Eğilme

Kesit kapasitesi kontrolü için yöntemler

1D betonarme elemanlar için nihai sınır durumunu kontrol etmek amacıyla iki iyi bilinen yöntem kullanılabilir. Birinci yöntem, bize bir etkileşim alanı veya bir etkileşim diyagramı (tek yönlü eğilme momenti durumunda) biçiminde kesit nihai dayanımını verir. Kesit kapasitesi, etkiyen iç kuvvetlerin sınır durum kuvvetlerine oranı olarak belirlenebilir. İkinci yöntem ise kesitte denge bulmaktır; burada yüklü kesitin gerçek davranışını, malzemelerin gerilmeler açısından kullanımını ve kesitin zayıf noktalarına ilişkin bilgileri araştırırız.

Nihai Sınır Durumu için genel tasarım varsayımları ve hesap varsayımları 

1. Donatı ve betondaki gerinim ε, tarafsız eksenden uzaklıkla doğru orantılı kabul edilir (düzlem kesitler düzlem kalır).
2. Donatı ve beton etkileşimi, kayma olmaksızın beton ve donatı etkileşimiyle sağlanır (gerinim ε, bitişik beton liflerindeki gerinimle aynıdır).
3. Betonun çekme dayanımı ihmal edilir (tüm çekme gerilmeleri donatı tarafından taşınır).
4. Basınç bölgesindeki beton basınç gerilmeleri, gerilme-gerinim diyagramlarından hesaplanan gerinime bağlı olarak hesaplanır.
5. Donatı gerilmeleri, gerilme-gerinim diyagramlarından elde edilen gerinime bağlı olarak hesaplanır.
6. Nihai gerinim sınırı ε_cu2 (basınç altındaki beton için Parabol-dikdörtgen diyagramı) ve ε_cu3 (İki doğrulu gerilme-gerinim bağıntısı) ile betonun basınç gerinimı, [2].
7. Donatının basınç gerinimı, yatay plastik üst dal durumunda sınırsızdır; eğimli plastik üst dal durumunda gerinim ε_ud ile sınırlandırılır, [2].
8. Malzemelerden en az birinin durumu nihai sınır gerinimini aştığında sınır durum oluşmuş sayılır (εu sınırsızsa, basınçtaki beton belirleyicidir).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}\]

Etkileşim diyagramı

Birinci seçenek, kesitin bir etkileşim yüzeyi (veya etkileşim diyagramı) ile kontrol edilmesidir. Aşağıdaki şekildeki örnekten alınan donatılı kare kesit için etkileşim yüzeyleri örneği üzerinde bir açıklama sunulmaktadır. Etkileşim yüzeyi üzerinde, incelenen kesitin nihai sınır durumunu tanımlayan noktalar yer almaktadır. Etkileşim yüzeyi, malzemelerden birinde nihai sınır geriniminin aşıldığı kesitteki gerilme integrasyonuyla belirlenen (N, My, Mz) noktalarından çizilir. 3D etkileşim için yüzey, sürekli döndürülen tarafsız eksene karşılık gelen kapalı bir eğri olan 2D etkileşim diyagramından türetilebilir.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}\]

y ekseni etrafında simetrik kesit durumunda, etkileşim diyagramı N-M_y düzlemi etrafında simetriktir. Benzer şekilde, z ekseni etrafında simetrik kesit durumunda, etkileşim diyagramı N-M_z düzlemi etrafında simetriktir. Tek taraflı donatılı kesit, etkileşim diyagramının basık bir şeklini ortaya çıkarır.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}\]

Nihai sınır durumunu tanımlayan noktalar, gerilme integrasyonundan elde edilir.  Aşağıdaki şekil, nihai sınır durumundaki gerinimı göstermektedir.

Nihai sınır durumundaki gerinim dağılımları ([2]'den alınmıştır).

Etkileşim diyagramı, normal kuvvet ve eğilme momentleri altında kesit göçmesini göstermektedir. [1]

2D diyagram problemine (etkileşim yüzeyi üzerinde yer alan kapalı eğri) göre, gerinim düzleminin tarafsız eksenden ve kritik nokta [y, z, ε]'den geçtiği anlaşılabilir; bu nokta R kritik noktası olarak kabul edilir.  [y, z] noktası, nihai sınır durumundaki ε gerinim değeriyle kesitteki bir noktayı tanımlar. Tarafsız eksenin eğimi, 2D diyagramın tüm noktaları için sabittir.

