W praktyce inżynierowie mogą spotykać się z różnymi typami elementów skończonych (od prostych jednowymiarowych elementów prętowych po bardziej złożone trójwymiarowe elementy bryłowe), które są stosowane w różnych zastosowaniach do analizy i projektowania elementów konstrukcyjnych. Wspólną cechą większości obliczeń w praktyce jest liniowe zachowanie modeli, którego niezaprzeczalnymi zaletami są szybkość, przejrzystość i po prostu fakt, że dla szerokiej gamy problemów takie rozwiązanie jest w pełni wystarczające.

Szczególnie w świecie konstrukcji betonowych często zdarza się, że podejście liniowe nie jest wystarczające, ponieważ po pojawieniu się pierwszych rys w obciążonym elemencie naprężenia ulegają redystrybucji, a problem staje się znacząco nieliniowy.

W takich przypadkach konieczne jest wybranie jednego z bardziej zaawansowanych podejść. Dla przypadków jednowymiarowych często można znaleźć metody analityczne zdefiniowane bezpośrednio w normach. Na przykład dla dwuwymiarowych elementów płaskich i stref nieciągłości (D-regionów) można stosować popularne modele Strut and Tie, lub skorzystać z bardziej zaawansowanej metody pól naprężeń zaimplementowanej w IDEA StatiCa Detail – CSFM.

Jeśli jednak inżynier napotka problem, którego nie można uprościć do zachowania płaskiego, możliwości są bardzo ograniczone. Oczywiście można zbudować przestrzenny model Strut and Tie lub skorzystać z oprogramowania naukowego do dokładnej analizy. Procedury te są często czasochłonne, niezgodne z normami i wymagają inżyniera posiadającego wiedzę z zakresu zaawansowanych metod modelowania.

Z tego powodu IDEA StatiCa opracowała i wdrożyła trójwymiarową metodę CSFM (Compatible Stress Field Method) w aplikacji Detail. Trójwymiarowa CSFM rozszerza ugruntowaną metodę CSFM o trzeci wymiar, oferując szybkie i zgodne z normami rozwiązanie, przeznaczone przede wszystkim dla inżyniera konstruktora w codziennej pracy, dając mu unikalną, nową możliwość bezpiecznego projektowania złożonych detali konstrukcji betonowych.

1.2 Główne założenia i ograniczenia CSFM w 3D

3D CSFM definiuje zachowanie betonu na podstawie teorii plastyczności Modified Mohr-Coulomb dla obciążeń monotonicznie rosnących. Metoda uwzględnia główne naprężenia betonu na ściskanie oraz naprężenia zbrojenia (σ_sr) w rysach, pomijając wytrzymałość betonu na rozciąganie (odcięcie rozciągania), z wyjątkiem jego efektu usztywnienia zbrojenia (Tension stiffening).

σ_c₁_r, σ_c₂_r, σ_c₃_r ≤ 0 MPa

Pręty zbrojeniowe są połączone z elementami skończonymi objętości betonu poprzez elementy kontaktowe, umożliwiające poślizg między betonem a zbrojeniem. Należy zaznaczyć, że 3D CSFM nie nadaje się do symulacji betonu niezbrojnego ze względu na brak rozciągania, co może prowadzić do mylących deformacji i rozbieżności modelu. Ogólnie teoria Mohra-Coulomba obejmuje dwie podstawowe właściwości rządzące ewolucją powierzchni plastyczności na ściskanie i częściowo na rozciąganie: kąt tarcia wewnętrznego φ oraz parametr kohezji c. 3D CSFM przyjmuje zerowy kąt tarcia wewnętrznego (Rys. 1e), co prowadzi do konserwatywnego projektowania, ponieważ powierzchnia plastyczności przypomina model Treski, niezależny od pierwszego niezmiennika naprężeń.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Basic assumptions of the 3D CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses; (d) stress-strain diagram of reinforcement}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{in terms of stresses at cracks and average strains; (e) Mohr's circles for concrete model in 3D CSFM; (f) bond shear stress-slip}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{relationship for anchorage length verifications.}}}\)

Beton

Przedstawiony model materiałowy jest modelem plastyczności wielopowierzchniowej, opartym na kombinacji modeli Mohra-Coulomba i Rankine'a dla obciążeń monotonicznie rosnących. Należy podkreślić, że model ten nie uwzględnia odciążenia, dlatego zmienne stanu nie są przechowywane, jak ma to miejsce w klasycznych modelach plastyczności stosowanych do obciążeń cyklicznych.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Mohr-Coulomb multi-surface plasticity model for friction angle 0 degree}}}\]

Jak już wspomniano, model materiałowy jest przeznaczony do zastosowań obliczających odpowiedź żelbetu (nie nadaje się do betonu niezbrojnego). Wynika to z pominięcia betonu na rozciąganie. Dlatego model nie nadaje się również do elementów konstrukcyjnych, w których nie są spełnione zasady projektowania żelbetu, takie jak minimalne zbrojenie, maksymalny rozstaw prętów itp. Należy również dodać, że ze względów numerycznych w modelu zdefiniowano bardzo małą nośność na rozciąganie. Część rozciągana jest ograniczona płaszczyznami odpowiadającymi modelowi Rankine'a.

