Dimensionamento estrutural de descontinuidades 3D de betão no IDEA StatiCa Detail

Introdução ao método 3D CSFM

Introdução geral para o dimensionamento estrutural de detalhes 3D de betão
Principais hipóteses e limitações
Implementação da teoria da plasticidade de Mohr-Coulomb no CSFM3D
Hipóteses de mecânica geral para o CSFM 3D

Modelo de análise do IDEA StatiCa 3D Detail

Introdução à implementação de elementos finitos
Tipos de elementos finitos
Dispositivos de transferência de carga
Malha em 3D CSFM
Método de solução e algoritmo de controlo de carga para 3D CSFM
Apresentação de resultados 3D
Modelo importado de IDEA StatiCa Connection

Verificação do modelo

Estados limite

Verificações estruturais de acordo com o EUROCODE

- Modelos de materiais em 3D CSFM (EN)
- Factores de segurança parciais
- Verificações do estado limite último

Verificações estruturais de acordo com o ACI 318-19

- Modelos de materiais em 3D CSFM (ACI)
- Redução da resistência e factores de carga
- Verificações de resistência

Introdução ao método CSFM 3D

Uma introdução geral ao dimensionamento estrutural de detalhes 3D em betão

Na prática, os engenheiros podem encontrar diferentes tipos de elementos finitos (desde simples elementos de barra 1D até elementos sólidos 3D mais complexos) que são utilizados numa variedade de aplicações para a análise e dimensionamento de elementos estruturais. Uma característica comum à maioria dos cálculos em prática é o comportamento linear dos modelos, cujas vantagens são, indubitavelmente, a velocidade, a clareza e, simplesmente, o facto de que para uma grande variedade de problemas, esta solução é bastante suficiente.

Especialmente no mundo das estruturas de betão, acontece frequentemente que a abordagem linear não é suficiente, simplesmente porque após o aparecimento das primeiras fendas no elemento carregado, as tensões redistribuem-se e o problema torna-se significativamente não linear.

Para estes casos, é necessário escolher uma das abordagens mais sofisticadas. Para casos 1D, podem frequentemente encontrar-se métodos analíticos definidos diretamente nas normas. Por exemplo, podem ser construídos modelos populares de Escora e tirante para elementos planos 2D e regiões de descontinuidade (regiões D), ou pode ser utilizado o método do campo de tensões mais sofisticado implementado no IDEA StatiCa Detail, o CSFM.

No entanto, se o engenheiro se deparar com um problema que não pode ser simplificado para um comportamento planar, as opções são muito limitadas. Naturalmente, pode ser construído um modelo de Escora e tirante 3D ou pode ser utilizado software semi-científico para uma análise precisa. Estes procedimentos são frequentemente morosos, não conformes com as normas e requerem um engenheiro com conhecimentos em métodos de modelação avançados.

Por esta razão, a IDEA StatiCa desenvolveu e implementou o CSFM 3D (Método do Campo de Tensões Compatível) na aplicação Detail. O CSFM 3D estende o CSFM estabelecido a uma terceira dimensão, oferecendo uma solução rápida e conforme com as normas, aplicável principalmente ao engenheiro do dia a dia, conferindo-lhe uma nova e única capacidade de lidar com segurança com os detalhes complexos das estruturas de betão.

Principais pressupostos e limitações do CSFM em 3D

O CSFM 3D define o comportamento do betão com base na teoria de plasticidade de Mohr-Coulomb Modificado para carregamento monotónico. O método considera as tensões principais do betão à compressão e as tensões da armadura (σ_sr) nas fissuras, negligenciando a resistência à tração do betão (corte de tração), exceto pelo seu efeito de enrijecimento na armadura (Enrijecimento à tração).

σ_c1r, σ_c2r, σ_c3r ≤ 0 MPa

As barras de armadura estão ligadas aos elementos finitos de volume de betão através de elementos de aderência, permitindo o deslizamento entre o betão e a armadura. Importa notar que o CSFM 3D não é adequado para simular betão simples devido à ausência de tração, o que pode resultar em deformações enganosas e divergência do modelo. Em geral, a teoria de Mohr-Coulomb inclui duas propriedades fundamentais que governam a evolução da superfície de plasticidade à compressão e parcialmente à tração: o ângulo de atrito interno φ e o parâmetro de coesão c. O CSFM 3D assume um ângulo de atrito interno nulo (Fig. 1e), conduzindo a um dimensionamento conservador, uma vez que a superfície de plasticidade se assemelha ao modelo de Tresca, que é independente do primeiro invariante de tensão.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Basic assumptions of the 3D CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses; (d) stress-strain diagram of reinforcement}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{in terms of stresses at cracks and average strains; (e) Mohr's circles for concrete model in 3D CSFM; (f) bond shear stress-slip}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{relationship for anchorage length verifications.}}}\)

Betão 

O modelo de material apresentado é um modelo de plasticidade multissuperfície resultante da combinação dos modelos de Mohr-Coulomb e Rankine para carregamento monotónico. É importante notar que este modelo não contempla o descarregamento; por conseguinte, as variáveis de estado não são armazenadas, ao contrário do que acontece nos modelos de plasticidade clássicos utilizados para carregamento cíclico.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Mohr-Coulomb multi-surface plasticity model for friction angle 0 degree}}}\]

Como já referido, o modelo de material destina-se a aplicações que calculam a resposta do betão armado (não adequado para betão simples). Tal deve-se à exclusão do betão à tração. Por conseguinte, o modelo também não é adequado para elementos estruturais onde as regras de dimensionamento para betão armado, como a taxa mínima de armadura, o espaçamento máximo entre varões, etc., não sejam cumpridas. Acrescente-se ainda que, por razões de estabilidade numérica, é definida no modelo uma capacidade de tração muito reduzida. A parte de tração é limitada por planos correspondentes ao modelo de Rankine.

O CSFM 3D no IDEA StatiCa Detail não considera um critério de rotura explícito em termos de deformações para o betão à compressão (ou seja, considera um ramo perfeitamente plástico após atingir a tensão de pico). Esta simplificação não permite verificar a capacidade de deformação de estruturas que entram em rotura à compressão. No entanto, a capacidade última é corretamente prevista quando o aumento da fragilidade do betão com o aumento da resistência é considerado através do fator de redução 𝜂_𝑓𝑐 definido no fib Model Code 2010 da seguinte forma:

\[f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

onde:

f_c é a resistência característica do betão em cilindro (em MPa para a definição de \( \eta_{fc} \)).

O valor f_c,red é então comparado com a Tensão Principal Equivalente σ_c,eq no betão, que será definida mais adiante, naturalmente com consideração de todos os coeficientes de segurança prescritos pela norma.

Uma descrição detalhada do modelo de betão pode ser encontrada na seguinte ligação:

• Modelo de Material de Betão para Detail 3D

Armadura

O diagrama tensão-deformação bilinear para barras de armadura, conforme definido pelas normas de dimensionamento (Fig. 1d), representa um modelo idealizado. Este modelo requer o conhecimento das propriedades básicas da armadura durante a fase de dimensionamento, nomeadamente a resistência e a classe de ductilidade. Em alternativa, os utilizadores têm a opção de definir uma relação tensão-deformação personalizada.

O enrijecimento à tração é considerado mediante a modificação da relação tensão-deformação da barra de armadura isolada, de forma a capturar a rigidez média das barras embebidas no betão (ε_m) (Fig. 1b).

Ancoragem

O deslizamento de aderência entre a armadura e o betão é introduzido no modelo de elementos finitos considerando a relação constitutiva simplificada rígida-perfeitamente plástica apresentada em (Fig. 1f), sendo f_bd o valor de cálculo (valor fatorado) da tensão de aderência última especificada pela norma de dimensionamento para as condições de aderência específicas.

Trata-se de um modelo simplificado com o único propósito de verificar as prescrições de aderência de acordo com as normas de dimensionamento (ou seja, ancoragem da armadura). A redução do comprimento de ancoragem quando se utilizam ganchos, laços e formas semelhantes de barras pode ser considerada definindo uma determinada capacidade na extremidade da armadura, conforme será descrito mais adiante.

Âncoras

O elemento de âncora é definido como sendo capaz de transferir forças normais de tração ou compressão, bem como forças de corte, considerando a rigidez à flexão. 

Estão disponíveis os seguintes tipos de âncoras:

• Âncoras moldadas no local
  • Armadura
  • Placa de anilha
  • Pino com cabeça
• Armadura moldada no local
  • Armadura
  • Barras roscadas

Moldado no local - Armadura

Modelada como armadura nervurada embebida no betão. A resistência de aderência é calculada de acordo com as regras da norma selecionada, da mesma forma que para a armadura corrente. Na extremidade da âncora, pode ser definido um Tipo de ancoragem, funcionando de forma idêntica à armadura — é aplicada uma mola de ancoragem com o fator β definido de acordo com a norma escolhida. Estão disponíveis três formas geométricas: Reta, Forma em L, Forma em U.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Cast-in reinforcement anchor - shapes}}}\]

Moldado no local - Placa de anilha e Pino com cabeça

A placa de anilha e a cabeça do pino com cabeça são modeladas como um elemento de placa-casca do material correspondente, ligado diretamente ao fuste da âncora. Transfere a carga para o betão através de contacto apenas à compressão. Formas disponíveis: circular e quadrada (apenas circular para o pino com cabeça), com dimensões personalizáveis. O modelo da placa de anilha e da cabeça é elástico e não é verificado quanto à resistência. 

