Zakotwienie

Podkod: LRFD

Typ połączenia: Zakotwienie

System jednostek: Metryczny

Zaprojektowano zgodnie z: ACI 318-14

Sprawdzono: Kotwy obciążone siłą rozciągającą i ścinającą w pobliżu krawędzi

Materiał płyty: A709, Gr. 50

Śruby: M12 A325M

Klasa betonu: 4000 psi

Geometria

Układ kotew oraz przekrój teowy płyty podstawy–słupa jest nierzeczywisty, lecz służy jako weryfikacja większości funkcji w projektowaniu kotew. Przesunięcie bloku betonowego względem płyty podstawy wynosi 200 mm w górę i w lewo, 300 mm w prawo oraz 0 mm w dół. Wysokość bloku betonowego wynosi 600 mm. Lewa i prawa kotwa są oddalone odpowiednio o 50 mm i 100 mm od osi słupa. Służy to uzyskaniu mimośrodu obciążenia rozciągającego i ścinającego. Wszystkie płyty zaprojektowano tak, aby pozostawały w stanie sprężystym.

Obciążenie przyłożone

Słup jest obciążony siłą rozciągającą 10 kN oraz siłami ścinającymi w kierunkach y i z, wynoszącymi –5 kN i 2 kN. Zarówno siły rozciągające, jak i ścinające działają z mimośrodem wynikającym z położenia kotew.

Procedura

Kotwy są projektowane zgodnie z ACI 318-14 – Rozdział 17. W obliczeniach przyjęto zarysowany beton niezbrojony. Wszystkie obciążenia są traktowane jako statyczne. Kotwy to M12 A325M, wbudowane z łbem i okrągłymi podkładkami o średnicy 24 mm. Siły ścinające są przenoszone przez kotwy. Nośność płyt i spoin jest wystarczająca i nie jest tu sprawdzana.

Uwaga: Przeliczenie jednostek imperialnych na metryczne dla wzorów niejednorodnych podano w Załączniku B do ACI 318-14. Wzory dają podobne, lecz nie identyczne wyniki. Aby uniknąć różnych stopni wykorzystania dla jednostek imperialnych i metrycznych, preferuje się jednostki imperialne, a współczynniki we wzorach niejednorodnych są nieznacznie zmodyfikowane dla jednostek metrycznych, np. w Równaniu 17.4.4.1 zamiast współczynnika 13 stosuje się dokładniejszy współczynnik 13,2855.

Obliczenia ręczne

Sprawdzenie kotew przeprowadzono zgodnie z ACI 318-14 – Rozdział 17. Nośność stali na rozciąganie i ścinanie oraz nośność na wyrwanie są wyznaczane dla pojedynczych kotew, natomiast nośność betonu na przebicie przy rozciąganiu i ścinaniu, nośność betonu na rozsadzenie boczne oraz nośność betonu na wypchnięcie są wyznaczane dla grupy kotew. Przyjęto, że beton jest niezbrojony i w stanie zarysowanym.

Rozkład sił

Siła rozciągająca jest przenoszona przez 2 kotwy: jedna jest oddalona o 50 mm od punktu przyłożenia siły, druga o 100 mm. Przyjęto, że bliższa kotwa przenosi 2/3 siły rozciągającej, a dalsza 1/3, tzn. bliższa kotwa jest obciążona siłą rozciągającą N_f1 = 6,67 kN, dalsza zaś N_f2 = 3,33 kN. Mimośród siły dla grupy kotew wynosi 25 mm.

Siła ścinająca w kierunku do najbliższej krawędzi jest przenoszona przez 2 kotwy: jedna jest oddalona o 50 mm od punktu przyłożenia siły, druga o 100 mm. Przyjęto, że bliższa kotwa przenosi 2/3 siły ścinającej, a dalsza 1/3, tzn. bliższa kotwa jest obciążona siłą ścinającą V_fx1 = 3,33 kN, dalsza zaś V_fx2 = 1,67 kN. Mimośród siły dla grupy kotew wynosi 25 mm. Siła ścinająca w kierunku równoległym do najbliższej krawędzi, wynoszącą 2 kN, jest rozłożona równomiernie między obie kotwy. Wypadkowe siły ścinające wynoszą V_f1 = 3,48 kN, V_f2 = 1,94 kN, a dla grupy kotew V_f = 5,39 kN.

