Verankering

Subcode: LRFD

Type of verbinding: Verankering

Eenheidssysteem: Metrisch

Ontworpen volgens: ACI 318-14

Onderzocht: Ankers op trek en afschuiving nabij een rand

Plaatmateriaal: A709, Gr. 50

Bouten: M12 A325M

Betonkwaliteit: 4000 psi

Geometrie

De ankerindeling en de voetplaat–kolom T-doorsnede zijn niet realistisch, maar dienen als verificatie van de meeste functies bij het ontwerp van ankers. De verschuiving van het betonblok ten opzichte van de voetplaat bedraagt 200 mm naar boven en naar links, 300 mm naar rechts en 0 mm naar beneden. De hoogte van het betonblok is 600 mm. De linker- en rechterankers bevinden zich respectievelijk 50 mm en 100 mm van het hart van de kolom. Dit dient om excentriciteit van de trek- en afschuivingsbelasting te verkrijgen. Alle platen zijn ontworpen om in elastische toestand te blijven.

Opgelegde belasting

De kolom wordt belast door een trek kracht van 10 kN en afschuivingskrachten in de y- en z-richting van –5 kN en 2 kN. Zowel de trek- als de afschuivingskrachten werken met een excentriciteit als gevolg van de positie van de ankers.

Procedure

De ankers zijn ontworpen volgens ACI 318-14 – Hoofdstuk 17. In het ontwerp wordt uitgegaan van gebarsten ongewapend beton. Alle belastingen worden als statisch beschouwd. De ankers zijn M12 A325M, ingestorte kopdeuvel met ronde ankerplaten met een diameter van 24 mm. Afschuivingskrachten worden via de ankers overgedragen. De sterkte van de platen en lassen is voldoende en wordt hier niet gecontroleerd.

Opmerking: De omrekening van imperiale eenheden naar metrische eenheden van niet-homogene formules staat in Bijlage B van ACI 318-14. De formules geven vergelijkbare maar niet exact dezelfde resultaten. Om verschillende benuttingsgraden voor imperiale en metrische eenheden te vermijden, hebben imperiale eenheden de voorkeur en worden de coëfficiënten in niet-homogene formules licht aangepast voor metrische eenheden, bijv. in Vergelijking 17.4.4.1 wordt in plaats van coëfficiënt 13 de nauwkeurigere coëfficiënt 13,2855 gebruikt.

Handberekening

De normtoetsing van ankers wordt uitgevoerd volgens ACI 318-14 – Hoofdstuk 17. De staalsterkte op trek en afschuiving en de uittreksterkte worden bepaald voor individuele ankers; de betonuitbreeksterkte op trek en afschuiving, de betonzijvlakuitbreeksterkte en de betonuitstootsterkte worden bepaald voor een groep ankers. Er wordt aangenomen dat het beton ongewapend en in gebarsten toestand is.

Krachtsverdeling

De trek kracht wordt overgedragen via 2 ankers, waarvan één 50 mm van de oorsprong van de krachtsvector ligt en het andere 100 mm. Er wordt aangenomen dat het dichtstbijzijnde anker 2/3 van de trek kracht overdraagt en het verste 1/3, d.w.z. het dichtstbijzijnde anker wordt belast door trek kracht N_f1 = 6,67 kN, het verste door N_f2 = 3,33 kN. De krachtexcentriciteit van de ankergroep bedraagt 25 mm.

De afschuivingskracht in de richting naar de dichtstbijzijnde rand wordt overgedragen via 2 ankers, waarvan één 50 mm van de oorsprong van de krachtsvector ligt en het andere 100 mm. Er wordt aangenomen dat het dichtstbijzijnde anker 2/3 van de afschuivingskracht overdraagt en het verste 1/3, d.w.z. het dichtstbijzijnde anker wordt belast door afschuivingskracht V_fx1 = 3,33 kN, het verste door V_fx2 = 1,67 kN. De krachtexcentriciteit van de ankergroep bedraagt 25 mm. De afschuivingskracht in de richting evenwijdig aan de dichtstbijzijnde rand, 2 kN, wordt gelijkmatig verdeeld over beide ankers. De vectorsommen van de afschuivingskrachten zijn V_f1 = 3,48 kN, V_f2 = 1,94 kN, en voor een groep ankers V_f = 5,39 kN.