Ao nível do modelo de elementos finitos, o arranque da âncora é verificado diretamente. O contacto à compressão tem critérios de paragem definidos de modo a não poder transferir ao betão uma tensão de contacto superior à prescrita pela norma selecionada. Em termos práticos, isto significa que, se a âncora for carregada com uma força que não cumpra a verificação ao arranque, o resultado será a terminação prematura do cálculo, uma vez que este critério de paragem seria excedido durante o carregamento adicional.

O fuste da âncora tem resistência de aderência nula — toda a carga é transferida para o betão através da placa ou cabeça.

Pós-instalada - Armadura e Barra roscada

Dimensionada como barras instaladas em furos perfurados e coladas com adesivo. O engenheiro especifica a resistência de aderência de cálculo diretamente a partir da especificação técnica do produto adesivo.

Mais informações sobre a ligação dos diferentes tipos de âncoras à placa de base ou à placa embebida podem ser encontradas no capítulo Tipos de elementos finitos - Dispositivos de transferência de carga. 

Implementação da teoria de plasticidade de Mohr-Coulomb no CSFM 3D

No capítulo seguinte, analisaremos como a teoria de Mohr-Coulomb é implementada no CSFM 3D. Explicaremos como o efeito de confinamento (tensão triaxial) é considerado e como a Tensão Principal Equivalente σ_c,eq é calculada, a qual é utilizada para determinar a capacidade resistente do ponto de vista do betão.

Introdução à teoria

A teoria de Mohr–Coulomb é um modelo matemático que descreve a resposta de materiais frágeis ao corte e à tensão normal. A maioria dos materiais de engenharia clássicos segue esta regra em pelo menos uma parte do seu envelope de rotura por corte. Em geral, a teoria aplica-se a materiais para os quais a resistência à compressão supera largamente a resistência à tração.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Mohr-Coulomb Plasticity Model }}}\]

Na engenharia estrutural, é utilizada para determinar a carga de rotura, bem como o ângulo de fratura para o deslocamento da superfície de fratura no betão e em materiais similares. A hipótese de atrito de Coulomb é utilizada para determinar a combinação de corte e tensão normal que provocará a fratura do material. O círculo de Mohr é utilizado para determinar quais as tensões principais que produzirão esta combinação de corte e tensão normal, bem como o ângulo do plano em que tal ocorrerá. De acordo com o princípio da normalidade, a tensão introduzida na rotura será perpendicular à linha que descreve a condição de fratura. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Meridian plane and tension cut-off}}}\]

Pode demonstrar-se que um material que rompe segundo a hipótese de atrito de Coulomb apresentará um deslocamento introduzido na rotura que forma com a linha de fratura um ângulo igual ao ângulo de atrito. Isto permite determinar a resistência do material comparando o trabalho mecânico externo introduzido pelo deslocamento e pela carga externa com o trabalho mecânico interno introduzido pela deformação e pela tensão na linha de rotura. Pela conservação de energia, a soma destes deve ser nula, o que permite calcular a carga de rotura da construção.

Implementação no CSFM 3D

Em geral, para um dado ângulo de atrito interno do betão, que é aproximadamente φ = 30-40° na Referência [1], [2], [3], [4], os círculos de Mohr das resistências à tração e à compressão do betão podem ser construídos como na Figura 6.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Mohr's circles for concrete}}}\]

Onde f_c é a resistência do betão à compressão, f_ct é a resistência do betão à tração, φ é o ângulo de atrito interno, e σ_c1, σ_c3 são as tensões principais do betão sob compressão triaxial.

Pode observar-se que, à medida que a tensão principal σ_c3 aumenta, a diferença máxima possível entre os valores de σ_c3 e σ_c1, que definimos como σ_c,eq máximo (ver abaixo), também aumenta. Esta diferença corresponde ao dobro da tensão desviatória definida na literatura como raio dos círculos de Mohr.

No CSFM 3D implementado no IDEA StatiCa Detail, o ângulo de atrito interno é considerado como φ = 0°, conforme ilustrado na Figura 7.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}\]

A consequência prática desta implementação é que a diferença máxima entre σ_c3 e σ_c1 é constante à medida que σ_c3 aumenta. 

A Tensão Principal Equivalente exprime a tensão uniaxial equivalente para um estado de tensão triaxial geral.

\[\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}\]

O valor de σ_c,eq pode, portanto, ser diretamente comparado com os limites de resistência uniaxial de acordo com as normas.

\[\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} \le 1\]

Onde σ_c,lim é a resistência uniaxial de cálculo (majorada) do betão f_c.

Comparando a Figura 6, onde é utilizado o ângulo de atrito interno real, com a Figura 7, que mostra a implementação da teoria de Mohr-Coulomb com ângulo de atrito interno nulo, pode verificar-se que a abordagem escolhida para os cálculos no Detail é muito conservadora para a avaliação do estado de tensão triaxial.

Para uma melhor compreensão das zonas afetadas pela tensão de compressão triaxial, a expressão do aumento da resistência efetiva do material devido à compressão triaxial foi adicionada à aplicação IDEA StatiCa Detail como rácio σ_c3/σ_c,lim. Este rácio pode ser encontrado na verificação normativa de Resistência.

Nos Resultados Auxiliares, o utilizador pode também encontrar o fator κ, que explica a triaxialidade de forma diferente. 

\[\kappa =   \frac{ \sigma_{c3}}{ \sigma_{c,eq}}\]

A verificação normativa da resistência do betão pode então ser reescrita como:

\[\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} = \frac{\sigma_{c,3} }{ \kappa \cdot \sigma_{c,lim}} \le 1\]

Decorre do exposto anteriormente que, se o elemento se encontrar sob tensão hidrostática — σ_c3=σ_c2=σ_c1, a Tensão Principal Equivalente σ_c,eq terá valor nulo e o fator kappa atingirá o infinito.

Mais informação pode ser encontrada aqui: Tensão triaxial – o efeito de confinamento ativo

Pressupostos gerais de mecânica para o CSFM 3D

Equações de equilíbrio

A teoria das pequenas deformações permite a montagem da equação de equilíbrio com base no volume não deformado, utilizando uma abordagem de primeira ordem. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Equilibrium equations and graphical representation on infinitesimal element}}}\]

Equações de compatibilidade

Um corpo sólido é composto por volumes infinitesimais ou pontos materiais, cada um dos quais está interligado sem lacunas nem sobreposições. Devem ser respeitadas condições matemáticas para evitar o aparecimento de lacunas ou sobreposições quando um corpo contínuo sofre deformação.

Equações constitutivas

As equações constitutivas que regem o comportamento dos elementos 3D desempenham um papel fundamental na análise do comportamento dos materiais em mecânica estrutural. Estas equações são formuladas para acomodar o comportamento isotrópico não linear, que é válido para elementos de bloco sólido no IDEA StatiCa Detail. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Linearly elastic isotropic compliance matrix}}}\]

Modelo de análise do IDEA StatiCa 3D Detail

Uma introdução à implementação do Método dos Elementos Finitos

O CSFM 3D considera campos de tensões contínuos no betão (elementos finitos 3D), complementados por elementos discretos de "barra" que representam a armadura (elementos finitos 1D). Assim, a armadura não está difusamente incorporada nos elementos finitos 3D de betão, mas é modelada explicitamente e ligada a eles. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Rendering of the calculation model for concrete block and out-of-plane wall}}}\]

Tipos gerais de elementos finitos

O modelo de análise por elementos finitos não-linear (inelástico) é criado por vários tipos de elementos finitos utilizados para modelar o betão, a armadura e a aderência entre eles. Os elementos de betão e de armadura são primeiro discretizados independentemente e depois interligados através de restrições multiponto (elementos MPC). Isto permite que a armadura ocupe qualquer posição, não estando limitada aos nós da malha tetraédrica. Para verificar o comprimento de ancoragem, a aderência e os elementos de mola de extremidade de ancoragem são inseridos entre a armadura e os elementos MPC.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC and bond elements}}}\]

Betão

O betão é analisado utilizando elementos tetraédricos mistos com rotações nodais. Os elementos tetraédricos permitem discretizar regiões de qualquer topologia, enquanto a formulação implementada garante resultados de deformação precisos (sem tensões de corte espúrias conhecidas como efeito de bloqueio por corte) mesmo para malhas grosseiras, que não seriam adequadas para a formulação de elementos tetraédricos lineares. 

