3} \right ) \)
• dacă ancorele sunt amplasate la mai puțin de 1,5 h_ef față de trei sau mai multe margini
• s = 150 mm – distanța dintre ancore
• c_a,max = 350 mm – distanța maximă de la o ancoră la una dintre cele trei margini apropiate
• λ_a = 1 – factor de modificare pentru beton ușor
• f'_c = 27,6 MPa – rezistența la compresiune a betonului

\[ \phi N_{cbg} = 0.7 \cdot \frac{100488}{90000} \cdot 0.857 \cdot 0.8 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 52.7 = 28.3 \,\textrm{kN} \ge N_f = 10\,\textrm{kN} \]

Grad de utilizare: N_f / ϕN_cbg = 10 / 28,3 = 35,4 %

Rezistența la smulgere la întindere

Rezistența la smulgere a betonului pentru o ancoră este definită în ACI 318-14 – 17.4.3 ca

ϕN_pn = ϕΨ_c,PN_p = 0,7 ⋅ 1 ⋅ 74,9 = 52,4 kN ≥ N_f1 = 6,67 kN

unde:

• ϕ = 0,7 – factor de reducere a rezistenței pentru ancore solicitate la întindere conform ACI 318-14 – 17.3.3
• Ψ_c,P = 1 – factor de modificare pentru condițiile betonului, Ψ_c,P = 1,0 pentru beton fisurat
• N_P = 8 A_brgf'_c = 8 ⋅ 339,3 ⋅ 27,6 = 74,9 kN – pentru ancoră cu cap – Cl. 17.4.3.4
• A_brg = π ⋅ (d_wp² – d_a²) / 4 = π ⋅ (24² – 12²) / 4 = 339,3 mm²– aria de rezemare a capului bulonului de ancoraj
• f'_c = 27,6 MPa – rezistența la compresiune a betonului

Grad de utilizare: N_f1 / ϕN_pn = 6,67 / 52,4 = 12,7 %

Rezistența la spargere laterală a betonului

Rezistența la spargere laterală a betonului pentru ancora cu cap solicitată la întindere este definită în ACI 318-14 – 17.4.4 ca

\[ \phi N_{sb} = \phi 13 c_{a1} \sqrt{A_{brg}} \sqrt{f'_c} \]

Rezistența la spargere laterală a betonului este înmulțită cu factorul de reducere pentru ancore cu cap multiple apropiate de o margine și apropiate între ele conform Cl. 17.4.4.2:

\[ 1+\frac{s}{6 c_{a1}} = 1+\frac{150}{6 \cdot 50} = 1.5 \le 2 \]

unde:

• ϕ = 0,7 – factor de reducere a rezistenței pentru ancore solicitate la întindere conform ACI 318-14 – 17.3.3
• c_a1 = 50 mm – distanța mai mică de la axa ancorului la o margine
• c_a2 = 350 mm – distanța mai mare, perpendiculară pe c_a1, de la axa ancorului la o margine
• A_brg = 339,3 mm² – aria de rezemare a capului bulonului de ancoraj
• f'_c = 27,6 MPa – rezistența la compresiune a betonului
• h_ef = 100 mm – adâncimea de înglobare
• s = 150 mm – distanța dintre ancore

\[ \phi N_{sbg} = 1.5 \cdot \phi 13 c_{a1} \sqrt{A_{brg}} \sqrt{f'_c} = 1.5 \cdot 0.7 \cdot 13 \cdot 50 \cdot \sqrt{339.3} \cdot \sqrt{27.6} = 67.4\,\textrm{kN} \ge N_{f} = 10\,\textrm{kN} \]

Grad de utilizare: N_f / ϕN_cbg = 10 / 67,4 = 26,7 %

Rezistența oțelului la forfecare

Rezistența oțelului la forfecare este determinată conform ACI 318-14 – 17.5.1 ca

ϕV_sa = ϕ 0,6 A_se,Vf_uta = 0,65 ⋅ 0,6 ⋅ 84 ⋅ 827,4 = 27,1 kN ≥ V_f1 = 3,48 kN

unde:

• ϕ = 0,65 – factor de reducere a rezistenței pentru ancore solicitate la întindere conform ACI 318-14 – 17.3.3
• A_se,V = 84 mm² – aria secțiunii transversale la întindere
• f_uta = 827,4 MPa – rezistența la întindere specificată a oțelului ancorului și nu trebuie să depășească 1,9 f_ya și 120 ksi

Grad de utilizare: V_f1 / ϕV_sa = 3,48 / 27,1 = 12,7 %

Rezistența la rupere a conului de beton la forfecare

Rezistența la rupere a conului de beton pentru un grup de ancore la forfecare este proiectată conform ACI 318-14 – 17.5.2.

\[ \phi V_{cbg} = \phi \frac{A_V}{A_{Vo}} \psi_{ec,V} \psi_{ed,V} \psi_{c,V} \psi_{h,V} \psi_{\alpha,V} V_b \]

unde:

• ϕ = 0,65 – factor de reducere a rezistenței pentru ancore solicitate la forfecare conform ACI 318-14 – 17.3.3
• A_v = (50 ⋅ 1,5) ⋅ (50 ⋅ 1,5 + 150 + 50 ⋅ 1,5) = 22 500 mm² – aria proiectată a suprafeței de cedare a betonului pentru o ancoră sau un grup de ancore
• A_vo = 4,5 c_a1² = 4,5 ⋅ 50² = 11 250 mm² – aria proiectată a suprafeței de cedare a betonului pentru o ancoră singulară neinfluențată de colțuri, distanțe sau grosimea elementului
• \( \psi_{ec,V} = \frac{1}{1+\frac{2 e'_V}{3 c_{a1}}}= \frac{1}{1+\frac{2 \cdot 25}{3 \cdot 50}}=0.75 \) – factor de modificare pentru grupuri de ancore solicitate excentric la forfecare
• \( \psi_{ed,V} = 0.7 + 0.3 \frac{c_{a2}}{1.5 c_{a1}} = 0.7 + 0.3 \frac{350}{1.5 \cdot 50} = 2.1\le 1.0 \) – factor de modificare pentru efectul marginii
• Ψ_c,V = 1 – factor de modificare pentru condițiile betonului; Ψ_c,V = 1,0 pentru beton fisurat
• \( $\psi_{h,V} = \sqrt{\frac{1.5 c_{a1}}{h_a}} = \sqrt{\frac{1.5 \cdot 50}{600}} = 0.354 \ge 1 \)– factor de modificare pentru ancore amplasate într-un element de beton unde h_a < 1,5 c_a1
• \( \psi_{\alpha ,V} = \sqrt{\frac{1}{(\cos \alpha_V )^2 + (0.5 \sin \alpha_V)^2}}=\sqrt{\frac{1}{(\cos 21.8^\circ )^2 + (0.5 \sin 21.8^\circ)^2}} = 1.056 \)– factor de modificare pentru ancore solicitate la un unghi de 90° − α_V față de marginea betonului; în ACI 318-14 – 17.5.2.1 sunt prezentate doar valori discrete, ecuația este preluată din FIB bulletin 58 – Design of anchorages in concrete (2011)
• h_a = 600 mm – înălțimea suprafeței de cedare pe partea betonului

\[ V_b = \min \left ( 0.6 \left ( \frac{l_e}{d_a} \right )^{0.2} \lambda_a \sqrt{d_a} \sqrt{f'_c} c_{a1}^{1.5}, 3.7 \lambda_a \sqrt{d_a} \sqrt{f'_c} c_{a1}^{1.5} \right ) \]

\[ V_b = \min \left ( 0.6 \left ( \frac{96}{12} \right )^{0.2} \cdot 1.0 \cdot \sqrt{12} \cdot \sqrt{27.6} \cdot 50^{1.5} = 5.666 \, \textrm{kN}, 3.7 \cdot 1.0 \cdot \sqrt{12} \cdot \sqrt{27.6} \cdot 50^{1.5} = 6.993 \, \textrm{kN} \right ) = 5.666 \, \textrm{kN} \]