Tasarım için betondaki basınç gerilmesinin belirleyici olduğu durumda, R noktası en uzak basınçtaki beton lifine veya sınırlayıcı C noktasına karşılık gelir. Ancak bu, yalnızca kesitin tek tip betondan oluşması durumunda uygulanabilir - karma kesit gibi durumlarda değil.   

Donatıdaki çekme gerilmesinin tasarım için belirleyici olduğu durumda (bir veya daha fazla çubukta nihai sınır durumunda ε_ud aşılıyorsa), verilen gerinim düzlemi için ε_ud değerinin başka hiçbir çubukta aşılmadığı koşulunun sağlanması gerekir.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}\]

Yukarıdaki şekil, diyagramın iki bölüme ayrılabileceğini göstermektedir: göçmenin çekme kuvvetinden kaynaklandığı bölüm ve basınç kuvvetiyle göçen bölüm. Sınır noktaları, gerinim düzleminin aşırı eğiminin de görülebildiği yukarıdaki duruma karşılık gelir. Bir etkileşim diyagramı çizilirken kesitin düzlem gerinim eğimi bu aralıkta değişirken R noktası aranır (yukarıya bakınız). Tanımlanan bu düzleme dayanarak, nihai sınır durumundaki gerilmeyi elde etmek için integrasyon yapılır.

Eksenel kuvvet ve eğilme momentine maruz kesitin kontrolü

Eksenel kuvvet ve eğilme momentine maruz bir kesitin kontrolü, kontrol edilen gerilmelerin (N_d, M_yd, M_zd kombinasyonu) etkileşim alanının içinde veya yüzeyinde yer aldığının kanıtlanmasına dayanır. Bunu farklı yöntemler yapabilir. Aşağıdaki örnek, N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm kuvvetlerine maruz dikdörtgen bir kesitin kontrolünü göstermektedir.

NuMuMu Yöntemi

Bir kesitin dayanımını tanımlamak için, etkileşim yüzeyi oluşturulana kadar tüm iç kuvvet bileşenlerinde orantılı değişimler varsayılır (normal kuvvetin dışmerkezliği sabit kalır). İlgili iç kuvvetlerin değişimi, başlangıç koordinat sistemini (0,0,0) ve iç kuvvetler tarafından tanımlanan noktayı (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) birleştiren bir doğru boyunca hareket olarak yorumlanabilir. Bu doğrunun etkileşim yüzeyiyle bulunan iki kesişim noktası, nihai sınır durumundaki iki kuvvet setini temsil eder. Her kesişim noktasında program, sınır durumundaki üç kuvveti belirler: tasarım eksenel kuvvet dayanımı N_Rd ve buna karşılık gelen tasarım moment dayanımları M_Rdy, M_Rdz.

NuMM Yöntemi

Kesitin dayanımını tanımlamak için, sabit normal kuvvet (etkiyen tasarım normal kuvvetine eşit) ve etkileşim yüzeyi oluşturulana kadar eğilme momentlerinde orantılı değişimler varsayılır. İlgili iç kuvvetlerin değişimi, (N_Ed,0,0) noktasını ve etkiyen iç kuvvetler tarafından tanımlanan  noktayı (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) birleştiren doğru boyunca yatay bir düzlemde hareket olarak yorumlanabilir. Bu doğrunun etkileşim yüzeyiyle bulunan iki kesişim noktası, nihai sınır durumundaki iki kuvvet setini temsil eder. Her kesişim noktasında program, sınır durumundaki üç kuvveti belirler: tasarım dayanım momentleri M_Rdy, M_Rdz ve (buna karşılık gelen) etkiyen tasarım normal kuvveti N_Ed.

NMuMu Yöntemi

Kesitin dayanımını tanımlamak için, sabit normal kuvvet (etkiyen tasarım normal kuvvetine eşit) ve etkileşim yüzeyi oluşturulana kadar eğilme momentlerinde orantılı değişimler varsayılır. İlgili iç kuvvetlerin değişimi, (N_Ed,0,0) noktasını ve etkiyen iç kuvvetler tarafından tanımlanan noktayı (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) birleştiren doğru boyunca yatay bir düzlemde hareket olarak yorumlanabilir. Bu doğrunun etkileşim yüzeyiyle bulunan iki kesişim noktası, nihai sınır durumundaki iki kuvvet setini temsil eder. Her kesişim noktasında program, sınır durumundaki üç kuvveti belirler: tasarım dayanım momentleri M_Rdy, M_Rdz, ve (buna karşılık gelen) etkiyen tasarım normal kuvveti N_Ed.