Staalsterkte van anker op trek

De staalsterkte van een anker op trek wordt bepaald volgens ACI 318-14 – 17.4.1 als

ϕN_sa = ϕ A_se,Nf_uta = 0,7 ⋅ 84 ⋅ 827,4 = 48,7 kN ≥ N_f1 = 6,67 kN

waarbij:

• ϕ = 0,7 – reductiefactor voor de sterkte van ankers op trek volgens ACI 318-14 – 17.3.3
• A_se,N = 84 mm² – trekspanningsoppervlak
• f_uta = 827,4 MPa – opgegeven treksterkte van het ankerstaal en mag niet groter zijn dan 1,9 f_ya en 120 ksi

Benuttingsgraad: N_f1 / ϕN_sa = 6,67 / 48,7 = 13,7 %

Betonuitbreeksterkte op trek

De betonuitbreeksterkte wordt ontworpen volgens de Concrete Capacity Design (CCD) in ACI 318-14 – Hoofdstuk 17.4.2. De ankers worden als een groep behandeld omdat ze dicht bij elkaar liggen, de hartafstand s = 150 mm ≤ 3 ⋅ h_ef = 3 ⋅ 100 = 300 mm.

\[ \phi N_{cbg} = \phi \frac{A_{Nc}}{A_{Nco}} \psi_{ec,N} \psi_{ed,N} \psi_{c,N} \psi_{cp,N} N_b \]

waarbij:

• ϕ = 0,7 – reductiefactor voor de sterkte van ankers op trek volgens ACI 318-14 – 17.3.3
• A_Nc = (50 + 150 + 12) ⋅ (150 + 12 + 150 + 12 + 150) = 100 488 mm² – werkelijk betonuitbreekkegeloppervlak voor een groep ankers die een gemeenschappelijke betonkegel vormen. Volgens Art. 17.4.2.8 wordt het geprojecteerde oppervlak van het breukoppervlak bepaald door het breukoppervlak naar buiten te projecteren vanuit de effectieve omtrek van de ankerplaat.
• A_Nco = 9 h_ef² = 9 ⋅ 100² = 90 000 mm² – betonuitbreekkegeloppervlak voor een enkel anker zonder randinvloed
• \( \psi_{ec,N} = \frac{1}{1+\frac{2 e'_N}{3 h_{ef}}} = \frac{1}{1+\frac{2 \cdot 25}{3 \cdot 100}}=0.857 \) – modificatiefactor voor excentrisch belaste ankergroepen op trek
• \( \psi_{ed,N} = \min \left ( 0.7 + \frac{0.3 c_{a,min}}{1.5 h_{ef}}, 1 \right ) = \min \left ( 0.7 + \frac{0.3 \cdot 50}{1.5 \cdot 100}, 1 \right ) = 0.8 \) – modificatiefactor voor randafstand
• c_a,min = 50 mm – kleinste afstand van het anker tot de rand
• Ψ_c,N = 1 – modificatiefactor voor betonomstandigheden
• Ψ_cp,N = 1 voor ingestorte ankers
• \( N_b = k_c \lambda_a \sqrt{f'_c} h_{ef}^{1.5} = 10 \cdot 1 \cdot  \sqrt{27.6} \cdot 100^{1.5} = 52.7 \,\textrm{kN} \)– basisbetonuitbreeksterkte van een enkel anker op trek in gebarsten beton; h_ef ≤ 280 mm (11 in)
• k_c = 10 voor ingestorte ankers en metrische eenheden
• h_ef = 100 mm – inbeddelingsdiepte; volgens Hoofdstuk 17.4.2.3 in ACI 318-14 wordt de effectieve inbeddelingsdiepte h_ef gereduceerd tot \( h_{ef} = \max \left ( \frac{c_{a,max}}{1.5}, \frac{s}{3} \right ) \)
• als ankers zich op minder dan 1,5 h_ef van drie of meer randen bevinden
• s = 150 mm – hartafstand tussen ankers
• c_a,max = 350 mm – maximale afstand van een anker tot een van de drie nabijgelegen randen
• λ_a = 1 – modificatiefactor voor lichtgewicht beton
• f'_c = 27,6 MPa – druksterkte van het beton