É utilizada integração completa. Isto significa que cada elemento possui quatro pontos de integração situados no interior do volume. Esta integração produz um campo de deformações e tensões preciso, permitindo uma avaliação e apresentação suficientes dos resultados em todo o volume. Consequentemente, os critérios de paragem são estabelecidos com base no valor no ponto de integração.

Armadura

As varetas de armadura são modeladas por elementos 1D de dois nós do tipo "barra" (CROD), que possuem apenas rigidez axial. Estes elementos estão ligados a elementos especiais de "aderência" que foram desenvolvidos para modelar o comportamento de deslizamento entre uma barra de armadura e o betão envolvente. Estes elementos de aderência são posteriormente ligados por elementos MPC (restrição multiponto) à malha que representa o betão. Esta abordagem permite a discretização independente da armadura e do betão, sendo a sua interligação assegurada posteriormente.

Elementos de aderência

O comprimento de ancoragem é verificado através da implementação das tensões de corte de aderência entre os elementos de betão (3D) e os elementos de barra de armadura (1D) no modelo de elementos finitos. Para este efeito, foi desenvolvido o tipo de elemento finito de "aderência".

O elemento de aderência é definido como um elemento finito de casca ligado aos elementos que representam a armadura pela primeira camada e pela segunda camada à malha de betão através de restrições multiponto (elementos MPC). Deve notar-se que o elemento de aderência é sempre apresentado neste artigo com uma altura não nula, que é, no entanto, definida como infinitesimal no modelo.

O comportamento deste elemento é descrito pela tensão de aderência, τ_b, como uma função bilinear do deslizamento entre os nós superior e inferior, δu, ver (Fig. 12).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad (a) Conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) shear-deformation function}}}\]

O módulo de rigidez elástica da relação aderência-deslizamento, Gb, é definido da seguinte forma:

\[G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}\]

k_g            coeficiente dependente da superfície da barra de armadura (por defeito kg = 0,2)

E_c            módulo de elasticidade do betão (tomado como Ecm no caso do EN)

Ø             o diâmetro da barra de armadura

Os valores de cálculo (valores majorados) da tensão de corte de aderência última, f_bd, fornecidos nos respetivos códigos de dimensionamento selecionados EN 1992-1-1 ou ACI 318-19, são utilizados para verificar o comprimento de ancoragem. O endurecimento do ramo plástico é calculado por defeito como Gb/105.

Mola de ancoragem

A utilização de extremidades de ancoragem nas barras de armadura (i.e., dobras, ganchos, laços…), que satisfaz as prescrições dos códigos de dimensionamento, permite a redução do comprimento de ancoragem básico das barras (l_b,net) por um determinado fator β (referido abaixo como "coeficiente de ancoragem"). O valor de cálculo do comprimento de ancoragem (lb) é então calculado da seguinte forma:

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Model for the reduction of the anchorage length: a) Anchorage force along the anchorage length of }}}\] \[ \textsf{\textit{\footnotesize{the reinforcement bar, b) slip-anchorage force constitutive law}}}\]

A redução do comprimento de ancoragem é incluída no modelo de elementos finitos por meio de um elemento de mola na extremidade da barra (Fig. 13a), que é definido pelo modelo constitutivo apresentado em (Fig. 13b). A força máxima transmitida por esta mola (F_au) é:

\[F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}\]

onde:

β             o coeficiente de ancoragem baseado no tipo de ancoragem

A_s            a secção transversal da barra de armadura

f_yd           o valor de cálculo (valor majorado) da tensão de cedência da armadura

Dispositivos de transferência de carga

Placa de base

A placa de base é modelada como um elemento de casca elástico. O material de aço utilizado para as placas de base é definido no separador Materiais. A única propriedade física é o módulo de elasticidade E.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad The base plate material definition}}}\]

A placa de base pode ser carregada por carga pontual (Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz) e por grupo de forças (Fx, Fy, Fz), utilizado principalmente para carregar modelos exportados do IDEA StatiCa Connection. Note-se que as cargas pontuais e os momentos pontuais carregam diretamente o nó correspondente da placa de base. Isto significa que não existe redistribuição, apenas pela rigidez da placa de base. 

Esta implementação permite importar efeitos da ação do IDEA StatiCa Connection que são aplicados à placa de base na localização dos elementos finitos de soldadura individuais, com o valor e a direção determinados pela tensão geral desse elemento finito de soldadura. Mais informação pode ser consultada no capítulo correspondente deste documento.

A segunda opção de carregamento é o Stub — representando um troço curto da coluna acima da placa de base. O troço curto é modelado como uma estrutura de elementos de casca elásticos e comporta-se como uma interface fisicamente precisa entre as forças internas e a placa. O utilizador seleciona uma secção transversal para o troço curto a partir de uma base de dados de secções normalizadas. O conjunto de forças internas de 6 componentes (forças e momentos) é aplicado num ponto único na face inferior do troço curto — ou seja, na base da coluna. As restrições transferem as forças para a face superior do troço curto, a partir da qual são naturalmente redistribuídas através do troço curto para a placa de base, âncoras e betão.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad The load transfer through the stub}}}\]

Mecanismo de transferência de corte (da placa de base para o bloco de betão)

É definido um contacto de compressão por atrito entre a placa de base e o betão. Para a transferência de corte, o utilizador pode escolher entre três opções:

• Por âncoras
• Por atrito
• Por chaveta de corte

O software não permite a combinação destes mecanismos de transferência de corte. 

O coeficiente de atrito deve ser introduzido como um valor de cálculo (majorado). Caso a força de corte resultante F_xy exceda a força de compressão F_z multiplicada pelo coeficiente de atrito μ, o cálculo será interrompido e nem todas as ações serão aplicadas ao modelo. A condição é escrita da seguinte forma:

\[\frac {F_{xy}}{ \mu \cdot F_{z}}\le 1\]

Isto pode ser observado no exemplo seguinte, onde são considerados dois casos de carga. 

• LC1 - Tipo permanente - F_z = 100 kN
• LC2 - Tipo variável - F_x = 100 kN

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad Load input for example explaining shear transfer by friction}}}\]

No primeiro passo de cálculo, toda a carga permanente é aplicada. Em seguida, a carga variável é gradualmente aplicada até atingir o valor da carga de compressão multiplicado pelo coeficiente de atrito.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Results from example explaining shear transfer by friction}}}\]

O gráfico da Figura 18 define o comportamento do contacto por atrito entre a placa de base e o betão.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 18\qquad Force-displacement graph describing the behavior of frictional contact}}}\]

O valor de F_zμ difere para cada incremento do cálculo, enquanto o valor da deformação de corte máxima u_xy é constante. 

Se a força normal de compressão F_z e a força de corte F_xy forem introduzidas num único tipo de caso de carga (por exemplo, apenas permanente), e a condição F_xy / (F_zμ) ≤ 1 não for satisfeita, nenhuma carga será aplicada ao modelo, uma vez que a condição não é satisfeita em nenhum incremento do cálculo.

A chaveta de corte está ligada à malha de betão por restrições que permitem apenas a transferência de tensão normal de compressão. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Shear lug transfer of shear mechanism}}}\]

A chaveta de corte é modelada a partir de elementos de casca elásticos, onde o módulo de elasticidade E define o material.

Os resultados não são avaliados nem apresentados para a placa de base nem para a chaveta de corte.

 Opções da placa de base  (stand-off, argamassa)

Está disponível o seguinte conjunto de opções de stand-off, totalmente alinhadas com a aplicação Connection.

• Direto
• Junta de argamassa – porcas pelo topo
• Junta de argamassa – porcas pelo topo e pela base
• Folga

A camada de argamassa é modelada como um elemento de casca, tendo em conta a sua rigidez. Note-se que os elementos de casca são incompressíveis na direção da sua espessura. Isto contribui para redistribuir as forças locais para o betão e é válido para espessuras de assentamento típicas utilizadas na prática — 25 a 50 mm.

A distinção entre porcas apenas pelo topo (ligação articulada entre âncora e placa de base) e pelo topo e pela base (ligação rígida entre âncora e placa de base) influencia fortemente a capacidade de corte do ponto de vista do apoio no betão.

Âncoras

Os elementos finitos que representam as âncoras são modelados de forma a poderem transferir forças normais e de corte para o betão, tendo também em conta a rigidez à flexão das âncoras. Para modelar o deslizamento entre a âncora e o betão envolvente, são utilizados os mesmos elementos de aderência e MPC que para a armadura. Com a diferença de que:

• Para âncoras pós-instaladas (adesivas), é necessário especificar a resistência de cálculo à aderência.
• Para placas de anilha e pinos com cabeça, a aderência é desprezada ao longo do fuste da âncora. Toda a carga axial é então transferida para o betão através da placa de anilha ou da cabeça da âncora.