3D CSFM w IDEA StatiCa Detail nie uwzględnia jawnego kryterium zniszczenia w kategoriach odkształceń dla betonu ściskanego (tj. przyjmuje nieskończenie plastyczną gałąź po osiągnięciu naprężenia szczytowego). To uproszczenie nie pozwala na weryfikację zdolności odkształceniowej konstrukcji niszczących się przez ściskanie. Jednak ich nośność graniczna jest właściwie przewidywana, gdy wzrost kruchości betonu wraz ze wzrostem jego wytrzymałości jest uwzględniany za pomocą współczynnika redukcyjnego 𝜂_𝑓𝑐 zdefiniowanego w fib Model Code 2010 w następujący sposób:

\[f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

gdzie:

f_c jest charakterystyczną wytrzymałością betonu na ściskanie oznaczoną na próbkach walcowych (w MPa dla definicji \( \eta_{fc} \)).

Wartość f_c,red jest następnie porównywana z Równoważnym Naprężeniem Głównym σ_c,eq w betonie, które zostanie zdefiniowane dalej, oczywiście z uwzględnieniem wszystkich współczynników bezpieczeństwa wymaganych przez normę.

Szczegółowy opis modelu betonu można znaleźć pod następującym linkiem:

Concrete Material Model for 3D Detail

Zbrojenie

Dwuliniowy diagram naprężenie-odkształcenie dla prętów zbrojeniowych, zgodnie z normami projektowania (Rys. 1d), stanowi model idealizowany. Model ten wymaga znajomości podstawowych właściwości zbrojenia na etapie projektowania, w szczególności wytrzymałości i klasy ciągliwości. Alternatywnie użytkownicy mają możliwość zdefiniowania własnej zależności naprężenie-odkształcenie.

Tension stiffening jest uwzględniany poprzez modyfikację zależności naprężenie-odkształcenie gołego pręta zbrojeniowego w celu odwzorowania średniej sztywności prętów zabetonowanych w betonie (ε_m) (Rys. 1b).

Zakotwienie

Poślizg między zbrojeniem a betonem jest wprowadzony do modelu elementów skończonych poprzez uproszczoną sztywno-idealnie plastyczną zależność konstytutywną przedstawioną na (Rys. 1f), gdzie f_bd jest wartością obliczeniową (wartością z uwzględnieniem współczynników) granicznego naprężenia przyczepności określonego przez normę projektowania dla danych warunków przyczepności.

Jest to uproszczony model służący wyłącznie do weryfikacji wymagań dotyczących przyczepności zgodnie z normami projektowania (tj. zakotwienia zbrojenia). Redukcję długości zakotwienia przy zastosowaniu haków, pętli i podobnych kształtów prętów można uwzględnić, definiując określoną nośność na końcu zbrojenia, co zostanie opisane dalej.

Kotwy

Element kotwy jest zdefiniowany jako zdolny do przenoszenia normalnych sił rozciągających lub ściskających, a także sił ścinających, z uwzględnieniem sztywności na zginanie.

Dostępne są następujące typy kotew:

Kotwy wylewane na miejscu budowy
- Zbrojenie
- Podkładka
- Śruba z łbem
Zbrojenie wylewane na miejscu budowy
- Zbrojenie
- Pręty gwintowane

Wylewane na miejscu budowy - Zbrojenie

Modelowane jako żebrowane zbrojenie zabetonowane w betonie. Nośność na przyczepność jest obliczana zgodnie z wybranymi przepisami normowymi w taki sam sposób jak dla standardowego zbrojenia. Na końcu kotwy można zdefiniować Typ zakotwienia, działający identycznie jak zbrojenie – stosowana jest sprężyna zakotwienia z współczynnikiem β ustawionym zgodnie z wybraną normą. Dostępne są trzy kształty geometryczne: Prosty, Kształt L, Kształt U.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Cast-in reinforcement anchor - shapes}}}\]

Wylewane na miejscu budowy - Podkładka i Śruba z łbem

Podkładka oraz łeb śruby z łbem są modelowane jako element płytowo-powłokowy z odpowiedniego materiału, połączony bezpośrednio z trzonem kotwy. Przenosi obciążenie na beton poprzez kontakt tylko na ściskanie. Dostępne kształty: okrągły i kwadratowy (tylko okrągły dla śruby z łbem), z możliwością dostosowania wymiarów. Model podkładki i łba jest sprężysty i nie jest sprawdzany pod kątem nośności.

