In der Praxis stoßen Ingenieure auf verschiedene Arten von finiten Elementen (von einfachen 1D-Stabelementen bis hin zu komplizierteren 3D-Volumenelementen), die in einer Vielzahl von Anwendungen für die Analyse von Baukonstruktionen verwendet werden. Ein gemeinsames Merkmal der linearen Analyse liegt zweifellos in ihrer Schnelligkeit, Übersichtlichkeit und in der Tatsache, dass diese Lösung für eine Vielzahl von Problemen völlig ausreichend ist.

Vor allem bei Betonkonstruktionen kommt es häufig vor, dass der lineare Ansatz nicht ausreicht, weil nach dem Auftreten der ersten Risse im belasteten Element die Spannungen umverteilt werden und das Problem deutlich nichtlinearer wird.

Aus diesem Grund hat IDEA StatiCa die 3D-CSFM (Compatible Stress Field Method) entwickelt und in der Detail-Anwendung durch den Einsatz von Volumenelementen umgesetzt. 3D CSFM erweitert die etablierte CSFM in eine dritte Dimension und bietet eine schnelle und normgerechte Lösung, die vor allem für den Alltagsingenieur anwendbar ist und ihm eine einzigartige neue Möglichkeit bietet, die komplexen Details von Betonstrukturen sicher zu bewältigen.

Wichtigste Annahmen und Einschränkungen

3D CSFM definiert das Betonverhalten auf der Grundlage der modifizierten Mohr-Coulomb-Plastizitätstheorie für monotone Belastung. Die Methode berücksichtigt die Hauptdruckspannungen des Betons und die Betonstahlspannungen (σ_sr) an den Rissen und vernachlässigt die Zugfestigkeit des Betons, mit Ausnahme der Mitwirkung des Beton Zwischen den Rissen (Zugaussteifung).

σ_c1r, σ_c2r, σ_c3r ≤ 0 MPa

Die Bewehrungsstäbe sind mit den finiten Elementen des Betonvolumens durch Verbundelemente verbunden, die ein Gleiten zwischen Beton und Bewehrung ermöglichen. Es ist zu beachten, dass die 3D-CSFM nicht für die Simulation von unbewehrtem Beton geeignet ist. Im Allgemeinen umfasst die Mohr-Coulomb-Theorie zwei grundlegende Eigenschaften, die die Entwicklung der Plastizitätsfläche unter Druck und teilweise unter Zug bestimmen: den inneren Reibungswinkel φ und den Kohäsionsparameter c. 3D CSFM geht von einem inneren Reibungswinkel von Null aus (Abb. 1e), was zu einer konservativen Bemessung führt.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 1\qquad Grundannahmen des 3D CSFM: (a) Hauptspannungen im Beton; (b) Spannungen in Bewehrungsrichtung;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(c) Spannungs-Dehnungs-Diagramm des Betons in Form von maximalen Spannungen; (d) Spannungs-Dehnungs-Diagramm}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{des Betonstahls in Form von Spannungen an Rissen und mittleren Dehnungen; (e) Mohrsche Kreise für Betonmodell in 3D CSFM; }}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(f) Verbund Schubspannung-Schlupf-Beziehung für Verankerungslängennachweise.}}}\)

Beton

Das vorgestellte Materialmodell ist ein Mehrflächenplastizitätsmodell, das durch die Kombination des Mohr-Coloumb- und des Rankine-Modells für monotone Belastung gegeben ist. Es ist wichtig zu beachten, dass dieses Modell keine Entlastung berücksichtigt, wie es bei klassischen Plastizitätsmodellen für zyklische Belastung der Fall wäre.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 2\qquad Mohr-Coulomb-Mehrflächenplastizitätsmodell für den Reibungswinkel 0 Grad}}}\]

Wie bereits erwähnt, ist das Materialmodell für Anwendungen von bewehrtem Beton gedacht. Dies ist auf die Vernachlässigung von Beton unter Zug zurückzuführen. Daher ist das Modell nicht einmal für Bauteile geeignet, bei denen die Bemessungsregeln für Stahlbeton, wie Mindestbewehrungsgrad, maximaler Stababstand usw., nicht erfüllt sind. Es sollte auch hinzugefügt werden, dass aus Gründen der numerischen Stabilität eine sehr kleine Zugkapazität im Modell definiert ist. Der Zugteil wird durch Ebenen begrenzt, die dem Rankine-Modell entsprechen.