As âncoras podem ser interligadas com placas de base. Para esta interligação, é utilizada uma restrição totalmente não linear para ligar a extremidade da âncora a um nó da placa de base. Esta restrição permite controlar todos os graus de liberdade para garantir, por exemplo, que as âncoras não transferem força de compressão da placa de base, ou que nenhum corte é transferido pela âncora quando se modela uma chaveta de corte, etc.

As propriedades de Interligação com a placa de base para âncoras permitem ao utilizador controlar se a âncora será ligada à placa de base pela restrição anteriormente mencionada e de que forma. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20\qquad Interconnection with base plate settings}}}\]

A caixa de seleção Transferência de corte pode ser utilizada para controlar se a âncora e a placa de base serão ou não ligadas em termos de corte. Note-se que não é suportada a combinação de mecanismos de transferência de corte, pelo que para transferência por atrito e por chaveta de corte, esta caixa de seleção é irrelevante. Por outro lado, para transferência de corte por âncoras, este campo oferece a opção de excluir algumas âncoras da transferência de corte.

A caixa de seleção Transferência de forças axiais pode ser utilizada para controlar se a âncora e a placa de base serão ou não ligadas em termos da direção axial. É utilizada principalmente para a exportação a partir da funcionalidade Connection (ver o capítulo correspondente). Para modelação manual, faz sentido ter esta caixa de seleção sempre marcada.

Quando a caixa de seleção está desmarcada, a âncora é desligada tanto à tração como à compressão (no caso de um modelo exportado da aplicação Connection, a ligação é substituída por um par de forças). Se a caixa de seleção estiver marcada, a âncora está sempre ligada à placa à tração, mas a ligação à compressão é controlada pelo tipo de âncora e pelo tipo de stand-off. Para mais informações, consulte a Figura 23.

Roscas cortadas

Controlado por uma caixa de seleção nas propriedades da âncora e tem 2 finalidades:

1. Define como a âncora se liga à placa de base:

• Para pinos com cabeça e armadura moldada no local ligada à placa de base (não para placas moldadas no local), distingue entre uma ligação por parafuso (articulada) e uma ligação soldada (rígida) — visível na cena 3D.
• Note-se que o modo de ligação âncora-placa tem uma influência significativa na resistência ao corte do ponto de vista do apoio no betão.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Cut threads options}}}\]

2. Para o Eurocódigo, a resistência da âncora com roscas cortadas é reduzida de acordo com EN 1993-1-8 3.6.1 (3). Pode ser definido nas definições do projeto. Para barras roscadas e placas de anilha, recomenda-se manter esta definição sempre ativa.

Interligação axial e rotacional entre âncora e placa de base

Como já foi referido neste capítulo, dependendo do tipo de âncora, da definição de stand-off e de se considerarem ou não roscas cortadas, as âncoras são ligadas à placa de base de diferentes formas. Em termos de ligação rotacional, esta pode ser Articulada / Rígida. Em termos de ligação axial, esta pode ser Tração / Tração + Compressão. Os tipos de ligação rotacional influenciam fortemente a capacidade de corte do ponto de vista do apoio no betão. Numa cena 3D, é fácil determinar se uma âncora está ligada como rígida ou articulada com base na presença de porcas, ver Figura 22.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Rotational constraints}}}\]

A tabela seguinte apresenta todas as combinações possíveis de ligações de placas de base com âncoras e as correspondentes ligações rotacionais e axiais.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}\]

Placas moldadas no local

A placa moldada no local é um caso especial de placa de base. É modelada de forma análoga com as seguintes diferenças:

Uma vez que a placa está embebida no interior de um bloco de betão, não é possível especificar nenhum tipo de stand-off. A profundidade de embebimento da laje é desprezada. A placa, modelada por elementos de casca, é colocada diretamente na superfície do betão. Por conseguinte, as superfícies laterais da laje não são consideradas apoiadas pelo betão.

Só é possível utilizar armadura e pinos com cabeça que, tal como as âncoras clássicas, podem ser definidos para estar ligados à laje nas direções axial e de corte. A experiência prática e alguns documentos nacionais indicam a necessidade de dimensionar os pinos com cabeça apenas para corte e a armadura para carga axial. Do ponto de vista das restrições axiais e rotacionais, as âncoras estão sempre ligadas como Rígidas e Tração + Compressão.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}\]

Malha de Betão em CSFM 3D

Os elementos finitos são implementados internamente e o modelo de análise é gerado automaticamente, sem necessidade de interação proficiente do utilizador. Uma parte importante deste processo é a malha.

Betão

Todos os elementos de betão são discretizados em conjunto. Um tamanho de elemento recomendado é calculado automaticamente pela aplicação com base no tamanho e forma da estrutura, tendo em conta o diâmetro da maior barra de armadura. Além disso, o tamanho de elemento recomendado garante que um mínimo de quatro elementos são gerados nas partes mais esbeltas da estrutura, como colunas esbeltas ou paredes finas, para assegurar resultados fiáveis nessas zonas. Os projetistas podem sempre selecionar um tamanho de elemento de betão definido pelo utilizador, modificando o multiplicador do tamanho de malha predefinido.

Armadura

A armadura é dividida em elementos com comprimento aproximadamente igual ao tamanho do elemento de betão. Após a geração das malhas de armadura e de betão, estas são interligadas com elementos de aderência, conforme ilustrado na Fig. 9.

Refinamento

A malha de betão é automaticamente refinada em torno das âncoras, em torno das chavetas de corte e sob o troço curto de aplicação de carga. O tamanho da malha refinada é aproximadamente duas vezes menor do que a malha de betão base. O raio da zona refinada é definido aproximadamente como o tamanho do elemento multiplicado por dois.

O método de solução e o algoritmo de controlo de carga para o CSFM 3D

É utilizado um algoritmo padrão de Newton-Raphson (NR) completo para encontrar a solução de um problema de MEF não linear. 

Em geral, o algoritmo NR não converge frequentemente quando a carga total é aplicada num único passo. Uma abordagem habitual, que também é utilizada aqui, consiste em aplicar a carga sequencialmente em múltiplos incrementos e utilizar o resultado do incremento de carga anterior para iniciar a solução de Newton do incremento seguinte. Para este efeito, foi implementado um algoritmo de controlo de carga sobre o Newton-Raphson. No caso de as iterações NR não convergirem, o incremento de carga atual é reduzido para metade do seu valor e as iterações NR são repetidas.

Um segundo objetivo do algoritmo de controlo de carga é encontrar a carga crítica, que corresponde a determinados "critérios de paragem" – especificamente a deformação máxima no betão, o deslizamento máximo nos elementos de aderência, o deslocamento máximo nos elementos de ancoragem e a deformação máxima nas armaduras. A carga crítica é encontrada pelo método da bissecção. No caso em que o critério de paragem é excedido em qualquer ponto do modelo, os resultados do último incremento de carga são descartados e é calculado um novo incremento com metade do tamanho do anterior. Este processo é repetido até que a carga crítica seja encontrada com uma determinada tolerância de erro.

Para o betão, o critério de paragem foi definido como uma deformação de 5% à compressão (ou seja, cerca de uma ordem de grandeza superior à deformação de rotura real do betão) e 7% à tração nos pontos de integração dos elementos de casca. À tração, o valor foi definido de modo a permitir que a deformação limite na armadura, que normalmente ronda os 5% sem considerar o enrijecimento à tração, seja atingida primeiro. À compressão, o valor foi escolhido entre várias alternativas como aquele que é suficientemente grande para que os efeitos do esmagamento sejam visíveis nos resultados, mas suficientemente pequeno para não causar demasiados problemas de estabilidade numérica.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig 25\qquad Constitutive law of bond and anchorage elements used for anchorage length verification: a) Bond shear stress}}}\] \[ \textsf{\textit{\footnotesize{slip response of bond element, b) force-displacement response of an anchorage element}}}\]

Para a armadura, o critério de paragem é definido em termos de tensões. Uma vez que as tensões na fissura são modeladas, o critério à tração corresponde à resistência à tração da armadura considerando o coeficiente de segurança. O mesmo valor é utilizado para o critério à compressão.

O critério de paragem nos elementos de aderência e nas molas de ancoragem é α·δ_umax, onde δ_umax é o deslizamento máximo utilizado nas verificações normativas e α = 10.

Outros critérios de paragem para ancoragem:

• Arrancamento de âncoras com cabeça (tensão máxima de compressão de contacto na face superior da cabeça da âncora). 
• Força de corte máxima que pode ser transferida pela âncora do ponto de vista do apoio do betão.

Estes dois critérios dependem da norma selecionada. Pode encontrar mais informações sobre os mesmos nas secções que explicam as partes dependentes da norma da análise estrutural na aplicação.