Nośność stali kotwy na rozciąganie

Nośność stali kotwy na rozciąganie jest wyznaczana zgodnie z ACI 318-14 – 17.4.1 jako

ϕN_sa = ϕ A_se,Nf_uta = 0,7 ⋅ 84 ⋅ 827,4 = 48,7 kN ≥ N_f1 = 6,67 kN

gdzie:

• ϕ = 0,7 – współczynnik redukcji nośności dla kotew na rozciąganie zgodnie z ACI 318-14 – 17.3.3
• A_se,N = 84 mm² – pole przekroju czynnego na rozciąganie
• f_uta = 827,4 MPa – obliczeniowa wytrzymałość stali kotwy na rozciąganie; nie może być większa niż 1,9 f_ya i 120 ksi

Stopień wykorzystania: N_f1 / ϕN_sa = 6,67 / 48,7 = 13,7 %

Nośność betonu na przebicie przy rozciąganiu

Nośność betonu na przebicie jest projektowana zgodnie z metodą Concrete Capacity Design (CCD) w ACI 318-14 – Rozdział 17.4.2. Kotwy są traktowane jako grupa, ponieważ są blisko siebie, rozstaw s = 150 mm ≤ 3 ⋅ h_ef = 3 ⋅ 100 = 300 mm.

\[ \phi N_{cbg} = \phi \frac{A_{Nc}}{A_{Nco}} \psi_{ec,N} \psi_{ed,N} \psi_{c,N} \psi_{cp,N} N_b \]

gdzie:

• ϕ = 0,7 – współczynnik redukcji nośności dla kotew na rozciąganie zgodnie z ACI 318-14 – 17.3.3
• A_Nc = (50 + 150 + 12) ⋅ (150 + 12 + 150 + 12 + 150) = 100 488 mm² – rzeczywiste pole powierzchni stożka przebicia betonu dla grupy kotew tworzących wspólny stożek betonowy. Zgodnie z Cl. 17.4.2.8, pole powierzchni zniszczenia wyznacza się przez rzutowanie powierzchni zniszczenia na zewnątrz od efektywnego obwodu podkładki.
• A_Nco = 9 h_ef² = 9 ⋅ 100² = 90 000 mm² – pole powierzchni stożka przebicia betonu dla pojedynczej kotwy bez wpływu krawędzi
• \( \psi_{ec,N} = \frac{1}{1+\frac{2 e'_N}{3 h_{ef}}} = \frac{1}{1+\frac{2 \cdot 25}{3 \cdot 100}}=0.857 \) – współczynnik modyfikacyjny dla grup kotew obciążonych mimośrodowo na rozciąganie
• \( \psi_{ed,N} = \min \left ( 0.7 + \frac{0.3 c_{a,min}}{1.5 h_{ef}}, 1 \right ) = \min \left ( 0.7 + \frac{0.3 \cdot 50}{1.5 \cdot 100}, 1 \right ) = 0.8 \) – współczynnik modyfikacyjny dla odległości od krawędzi
• c_a,min = 50 mm – najmniejsza odległość od kotwy do krawędzi
• Ψ_c,N = 1 – współczynnik modyfikacyjny dla warunków betonowania
• Ψ_cp,N = 1 dla kotwy wbudowanej
• \( N_b = k_c \lambda_a \sqrt{f'_c} h_{ef}^{1.5} = 10 \cdot 1 \cdot  \sqrt{27.6} \cdot 100^{1.5} = 52.7 \,\textrm{kN} \)– podstawowa nośność betonu na przebicie dla pojedynczej kotwy na rozciąganie w zarysowanym betonie; h_ef ≤ 280 mm (11 in)
• k_c = 10 dla kotew wbudowanych i jednostek metrycznych
• h_ef = 100 mm – głębokość zakotwienia; zgodnie z Rozdziałem 17.4.2.3 w ACI 318-14, efektywna głębokość zakotwienia h_ef jest redukowana do \( h_{ef} = \max \left ( \frac{c_{a,max}}{1.5}, \frac{s}{3} \right ) \)
• jeżeli kotwy są usytuowane w odległości mniejszej niż 1,5 h_ef od trzech lub więcej krawędzi
• s = 150 mm – rozstaw kotew
• c_a,max = 350 mm – maksymalna odległość od kotwy do jednej z trzech bliskich krawędzi
• λ_a = 1 – współczynnik modyfikacyjny dla lekkiego betonu
• f'_c = 27,6 MPa – wytrzymałość betonu na ściskanie