3D CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Versagenskriterium in Form von Dehnungen für Beton unter Druck (d.h. es wird ein unendlich plastischer Zweig nach Erreichen der Spitzenspannung betrachtet). Durch diese Vereinfachung kann die Verformungskapazität von Bauwerken, die auf Druck versagen, nicht nachgewiesen werden. Ihre Tragfähigkeit wird jedoch richtig vorhergesagt, wenn die Zunahme der Sprödigkeit des Betons bei steigender Festigkeit mit Hilfe des im fib Model Code 2010 wie folgt definierten Abminderungsfaktors 𝜂_𝑓𝑐 berücksichtigt wird:

\[f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

wobei:

f_c die charakteristische Festigkeit des Betonzylinders ist (in MPa für die Definition von \ ( \eta_{fc} \)).

f_c,red wird dann mit der äquivalenten Hauptspannung σ_c_,eq im Beton verglichen, die natürlich unter Berücksichtigung aller in den Normen vorgeschriebenen Sicherheitsfaktoren weiter definiert wird.

Eine detaillierte Beschreibung des Betonmodells finden Sie unter dem folgenden Link:

Betonmaterialmodell für 3D-Detail

Bewehrung

Das bilineare Spannungs-Dehnungs-Diagramm für Bewehrungsstäbe, wie es in den Bemessungsregeln definiert ist (Abb. 1d), stellt ein idealisiertes Modell dar. Dieses Modell setzt die Kenntnis der grundlegenden Eigenschaften der Bewehrung während der Bemessungsphase voraus, insbesondere der Festigkeits- und Duktilitätsklasse. Alternativ kann der Anwender auch eine individuelle Spannungs-Dehnungs-Beziehung definieren.

Die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen (Tension Stiffening) wird berücksichtigt, indem die Spannungs-Dehnungs-Beziehung des "nackten" Bewehrungsstabs modifiziert wird, um die durchschnittliche Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe (ε_m) zu erfassen (Abb. 1b).

Verankerung

Der Verbundschlupf zwischen der Bewehrung und dem Beton wird in das Finite-Elemente-Modell aufgenommen, indem die vereinfachte starr-perfektplastische Beziehung in (Abb. 1f) berücksichtigt wird, wobei f_bd der Bemessungswert (faktorisierter Wert) der Verbundspannung ist, der in der Bemessungsvorschrift für die spezifischen Verbundbedingungen angegeben ist.

Es handelt sich hierbei um ein vereinfachtes Modell, das ausschließlich dem Zweck dient, die in den Bemessungsvorschriften vorgeschriebenen Verbundspannungen (d. h. die Verankerung der Bewehrung) zu berücksichitgen. Die Reduzierung der Verankerungslänge bei der Verwendung von Haken, Schlaufen und ähnlichen Stabformen kann durch die Definition einer bestimmten Kapazität am Ende der Bewehrung berücksichtigt werden, wie weiter unten beschrieben wird.

Verankerungen

Das Ankerelement ist so definiert, dass es sowohl normale Zug- oder Druckkräfte als auch Querkräfte übertragen kann, wobei auch die Biegesteifigkeit der Anker berücksichtigt wird. Es wird jedoch nur die Normalspannung in den Ankern bewertet.

Es gibt zwei Arten von Ankern:

Chemische Anker
Betonstahlanker

Die Betonstahlanker verhalten sich wie die klassische Bewehrung (Verankerungsart, Verbund, usw.). Bei chemischen Ankern kann der Bemessungswert Verbundfestigkeit direkt definiert werden. Dieser Wert sollte aus dem technischen Datenblatt des Herstellers bzw. Zulassung entnommen werden.

Umsetzung der Mohr-Coulomb-Plastizitätstheorie in 3D CSFM

Im folgenden Kapitel wird dargestellt, wie die Mohr-Coulomb-Theorie in 3D CSFM umgesetzt wird. Wir erläutern, wie die Umschnürungswirkung (dreiachsige Spannung) berücksichtigt wird und wie die äquivalente Hauptspannung σ_c_,eq berechnet wird, die zur Bestimmung der Tragfähigkeit aus Sicht des Betons verwendet wird.

