Analiza zmęczenia materiału zgodnie z EN 1993-1-9

W artykule pokazano, jak wykorzystać naprężenia nominalne dostarczane przez IDEA StatiCa Connection do przeprowadzenia pełnej analizy zmęczenia materiału zgodnie z EN 1993-1-9.

IDEA StatiCa Connection dostarcza naprężenia nominalne w:

• przekrojach zdefiniowanych przez użytkownika
• przekrojach w pobliżu spoin
• śrubach i kotwach

Podane naprężenia stanowią zakres naprężeń między efektem obciążenia a referencyjnym efektem obciążenia. Zakres naprężeń nie jest w żaden sposób modyfikowany, np. w odniesieniu do przedstawionego poniżej rysunku, który umożliwia zmniejszenie zakresu naprężeń, gdy naprężenie zmienia się z rozciągania na ściskanie.

Naprężenia te uwzględniają pewne współczynniki koncentracji naprężeń, np. koncentrację naprężeń w pobliżu otworów na śruby.

Pozostałe współczynniki, np. częściowy współczynnik dla równoważnych zakresów naprężeń o stałej amplitudzie \(\gamma_{Ff}\) zgodnie z EN 1991 lub współczynniki k₁ dla złączy przekrojów zamkniętych ze względu na pominięte momenty gnące w modelu kratownicowym, nadal muszą być uwzględnione.

IDEA StatiCa Connection dostarcza \(\sigma_{max}\) i \(\tau_{max}\) do wyznaczenia \(\Delta \sigma\) i \(\Delta \tau\). 

\[ \Delta \sigma = \gamma_{Ff} \cdot k_x \cdot \sigma_{max}\]

\[ \Delta \tau = \gamma_{Ff} \cdot k_x \cdot \sigma_{max}\]

gdzie:

• \(\gamma_{Ff}\) – częściowy współczynnik dla równoważnych zakresów naprężeń o stałej amplitudzie
• \(k_x\) – współczynniki nieuwzględnione w analizie, np. \(k_1\) z Tablicy 4.1 lub 4.2
• \(\sigma_{max}\) – wynik IDEA StatiCa Connection dla naprężenia normalnego
• \(\tau_{max}\) – wynik IDEA StatiCa Connection dla naprężenia stycznego

Zgodnie z Rozdziałem 8, Równanie (8.1), muszą być spełnione następujące ograniczenia naprężeń:

\[\Delta \sigma \le 1.5 f_y\]

\[\Delta \tau \le 1.5 f_y / \sqrt{3}\]

gdzie \(f_y\) jest granicą plastyczności stali.

Detal musi zostać skategoryzowany zgodnie z Tablicami 8.1–8.10 i wszystkie istotne współczynniki muszą być uwzględnione, np. współczynnik efektu skali. Kategoria detalu (zredukowana np. o współczynnik efektu skali) określa wytrzymałość zmęczeniową przy 2 milionach cykli, \(\Delta \sigma_c\) i \(\Delta \tau_c\). Wartości \(\Delta \sigma_c\) i \(\Delta \tau_c\) powinny być zredukowane przez częściowy współczynnik wytrzymałości zmęczeniowej, \(\gamma_{Mf}\).

Tablica 3.1 z EN 1993-1-9 z wartościami \(\gamma_{Mf}\):

Granice krzywej S-N (naprężenie–trwałość) wyznacza się zgodnie z Rozdziałem 7.1:

\[\Delta \sigma_D = \left ( \frac{2}{5} \right )^{1/3} \Delta \sigma_c \]

\[\Delta \sigma_L = \left ( \frac{5}{100} \right )^{1/5} \Delta \sigma_D \]

\[\Delta \tau_L = \left ( \frac{2}{100} \right )^{1/5} \Delta \tau_c \]

Zgodnie z Rozdziałem A.5 należy wyznaczyć liczbę cykli do zniszczenia. Liczba cykli, \(n_{Ei}\), odpowiadająca zakresowi naprężeń \(\gamma_{Ff} \Delta \sigma_i\), jest danymi wejściowymi od użytkownika. \(N_{Ri}\) jest obliczane zgodnie z Rozdziałem 7. 

Naprężenia normalne dla \(\Delta \sigma \ge \Delta \sigma_D\):

\[N_R = \frac{\Delta \sigma_c^m \cdot 2\cdot 10^6}{\Delta \sigma^m}\]

gdzie:

• m = 3 – nachylenie krzywej wytrzymałości zmęczeniowej 

Naprężenia normalne dla \(\Delta \sigma \ge \Delta \sigma_L\):

\[N_R = \frac{\Delta \sigma_D^m \cdot 5\cdot 10^6}{\Delta \sigma^m} \]

gdzie:

• m = 5 – nachylenie krzywej wytrzymałości zmęczeniowej 

Naprężenia normalne poniżej granicy odcięcia \(\Delta \sigma_L\) nie przyczyniają się do uszkodzenia zmęczeniowego.

Naprężenia styczne dla \(\Delta \tau_E \le \Delta \tau_L\):

\[N_R = \frac{\Delta \tau_c^m \cdot 2\cdot 10^6}{\Delta \tau^m} \]

gdzie:

• m = 5 – nachylenie krzywej wytrzymałości zmęczeniowej 

Naprężenia styczne poniżej granicy odcięcia \(\Delta \tau_L\) nie przyczyniają się do uszkodzenia zmęczeniowego.

