Posouzení únavy podle EN 1993-1-9

Tento článek ukazuje, jak využít nominální napětí poskytovaná aplikací IDEA StatiCa Connection k provedení úplného posouzení únavy podle EN 1993-1-9.

IDEA StatiCa Connection poskytuje nominální napětí v:

• uživatelsky definovaných průřezech
• průřezech v blízkosti svarů
• šroubech a kotvách

Poskytovaná napětí představují rozkmit napětí mezi účinkem zatížení a referenčním účinkem zatížení. Rozkmit napětí není žádným způsobem upravován, např. ve smyslu níže uvedeného obrázku, který umožňuje snížení rozkmitu napětí v případě, kdy se napětí mění z tahu na tlak.

Tato napětí zahrnují některé součinitele koncentrace napětí, např. koncentraci napětí v blízkosti otvorů pro šrouby.

Ostatní součinitele, např. dílčí součinitel pro ekvivalentní konstantní rozkmity napětí \(\gamma_{Ff}\) podle EN 1991 nebo součinitele k₁ pro styčníky dutých průřezů z důvodu zanedbání ohybových momentů v příhradovém modelu, musí být stále zahrnuty.

IDEA StatiCa Connection poskytuje \(\sigma_{max}\) a \(\tau_{max}\) pro získání \(\Delta \sigma\) a \(\Delta \tau\). 

\[ \Delta \sigma = \gamma_{Ff} \cdot k_x \cdot \sigma_{max}\]

\[ \Delta \tau = \gamma_{Ff} \cdot k_x \cdot \sigma_{max}\]

kde:

• \(\gamma_{Ff}\) – dílčí součinitel pro ekvivalentní konstantní rozkmity napětí
• \(k_x\) – součinitele nezahrnuté v analýze, např. \(k_1\) z Tabulky 4.1 nebo 4.2
• \(\sigma_{max}\) – výstup normálového napětí z IDEA StatiCa Connection
• \(\tau_{max}\) – výstup smykového napětí z IDEA StatiCa Connection

Podle kapitoly 8, rovnice (8.1), musí být spljena následující omezení napětí:

\[\Delta \sigma \le 1.5 f_y\]

\[\Delta \tau \le 1.5 f_y / \sqrt{3}\]

kde \(f_y\) je mez kluzu oceli.

Detail musí být zařazen do kategorie podle Tabulek 8.1–8.10 a musí být zohledněny všechny příslušné součinitele, např. součinitel pro vliv velikosti. Kategorie detailu (snížená např. o součinitel vlivu velikosti) poskytuje únavovou pevnost při 2 milionech cyklů, \(\Delta \sigma_c\) a \(\Delta \tau_c\). Hodnoty \(\Delta \sigma_c\) a \(\Delta \tau_c\) by měly být sníženy o dílčí součinitel únavové pevnosti, \(\gamma_{Mf}\).

Tabulka 3.1 z EN 1993-1-9 s hodnotami \(\gamma_{Mf}\):

Meze křivky S-N (napětí–životnost) jsou stanoveny podle kapitoly 7.1:

\[\Delta \sigma_D = \left ( \frac{2}{5} \right )^{1/3} \Delta \sigma_c \]

\[\Delta \sigma_L = \left ( \frac{5}{100} \right )^{1/5} \Delta \sigma_D \]

\[\Delta \tau_L = \left ( \frac{2}{100} \right )^{1/5} \Delta \tau_c \]

Podle kapitoly A.5 je třeba stanovit počty cyklů do poruchy. Počet cyklů \(n_{Ei}\) příslušející rozkmitu napětí \(\gamma_{Ff} \Delta \sigma_i\) je vstupem od uživatele. \(N_{Ri}\) se vypočítá podle kapitoly 7. 

Normálová napětí pro \(\Delta \sigma \ge \Delta \sigma_D\):

\[N_R = \frac{\Delta \sigma_c^m \cdot 2\cdot 10^6}{\Delta \sigma^m}\]

kde:

• m = 3 – sklon křivky únavové pevnosti 

Normálová napětí pro \(\Delta \sigma \ge \Delta \sigma_L\):

\[N_R = \frac{\Delta \sigma_D^m \cdot 5\cdot 10^6}{\Delta \sigma^m} \]

kde:

• m = 5 – sklon křivky únavové pevnosti 

Normálová napětí pod mezí odříznutí \(\Delta \sigma_L\) se na únavovém poškození nepodílejí.

Smyková napětí pro \(\Delta \tau_E \le \Delta \tau_L\):

\[N_R = \frac{\Delta \tau_c^m \cdot 2\cdot 10^6}{\Delta \tau^m} \]

kde:

• m = 5 – sklon křivky únavové pevnosti 

Smyková napětí pod mezí odříznutí \(\Delta \tau_L\) se na únavovém poškození nepodílejí.