Einführung in die Theorie

Die Mohr-Coulomb-Theorie ist ein mathematisches Modell, das das Verhalten von spröden Materialien auf Schub- und Normalspannungen beschreibt. Die meisten klassischen technischen Werkstoffe folgen dieser Regel zumindest in einem Teil ihres Schubbruchbereichs. Im Allgemeinen gilt die Theorie für Materialien, bei denen die Druckfestigkeit die Zugfestigkeit bei weitem übersteigt z.B. Beton.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 3\qquad Mohr-Coulomb-Plastizitätsmodell}}}\]

Im Bauwesen wird dieses Model zur Bestimmung der Bruchlast verwendet. Mit Hilfe der Coulomb'schen Reibungshypothese wird die Kombination von Schub- und Normalspannung bestimmt, die einen Bruch des Materials verursacht, und mit Hilfe des Mohr'schen Kreises wird ermittelt, welche Hauptspannungen diese Kombination von Scher- und Normalspannung hervorrufen und in welchem Winkel der Ebene dies geschieht.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 4\qquad Meridianebene und Spannungsschnitt}}}\]

Es kann gezeigt werden, dass bei einem Material, das nach der Coulombschen Reibungshypothese versagt, die beim Versagen eingeleitete Verschiebung einen Winkel zur Bruchlinie bildet, der dem Reibungswinkel entspricht. Dadurch lässt sich die Festigkeit des Werkstoffs durch den Vergleich der durch die Verschiebung und die äußere Belastung eingebrachten äußeren mechanischen Arbeit mit der durch die Dehnung und die Spannung an der Bruchlinie eingebrachten inneren mechanischen Arbeit bestimmen. Aufgrund der Energieerhaltung muss die Summe dieser Arbeiten gleich Null sein, was die Berechnung der Bruchlast der Konstruktion ermöglicht.

Umsetzung in 3D CSFM

Im Allgemeinen können für einen gegebenen inneren Reibungswinkel des Betons, der in den Referenzen [1], [2], [3], [4] bei etwa φ = 30-40° liegt, die Zug- und Druckfestigkeiten der Mohr'schen Kreise des Betons wie in Abbildung 5 dargestellt werden.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 5\qquad Mohr'sche Kreise für Beton}}}\]

Dabei ist f_c die Druckfestigkeit des Betons, f_ct die Zugfestigkeit des Betons, φ der innere Reibungswinkel und σ_c1, σ_c3 die Hauptspannungen des Betons unter dreiachsigem Druck.

Es ist festzustellen, dass mit zunehmender Hauptspannung σ_c3 auch die maximal mögliche Differenz zwischen den Werten von σ_c3 und σ_c1, die wir als maximale σ_c_,eq definieren (siehe unten), zunimmt. Diese Differenz entspricht dem Doppelten der in der Literatur als Radius der Mohrschen Kreise definierten deviatorischen Spannung.

In der in IDEA StatiCa Detail implementierten 3D-CSFM wird der Winkel der inneren Reibung mit φ = 0° angenommen , wie in Abbildung 6 dargestellt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 6\qquad Mohrsche Kreise für Beton, implementiert in IDEA StatiCa Detail}}}\]

Die praktische Folge dieser Implementierung ist, dass die maximale Differenz zwischen σ_c3 und σ_c1 konstant ist, wenn σ_c3 zunimmt.

Die äquivalente Hauptspannung drückt die äquivalente einachsige Spannung für einen allgemeinen triaxialen Spannungszustand aus.

\[\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}\]

Der σ_c_,eq-Wert kann daher direkt mit den Grenzwerten für die einachsige Festigkeit gemäß den Normen verglichen werden.

\[\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} \le 1\]

Dabei ist σ_c_,lim die bemessene (faktorisierte) einachsige Festigkeit des Betons f_c.

Vergleicht man Abbildung 5, in der der reale innere Reibungswinkel verwendet wird, mit Abbildung 6, die die Umsetzung der Mohr-Coulomb-Theorie mit einem inneren Reibungswinkel von Null zeigt, so wird deutlich, dass der für die Berechnungen im Detail gewählte Ansatz sehr konservativ für die Berücksichtigung des dreiachsigen Spannungszustands ist.