• l_e = h_ef = 100 mm ≤ 8 d_a = 8 ⋅ 12 = 96 mm – lungimea portantă a ancorului la forfecare
• d_a = 12 mm – diametrul ancorului
• f'_c = 27,6 MPa – rezistența la compresiune a betonului
• c_a1 = 50 mm – distanța față de margine în direcția încărcării, c_a2 ≥ 1,5 c_a1 și h_a ≥ 1,5 c_a1
• c_a2 = 350 mm – distanța față de margine în direcția perpendiculară pe încărcare

\[ \phi V_{cbg} = 0.65 \cdot \frac{22500}{11250} \cdot 0.75 \cdot  1.0 \cdot 1.0 \cdot 1.0 \cdot 1.056 \cdot 5.666 = 5.835 \, \textrm{kN} \ge V_f = 5.39 \, \textrm{kN} \]

Grad de utilizare: V_f / ϕV_cbg = 5,39 / 5,835 = 92,3 %

Rezistența betonului la smulgere prin efect de pârghie la forfecare

Rezistența betonului la smulgere prin efect de pârghie este proiectată conform ACI 318-14 – 17.5.3. Se presupune că toate ancorele sunt solicitate la întindere și nu există excentricitate pentru rezistența la rupere a conului de beton.

ϕV_cp = ϕk_cpN_cp = 0,65 ⋅ 2 ⋅ 47,1 = 61,2 kN ≥ V_f = 5,39 kN

unde:

• ϕ = 0,65 – factor de reducere a rezistenței pentru ancore solicitate la forfecare conform ACI 318-14 – 17.3.3
• k_cp = 2,0 pentru h_ef ≥ 50 mm
• N_cp = N_cb = 47,1 kN (rezistența la rupere a conului de beton – se presupune că toate ancorele sunt solicitate la întindere) în cazul ancorelor turnate in situ

Grad de utilizare: V_f / ϕV_cp = 5,39 / 61,2 = 5,7 %

Interacțiunea forțelor de întindere și forfecare

Interacțiunea forțelor de întindere și forfecare este evaluată conform ACI 318-14 – R17.6.

\[ \left ( \frac{N_{ua}}{N_n} \right )^{\zeta} + \left ( \frac{V_{ua}}{V_n} \right )^{\zeta} = \left ( 0.354 \right )^{5/3} + \left ( 0.923 \right )^{5/3}= 1.062 \le 1.0 \]

unde:

• N_ua și V_ua – forțele de calcul care acționează asupra unei ancore
• N_n și V_n – cele mai mici rezistențe de calcul determinate din toate modurile de cedare aplicabile
• ς = 5 / 3

Rezistența ancorajului nu este suficientă pentru a prelua forțele combinate de întindere și forfecare.

Verificarea conform codului în IDEA StatiCa Connection

În plus, sunt prezentate rezultatele pentru suduri și blocul de beton la compresiune. Solicitarea acestor componente este neglijabilă și, prin urmare, și gradul de utilizare.

Comparație

Distribuția forțelor în IDEA StatiCa Connection diferă ușor față de evaluarea manuală. Stâlpul și placa de bază sunt deformate, iar placa de bază este în contact cu blocul de beton. Tensiunea de contact mărește forțele din ancore. Astfel, factorii care țin cont de excentricitatea forței sunt ușor diferiți. Rezistența la spargere laterală a betonului este verificată în IDEA StatiCa Connection pentru fiecare ancoră separat, însă în calculul manual poate fi verificată ca grup pentru a obține o rezistență ușor mai mare. Din aceste motive, unele rezistențe individuale diferă ușor, dar doar cu câteva procente. Gradul de utilizare final – interacțiunea forțelor de întindere și forfecare – este aproape identic: 106,2 % în evaluarea manuală și 107,7 % în IDEA StatiCa.