Poškození se vypočítá podle pravidla Palmgren-Miner (Obrázek A.1) v rovnicích (A.1) a (A.2) samostatně pro normálová a smyková napětí:

\[D_d = \Sigma_i^n \frac{n_{Ei}}{N_{Ri}} \le 1.0\]

Normálová a smyková napětí by měla být kombinována podle rovnice (8.3), pokud není v Tabulkách 8.8 a 8.9 uvedeno jinak.

\[D_{d \sigma}^3 + D_{d \tau}^5 \le 1.0 \]

Příklad

Vstupní hodnoty pro výpočet: Uživatel zadá referenční účinek zatížení a tři únavové účinky zatížení. Výstupy z IDEA StatiCa Connection jsou maximální normálové napětí a odpovídající smykové napětí. Třída oceli je S355.

Dílčí součinitele bezpečnosti jsou stanoveny z EN 1991 a EN 1993-1-9:

\[ \gamma_{Ff} = 1.0 \]

\[ \gamma_{Mf} = 1.15 \]

Jsou ověřena omezení napětí:

\[\Delta \sigma \le 1.5 f_y\]

\[ 60 \, \textrm{MPa} \le 1.5 \cdot 355 = 532 \, \textrm{MPa}\]

\[\Delta \tau \le 1.5 f_y / \sqrt{3} \]

\[60  \, \textrm{MPa} \le 1.5 \cdot 355 / \sqrt{3} = 307 \, \textrm{MPa} \]

Z Tabulek 8.1–8.10 jsou stanoveny hodnoty \(\Delta \sigma_c = 90\,\textrm{MPa}\) a \(\Delta \tau_c = 70\,\textrm{MPa}\). Tyto hodnoty jsou sníženy o dílčí součinitel únavové pevnosti \(\gamma_{Mf} = 1{,}15\) na \(\Delta \sigma_c = 78{,}3\,\textrm{MPa}\) a \(\Delta \tau_c = 60{,}9\,\textrm{MPa}\).

Jsou stanoveny meze křivky S-N:

\[\Delta \sigma_D = \left ( \frac{2}{5} \right )^{1/3} \Delta \sigma_c = \left ( \frac{2}{5} \right )^{1/3} 78.3 = 57.7\,\textrm{MPa}\]

\[\Delta \sigma_L = \left ( \frac{5}{100} \right )^{1/5} \Delta \sigma_D = \left ( \frac{5}{100} \right )^{1/5} 57.7 = 31.7 \,\textrm{MPa}\]

\[\Delta \tau_L = \left ( \frac{2}{100} \right )^{1/5} \Delta \tau_c = \left ( \frac{2}{100} \right )^{1/5} 60.9 = 27.8\,\textrm{MPa} \]

 \(\Delta \sigma\) se stanoví vynásobením  \(\Delta \sigma_{max}\) dílčím součinitelem pro ekvivalentní konstantní rozkmity napětí \(\gamma_{Ff} = 1{,}0\). V tomto příkladu není nutný žádný další součinitel k_x.

Počet cyklů do poruchy \(N_R\) se vypočítá pro každý zatěžovací případ a pro normálová i smyková napětí podle výše uvedených vzorců, např. pro normálové napětí v LE2:

\[N_R = \frac{\Delta \sigma_c^m \cdot 2\cdot 10^6}{\Delta \sigma^m} = \frac{78.3^3 \cdot 2\cdot 10^6}{60^3} = 4 \,438\, 234 \, \textrm{cycles}\]

Pomocí pravidla Palmgren-Miner se vypočítá kumulované poškození pro všechny účinky zatížení.

Pro normálová napětí:

\[D_{d \sigma} = \Sigma_i^n \frac{n_{Ei}}{N_{Ri}} = \frac{1\, 500\, 000}{4\, 438\, 235} + \frac{3\,000\,000}{10\,200\,230} = 0.632 \le 1.0\]

Pro smyková napětí:

\[D_{d \tau} = \Sigma_i^n \frac{n_{Ei}}{N_{Ri}} = \frac{1\, 500\, 000}{2\, 149\, 190} + \frac{3\,000\,000}{16\,320\,409} = 0.882 \le 1.0\]

Nakonec je ověřena interakce normálového a smykového napětí:

\[ D_{d \sigma} ^3 + D_{d \tau} ^5 \le 1.0\]

\[ 0.632 ^3 + 0.882 ^5  = 0.786 \le 1.0\]

Únavová odolnost posuzovaného detailu je dostatečná.

Ověření

Před vydáním nástroje pro posouzení únavy bylo provedeno několik experimentálních ověření:

Únavová životnost metodou nominálního napětí

Posouzení únavy – tupé svary průřezu I