\[ \phi N_{cbg} = 0.7 \cdot \frac{100488}{90000} \cdot 0.857 \cdot 0.8 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 52.7 = 28.3 \,\textrm{kN} \ge N_f = 10\,\textrm{kN} \]

Benuttingsgraad: N_f / ϕN_cbg = 10 / 28,3 = 35,4 %

Uittreksterkte op trek

De betonuittreksterkte van een anker is gedefinieerd in ACI 318-14 – 17.4.3 als

ϕN_pn = ϕΨ_c,PN_p = 0,7 ⋅ 1 ⋅ 74,9 = 52,4 kN ≥ N_f1 = 6,67 kN

waarbij:

• ϕ = 0,7 – reductiefactor voor de sterkte van ankers op trek volgens ACI 318-14 – 17.3.3
• Ψ_c,P = 1 – modificatiefactor voor betonomstandigheden, Ψ_c,P = 1,0 voor gebarsten beton
• N_P = 8 A_brgf'_c = 8 ⋅ 339,3 ⋅ 27,6 = 74,9 kN – voor kopdeuvel – Art. 17.4.3.4
• A_brg = π ⋅ (d_wp² – d_a²) / 4 = π ⋅ (24² – 12²) / 4 = 339,3 mm²– draagoppervlak van de kop van de ankerbout
• f'_c = 27,6 MPa – druksterkte van het beton

Benuttingsgraad: N_f1 / ϕN_pn = 6,67 / 52,4 = 12,7 %

Betonzijvlakuitbreeksterkte

De betonzijvlakuitbreeksterkte van een kopdeuvel op trek is gedefinieerd in ACI 318-14 – 17.4.4 als

\[ \phi N_{sb} = \phi 13 c_{a1} \sqrt{A_{brg}} \sqrt{f'_c} \]

De betonzijvlakuitbreeksterkte wordt vermenigvuldigd met een reductiefactor voor meerdere kopdeuvel dicht bij een rand en dicht bij elkaar volgens Art. 17.4.4.2:

\[ 1+\frac{s}{6 c_{a1}} = 1+\frac{150}{6 \cdot 50} = 1.5 \le 2 \]

waarbij:

• ϕ = 0,7 – reductiefactor voor de sterkte van ankers op trek volgens ACI 318-14 – 17.3.3
• c_a1 = 50 mm – kortste afstand van de hartlijn van een anker tot een rand
• c_a2 = 350 mm – langste afstand, loodrecht op c_a1, van de hartlijn van een anker tot een rand
• A_brg = 339,3 mm² – draagoppervlak van de kop van de ankerbout
• f'_c = 27,6 MPa – druksterkte van het beton
• h_ef = 100 mm – inbeddelingsdiepte
• s = 150 mm – hartafstand tussen ankers

\[ \phi N_{sbg} = 1.5 \cdot \phi 13 c_{a1} \sqrt{A_{brg}} \sqrt{f'_c} = 1.5 \cdot 0.7 \cdot 13 \cdot 50 \cdot \sqrt{339.3} \cdot \sqrt{27.6} = 67.4\,\textrm{kN} \ge N_{f} = 10\,\textrm{kN} \]

Benuttingsgraad: N_f / ϕN_cbg = 10 / 67,4 = 26,7 %

Staalsterkte op afschuiving

De staalsterkte op afschuiving wordt bepaald volgens ACI 318-14 – 17.5.1 als

ϕV_sa = ϕ 0,6 A_se,Vf_uta = 0,65 ⋅ 0,6 ⋅ 84 ⋅ 827,4 = 27,1 kN ≥ V_f1 = 3,48 kN

waarbij:

• ϕ = 0,65 – reductiefactor voor de sterkte van ankers op trek volgens ACI 318-14 – 17.3.3
• A_se,V = 84 mm² – trekspanningsoppervlak
• f_uta = 827,4 MPa – opgegeven treksterkte van het ankerstaal en mag niet groter zijn dan 1,9 f_ya en 120 ksi

Benuttingsgraad: V_f1 / ϕV_sa = 3,48 / 27,1 = 12,7 %

Betonuitbreeksterkte op afschuiving

De betonuitbreeksterkte van een ankergroep op afschuiving wordt ontworpen volgens ACI 318-14 – 17.5.2.

\[ \phi V_{cbg} = \phi \frac{A_V}{A_{Vo}} \psi_{ec,V} \psi_{ed,V} \psi_{c,V} \psi_{h,V} \psi_{\alpha,V} V_b \]

waarbij:

• ϕ = 0,65 – reductiefactor voor de sterkte van ankers op afschuiving volgens ACI 318-14 – 17.3.3
• A_v = (50 ⋅ 1,5) ⋅ (50 ⋅ 1,5 + 150 + 50 ⋅ 1,5) = 22 500 mm² – geprojecteerd betonbreukoppervlak van een anker of ankergroep
• A_vo = 4,5 c_a1² = 4,5 ⋅ 50² = 11 250 mm² – geprojecteerd betonbreukoppervlak van één anker zonder invloed van hoeken, hartafstand of constructiedikte
• \( \psi_{ec,V} = \frac{1}{1+\frac{2 e'_V}{3 c_{a1}}}= \frac{1}{1+\frac{2 \cdot 25}{3 \cdot 50}}=0.75 \) – modificatiefactor voor excentrisch belaste ankergroepen op afschuiving
• \( \psi_{ed,V} = 0.7 + 0.3 \frac{c_{a2}}{1.5 c_{a1}} = 0.7 + 0.3 \frac{350}{1.5 \cdot 50} = 2.1\le 1.0 \) – modificatiefactor voor randeffect
• Ψ_c,V = 1 – modificatiefactor voor betonomstandigheden; Ψ_c,V = 1,0 voor gebarsten beton
• \( $\psi_{h,V} = \sqrt{\frac{1.5 c_{a1}}{h_a}} = \sqrt{\frac{1.5 \cdot 50}{600}} = 0.354 \ge 1 \)– modificatiefactor voor ankers in een betonconstructie waarbij h_a < 1,5 c_a1
• \( \psi_{\alpha ,V} = \sqrt{\frac{1}{(\cos \alpha_V )^2 + (0.5 \sin \alpha_V)^2}}=\sqrt{\frac{1}{(\cos 21.8^\circ )^2 + (0.5 \sin 21.8^\circ)^2}} = 1.056 \)– modificatiefactor voor ankers belast onder een hoek van 90° − α_V met de betonrand; in ACI 318-14 – 17.5.2.1 zijn alleen discrete waarden opgenomen, de vergelijking is ontleend aan FIB bulletin 58 – Design of anchorages in concrete (2011)
• h_a = 600 mm – hoogte van het breukoppervlak aan de betonzijde

\[ V_b = \min \left ( 0.6 \left ( \frac{l_e}{d_a} \right )^{0.2} \lambda_a \sqrt{d_a} \sqrt{f'_c} c_{a1}^{1.5}, 3.7 \lambda_a \sqrt{d_a} \sqrt{f'_c} c_{a1}^{1.5} \right ) \]

\[ V_b = \min \left ( 0.6 \left ( \frac{96}{12} \right )^{0.2} \cdot 1.0 \cdot \sqrt{12} \cdot \sqrt{27.6} \cdot 50^{1.5} = 5.666 \, \textrm{kN}, 3.7 \cdot 1.0 \cdot \sqrt{12} \cdot \sqrt{27.6} \cdot 50^{1.5} = 6.993 \, \textrm{kN} \right ) = 5.666 \, \textrm{kN} \]