Zum besseren Verständnis der von triaxialer Druckbeanspruchung betroffenen Bereiche wurde der IDEA StatiCa Detail-Anwendung der Ausdruck für den Anstieg der effektiven Materialfestigkeit infolge triaxialer Druckbeanspruchung als Verhältnis σ_c3/σ_c_,lim hinzugefügt. Sie finden dieses Verhältnis in der Festigkeitskontrolle.

In den Hilfsergebnissen kann der Benutzer auch den κ-Faktor finden, der die Triaxialität auf andere Weise erklärt.

\[\kappa = \frac{ \sigma_{c3}}{ \sigma_{c,eq}}\]

Der Betonfestigkeitsnachweis kann dann umgeschrieben werden als:

\[\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} = \frac{\sigma_{c,3} }{ \kappa \cdot \sigma_{c,lim}} \le 1\]

Daraus folgt, dass, wenn das Element unter hydrostatischer Spannung steht - σ_c3=σ_c2=σ_c1, die äquivalente Hauptspannung σ_c_,eq den Wert Null hat und der Kappa-Faktor unendlich wird.

Mehr dazu finden Sie hier: Triaxiale Spannung - der aktive Begrenzungseffekt

Allgemeine Mechanik-Annahmen für 3D CSFM

Gleichgewichtsgleichungen

Die Theorie der kleinen Verformungen ermöglicht die Aufstellung der Gleichgewichtsgleichung auf der Grundlage des unverformten Volumens unter Verwendung eines Ansatzes erster Ordnung.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 7\qquad Gleichgewichtsgleichungen und grafische Darstellung auf einem infinitesimalen Element}}}\]

Kompatibilitätsgleichungen

Ein Festkörper besteht aus infinitesimalen Volumina oder Materialpunkten, die jeweils lückenlos und überlappungsfrei miteinander verbunden sind. Damit bei der Verformung eines Kontinuumskörpers keine Lücken oder Überlappungen entstehen, müssen mathematische Bedingungen eingehalten werden.

Konstitutive Gleichungen

Die konstitutiven Gleichungen, die das Verhalten von 3D-Elementen bestimmen, spielen eine zentrale Rolle bei der Analyse des Materialverhaltens in der Strukturmechanik. Diese Gleichungen sind so formuliert, dass sie das nichtlineare isotrope Verhalten berücksichtigen, das für massive Blockstäbe in IDEA StatiCa Detail gilt.

Bei einer 3D-Wand ist es wichtig, das orthotrope Verhalten über die gesamte Dicke zu berücksichtigen, wobei die Spannungen im Beton aufgrund der fehlenden Querbewehrung besonders zu beachten sind. Die Orthotropie wird dadurch verursacht, dass die Spannung im Beton in einer Richtung außerhalb der Ebene zugelassen wird. Die Materialeigenschaften wie die Modulelastizität und die Poissonzahl bleiben gleich.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 8\qquad Lineare elastische isotrope Nachgiebigkeitsmatrix}}}\]

2 Analysemodell von IDEA StatiCa 3D Detail

Einführung in die Finite-Elemente-Implementierung

3D CSFM berücksichtigt kontinuierliche Spannungsfelder im Beton (3D finite Elemente), die durch diskrete "Stab"-Elemente ergänzt werden, die die Bewehrung darstellen (1D finite Elemente). Daher ist die Bewehrung nicht diffus in die 3D-Finite-Elemente eingebettet, sondern explizit modelliert und mit ihnen verbunden.

\Abb. 9: Quadratur des Berechnungsmodells für Betonblock und außerebene Wand}}}]

Finite-Elemente-Typen

Das nichtlineare Finite-Elemente-Analysemodell besteht aus mehreren Arten von Finite-Elementen, die zur Modellierung des Betons, der Bewehrung und der Verbindung zwischen diesen Elementen verwendet werden. Die Beton- und Bewehrungselemente werden zunächst unabhängig voneinander vernetzt und dann mit Hilfe von Multi-Point-Constraints (MPC-Elementen) miteinander verbunden. Dadurch kann die Bewehrung jede beliebige Position einnehmen, die nicht auf die Knoten des tetraedrischen Netzes beschränkt ist. Um die Verankerungslänge, den Verbund und das Verankerungsende zu überprüfen, werden Federelemente zwischen der Bewehrung und den MPC-Elementen eingefügt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 10\qquad Finite-Elemente-Modell: Bewehrungselemente auf Betonnetz mit MPC- und Verbundelementen abgebildet}}}\]