Uszkodzenie oblicza się zgodnie z regułą Palmgrena-Minera (Rysunek A.1) w Równaniach (A.1) i (A.2) oddzielnie dla naprężeń normalnych i stycznych:

\[D_d = \Sigma_i^n \frac{n_{Ei}}{N_{Ri}} \le 1.0\]

Naprężenia normalne i styczne należy łączyć zgodnie z Równaniem (8.3), o ile Tablice 8.8 i 8.9 nie stanowią inaczej.

\[D_{d \sigma}^3 + D_{d \tau}^5 \le 1.0 \]

Przykład

Dane wejściowe do obliczeń: Użytkownik definiuje referencyjny efekt obciążenia oraz trzy zmęczeniowe efekty obciążenia. Wynikami z IDEA StatiCa Connection są maksymalne naprężenie normalne i odpowiadające mu naprężenie styczne. Gatunek stali to S355.

Częściowe współczynniki bezpieczeństwa wyznacza się z EN 1991 i EN 1993-1-9:

\[ \gamma_{Ff} = 1.0 \]

\[ \gamma_{Mf} = 1.15 \]

Sprawdzane są ograniczenia naprężeń:

\[\Delta \sigma \le 1.5 f_y\]

\[ 60 \, \textrm{MPa} \le 1.5 \cdot 355 = 532 \, \textrm{MPa}\]

\[\Delta \tau \le 1.5 f_y / \sqrt{3} \]

\[60  \, \textrm{MPa} \le 1.5 \cdot 355 / \sqrt{3} = 307 \, \textrm{MPa} \]

Z Tablic 8.1–8.10 wyznacza się wartości \(\Delta \sigma_c = 90\,\textrm{MPa}\) i \(\Delta \tau_c = 70\,\textrm{MPa}\). Wartości te są redukowane przez częściowy współczynnik wytrzymałości zmęczeniowej, \(\gamma_{Mf} = 1.15\) do \(\Delta \sigma_c = 78.3\,\textrm{MPa}\) i \(\Delta \tau_c = 60.9\,\textrm{MPa}\).

Wyznacza się granice krzywej S-N:

\[\Delta \sigma_D = \left ( \frac{2}{5} \right )^{1/3} \Delta \sigma_c = \left ( \frac{2}{5} \right )^{1/3} 78.3 = 57.7\,\textrm{MPa}\]

\[\Delta \sigma_L = \left ( \frac{5}{100} \right )^{1/5} \Delta \sigma_D = \left ( \frac{5}{100} \right )^{1/5} 57.7 = 31.7 \,\textrm{MPa}\]

\[\Delta \tau_L = \left ( \frac{2}{100} \right )^{1/5} \Delta \tau_c = \left ( \frac{2}{100} \right )^{1/5} 60.9 = 27.8\,\textrm{MPa} \]

 \(\Delta \sigma\) wyznacza się przez pomnożenie  \(\Delta \sigma_{max}\) przez częściowy współczynnik dla równoważnych zakresów naprężeń o stałej amplitudzie \(\gamma_{Ff} = 1.0\). W tym przykładzie żaden inny współczynnik k_x nie jest konieczny.

Liczba cykli do zniszczenia, \(N_R\), jest obliczana dla każdego przypadku obciążenia oraz naprężeń normalnych i stycznych zgodnie z powyższymi wzorami, np. dla naprężenia normalnego w LE2:

\[N_R = \frac{\Delta \sigma_c^m \cdot 2\cdot 10^6}{\Delta \sigma^m} = \frac{78.3^3 \cdot 2\cdot 10^6}{60^3} = 4 \,438\, 234 \, \textrm{cycles}\]

Stosując regułę Palmgrena-Minera, oblicza się skumulowane uszkodzenie dla wszystkich efektów obciążenia.

Dla naprężeń normalnych:

\[D_{d \sigma} = \Sigma_i^n \frac{n_{Ei}}{N_{Ri}} = \frac{1\, 500\, 000}{4\, 438\, 235} + \frac{3\,000\,000}{10\,200\,230} = 0.632 \le 1.0\]

Dla naprężeń stycznych:

\[D_{d \tau} = \Sigma_i^n \frac{n_{Ei}}{N_{Ri}} = \frac{1\, 500\, 000}{2\, 149\, 190} + \frac{3\,000\,000}{16\,320\,409} = 0.882 \le 1.0\]

Na koniec sprawdza się interakcję między naprężeniami normalnymi i stycznymi:

\[ D_{d \sigma} ^3 + D_{d \tau} ^5 \le 1.0\]

\[ 0.632 ^3 + 0.882 ^5  = 0.786 \le 1.0\]

Wytrzymałość zmęczeniowa badanego detalu jest wystarczająca.

Weryfikacje

Przed udostępnieniem narzędzia do analizy zmęczenia materiału przeprowadzono kilka weryfikacji eksperymentalnych:

Trwałość zmęczeniowa metodą naprężeń nominalnych

Analiza zmęczenia materiału – spoiny czołowe przekroju dwuteowego