Kesme

Gevrek göçme açısından kesme kontrolü, betonarme bir kesitin önemli kontrollerinden biridir.

Hesap prosedürü

Kesme dayanımının hesabı birkaç temel bölümden oluşmaktadır. İlk olarak, kontrol edilen konumda eğilmeden kaynaklanan çatlakların oluşup oluşmadığı analiz edilmelidir. Çatlak varsa, EN 1992-1-1 [2], Madde 6.2.2 (1)'e göre hesap uygulanır. Aksi takdirde, grobeton mu yoksa az donatılı betonarme mi olduğu belirlenir ve EN 1992-1-1 Madde 12.6.3'e göre devam edilir.

Donatılı çatlamamış betonarme için (kesme donatısı olmaksızın) EN 1992-1-1 Madde 6.2.2 (2)'ye göre kontrol yapılır. Kesme donatısı gerektiren elemanlar için Madde 6.2.3 [2]'ye göre kontrol yapılır.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}\]

Kesme donatısı olmayan elemanların kesme dayanımı

Çatlak eğilme bölgelerindeki elemanların kesme dayanımı (mad. 6.2.2 (1) [2])

Kesme donatısı olmayan ve eğilme momentine maruz betonarme elemanların kesme dayanımı aşağıdaki formülle verilir:

 \[{{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d\]

Bu formül, kesme kuvveti ile göçme durumunda temsili sayıda basit kiriş üzerinde gerçekleştirilen deneyler esas alınarak tanımlanmıştır. Yukarıdaki dayanım, boyuna donatısı (r_l) olmayan elemanlar için sıfır olabileceğinden, az donatılı elemanlar için denklemler türetilmiştir. Yukarıdaki dayanım, boyuna donatısı (r_l) olmayan elemanlar için sıfır olabileceğinden, az donatılı elemanlar için dayanım aşağıdaki denklemle belirlenmiştir:

\[{{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d\]

Normal kuvvetin etkisiyle kesme dayanımı aşağıdaki denklemle belirlenmiştir:

\[{{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d\]

EN 1992-1-1 mad. 6.2.2 (1) ile uyumlu tam ifadesiyle kesme dayanımı:

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d\]

Minimum değer olarak:

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d\]

burada  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          kesit yüksekliği faktörü 

\[k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0\]

ρ₁      boyuna donatı için donatı oranı

\[{{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02\]

f_ck        betonun 28 günlük karakteristik basınç silindir dayanımı

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  v MPa

b_w        çekme bölgesindeki kesitin en küçük genişliği

d          kesitin faydalı yüksekliği

υ_min      minimum eşdeğer kesme dayanımı υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

Çatlamamış eğilme bölgelerindeki elemanların kesme dayanımı (mad. 6.2.2 (2) [2])

Çatlamamış eğilme bölgelerindeki elemanların kesme dayanımı Mohr çemberinden belirlenebilir. Aşağıdaki denkleme:

\[{{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}\]

σ_x = σ_cp ve τ_z = V_Rd,c S / (I b_w) değerleri yerleştirilerek V_Rd,c çözülür ve EN 1992-1-1 mad. 6.2.2 (2)'deki formüle karşılık gelen denklem elde edilir.

burada  

I           ikinci alan momentidir,

b_w        ağırlık merkezindeki kesit genişliğidir,

S          ağırlık merkezinin üzerindeki ve etrafındaki birinci alan momentidir,

f_ctd        betonun tasarım eksenel çekme dayanımı, MPa cinsinden,

 s_cp       yükleme ve/veya öngerme nedeniyle ağırlık merkezindeki beton basınç gerilmesidir,

a_l         aktarma uzunluğu faktörü, genellikle 1,0.