• l_e = h_ef = 100 mm ≤ 8 d_a = 8 ⋅ 12 = 96 mm – draaglengte van het anker op afschuiving
• d_a = 12 mm – ankerdiameter
• f'_c = 27,6 MPa – druksterkte van het beton
• c_a1 = 50 mm – randafstand in de belastingsrichting, c_a2 ≥ 1,5 c_a1 en h_a ≥ 1,5 c_a1
• c_a2 = 350 mm – randafstand loodrecht op de belastingsrichting

\[ \phi V_{cbg} = 0.65 \cdot \frac{22500}{11250} \cdot 0.75 \cdot  1.0 \cdot 1.0 \cdot 1.0 \cdot 1.056 \cdot 5.666 = 5.835 \, \textrm{kN} \ge V_f = 5.39 \, \textrm{kN} \]

Benuttingsgraad: V_f / ϕV_cbg = 5,39 / 5,835 = 92,3 %

Betonuitstootsterkte van anker op afschuiving

De betonuitstootsterkte wordt ontworpen volgens ACI 318-14 – 17.5.3. Er wordt aangenomen dat alle ankers op trek worden belast en dat er geen excentriciteit aanwezig is voor de betonuitbreeksterkte.

ϕV_cp = ϕk_cpN_cp = 0,65 ⋅ 2 ⋅ 47,1 = 61,2 kN ≥ V_f = 5,39 kN

waarbij:

• ϕ = 0,65 – reductiefactor voor de sterkte van ankers op afschuiving volgens ACI 318-14 – 17.3.3
• k_cp = 2,0 voor h_ef ≥ 50 mm
• N_cp = N_cb = 47,1 kN (betonuitbreeksterkte – alle ankers worden aangenomen op trek) bij ingestorte ankers

Benuttingsgraad: V_f / ϕV_cp = 5,39 / 61,2 = 5,7 %

Interactie van trek- en afschuivingskrachten

De interactie van trek- en afschuivingskrachten wordt beoordeeld volgens ACI 318-14 – R17.6.

\[ \left ( \frac{N_{ua}}{N_n} \right )^{\zeta} + \left ( \frac{V_{ua}}{V_n} \right )^{\zeta} = \left ( 0.354 \right )^{5/3} + \left ( 0.923 \right )^{5/3}= 1.062 \le 1.0 \]

waarbij:

• N_ua en V_ua – rekenwaarden van de krachten op een anker
• N_n en V_n – de laagste rekenwaarden van de sterkte bepaald uit alle relevante bezwijkmodi
• ς = 5 / 3

De sterkte van de verankering is niet voldoende om gecombineerde trek- en afschuivingskrachten over te dragen.

Normtoetsing in IDEA StatiCa Connection

Daarnaast worden de resultaten van de lassen en het betonblok op druk weergegeven. De belasting van deze componenten is verwaarloosbaar en daarmee ook de benuttingsgraad.

Vergelijking

De krachtsverdeling in IDEA StatiCa Connection wijkt enigszins af van de handberekening. De kolom en voetplaat zijn vervormd en de voetplaat staat in contact met het betonblok. De contactspanning vergroot de krachten in de ankers. Daardoor wijken de factoren die rekening houden met krachtexcentriciteit licht af. De betonzijvlakuitbreeksterkte wordt in IDEA StatiCa Connection per anker afzonderlijk gecontroleerd, terwijl bij de handberekening als groep kan worden gecontroleerd om een iets hogere weerstand te bereiken. Om deze redenen wijken sommige individuele belastingweerstanden licht af, maar slechts met enkele procenten. De uiteindelijke benuttingsgraad – interactie van trek- en afschuivingskrachten – is nagenoeg identiek: 106,2 % bij de handberekening en 107,7 % in IDEA StatiCa.