Apresentação de resultados 3D

Os resultados são apresentados de forma independente para o betão e para os elementos de armadura. Os valores de tensão e deformação no betão são calculados nos pontos de integração dos elementos volumétricos. No entanto, como não é prático apresentar os dados desta forma, os resultados são apresentados por defeito nos nós, como o valor máximo de tensão de compressão dos pontos de integração de Gauss adjacentes nos elementos ligados. Deve notar-se que esta representação pode subestimar localmente os resultados nas arestas comprimidas dos elementos, nos casos em que o tamanho do elemento finito é semelhante à profundidade da zona de compressão.

Os resultados para os elementos finitos de armadura são constantes para cada elemento (um valor – por exemplo, para tensões no aço) ou lineares (dois valores – para resultados de aderência). Para elementos auxiliares, como elementos de placas de apoio, apenas são apresentadas as deformações.

Modelo importado do IDEA StatiCa Connection

O modelo IDEA StatiCa Detail nem sempre tem de ser modelado de raiz ou a partir de um modelo. Existe também a opção de importar o modelo, incluindo os efeitos das ações, do IDEA StatiCa Connection. No Connection, a superestrutura de aço acima do bloco de betão é analisada utilizando um modelo 3D não linear, enquanto o próprio bloco de betão é representado de forma simplificada por uma fundação de Winkler. No Detail, por outro lado, o bloco de betão armado é modelado explicitamente e verificado em detalhe.

Ao transferir o modelo, apenas a placa de base, as âncoras e o bloco de betão são importados para o Detail – o próprio elemento de aço (e a sua rigidez global) não é importado. No modelo Connection, este elemento de aço está ligado à placa de base por uma soldadura. As tensões nos elementos finitos da soldadura são integradas e convertidas num conjunto de forças equivalentes que carregam a placa de base no Detail. Desta forma, o efeito do elemento de aço em falta é representado pelas forças da soldadura aplicadas diretamente à placa de base.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Loads imported from IDEA StatiCa Connection}}}\]

Devido à diferente definição de rigidez entre o Connection e o Detail (elemento de aço em falta, diferentes modelos de material e representação do betão), uma ligação direta entre a placa de base e as âncoras no Detail conduziria geralmente a uma redistribuição diferente das cargas e, consequentemente, a diferentes forças de tração nas âncoras. Para evitar isto, as âncoras são importadas axialmente desligadas da placa de base. Em vez de transferir forças axiais através do contacto físico, as trações nas âncoras obtidas do Connection são aplicadas diretamente às âncoras no Detail. Ao mesmo tempo, uma força igual e oposta é aplicada à placa de base em cada localização de âncora, de modo a preservar o equilíbrio global do modelo. Este par de forças (uma atuando na âncora, a outra na placa de base) representa a interação entre a placa de base e a âncora sem permitir redistribuição adicional de forças axiais no Detail. Estas duas forças opostas estão ilustradas na Figura 26.

No entanto, as forças de corte são ainda transferidas pela ligação entre a placa de base e as âncoras (ou chaveta de corte, ou atrito). Isto é possível porque uma restrição é utilizada para ligar a placa de base e as âncoras em corte, permitindo controlar os graus de liberdade relevantes desta interligação. No Detail, o utilizador pode, portanto, modificar o caminho de carga de corte – por exemplo, libertando o corte em duas de quatro âncoras e mantendo apenas as âncoras de bordo ativas em corte – enquanto as forças axiais permanecem conforme importadas do Connection.

Para placas embebidas moldadas no local, adotámos uma abordagem diferente. Várias recomendações de dimensionamento europeias exigem que apenas as barras de armadura sejam consideradas para resistir a forças axiais, enquanto os pinos com cabeça se assumem para transferir apenas corte. Uma vez que o IDEA StatiCa Connection não consegue separar internamente as forças axiais nas âncoras de armadura das dos pinos com cabeça durante a exportação, as âncoras de placas embebidas moldadas no local são importadas para o Detail totalmente ligadas, também na direção axial. Isto permite ao utilizador ativar uma opção de dimensionamento no Detail onde as âncoras de armadura resistem apenas à tração axial e os pinos com cabeça resistem apenas ao corte. Neste fluxo de trabalho, a força axial que foi originalmente atribuída aos pinos com cabeça tem de ser redistribuída para as âncoras de armadura dentro do modelo Detail. Tal redistribuição não seria possível se utilizássemos a abordagem do par de forças opostas descrita acima, razão pela qual as placas embebidas moldadas no local são tratadas de forma diferente.

Verificação do modelo

Estados limite

Estado limite último

As diferentes verificações exigidas pelos códigos de dimensionamento específicos são avaliadas com base nos resultados diretos fornecidos pelo modelo. As verificações ULS são realizadas para a resistência do betão, resistência da armadura e ancoragem (tensões de corte de aderência).

Para garantir que um elemento estrutural tem um dimensionamento eficiente, é altamente recomendável realizar uma análise preliminar que tenha em conta os seguintes passos:

• Escolher uma seleção das combinações de ações mais críticas.
• Calcular apenas as combinações de ações do Estado Limite Último (ULS).
• Para acelerar o tempo de cálculo e resolver eventuais problemas, considere utilizar uma malha grosseira, aumentando o multiplicador do tamanho de malha predefinido nas Definições (Fig. 27). Se o modelo funcionar bem, reverta o multiplicador para um fator de 1.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig 27\qquad Mesh multiplier}}}\]

Este tipo de modelo calcula muito rapidamente, permitindo aos projetistas rever o pormenor do elemento estrutural de forma eficiente e repetir a análise até que todos os requisitos de verificação sejam cumpridos para as combinações de ações mais críticas. Uma vez cumpridos todos os requisitos de verificação desta análise preliminar, sugere-se que sejam incluídas as combinações de ações últimas completas e que se utilize uma malha fina (o tamanho de malha recomendado pelo programa). Os utilizadores podem alterar o tamanho da malha através do multiplicador, que pode atingir valores entre 0,5 e 5 (Fig. 27).

Os resultados e verificações básicos (tensão, deformação e utilização (ou seja, o valor calculado/valor limite do código)), bem como a direção das tensões principais no caso de elementos de betão) são apresentados por meio de diferentes gráficos, em que a compressão é geralmente apresentada a vermelho e a tração a azul. Os valores mínimos e máximos globais para toda a estrutura podem ser destacados, bem como os valores mínimos e máximos para cada parte definida pelo utilizador. Num separador separado do programa, podem ser apresentados resultados avançados, como valores tensoriais, deformações da estrutura e taxas de armadura (efetiva e geométrica) utilizadas para calcular o enrijecimento à tração das barras de armadura. Além disso, podem ser apresentadas as ações e reações para combinações ou casos de carga selecionados.

Verificações estruturais de acordo com o EUROCODE

Modelos de material no CSFM 3D (EN)

Betão - ULS

O modelo de betão implementado no CSFM 3D baseia-se nas leis constitutivas de compressão uniaxial prescritas pela EN 1992-1-1 para o dimensionamento de secções transversais, que dependem apenas da resistência à compressão. O diagrama parábola-rectângulo especificado na EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1) (Fig. 28a) é utilizado por defeito no CSFM 3D, mas os projetistas podem também optar por uma relação elasto-plástica ideal mais simplificada de acordo com a EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (2) (Fig. 28b). A resistência à tração é desprezada, tal como no dimensionamento clássico de betão armado.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig 28\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram}}}\]

A implementação do CSFM 3D no IDEA StatiCa Detail não considera um critério de rotura explícito em termos de deformações para o betão à compressão (ou seja, após atingir a tensão de pico, considera um ramo plástico com ε_cu2 (ε_cu3) com um valor de 5%, enquanto a EN 1992-1-1 assume uma deformação última inferior a 0,35%). Esta simplificação não permite verificar a capacidade de deformação de estruturas que colapsam por compressão. No entanto, a capacidade última f_cd de acordo com a EN 1992-1-1 3.1.3 é corretamente prevista quando o aumento da fragilidade do betão com o aumento da resistência é considerado através do fator de redução \(\eta_{fc}\) definido no fib Model Code 2010 da seguinte forma:

\[f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot f_{ck}}{γ_c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

onde:

α_cc é o coeficiente que tem em conta os efeitos de longa duração na resistência à compressão e os efeitos desfavoráveis resultantes do modo de aplicação da carga. É definido de acordo com a EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (1). O valor por defeito é 1,0.

f_ck é a resistência característica do betão em cilindro (em MPa para a definição de \( \eta_{fc} \)).