\[ \phi N_{cbg} = 0.7 \cdot \frac{100488}{90000} \cdot 0.857 \cdot 0.8 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 52.7 = 28.3 \,\textrm{kN} \ge N_f = 10\,\textrm{kN} \]

Stopień wykorzystania: N_f / ϕN_cbg = 10 / 28,3 = 35,4 %

Nośność na wyrwanie przy rozciąganiu

Nośność betonu na wyrwanie kotwy jest określona w ACI 318-14 – 17.4.3 jako

ϕN_pn = ϕΨ_c,PN_p = 0,7 ⋅ 1 ⋅ 74,9 = 52,4 kN ≥ N_f1 = 6,67 kN

gdzie:

• ϕ = 0,7 – współczynnik redukcji nośności dla kotew na rozciąganie zgodnie z ACI 318-14 – 17.3.3
• Ψ_c,P = 1 – współczynnik modyfikacyjny dla warunków betonowania, Ψ_c,P = 1,0 dla zarysowanego betonu
• N_P = 8 A_brgf'_c = 8 ⋅ 339,3 ⋅ 27,6 = 74,9 kN – dla kotwy z łbem – Cl. 17.4.3.4
• A_brg = π ⋅ (d_wp² – d_a²) / 4 = π ⋅ (24² – 12²) / 4 = 339,3 mm²– pole powierzchni nośnej łba kotwy
• f'_c = 27,6 MPa – wytrzymałość betonu na ściskanie

Stopień wykorzystania: N_f1 / ϕN_pn = 6,67 / 52,4 = 12,7 %

Nośność betonu na rozsadzenie boczne

Nośność betonu na rozsadzenie boczne kotwy z łbem przy rozciąganiu jest określona w ACI 318-14 – 17.4.4 jako

\[ \phi N_{sb} = \phi 13 c_{a1} \sqrt{A_{brg}} \sqrt{f'_c} \]

Nośność betonu na rozsadzenie boczne jest mnożona przez współczynnik redukcyjny dla wielu kotew z łbem blisko krawędzi i blisko siebie zgodnie z Cl. 17.4.4.2:

\[ 1+\frac{s}{6 c_{a1}} = 1+\frac{150}{6 \cdot 50} = 1.5 \le 2 \]

gdzie:

• ϕ = 0,7 – współczynnik redukcji nośności dla kotew na rozciąganie zgodnie z ACI 318-14 – 17.3.3
• c_a1 = 50 mm – mniejsza odległość od osi kotwy do krawędzi
• c_a2 = 350 mm – większa odległość, prostopadła do c_a1, od osi kotwy do krawędzi
• A_brg = 339,3 mm² – pole powierzchni nośnej łba kotwy
• f'_c = 27,6 MPa – wytrzymałość betonu na ściskanie
• h_ef = 100 mm – głębokość zakotwienia
• s = 150 mm – rozstaw kotew

\[ \phi N_{sbg} = 1.5 \cdot \phi 13 c_{a1} \sqrt{A_{brg}} \sqrt{f'_c} = 1.5 \cdot 0.7 \cdot 13 \cdot 50 \cdot \sqrt{339.3} \cdot \sqrt{27.6} = 67.4\,\textrm{kN} \ge N_{f} = 10\,\textrm{kN} \]

Stopień wykorzystania: N_f / ϕN_cbg = 10 / 67,4 = 26,7 %

Nośność stali na ścinanie

Nośność stali na ścinanie jest wyznaczana zgodnie z ACI 318-14 – 17.5.1 jako

ϕV_sa = ϕ 0,6 A_se,Vf_uta = 0,65 ⋅ 0,6 ⋅ 84 ⋅ 827,4 = 27,1 kN ≥ V_f1 = 3,48 kN

gdzie:

• ϕ = 0,65 – współczynnik redukcji nośności dla kotew na ścinanie zgodnie z ACI 318-14 – 17.3.3
• A_se,V = 84 mm² – pole przekroju czynnego na rozciąganie
• f_uta = 827,4 MPa – obliczeniowa wytrzymałość stali kotwy na rozciąganie; nie może być większa niż 1,9 f_ya i 120 ksi

Stopień wykorzystania: V_f1 / ϕV_sa = 3,48 / 27,1 = 12,7 %

Nośność betonu na przebicie przy ścinaniu

Nośność betonu na przebicie dla grupy kotew przy ścinaniu jest projektowana zgodnie z ACI 318-14 – 17.5.2.

\[ \phi V_{cbg} = \phi \frac{A_V}{A_{Vo}} \psi_{ec,V} \psi_{ed,V} \psi_{c,V} \psi_{h,V} \psi_{\alpha,V} V_b \]

gdzie:

• ϕ = 0,65 – współczynnik redukcji nośności dla kotew na ścinanie zgodnie z ACI 318-14 – 17.3.3
• A_v = (50 ⋅ 1,5) ⋅ (50 ⋅ 1,5 + 150 + 50 ⋅ 1,5) = 22 500 mm² – rzutowane pole powierzchni zniszczenia betonu dla kotwy lub grupy kotew
• A_vo = 4,5 c_a1² = 4,5 ⋅ 50² = 11 250 mm² – rzutowane pole powierzchni zniszczenia betonu dla jednej kotwy bez wpływu narożników, rozstawu ani grubości elementu
• \( \psi_{ec,V} = \frac{1}{1+\frac{2 e'_V}{3 c_{a1}}}= \frac{1}{1+\frac{2 \cdot 25}{3 \cdot 50}}=0.75 \) – współczynnik modyfikacyjny dla grup kotew obciążonych mimośrodowo na ścinanie
• \( \psi_{ed,V} = 0.7 + 0.3 \frac{c_{a2}}{1.5 c_{a1}} = 0.7 + 0.3 \frac{350}{1.5 \cdot 50} = 2.1\le 1.0 \) – współczynnik modyfikacyjny dla efektu krawędziowego
• Ψ_c,V = 1 – współczynnik modyfikacyjny dla warunków betonowania; Ψ_c,V = 1,0 dla zarysowanego betonu
• \( $\psi_{h,V} = \sqrt{\frac{1.5 c_{a1}}{h_a}} = \sqrt{\frac{1.5 \cdot 50}{600}} = 0.354 \ge 1 \)– współczynnik modyfikacyjny dla kotew usytuowanych w elemencie betonowym, gdzie h_a < 1,5 c_a1
• \( \psi_{\alpha ,V} = \sqrt{\frac{1}{(\cos \alpha_V )^2 + (0.5 \sin \alpha_V)^2}}=\sqrt{\frac{1}{(\cos 21.8^\circ )^2 + (0.5 \sin 21.8^\circ)^2}} = 1.056 \)– współczynnik modyfikacyjny dla kotew obciążonych pod kątem 90° − α_V do krawędzi betonu; w ACI 318-14 – 17.5.2.1 podane są jedynie wartości dyskretne, równanie zaczerpnięto z FIB bulletin 58 – Design of anchorages in concrete (2011)
• h_a = 600 mm – wysokość powierzchni zniszczenia po stronie betonu

\[ V_b = \min \left ( 0.6 \left ( \frac{l_e}{d_a} \right )^{0.2} \lambda_a \sqrt{d_a} \sqrt{f'_c} c_{a1}^{1.5}, 3.7 \lambda_a \sqrt{d_a} \sqrt{f'_c} c_{a1}^{1.5} \right ) \]

\[ V_b = \min \left ( 0.6 \left ( \frac{96}{12} \right )^{0.2} \cdot 1.0 \cdot \sqrt{12} \cdot \sqrt{27.6} \cdot 50^{1.5} = 5.666 \, \textrm{kN}, 3.7 \cdot 1.0 \cdot \sqrt{12} \cdot \sqrt{27.6} \cdot 50^{1.5} = 6.993 \, \textrm{kN} \right ) = 5.666 \, \textrm{kN} \]