Kesit tepkisinin bulunması

Kesitin kontrol edilmesinin bir diğer yolu, kesit tepkisinin bulunmasıdır (yani etkiyen iç kuvvetlerden kaynaklanan gerinim ve gerilme dağılımı). Bu yöntem, sınır deformasyon yöntemi olarak da bilinir. Her liftteki (düzlemsel eğilme durumunda her tabakadaki) ve her donatı çubuğundaki etkiyen gerilme düzeyi, malzemenin gerilme-gerinim diyagramındaki gerinime bağlı olarak hesaplanır.
Kesit tepkisinin bulunması, [6]'da belirtilen sayısal yöntem kullanılarak hesaplanır. İlke, aktarılamayan kuvvetlerin dengesiz bileşenleriyle kesitin kademeli yük artışından oluşur. Bunlar, gerilme-gerinim diyagramları kullanılarak kesit üzerindeki gerilmenin integrasyonuyla elde edilir. Gerilme-gerinim diyagramında gerinim için gerilme değeri bulunabiliyorsa, aşağıdaki Şekil (a)'ya bakınız, doğrusal elastik malzeme varsayımıyla hesaplanan gerilme doğrudur. (b) ve (c) durumlarında, doğrusal hesap için gerilme gerçekçi olmayan değerlere ulaşır ve (b) kısmı veya tüm değer (c) malzeme tarafından aktarılamaz. Aktarılamayan gerilmelerin integrasyonuyla aktarılamayan iç kuvvetler elde edilir ve bunların bileşkeleri değişken yüklerin iç kuvvetlerine eklenmelidir. 

Gerilme-gerinim diyagramlarında aktarılamayan gerilmeler. [4]

Aktarılamayan iç kuvvetler. [4]

Bu hesap yöntemi, kesit alanı üzerindeki gerilmenin integrasyonu ve kesitteki denge denklemlerinin doğrusal olmayan analizi için sayısal yöntemlerin kullanılmasını gerektirir. İterasyon, yakınsama kriterlerinin sağlandığı anda sonlandırılır.

\[\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}\]

burada 

F_e kesit yüküdür,

F_i kesit tepkisidir (gerinim düzlemine dayalı olarak hesaplanan iç kuvvetler).

Eğer a yaklaşık (tahmin edilen) değer ve b tam (gerçek) değer ise, mutlak sapma aşağıdaki denklemle verilir.

\[e = \left| {b - a} \right|\]

Bağıl sapma aşağıdaki formülle verilir:

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|\]

Çoğu programda bu yakınsama kriterlerini ayarlayabilirsiniz (varsayılan değerler: bağıl hata için %1, normal kuvvet ve momentlerin mutlak hatası için 100 N, 100 Nm). 

Dolayısıyla N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm girişi ve iterasyon sonrası entegre kuvvetler N = - 0.07 kN, My = 100.5 kNm, Mz = 0.02 kNm olduğunda, değerlendirme aşağıdaki gibi olacaktır. N ve Mz'nin 0'a eşit olduğu göz önünde bulundurularak mutlak sapma ile karşılaştırma yapılabilir:

Normal kuvvet değeri 100N> | 70 | N
Eğilme momenti Mz değeri 100Nm> | 20 | Nm
Eğilme momenti My değeri

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01\]

Tepkiye göre kesit kontrolü

Kesitte denge bulunması durumunda, düzlem gerinim bilinmektedir. Düzlem gerinimden, kesitteki herhangi bir noktadaki gerinimi, ardından malzemelerin gerilme-gerinim diyagramlarını kullanarak donatı çubuklarındaki, kesitteki veya kesit parçalarındaki gerilme ya da iç kuvvetleri hesaplayabiliriz. Hesaplanan gerilme ve gerinim değerlerini, kullanılan malzemelerin gerilme-gerinim diyagramlarındaki sınır gerinim değerleriyle karşılaştırırız.
Bu yöntemin avantajı, kesit üzerinde etkiyen iç kuvvetlerin kesitindeki gerilme ve gerinim değerlerine ilişkin eksiksiz bir görüntü elde etmemizi sağlamasıdır.