Armadura

Por defeito, é considerado o diagrama tensão-deformação bilinear idealizado para varões de armadura isolados, definido na EN 1992-1-1, secção 3.2.7 (Fig. 29). A definição deste diagrama requer apenas o conhecimento das propriedades básicas da armadura durante a fase de projeto (resistência e classe de ductilidade). Sempre que conhecida, pode ser considerada a relação tensão-deformação real da armadura (laminada a quente, trabalhada a frio, temperada e auto-revenida, …). O diagrama tensão-deformação da armadura pode ser definido pelo utilizador, mas neste caso é impossível assumir o efeito de enrijecimento à tração (é impossível calcular a largura de fenda). A utilização do diagrama tensão-deformação com um ramo superior horizontal não permite a verificação da durabilidade estrutural. Por conseguinte, é necessária a verificação manual dos requisitos normativos de ductilidade.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}\] \[ \textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}\]

O enrijecimento à tração (Fig. 30) é contabilizado automaticamente através da modificação da relação tensão-deformação de entrada do varão de armadura isolado, de forma a capturar a rigidez média dos varões embebidos no betão (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

Fatores parciais de segurança

O Método do Campo de Tensões Compatível está em conformidade com os códigos de dimensionamento modernos. Como os modelos de cálculo utilizam apenas propriedades dos materiais padrão, o formato de fatores parciais de segurança prescrito nos códigos de dimensionamento pode ser aplicado sem qualquer adaptação. Desta forma, as ações de entrada são majoradas e as propriedades características dos materiais são reduzidas utilizando os respetivos coeficientes de segurança prescritos nos códigos de dimensionamento, exatamente como na análise convencional de betão. Os valores dos fatores de segurança dos materiais prescritos na EN 1992-1-1 cap. 2.4.2.4 e os fatores para âncoras prescritos na EN 1992-4, EN 1993-1-8 e EN 1994-1-1 são definidos por defeito, mas o utilizador pode alterar os fatores de segurança nas definições de Código e cálculo (Fig. 31).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Os fatores de segurança das ações têm de ser definidos pelo utilizador nas Regras de combinação para cada combinação não linear de casos de carga (Fig. 32). Para todos os modelos implementados em Idea StatiCa Detail, os fatores parciais de segurança já estão predefinidos.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Utilizando combinações de fatores parciais de segurança definidas pelo utilizador, os utilizadores podem também calcular com o CSFM 3D usando o método do fator de resistência global (Navrátil, et al. 2017), embora esta abordagem seja raramente utilizada na prática de dimensionamento. Algumas diretrizes recomendam a utilização do método do fator de resistência global para análise não linear. No entanto, em análises não lineares simplificadas (como o CSFM 3D), que requerem apenas as propriedades dos materiais utilizadas nos cálculos manuais convencionais, é ainda mais desejável utilizar o formato de segurança parcial.

Controlos de estado do limite máximo

As diferentes verificações exigidas pela norma EN 1992-1-1 são avaliadas com base nos resultados diretos fornecidos pelo modelo. As verificações ULS são efectuadas para a resistência do betão, a resistência das armaduras e a ancoragem (tensões de corte da ligação).

A resistência do betão à compressão é avaliada como o rácio entre a tensão principal equivalente máxima σc_,eq obtida da análise de EF e o valor limite σc_,lim = _fcd.

A tensão principal equivalente expressa a tensão uni-axial equivalente para um estado de tensão tri-axial geral.

\[\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}\]

O valor σc_,eq pode, portanto, ser diretamente comparado com os limites de resistência uniaxial de acordo com 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1).

Esta expressão é derivada da implementação da teoria da plasticidade de Mohr-Coulomb, assumindo conservadoramente o ângulo de atrito interno φ = 0°.

A resistência da armadura é avaliada tanto em tração como em compressão como a relação entre a tensão na armadura nas fissuras _σsr e o valor limite especificado σs_,lim:

\(σ_{s,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{para diagrama bilinear com ramo superior inclinado}}\)

\(σ_{s,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\,\textsf{\small{para diagrama bilinear com ramo superior horizontal}}\)

em que:

_fyk é a tensão de cedência da armadura de acordo com a norma EN 1992-1-1 Cl. 3.2.3,

k é o rácio entre a resistência à tração_ftk e a tensão de cedência,
\(k = \frac{f_{tk}}{f_{yk}}\)

γs _é o fator de segurança parcial para o reforço.

A tensão de corte da ligação é avaliada independentemente como o rácio entre a tensão da ligação _τb calculada pela análise de EF e a resistência final da ligação _fbd, de acordo com a norma EN 1992-1-1 cap. 8.4.2:

\[\frac{τ_{b}}{f_{bd}}\le 1\]

\[f_{bd} = 2,25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}\]

em que:

_fctd é o valor de projeto da resistência à tração do betão de acordo com a norma EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (2). Devido à fragilidade crescente do betão de resistência mais elevada, fctk_,0.05 é limitado ao valor para C60/75 de acordo com a norma EN 1992-1-1 Cl. 8.4.2 (2)

_η1 é um coeficiente relacionado com a qualidade da condição de ligação e a posição da barra durante a betonagem (Fig. 31).

_η1 = 1,0 quando se obtêm "boas" condições e

_η1 = 0,7 para todos os outros casos e para barras em elementos estruturais construídos com formas deslizantes, a menos que se possa demonstrar que existem "boas" condições de ligação

_η2 está relacionado com o diâmetro da barra:

_η2 = 1,0 para Ø ≤ 32 mm

_η2 = (132 - Ø)/100 para Ø > 32 mm

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20\qquad EN 1992-1-1 Figura 8.2 - Descrição das condições de ligação.}}}\]

No IDEA StatiCa Detail, as condições de ligação são tidas em conta de acordo com a Fig. 20 c) e d). A direção da betonagem pode ser definida na aplicação para cada item do projeto da seguinte forma:

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Direção de betonagem}}}\]

Estas verificações são efectuadas em relação aos valores-limite apropriados para as respectivas partes da estrutura (isto é, apesar de haver uma única classe para o betão e para o material de reforço, os diagramas finais de tensão-deformação serão diferentes em cada parte da estrutura devido aos efeitos de enrijecimento por tração e amolecimento por compressão).

Força total _Ftot e força limite _Flim

A força total _Ftot é o resultado da análise de elementos finitos e pode ser definida de duas formas.

\[F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}\]

onde_As é a área da barra de reforço e _σs é a tensão na barra.

Ou como uma soma da força de ancoragem_{Fa e} da força de ligação _Fbond.

\[F_{tot}=F_{a}+F_{bond}\]

em que_Fa é a força real na mola de ancoragem e _Fbond é a força de ligação que pode ser obtida através da integração da tensão de ligação _τb ao longo do comprimento da barra de reforço l.

\[F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx\]

_Cs é a circunferência do varão de reforço.

A força limite_Flim é a força máxima no elemento do varão considerando a resistência última do varão e também as condições de ancoragem (ligação entre o betão e a armadura e ganchos de ancoragem, laços, etc.).

\[F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)\]

\[F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}\]

\[F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}\]

\[F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}\]

em que _Cs é a circunferência da barra de reforço e l é o comprimento desde o início da barra de reforço até ao ponto de interesse.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Definição da força limite Flim}}\]

\[F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}\]

em que_Flim,add é a força adicional calculada a partir da magnitude do ângulo entre elementos vizinhos._Flim,2 deve ser sempre inferior a_Fu.

Os tipos de ancoragem disponíveis no CSFM 3D incluem uma barra reta (i.e., sem redução da extremidade da ancoragem), curva, gancho, laço, barra transversal soldada, ligação perfeita e barra contínua. Todos estes tipos, juntamente com os respectivos coeficientes de ancoragem β, são apresentados na Fig. 23 para a armadura longitudinal e na Fig. 24 para os estribos. Os valores dos coeficientes de ancoragem adoptados estão de acordo com a norma EN 1992-1-1, secção 8.4.4 Tab. 8.2. É de notar que, apesar das diferentes opções disponíveis, o CSFM 3D distingue três tipos de extremidades de ancoragem: (i) nenhuma redução no comprimento da ancoragem, (ii) uma redução de 30% do comprimento da ancoragem no caso de uma ancoragem normalizada, e (iii) ligação perfeita.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Tipos de ancoragem disponíveis e respetivos coeficientes de ancoragem para varões de reforço longitudinal no CSFM 3D:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) varão reto; (b) dobra; (c) gancho; (d) laço; (e) varão transversal soldado; (f) ligação perfeita; (g) varão contínuo.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad Tipos de ancoragem disponíveis e respectivos coeficientes de ancoragem para estribos.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Estribos fechados: (a) gancho; (b) dobra; (c) sobreposição. Estribos abertos: (d) gancho; (e) barra contínua.}}}\]

Para cumprir a norma EN 1992-1-1, a mola de ancoragem deve ser utilizada no cálculo, a mola de ancoragem é modificada pelo coeficiente β, pelo que o utilizador deve utilizar um dos tipos de ancoragem disponíveis ao definir as condições de início e fim da armadura.

Verificações estruturais de acordo com ACI 318-19

O CSFM 3D está em conformidade com o ACI 318-19, capítulo 6.8.1.1. Para que o CSFM 3D cumpra os requisitos da secção 6.8.1.2 do ACI 318-19, foram efectuados muitos testes de verificação em várias universidades. Os artigos individuais que resumem os resultados da verificação e validação podem ser encontrados na seguinte hiperligação.