Yukarıdakiyle bağlantılı olarak şunu belirtmek gerekir: eğilme çatlağı olmayan bölgelerde V_Rd ,c dayanımı, Madde 6.2.2 (1) [2]'e göre çatlak bölgelere kıyasla önemli ölçüde daha yüksek olabilir. Aşağıdaki şekil açıkça göstermektedir ki, kesme kuvveti en uç değerinde kontrol edilse de (çatlak oluşturmayan), bu durum kuvvetin tüm kiriş boyunca aktarılacağını garanti etmez. Bu durum, betonun kesme dayanımının hesaplanma yöntemindeki değişiklikten kaynaklanmaktadır. Güvenli tarafta kalmak adına, çatlak oluşmayacak yerlerde de kesme dayanımı Madde 6.2.2 (1) [2]'e göre dikkate alınabilir.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}\]

Madde 6.2.2 (2) [2]'ye göre V_Rd, c ifadesiyle ilgili olarak şunu da belirtmek gerekir: genel durumda, normal basınç gerilmesi bölgesinde en büyük asal beton çekme gerilmesinin oluştuğu liften hareketle kontrol yapılmalıdır; kesitin ağırlık merkezinden değil. Bu noktada kesit karakteristiklerinin (S ve b_W) hesaplanması gerekmektedir. IDEA RCS programında maksimum asal gerilme s₁'i belirlemek için ağırlık merkezinden bileşke kesme kuvvetleri doğrultusunda bir doğru çizilir. Bu doğru 20 sektöre bölünür. Bu doğru üzerinde daha fazla karakteristik nokta (kesit poligonunun noktaları, ağırlık merkezi, tarafsız eksen) sunulur. Bu noktalar arasında S, b_w, σ_x, τ_yz ve σ₁ hesaplanır. Maksimum asal çekme gerilmesi noktasında kesme dayanımı hesaplanır.

Madde 6.2.2 (6) tarafından istenen β azaltma faktörü uygulanmadan önceki kesme kuvveti, aşağıdaki ek koşulu sağlamalıdır:

\[ {{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}\]

burada 

 \[ {{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]\]  kde f_ck je v MPa

Donatısız veya az donatılı elemanların kesme dayanımı (mad. 12.6.3 [2])

Grobeton veya az donatılı betonarme için kesme dayanımı aşağıdaki ifadeden belirlenebilir:

\[ {{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}\]

Burada

τ_cp yerine aşağıdaki ifade kullanılır:

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~\]

veya

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~\]

Yukarıdaki formülde kullanılan kısmi değerler aşağıdaki şekilde verilmiştir:

\[ {{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}\]

burada  

f_cd,pl     Grobeton veya az donatılı betonarme için tasarım basınç dayanımı,

f_ctd,pl    Grobeton veya az donatılı betonarmenin tasarım eksenel çekme dayanımı,

f_cvd       Beton basıncı altında tasarım kesme dayanımı.

Kesme donatılı elemanların dayanımı (mad. 6.2.3 [2])

Kesme donatılı betonarme elemanların dayanım hesabı, değişken açılı diyagonallere sahip kafes analojisi yöntemine dayanmaktadır. Bu yöntemin temeli, basınç çubuğu kuvveti (diyagonal), kesme donatısı kuvveti (etriye) ve boyuna donatı kuvveti tarafından belirlenen üçgendeki kuvvetlerin dengesidir.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}\]

Kesme yüküne maruz kesit, θ açısında çatlaklarla bölünür; bu nedenle kesme kuvvetleriyle aynı açıdaki beton diyagonali kesme kuvvetine karşı koyar. Diyagonalin basınç kuvveti V_ed/sinθ olarak ifade edilebilir. Bu kuvvet, basınç diyagonaline dik beton yüzeyi b_wzcosθ tarafından aktarılmalıdır. Basınç diyagonalindeki beton çekme gerilmesi şuna eşittir:

\[ {{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)\]

\[{{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}\]  ve \[{{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}\] yerine koyarak ve \[{{V}_{Rd,max}}\] ifade edilerek diyagonalin kesme dayanımı için denklem elde edilir:

\[ {{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)\]

Basınç diyagonalindeki düşey kuvvet bileşenini dengelemek için kesme donatısı kullanılır. Düşey kuvvetin büyüklüğü, tek bir etriyeye karşılık gelen beton alanındaki diyagonal basınç gerilmesine dayanır - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. Sınır etriye kuvveti \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\] olarak verilir. 