• l_e = h_ef = 100 mm ≤ 8 d_a = 8 ⋅ 12 = 96 mm – nośna długość kotwy przy ścinaniu
• d_a = 12 mm – średnica kotwy
• f'_c = 27,6 MPa – wytrzymałość betonu na ściskanie
• c_a1 = 50 mm – odległość od krawędzi w kierunku obciążenia, c_a2 ≥ 1,5 c_a1 i h_a ≥ 1,5 c_a1
• c_a2 = 350 mm – odległość od krawędzi w kierunku prostopadłym do obciążenia

\[ \phi V_{cbg} = 0.65 \cdot \frac{22500}{11250} \cdot 0.75 \cdot  1.0 \cdot 1.0 \cdot 1.0 \cdot 1.056 \cdot 5.666 = 5.835 \, \textrm{kN} \ge V_f = 5.39 \, \textrm{kN} \]

Stopień wykorzystania: V_f / ϕV_cbg = 5,39 / 5,835 = 92,3 %

Nośność betonu na wypchnięcie przy ścinaniu

Nośność betonu na wypchnięcie jest projektowana zgodnie z ACI 318-14 – 17.5.3. Przyjęto, że wszystkie kotwy są rozciągane i brak mimośrodu dla nośności betonu na przebicie.

ϕV_cp = ϕk_cpN_cp = 0,65 ⋅ 2 ⋅ 47,1 = 61,2 kN ≥ V_f = 5,39 kN

gdzie:

• ϕ = 0,65 – współczynnik redukcji nośności dla kotew na ścinanie zgodnie z ACI 318-14 – 17.3.3
• k_cp = 2,0 dla h_ef ≥ 50 mm
• N_cp = N_cb = 47,1 kN (nośność betonu na przebicie – przyjęto, że wszystkie kotwy są rozciągane) dla kotew wbudowanych

Stopień wykorzystania: V_f / ϕV_cp = 5,39 / 61,2 = 5,7 %

Interakcja sił rozciągających i ścinających

Interakcja sił rozciągających i ścinających jest oceniana zgodnie z ACI 318-14 – R17.6.

\[ \left ( \frac{N_{ua}}{N_n} \right )^{\zeta} + \left ( \frac{V_{ua}}{V_n} \right )^{\zeta} = \left ( 0.354 \right )^{5/3} + \left ( 0.923 \right )^{5/3}= 1.062 \le 1.0 \]

gdzie:

• N_ua i V_ua – obliczeniowe siły działające na kotwę
• N_n i V_n – najniższe obliczeniowe nośności wyznaczone dla wszystkich odpowiednich trybów zniszczenia
• ς = 5 / 3

Nośność zakotwienia jest niewystarczająca do przeniesienia kombinacji sił rozciągających i ścinających.

Sprawdzenie normowe w IDEA StatiCa Connection

Ponadto przedstawiono wyniki dla spoin oraz bloku betonowego ściskanego. Obciążenie tych elementów jest pomijalnie małe, a zatem również stopień ich wykorzystania.

Porównanie

Rozkład sił w IDEA StatiCa Connection jest nieco inny niż w obliczeniach ręcznych. Słup i płyta podstawy ulegają odkształceniu, a płyta podstawy jest w kontakcie z blokiem betonowym. Naprężenia kontaktowe zwiększają siły w kotwach. W związku z tym współczynniki uwzględniające mimośród siły są nieznacznie różne. Nośność betonu na rozsadzenie boczne jest w IDEA StatiCa Connection sprawdzana dla każdej kotwy osobno, natomiast w obliczeniach ręcznych można ją sprawdzać jako grupę, uzyskując nieco wyższą nośność. Z tych powodów niektóre indywidualne nośności są nieznacznie różne, lecz jedynie o kilka procent. Końcowy stopień wykorzystania – interakcja sił rozciągających i ścinających – jest niemal identyczny: 106,2 % w obliczeniach ręcznych i 107,7 % w IDEA StatiCa.