• Verificações: Detalhe 3D

Modelos de material no CSFM 3D (ACI)

Betão - Resistência

O modelo de betão implementado para cálculos de resistência no CSFM baseia-se na curva tensão-deformação parabólica-plástica para betão, baseada na curva tensão-deformação parabólica da Portland Cement Association descrita nas Notas da PCA sobre os Requisitos do Código de Construção ACI 318-99 para Betão Estrutural, Figura 6-8. A resistência à tração é desprezada, tal como no dimensionamento clássico de betão armado.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}\]

A implementação do CSFM no IDEA StatiCa Detail não considera um critério de rotura explícito em termos de deformações para o betão em compressão (ou seja, após atingir a tensão de pico, considera um ramo plástico com ε_c0 com valor máximo de 5%, enquanto o ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 assume uma deformação última inferior a 0,3%). Esta simplificação não permite verificar a capacidade de deformação de estruturas que entram em colapso por compressão. No entanto, a resistência é corretamente prevista quando o aumento da fragilidade do betão com o aumento da sua resistência é considerado através do fator de redução \(\eta_{fc}\) definido no fib Model Code 2010 da seguinte forma:

\[f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

onde:

α₁ é o fator de redução da resistência à compressão do betão definido no ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Ao utilizar um diagrama tensão-deformação parábola-retângulo, é necessário reduzir a tensão máxima de compressão por este fator. Isto pondera a distribuição de tensões na zona comprimida de forma a que a resistência à compressão resultante seja menor ou igual à resistência à compressão calculada com um diagrama tensão-deformação com ramo plástico decrescente.

Φ_c é o fator de redução de resistência para o betão. O valor predefinido é definido de acordo com o ACI 318-19 Tabela 24.2.1 (b)(f).

f'_c é a resistência do betão em cilindro (em MPa para a definição de \( \eta_{fc} \)).

Armadura

Considera-se um diagrama tensão-deformação perfeitamente elasto-plástico com um ponto de cedência definido para a armadura não pré-esforçada. Ver ACI 319-19 Cl. 20.2.1. A definição deste diagrama requer apenas o conhecimento das propriedades básicas da armadura - resistência e módulo de elasticidade.

O diagrama tensão-deformação da armadura também pode ser definido pelo utilizador, mas neste caso não é possível considerar o efeito de enrijecimento à tração. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}\]

onde:

Φ_s é o fator de redução de resistência para a armadura. O valor predefinido é definido de acordo com o ACI 318-19 Tabela 24.2.1.

f_y é a tensão de cedência da armadura

E_s módulo de elasticidade da armadura

10% é selecionado como a deformação limite à qual o cálculo é interrompido. Isto é considerado seguro com base no ASTM A955/A955M-20c Artigo 7.

O enrijecimento à tração (Fig. 42)  é contabilizado automaticamente através da modificação da relação tensão-deformação de entrada da barra de armadura isolada, de forma a capturar a rigidez média das barras embebidas no betão (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

Verificações de resistência no Detail 3D

As diferentes verificações exigidas pela ACI 318-19 são avaliadas com base nos resultados diretos fornecidos pelo modelo. As verificações são realizadas para a resistência do betão, resistência da armadura e ancoragem (tensões de corte de aderência).

Resistência - Betão

A resistência do betão à compressão é avaliada como a razão entre a tensão principal equivalente máxima f_c,eq (também σ_c,eq no texto anterior) obtida pela análise de elementos finitos e o valor limite f'_c,lim.

A Tensão Principal Equivalente exprime a tensão uniaxial equivalente para um estado de tensão triaxial geral.

\[f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}\]

O valor f_c,eq pode, portanto, ser diretamente comparado com os limites de resistência uniaxial. Esta expressão é derivada da implementação da teoria de plasticidade de Mohr-Coulomb, assumindo de forma conservadora o ângulo de atrito interno φ = 0°.

Resistência - Armadura

A resistência da armadura é avaliada tanto à tração como à compressão como a razão entre a tensão na armadura nas fendas f_s e o valor limite especificado f_y,lim.

\[f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}\]

Resistência - Âncoras

As âncoras são verificadas para tensões normais de forma semelhante à armadura, onde o valor limite f_y,lim é determinado. 

Para facilitar a navegação no texto seguinte, dividiremos primeiro a ancoragem em três grupos em termos de verificação normativa de acordo com ACI ou AISC.

Grupo 1

• Tipos de Ancoragem
  • Chapa embebida (cast-in plate)
  • Placa de base - Stand-off = direto 
  • Placa de base - Stand-off = Junta de argamassa - espessura da argamassa inferior a 0,5 vezes o diâmetro da âncora
  • Âncora simples com comprimento projetado inferior a 0,5 vezes o diâmetro da âncora
• Verificações normativas das âncoras (ACI / AISC)
  • Tração/compressão
    • Todos os tipos de âncoras à tração – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2  
    • Todos os tipos de âncoras à compressão – AISC 360-16 cap. E
  • Corte sem braço de alavanca
    • Material de parafuso – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)
    • Pinos com cabeça – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a)
    • Armadura – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)
  • Interação de tração e corte - ACI 318-19 cap. 17.8

Grupo 2

• Tipos de Ancoragem
  • Placa de base - Stand-off = Junta de argamassa - espessura da argamassa superior a 0,5 vezes o diâmetro da âncora
• Verificações normativas das âncoras (ACI / AISC)
  • Tração/compressão
    • Todos os tipos de âncoras à tração – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2  
    • Todos os tipos de âncoras à compressão – AISC 360-16 cap. E
  • Corte com braço de alavanca
    • Material de parafuso – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b) + cap. 17.7.1.2.1.
    • Pinos com cabeça – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a) + cap. 17.7.1.2.1.
    • Armadura – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b) + cap. 17.7.1.2.1.
  • Interação de tração e corte - ACI 318-19 cap. 17.8

Grupo 3

• Tipos de ancoragem
  • Placa de base - Stand-off = folga
  • Âncora simples com comprimento projetado superior a 0,5 vezes o diâmetro da âncora
• Verificações normativas das âncoras (ACI / AISC)
  • Tração/compressão (com encurvadura)
    • Todos os tipos de âncoras à tração – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2
    • Todos os tipos de âncoras à compressão – AISC 360-16 cap. E3
  • Flexão
    • Para todos os tipos de âncoras – AISC 360-16 cap. F11
  • Corte
    • Para todos os tipos de âncoras – AISC 360-16 cap. G
  • Interação de força axial e flexão
    • \(\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1\) 

Resistência à tração da âncora de acordo com ACI 318-19 cap. 17.6.1.2

\[\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}\]

onde:

• ϕ_a,t  – fator de redução de resistência para âncoras à tração de acordo com ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
• A_se,N – área de tensão à tração (reduzida pela rosca)
• f_uta – resistência à tração especificada do aço da âncora e não deve ser superior a 1,9 f_ya e 860 MPa

Resistência ao corte da âncora de acordo com ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a)

A resistência do aço ao corte para pinos com cabeça é determinada como:

\[\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}\]

onde:
ϕ_a,v – fator de redução de resistência para âncoras à tração de acordo com ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
A_se,V – área de tensão à tração (reduzida pela rosca)
f_uta – resistência à tração especificada do aço da âncora e não deve ser superior a 1,9 f_ya e 860 MPa

Resistência ao corte da âncora de acordo com ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)

A resistência do aço ao corte para âncoras de material de parafuso e armadura é determinada como:

\[\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}\]

onde:

• ϕ_a,v  – fator de redução de resistência para âncoras à tração de acordo com ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
• A_se,V – área de tensão à tração (reduzida pela rosca)
• f_uta – resistência à tração especificada do aço da âncora e não deve ser superior a 1,9 f_ya e 860 MPa

Resistência ao corte da âncora ligada a uma base com argamassa - ACI 318-19 cap. 17.7.1.2.1

Se as âncoras forem utilizadas com almofadas de argamassa (Grupo 2), a resistência de cálculo calculada de acordo com 17.7.1.2 deve ser multiplicada por 0,80.