σ_c yerleştirilerek, donatıdaki sınır kuvvetiyle karşılaştırılarak ve düzenlemeler yapıldıktan sonra elde edilir:

\[ \frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta\]

Ardından V_ed yerine V_RDs yazılarak düşey kesme donatılı kesitin dayanımı elde edilir:

\[ {{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta\]

Boyuna kesme kuvveti boyuna donatı tarafından aktarılır ve V_edcotgθ olarak belirlenebilir. Yukarıdaki formüllerin türetilmesi [4]'te bulunabilir.

IDEA RCS programı kullanılarak yalnızca düşey kesme donatılı elemanlar kontrol edilebilir. Genel olarak aşağıdaki denklemler kullanılabilir:

\[{{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha\]

\[{{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)\]

Burada  

A_sw      kesme donatısının kesit alanıdır,

s           etriye aralığıdır,

f_ywd      kesme donatısının tasarım akma dayanımıdır,

b_w        çekme ve basınç başlıkları arasındaki minimum genişliktir. V_Rd,max dayanımının hesaplanmasında, kablo kanalları nedeniyle kesit zayıflamışsa kesit genişliği değeri sözde nominal kesit genişliğine indirilmelidir:

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ enjeksiyonlu metal kanallar için

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ enjeksiyonsuz metal kanallar için           

υ          = 0,6 pro f_ck ≤ 60MPa veya  pro f_ck > 60MPa,

α_cw       basınç başlığındaki gerilme durumunu dikkate alan katsayıdır.

Tab. 1‑1 α_cw katsayısının belirlenmesi

θ açısı, beton basınç çubuğu ile kesme kuvvetine dik kiriş ekseni arasındaki açıdır. cotθ için kullanılacak sınır değerler ülkenin Ulusal Ekinde bulunabilir. Önerilen sınırlar aşağıdaki ifadeyle verilmiştir:

\[1~\le ~\cot \theta \le 2,5\]

θ açısının büyüklüğünün seçimi dayanım değerlerini etkileyebilir. Dayanımların bağımlılığı Şekil 1.15'te görülmektedir. Şekil, θ açısının artmasıyla V_Rd,max dayanımının arttığını, V_Rd,s dayanımının ise azaldığını göstermektedir. V_Rd,c dayanımı sabittir; zira kafes analojisi yöntemine dayanmaktadır.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}\]

Kesme için kesit karakteristiklerinin hesabı

Kesme hesabı için kesme dayanımını etkileyen kesit değişkenlerinin hesaplanması önemlidir. Bu değişkenler başta kesmeye karşı koyan kesit genişliği b_w, faydalı yükseklik d ve kol uzunluğu z'yi kapsamaktadır. Yönetmelik [2], bu değerleri doğrudan gerçek eğilme gerilmesiyle ilişkilendirerek vermektedir. Ancak sorun, bileşke eğilme momentlerinin yönü (ya da daha doğrusu kesit dayanımı bileşkesinin yönü) bileşke kesme kuvvetlerinin yönünden önemli ölçüde farklı olduğunda bu değerlerin belirlenmesindedir. Bu durumda EC2 yönetmeliği herhangi bir öneri sunmamaktadır.

Kesmeye karşı koyan kesit genişliği b_w

IDEA RCS programı, kesme kuvvetleri bileşkesine dik doğrultuda kesmeye karşı koyan kesit genişliğini hesaplar. Eurocode'daki ilgili maddeye bağlı olarak bu genişlik şu şekilde hesaplanır:
-  Madde 6.2.2 (a) ve 6.2.3 (1) için, kesme kuvvetleri bileşkesine dik doğrultuda beton basınç bileşkesi ile çekme donatısı arasındaki en küçük kesit genişliği
- Madde 6.2.2 (2)'ye göre, kontrol edilen noktada kesme kuvvetleri bileşkesine dik doğrultudaki kesit genişliği

Kesitin faydalı yüksekliği

Faydalı yükseklik genellikle en çok sıkışan beton lifinden donatının ağırlık merkezine olan mesafe olarak tanımlanır. Doğrudan eğilmeyle ilişkili olduğundan, bu mesafe düzlem şekil değiştirmenin ağırlık doğrusuna dik projeksiyon olarak verilir.