Na poziomie modelu elementów skończonych wyrywanie kotwy jest bezpośrednio sprawdzane. Kontakt na ściskanie ma ustawione kryteria zatrzymania, tak aby nie był w stanie przenosić na beton naprężeń kontaktowych większych niż określone przez wybraną normę. W praktyce oznacza to, że jeśli kotwa zostałaby obciążona siłą niezgodną z oceną wyrywania, wynikiem byłoby przedwczesne zakończenie obliczeń, ponieważ to kryterium zatrzymania zostałoby przekroczone podczas dalszego obciążania.

Trzon kotwy ma zerową przyczepność – całe obciążenie jest przenoszone na beton przez płytkę lub łeb.

Montowane po betonowaniu - Zbrojenie i Pręt gwintowany

Zaprojektowane jako pręty instalowane w wywierconych otworach i klejone klejem. Inżynier konstruktor określa obliczeniową nośność na przyczepność bezpośrednio z dokumentacji technicznej produktu klejącego.

Więcej informacji na temat łączenia poszczególnych typów kotew z płytą podstawy lub płytą wbudowaną można znaleźć w rozdziale Typy elementów skończonych - Urządzenia przenoszące obciążenia.

1.3 Implementacja teorii plastyczności Mohra-Coulomba w trójwymiarowym CSFM

W poniższym rozdziale przyjrzymy się, jak teoria Mohra-Coulomba jest zaimplementowana w trójwymiarowym CSFM. Wyjaśnimy, w jaki sposób uwzględniany jest efekt ściskania wieloosiowego (naprężenie trójosiowe) oraz jak obliczane jest Równoważne Naprężenie Główne σ_c,eq, które służy do wyznaczenia nośności z punktu widzenia betonu.

Wprowadzenie do teorii

Teoria Mohra-Coulomba jest modelem matematycznym opisującym odpowiedź materiałów kruchych na ścinanie i naprężenie normalne. Większość klasycznych materiałów inżynierskich podlega tej regule przynajmniej w części obwiedni zniszczenia na ścinanie. Ogólnie teoria ma zastosowanie do materiałów, w których wytrzymałość na ściskanie znacznie przewyższa wytrzymałość na rozciąganie.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Mohr-Coulomb Plasticity Model }}}\]

W inżynierii konstrukcyjnej jest stosowana do wyznaczania obciążenia niszczącego oraz kąta pęknięcia przy przemieszczeniu powierzchni zniszczenia w betonie i podobnych materiałach. Hipoteza tarcia Coulomba jest używana do wyznaczenia kombinacji naprężeń ścinających i normalnych, która spowoduje zniszczenie materiału. Koło Mohra służy do określenia, które naprężenia główne wywołają tę kombinację naprężeń ścinających i normalnych oraz kąta płaszczyzny, w której to nastąpi. Zgodnie z zasadą normalności, naprężenie wprowadzone przy zniszczeniu będzie prostopadłe do linii opisującej warunek zniszczenia.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Meridian plane and tension cut-off}}}\]

Można wykazać, że materiał ulegający zniszczeniu zgodnie z hipotezą tarcia Coulomba wykazuje przemieszczenie przy zniszczeniu tworzące kąt z linią pęknięcia równy kątowi tarcia. Pozwala to na wyznaczenie wytrzymałości materiału poprzez porównanie zewnętrznej pracy mechanicznej wprowadzonej przez przemieszczenie i obciążenie zewnętrzne z wewnętrzną pracą mechaniczną wprowadzoną przez odkształcenie i naprężenie na linii zniszczenia. Zgodnie z zasadą zachowania energii, suma tych wartości musi być równa zero, co umożliwia obliczenie obciążenia niszczącego konstrukcji.

Implementacja w trójwymiarowym CSFM

Ogólnie, dla danego kąta tarcia wewnętrznego betonu, który wynosi około φ = 30-40° w literaturze [1], [2], [3], [4], koła Mohra dla wytrzymałości na rozciąganie i ściskanie betonu można skonstruować jak na Rysunku 6.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Mohr's circles for concrete}}}\]

Gdzie f_c jest wytrzymałością betonu na ściskanie, f_ct jest wytrzymałością betonu na rozciąganie, φ jest kątem tarcia wewnętrznego, a σ_c₁, σ_c₃ są naprężeniami głównymi betonu przy trójosiowym ściskaniu.

Można zauważyć, że wraz ze wzrostem naprężenia głównego σ_c₃, maksymalna możliwa różnica między wartościami σ_c₃ i σ_c₁, którą definiujemy jako maksymalne σ_c,eq (patrz poniżej), również wzrasta. Różnica ta odpowiada dwukrotności naprężenia dewiatorowego, zdefiniowanego w literaturze jako promień kół Mohra.