Interação à tração e ao corte de acordo com ACI 318-19 cap. 17.8

É permitido desprezar a interação entre tração e corte se (a) ou (b) for satisfeito.
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0.2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0.2 

Se N_ua/(ϕN_n) > 0.2 para a resistência condicionante à tração e V_ua/(ϕV_n) > 0.2 para a resistência condicionante ao corte, então a Eq. (17.8.3) deve ser satisfeita.

\[\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2\]

Resistência à compressão da âncora de acordo com AISC 360-16 cap. E3

\[P_n =\phi_{a,c}\, F_{cr}\, A_{g}\]

onde:

• ϕ_a,t  – fator de redução de resistência para âncoras à compressão de acordo com AISC 360-16 cap. E1
  
• (a) Quando: \(\dfrac{L_c}{r} \le 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad\)  ou     \(\dfrac{F_y}{F_e}\le 2.25\)
  • \(F_{cr}=\left(0.658^{\,F_y/F_e}\right)F_y\)
    
• (b) Quando: \(\dfrac{L_c}{r} > 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad\)  ou     \(\dfrac{F_y}{F_e}> 2.25\)
  • \(F_{cr}=0.877F_e\)
    
• A_g​ – área da secção transversal bruta do elemento
• E – módulo de elasticidade do aço
• \(F_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{L_c}{r}\right)^2}\) - tensão de encurvadura elástica
• F_y – tensão de cedência mínima especificada do tipo de aço utilizado
• \(r=\sqrt{\dfrac{I}{A_s}}\) – raio de giração
• \(I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}\) – momento de inércia do parafuso 

Resistência à flexão da âncora de acordo com AISC 360-16 cap. F11

\[M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y\]

onde:

• \(Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}\) – módulo plástico da secção do parafuso
• \(S_x=\dfrac{2I}{d_s}\) – módulo elástico da secção do parafuso

Resistência ao corte da âncora de acordo com AISC 360-16 cap. G

\[V_n=\phi_{a,v}\,0.6\,A_v\,F_y\]

onde:

• A_V = 0.844As – a área de corte
• A_s – a área do parafuso reduzida pela rosca

Esmagamento do betão na interface âncora–betão

A resistência ao corte da âncora é também limitada do ponto de vista do esmagamento do betão na interface âncora–betão. Os valores limite e o método para os determinar são descritos em detalhe no artigo - Comportamento ao corte de âncoras em betão armado. Quando a força de contacto atinge este limite, o critério de paragem é ativado e a análise é terminada antes de a resistência ser excedida.​ 

Verificação de arrancamento para âncoras com cabeça (Placas de anilha e Pinos com cabeça)

Para âncoras com cabeça, é implementado um critério de paragem adicional para verificar o apoio do betão (esmagamento) acima da cabeça da âncora - arrancamento. Durante a análise, a força de compressão transferida através do contacto cabeça-betão é monitorizada e comparada com o valor limite dado pela ACI 318-19, Cláusula 17.6.3.2.2a (rotura por arrancamento de fixadores com cabeça).

\[N_{pn} = \Phi \cdot \Psi_{c,p} \cdot 8 \cdot A_{brg} \cdot f'_c\]
​

onde:

• \( \Phi\) é o fator de redução de resistência - Tabela 17.5.3(c)
• A_brg área de apoio líquida da cabeça do pino, parafuso de ancoragem ou barra deformada com cabeça (sem a área do fuste). 
• f'_c é a resistência à compressão especificada do betão
• \(\Psi_{c,p}\) é o fator de fendilhação ao arrancamento de acordo com 17.6.3.3, e é sempre tomado como 1,0, ou seja, o valor para betão fendilhado. Isto é consistente com a abordagem CSFM utilizada no Detail, onde a resistência à tração do betão é desprezada e o betão é assumido como fendilhado à tração.

Quando a força de contacto atinge este limite normativo, o critério de paragem é ativado e a análise é terminada antes de a resistência ao arrancamento ser excedida.​ 

Ancoragem -  Tensão de aderência

A tensão de corte de aderência é avaliada independentemente como a razão entre a tensão de aderência τ_b calculada pela análise de elementos finitos e a resistência de aderência f_bu.

Embora a resistência de aderência não esteja explicitamente definida na ACI 318-19, o cálculo do comprimento de ancoragem pode ser encontrado na Secção 25.4.2. No entanto, uma vez que a resistência de aderência é a entrada básica para determinar o comprimento de ancoragem, ver R25.4.1.1 e ACI Committee 408 1966, a resistência de aderência pode ser calculada da seguinte forma:

Assumamos que, se ancorarmos a barra de armadura num bloco de betão até ao comprimento de ancoragem l_d ou superior, o arrancamento da armadura conduzirá à rotura da armadura e não ao arrancamento do betão. Isto pode ser expresso pela seguinte fórmula.

\[\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}\]

onde:

d_b é o diâmetro da barra de armadura, _ld é o comprimento de ancoragem, f_bu é a resistência de aderência, f_y é a tensão de cedência da armadura, e A_s é a área da barra de armadura.

A partir do exposto, a fórmula para calcular a resistência de aderência pode ser facilmente derivada:

\[f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }\]

O comprimento de ancoragem l_d é então determinado de acordo com a Tabela 25.4.2.3 da ACI 318-19 da seguinte forma:

\[l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}\]

onde:

C = 25 (2,1 para métrico) para barras n.º 6 e menores e arames deformados, C = 20 (1,7 para métrico) para barras n.º 7 e maiores, λ = 1,0 para betão de peso normal, ψ_t, ψ_e, ψ_g são determinados de acordo com a Tabela 25.4.2.3 da ACI 318-19. 

Apenas é suportada armadura não revestida ou com revestimento de zinco (galvanizada), pelo que ψ_e = 1,0. ψ_g é determinado automaticamente a partir da classe da armadura, e ψ_t é automaticamente derivado da posição da armadura no modelo e da direção de betonagem que pode ser definida na aplicação para cada item de projeto da seguinte forma.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad Direction of concreting}}}\]

Estas verificações são realizadas em relação aos valores limite apropriados para as respetivas partes da estrutura (ou seja, apesar de se utilizar uma única classe tanto para o betão como para o material da armadura, os diagramas tensão-deformação finais diferirão em cada parte da estrutura devido aos efeitos de enrijecimento à tração e amolecimento à compressão).

Ancoragem -  Força total

Força total F_tot e força limite F_lim

A força total F_tot é um resultado da análise de elementos finitos e pode ser definida de duas formas.

\[F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}\]

onde A_s é a área da barra de armadura e f_s é a tensão na barra.

Ou como a soma da força de ancoragem F_a e da força de aderência F_bond.

\[F_{tot}=F_{a}+F_{bond}\]

onde F_a é a força real na mola de ancoragem e F_bond é a força de aderência que pode ser obtida integrando a tensão de aderência τ_b ao longo do comprimento da barra de armadura l.

\[F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx\]

C_s é o perímetro da barra de armadura.

A força limite F_lim é a força máxima no elemento da barra considerando a resistência da barra e também as condições de ancoragem (aderência entre o betão e a armadura e ganchos de ancoragem, laços, etc.).

\[F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)\]

\[F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}\]

onde C_s é o perímetro da barra de armadura e l é o comprimento desde o início da barra até ao ponto de interesse.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Definition of the limit force Flim}}}\]

\[F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}\]

onde F_lim,add é a força adicional calculada a partir da magnitude do ângulo entre elementos vizinhos. F_lim,2 deve ser sempre inferior a F_u.

Os tipos de ancoragem disponíveis no CSFM incluem barra reta (ou seja, sem redução na extremidade de ancoragem), gancho a 90 graus, gancho a 180 graus, aderência perfeita e barra contínua. Todos estes tipos, juntamente com os respetivos coeficientes de ancoragem β, são apresentados na Fig. 47 para armadura longitudinal. Os valores dos coeficientes de ancoragem adotados são derivados da comparação da equação da secção ACI 318-19 25.4.3.1 e das equações retiradas da secção ACI 318-19 25.4.2.3. Deve notar-se que, apesar das diferentes opções disponíveis, o CSFM distingue três tipos de extremidades de ancoragem: (i) sem redução no comprimento de ancoragem, (ii) uma redução de 30% do comprimento de ancoragem no caso de uma ancoragem normalizada, e (iii) aderência perfeita.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}\]

O coeficiente de ancoragem para estribos é sempre - β = 1,0.

Para cumprir com a ACI, a mola de ancoragem deve ser utilizada no cálculo; a mola de ancoragem é modificada pelo coeficiente β, pelo que o utilizador deve usar um dos tipos de ancoragem disponíveis ao definir as condições de início e fim da armadura. 

Verificações e validações

• Verificações: Pormenor 3D

Referências

1. Wu, D.; Wang, Y.; Qiu, Y.; Zhang, J.; Wan, Y.-K. Determinação dos parâmetros de Mohr-Coulomb a partir de critérios de resistência não lineares para taludes 3D. Math. Probl. Eng. 2019, 6927654.
2. Lelovic, S.; Vasovic, D.; Stojic, D. Determinação dos parâmetros de material de Mohr-Coulomb para concreto sob teste de tração indireta. Tech. Gaz. 2019, 26, 412-419.
3. Galic, M.; Marovic, P.; Nikolic, Ž. Modelo de material Mohr-Coulomb-Rankine modificado para concreto. eng. Comput. 2011, 28, 853-887.
4. Fan, Q.; Gu, SC; Wang, BN; Huang, RB Critério de Força Parabólica de Mohr de Dois Parâmetros Aplicado para Analisar os Resultados do Teste Brasileiro. Aplicar. Mech. Mater. 2014, 624, 630-634.