Bu tanım, çekme donatısının ağırlık merkezi yerine donatı kuvvetleri bileşkesinin konumunun kullanılması şeklinde açıklanabilir. IDEA RCS programının geliştirilmesi sürecinde şu sorun çözülmüştür: eğilme yüklerinin düzleminin kesme kuvvetleri bileşkesinin yönüyle örtüşmediği durumlarda kesitin faydalı yüksekliği nasıl tanımlanacaktır. Bu nedenle faydalı yükseklik, en çok sıkışan beton lifinden çekme donatısındaki kuvvetler bileşkesine (eğilme gerilmesine göre) ve kesme kuvvetleri bileşkesinin yönünde olan mesafe olarak tanımlanmıştır; bkz. Şekil 1.17.

Sıkışan lifi veya çekme donatısındaki bileşkeyi belirleyemediğimiz durumlarda istisnai haller ortaya çıkacaktır. Bu durumda 0,9 h değerinin (kesme kuvvetleri bileşkesinin yönünde kesit yüksekliğinin %90'ı) kullanılması önerilir. Bu değer, kullanıcı tarafından IDEA RCS programında yönetmelik değişkenleri ayarından tanımlanabilir.

İç kuvvetlerin kol uzunluğu

İç kuvvetlerin kol uzunluğu 6.2.3 (3) [2]'de yer almakta olup "çekme ve basınç başlıkları arasındaki mesafe" olarak tanımlanmaktadır. Yönetmelik, etkiyen eğilme momentinin düzleminin kesme kuvvetleri bileşkesinin yönünden farklı olduğu durumlarda nasıl devam edileceğini tanımlamamaktadır. Bu nedenle, faydalı yükseklik durumunda olduğu gibi, mesafeyi kesme kuvvetleri bileşkesinin yönünde tanımlarız. Burada da benzer istisnai durumlarla karşılaşılabilir; örneğin tüm kesitin basınç altında olması vb. Bu durumda 0,9 d değeri (faydalı kesit yüksekliğinin %90'ı) alınır. Bu değer, kullanıcı tarafından IDEA RCS programında yönetmelik değişkenleri ayarından belirlenebilir.

Eğilme düzlemi eğimi ile kesme kuvveti bileşkesi arasındaki bağımlılık Şekil 1.18 ve Şekil 1.19'da açıkça görülmektedir. Eğimin artmasıyla faydalı yükseklik, kol uzunlukları ve ilgili dayanım değerleri azalmaktadır. Sınır durum 90°'dir. Bu eğim için iç kuvvetlerin kol uzunluğu hesaplanamaz ve dolayısıyla kol uzunluğu sıfıra eşit olur. Bu durumda yönetmelik değişkenleri ayarında belirtilen değer dikkate alınır. Bu nedenle grafiğin sonunda bir sıçrama oluşur. Bu çalışma, eğim için önerilen maksimum değerin yaklaşık 20° olduğunu kanıtlamaktadır.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}\]

RCS uygulamasının test sürecinin bir parçası olarak, kesme dayanımının normal kuvvet değişimine bağımlılığına ilişkin bir çalışma yürütülmüştür. V_Rd,max dayanımı yalnızca α_cw katsayısından etkilenmektedir; bkz. Şekil 1.20. Şekil 1.21, V_Rds dayanımının sabit değerini göstermektedir. V_Rdc dayanımında ise normal kuvvetin artması azalmaya neden olmaktadır. Şekil 1.21'deki mavi eğri, çatlakların etkisi göz ardı edilerek hesaplanan V_Rdc dayanımını göstermekte olup madde 6.2.2 (1) [2]'deki formül kullanılarak hesaplanmıştır. Basınç ile çekme arasındaki geçişteki sıçrama, katkıda bulunan çekme donatısından kaynaklanmaktadır. Kırmızı eğri, madde 6.2.2 (2) [2]'deki formül kullanılarak hesaplanmıştır. İlk çatlak oluştuktan sonra bağımlılık eğrisi, 6.2.2 (1) [2] için olanla aynıdır.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}\]