W trójwymiarowym CSFM zaimplementowanym w IDEA StatiCa Detail kąt tarcia wewnętrznego przyjmowany jest jako φ = 0°, jak pokazano na Rysunku 7.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}\]

Praktyczną konsekwencją tej implementacji jest to, że maksymalna różnica między σ_c₃ i σ_c₁ jest stała wraz ze wzrostem σ_c₃.

Równoważne Naprężenie Główne wyraża równoważne jednoosiowe naprężenie dla ogólnego trójosiowego stanu naprężenia.

\[\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}\]

Wartość σ_c,eq może być zatem bezpośrednio porównywana z granicami wytrzymałości jednoosiowej zgodnie z normami.

\[\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} \le 1\]

Gdzie σ_c_,lim jest obliczeniową (z uwzględnieniem współczynników) jednoosiową wytrzymałością betonu f_c.

Porównując Rysunek 6, gdzie zastosowany jest rzeczywisty kąt tarcia wewnętrznego, z Rysunkiem 7, który przedstawia implementację teorii Mohra-Coulomba z zerowym kątem tarcia wewnętrznego, można stwierdzić, że podejście wybrane do obliczeń w Detail jest bardzo konserwatywne przy ocenie trójosiowego stanu naprężenia.

Dla lepszego zrozumienia obszarów objętych trójosiowym ściskaniem, do aplikacji IDEA StatiCa Detail dodano wyrażenie wzrostu efektywnej wytrzymałości materiału wskutek trójosiowego ściskania w postaci wskaźnika σ_c₃/σ_c,lim. Wskaźnik ten można znaleźć w sprawdzeniu normowym wytrzymałości.

W wynikach pomocniczych użytkownik może również znaleźć współczynnik κ, który opisuje trójosiowość w inny sposób.

\[\kappa = \frac{ \sigma_{c3}}{ \sigma_{c,eq}}\]

Sprawdzenie wytrzymałości betonu można wówczas przepisać jako:

\[\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} = \frac{\sigma_{c,3} }{ \kappa \cdot \sigma_{c,lim}} \le 1\]

Z powyższego wynika, że jeśli element jest w stanie naprężenia hydrostatycznego – σ_c₃=σ_c₂=σ_c₁, Równoważne Naprężenie Główne σ_c,eq przyjmie wartość zerową, a współczynnik kappa osiągnie nieskończoność.

Więcej informacji można znaleźć tutaj: Naprężenie trójosiowe – aktywny efekt ściskania wieloosiowego

1.4 Ogólne założenia mechaniczne dla 3D CSFM

Równania równowagi

Teoria małych odkształceń umożliwia zestawienie równania równowagi na podstawie nieodkształconej objętości z zastosowaniem podejścia pierwszego rzędu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Equilibrium equations and graphical representation on infinitesimal element}}}\]

Równania zgodności

Ciało stałe składa się z nieskończenie małych objętości lub punktów materialnych, które są ze sobą połączone bez szczelin ani nakładek. Aby zapobiec powstawaniu szczelin lub nakładek podczas odkształcania ciała ciągłego, należy spełnić odpowiednie warunki matematyczne.

Równania konstytutywne

Równania konstytutywne opisujące zachowanie elementów 3D odgrywają kluczową rolę w analizie zachowania materiałów w mechanice konstrukcji. Równania te są sformułowane tak, aby uwzględniać nieliniowe zachowanie izotropowe, które jest właściwe dla elementów typu blok bryłowy w IDEA StatiCa Detail.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Linearly elastic isotropic compliance matrix}}}\]

2 Model obliczeniowy IDEA StatiCa 3D Detail

2.1 Wprowadzenie do implementacji Metody Elementów Skończonych

3D CSFM uwzględnia ciągłe pola naprężeń w betonie (trójwymiarowe elementy skończone), uzupełnione dyskretnymi elementami „prętowymi" reprezentującymi zbrojenie (jednowymiarowe elementy skończone). Zbrojenie nie jest zatem rozmycie osadzone w trójwymiarowych elementach skończonych betonu, lecz modelowane jawnie i połączone z nimi.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Rendering of the calculation model for concrete block and out-of-plane wall}}}\]

2.2 Ogólne typy elementów skończonych

Nieliniowy (niesprężysty) model analizy metodą elementów skończonych tworzony jest przez kilka typów elementów skończonych służących do modelowania betonu, zbrojenia oraz przyczepności między nimi. Elementy betonowe i zbrojeniowe są najpierw siatkowane niezależnie, a następnie łączone za pomocą więzów wielopunktowych (elementy MPC). Pozwala to na umieszczenie zbrojenia w dowolnym miejscu, niezależnie od węzłów siatki czworościanów. W celu weryfikacji długości zakotwienia, przyczepności i zakotwienia, między zbrojeniem a elementami MPC wstawiane są elementy sprężynowe.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC and bond elements}}}\]